equilibrio de cuerpos rigidos

En el estudio del equilibrio de los cuerpos rígidos , el plan-

teamiento es que las fuerzas externas actuando sobre dicho

cuerpo rígido debe formar un sistema equivalente a cero, así:

S F = 0 S MO = S (r x F)

Resolviendo cada fuerza y cada momento en sus componentes

rectangulares , las condiciones necesarias y suficientes para el

equilibrio de los cuerpos rígidos se expresa en seis ecuaciones

escalares independientes:

SFx = 0 SFy = 0 SFz = 0

SMx = 0 SMy = 0 SMz = 0

Éstas ecuaciones pueden ser utilizadas para determinar fuerzas

desconocidas aplicadas al cuerpo rígido ó reacciones descono-

cidas generadas por sus apoyos.

Capítulo 4 EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS

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Al resolver problemas que involucran el equilibrio de los

cuerpos rígidos, es importante considerar todas las fuer-

zas actuando sobre el mencionado cuerpo.

Por lo tanto , el primer paso en la solución del problema

debería ser el construir un diagrama de cuerpo-libre

(D.C.L.) , en donde se muestra el cuerpo en análisis y to-

das las fuerzas actuantes tanto conocidas como desco-

nocidas.

SFx = 0 SFy = 0 SMA = 0

Donde A es un punto arbitrario en el plano de la estructura.

Para el caso del equilibrio de estructuras en dos dimensiones,

las reacciones inducidas a la estructura por sus apoyos, estaría

asociada con una , dos y hasta tres incógnitas , dependiendo del

tipo de soporte.

En la situación de una estrutura bi-dimensional , se utilizan tres

ecuaciones de equilibrio , a saber :

SFx = 0 SFy = 0 SMA = 0

Las ecuaciones de arriba pueden ser utilizadas para resolver

hasta tres incógnitas. Las mencionadas ecuaciones no pueden

ser ni aumentadas ni sustituídas por otra u otras ecuaciones.

Éste el sistema básico de ecuaciones que parte del sistema fuer

za-par igual a cero. Alternativamente un sistema adicional es :

SFx = 0 SMA = 0 SMB = 0

donde el punto B se escoge de tal manera que la línea AB

es horizontal , tambien se puede disponer de un tercer sistema :

SMA = 0 SMB = 0 SMC = 0

Donde los puntos A, B, y C forman un triángulo.

Para cualquiera de los tres sistemas de ecuaciones de equili-

brio disponibles que se decida usar , la respuesta es siempre

la resolución de hasta tres incógnitas. En el caso de que se

disponga de más de tres incógnitas, se dice que la estructura

es estáticamente indeterminada.

Por otro lado , si la cantidad de incógnitas involucradas es me-

nos de tres , se dice que la estructura es inestable ó parcial-

mente restringida. El caso de que las reacciones involucra-

das sean exactamente tres, no garantiza que las ecuaciones

de equilibrio puedan resolver las tres incógnitas. Si los sopor-

tes están dispuestos de tal suerte que las reacciones sean

concurrentes ó paralelas las reacciones serán estáticamen-

te indeterminadas y se dice que la estructura está inadecuada

mente restringida.

A

B

F1

F2

Cabe mencionar dos casos muy especiales relacionados con

el equilibrio de cuerpos rígidos en el plano.Un cuerpo so-

metido a dos fuerzas es un cuerpo rígido sujeto a fuer-

zas en sólo dos puntos . Las resultantes F1 y F2 de éstas

dos fuerzas deben tener igual magnitud , la misma línea

de acción , y sentido opuesto.

A

B

F1

F2

C

D

F3

Otro caso particular es el que se conoce como miembros

sometidos a tres fuerzas y es un cuerpo rígido sujeto a

fuerzas en solo tres puntos , las resultantes F1, F2 ,y F3

de éstas fuerzas debe ser ya sea concurrentes ó para

lelas . La consideración adecuada de ambos casos espe-

ciales proporciona un herramienta muy valiosa en la reso-

lución de problemas de equilibrio bi-dimensional.

S F = 0 S MO = S (r x F)

Al considerar el equilibrio de un cuerpo en tres dimensiones,

las reacciones sobre el cuerpo dependen del tipo de soporte y,

en total, pueden sumar desde una a seis incógnitas.

En el caso general del equilibrio en tres dimensiones, las seis

ecuaciones escalares del equilibrio mostradas anteriormente,

deberían de ser usadas y resueltas para encontrar hasta seis

incógnitas. En la mayoría de los casos,éstas ecuaciones son

obtenidas más convenientemente si las escribimos , así :

Expresándose además , las fuerzas F y los vectores posición

r en términos de las componentes escalares y vectores unita

rios. El producto vectorial puede ser calculado directamente ó

por medio de determinantes, y las ecuaciones escalares obteni

das igualando a cero los coeficientes de los vectores unitarios.

Al escoger estratégicamente un punto “O”donde

se pueda evaluar la ecuación sumatoria de mo

mentos (MO ),se podría tener en dicha ecuación

de equilibrio, tan solo tres incógnitas y, de esa

manera , encontrar por un simple simultaneo de

ecuaciones , los valores de dichas incógnitas.

Tambien, las reacciones en dos puntos, A y B

pueden ser eliminadas en la solución de algunos

problemas escribiendo la ecuación S MAB = 0, por

medio de la cual las reacciones en ambos pun

tos se eliminarían pudiéndose encontrar las reac-

ciones restantes a partir de un simple simultaneo

de ecuaciones.

Si las reacciones en los apoyos contienen en su tota

lidad más de seis incógnitas, algunas de ellas son

estaticamente indeterminadas; pero si la totalidad

de dichas reacciones suma menos de seis incógni-

tas, se dice que el cuerpo rígido está parcialmente

restringido ó inestable.

Aún cuando se tienen seis ó más incógnitas , el cuer

po rígido será impropiamente restringido si las reac-

ciones asociadas con los apoyos utilizados son para

lelas ó intersectan la misma línea.