epv3_t2 figuras geométricas
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epv3. curso 2009/2010
ies m. ballesteros (utiel)
josé m. latorre
circunferencia : línea curva cerradaen la que todos sus puntos están ala misma distancia de uno central alque llamamos centro.
radio : línea recta que une elcentro con cualquier punto de lacircunferencia.
diámetro : línea recta que une dospuntos de la circunferencia pasandopor el centro.
cc
t 1. epv3. 09/10 2
por el centro.
recta secante o cuerda : línea rectaque une dos puntos cualquiera de lacircunferencia y a los que llamamospuntos de corte, cccc....
recta tangente : línea recta quesólo tiene un punto de contacto conla circunferencia y al que llamamospunto de tangencia, tttt....
t
situar un punto a partir de otros dos dados.
a
b
d
c
a
b
a
b
vamos a situar un punto a una distancia dada (r1) del punto aaaa y
a otra (r2) de bbbb.
trazar un arco con centro en aaaay radio r1.
trazar otro arco con centro en bbbb y radio r2, donde corta al anterior situamos cccc y dddd.
t 1. epv3. 09/10 3
“si, por definición, 2 puntossituados sobre la circunferenciase encuentran a la mismadistancia del centro, la bisectrizdel ángulo que forman serátambién la mediatriz de la cuerdaque nos une”.
p
q
o
situar el centro de una circunferencia.
xy
z
o
xy
xy
situar dos puntos cualesquiera xxxx e yyyy sobre la circunferencia y unirlos.
trazar la mediatriz de la cuerda situar un tercer punto, zzzz, unirlo con yyyy para trazar otra mediatriz. el punto de corte será el centro, oooo.
t 1. epv3. 09/10 4
el punto de corte será el centro, oooo.
trazar la circunferencia que pasa por 3 puntos.
xy
z
xy
z
xy
z
o
unir los puntos dados xxxx, yyyy, zzzz. trazar las mediatrices hasta que se corten.
ya sabemos el centro y el radio.
definiciónfigura plana compuesta por 3 segmentos que se unen por sus extremos.tiene, por tanto, 3 vértices y 3 ángulos que suman 180 grados.
clasificación según sus lados
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según sus ángulos
equilátero3 lados iguales
isósceles2 lados iguales
escaleno3 lados diferentes
acutángulo3 ángulos agudos
obtusángulo1 ángulo obtuso
rectángulo1 ángulo recto
rectas notablesson líneas interiores de los triángulos que cumplen unas determinadas características.
mediatrizmediatrizmediatrizmediatriz
es la mediatriz de cada uno de sus lado. un triángulo tiene, por tanto, hasta 3.
el punto en el que se cortan las tres mediatrices se llama circuncentrocircuncentrocircuncentrocircuncentroy es el centro de la circunferencia circunscrita.
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bisectrizbisectrizbisectrizbisectriz
es la bisectriz de cada uno de los ángulos interiores, también hay 3.
el punto en el que se cortan las tres bisectrices se llama incentroincentroincentroincentro y es el centro de la circunferencia inscrita.
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medianamedianamedianamediana
es la recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
el punto en el que se cortan las tres medianas se llama baricentrobaricentrobaricentrobaricentroque es el centro de gravedad del triángulo.
alturaalturaalturaaltura
es la perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.
el punto en el que se cortan las tres alturas se llama ortocentroortocentroortocentroortocentro....en un triángulo acutángulo se sitúa dentro del triángulo, en elobtusángulo se sitúa fuera y en el rectángulo coincide con el vérticedel ángulo recto.
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construcciones
equilátero.equilátero.equilátero.equilátero. a partir del lado
situar el lado del triángulo trazar dos arcos de radio igual al lado y centro en
unir los 3 puntos que serán vértices del triángulo
t 1. epv3. 09/10 9
igual al lado y centro en cada extremo
serán vértices del triángulo
t 1. epv3. 09/10
equilátero.equilátero.equilátero.equilátero. a partir de la altura
sobre la bisectriz de un ángulo de 60 grados, medir la altura
trazar una perpendicular por el extremo de la altura que corte los lados
el triángulo equilátero quedacomprendido entre los puntos de corte
isósceles.isósceles.isósceles.isósceles. a partir de la base y la altura
base (b)
situar la base y trazar su mediatriz. desde el punto de corte medimos la altura
altura (h)
base (b)
altura (h)
unir los extremos de la base y la altura, vértices
del triángulo
b
h
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isósceles.isósceles.isósceles.isósceles. a partir de los lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos
una vez situados los 3 vértices, unir
α 30 grados
trazar el ángulo dado (30 grados) y sobre las semirrectas medir los lados
escalenoescalenoescalenoescaleno. a partir de los tres ladosl1
l2
l3
l2 l3
l1
situar uno de los lados, por ejemplo, el más largo: l1
trazar dos arcos de radio igual a los otros dos lados (l2 y l3) y centro en los extremos de l1
como el punto de corte va a ser el tercer vértice, se ha de unir con los otros 2
escalenoescalenoescalenoescaleno. a partir de un lado
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escalenoescalenoescalenoescaleno. a partir de un ladoy sus ángulos adyacentes
60 grados
45 grados
sobre el lado construir los ángulos solicitados hasta que se corten
sobre el lado construir los ángulos solicitados
rectángulorectángulorectángulorectángulo.el triángulo rectángulo tiene algunas particularidades:
-es el único con una medidas determinada: el ángulo recto.
-sus lados tienen nombres concretos: los que forman el ángulo recto son los catetos y el que los une es la hipotenusa.
se relacionan mediante el teorema de teorema de teorema de teorema de pitágoraspitágoraspitágoraspitágoras.
“el área de un cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de
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hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados que tienen como lados los
dos catetos”
hipotenusa ² =cateto a² ++++ cateto b²
cateto a
cateto b
hipotenusa
cateto a² cateto b²hipotenusa ² = +
conocidos los lados
por el extremo de uno de los lados, trazar una perpendicular.
medir sobre la perpendicularel otro lado y unir.
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conocidos un lado y la hipotenusa
por el extremo de uno de los lados, trazar una perpendicular.
trazar un arco con la hipotenusa, que corta la perpendicular y unir.
definiciónpolígono de 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos que suman 360 grados, pues todo
cuadrilátero puede dividirse en dos triángulos iguales.
rectas notablespolígono de 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos que suman 360 grados, pues todo
cuadrilátero puede dividirse en dos triángulos iguales.
la alturaalturaalturaaltura es la perpendicular a la base que pasa por
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las diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales son las líneas que unen dos vértices no consecutivos. si son de
medidas diferentes las llamaremos diagonal mayor y diagonal menor.
la basebasebasebase es el lado (horizontal) sobre el que apoya el cuadrilátero. puede haber dos bases paralelas. si son diferentes las llamaremos base mayor y base menor.
la alturaalturaalturaaltura es la perpendicular a la base que pasa por el vértice más alto. puede coincidir con un lado
clasificación y construcciónparalelogramos:
lados paralelos 2 a 2cuadradocuadradocuadradocuadrado
ladosladosladoslados: 4 iguales.ángulosángulosángulosángulos: 4 rectos.diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: iguales y perpendiculares.
a partir del lado
situar el lado trazar una perpendicular por el extremo
trazar 2 arcos con centro en los extremos y radio el lado
unir los vértices
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por el extremo los extremos y radio el lado
a partir de la diagonal
trazar un ángulo de 45grados, que será la diagonal
sobre la diagonal medir la distancia dada
trazar una perpendiculardesde el extremo de la diagonal.
desde el tercer vértice trazar un arco con la medida de la diagonal
rectángulorectángulorectángulorectángulo
ladosladosladoslados: iguales 2 a 2.ángulosángulosángulosángulos: 4 rectos.diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: iguales.
a partir de la base y la altura
situar la base trazar una perpendicular por el extremo
trazar otra perpendicular por el otro extremo
unir los vértices
a partir de la base y la diagonal
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a partir de la base y la diagonal
sobre un arco de 90grados, medir la base
desde el extremo, trazar un arco de radio igual a la
diagonal que corte al ángulo.
trazar 2 arcos que se corten, uno con la diagonal y
el otro con la base.
unir los vértices..
base
romboromboromborombo
ladosladosladoslados: 4 igualesángulosángulosángulosángulos: 2 agudos iguales y 2 obtusos igualesdiagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: diferentes y perpendiculares
a partir de las 2 diagonales
situar una diagonal y trazar su mediatriz
unir vérticesponer sobre la mediatriz la distancia de la otra diagonal
a partir del ángulo y un lado
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a partir del ángulo y un lado
trazar el ángulo dado, en este caso 60 grados.
trasladar la medida del lado sobre las semirrectas.
trazar dos arcos desde los vértices con radio igual al lado.
unir los vértices.
romboideromboideromboideromboide
ladosladosladoslados: iguales 2 a 2ángulosángulosángulosángulos: 2 agudos iguales y 2 obtusos igualesdiagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: diferentes y no perpendiculares
a partir de los lados y 1 diagonal
situar un lado y trazar 2 arcos con centro en los extremos y radio la
diagonal y el otro lado
trazar 2 arcos con centro en los extremos de los lados y radio los
lados correspondientes
cerrar el romboide
lado 1
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diagonal y el otro lado lados correspondientes
a partir de los lados y 1 ángulo
construir el ángulo y sobre cada semirrecta medir los lados.
trazar dos arcos desde los vértices obtenidos que se cruzan
en el cuarto vértice
cerrar el romboide
lado 2
no paralelogramos:lados no paralelos 2 a 2trapecio rectángulotrapecio rectángulotrapecio rectángulotrapecio rectángulo
ladosladosladoslados: diferentesángulosángulosángulosángulos: 2 rectos, 1 agudo y 1 obtuso.diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: diferentes y no perpendiculares.
a partir de las bases mayor y menor
situar la base mayor trazar una perpendicular trazar una perpendicular a la cerrar el trapecio
h
base menor
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trapecio isóscelestrapecio isóscelestrapecio isóscelestrapecio isósceles
ladosladosladoslados: 2 iguales y 2 diferentesángulosángulosángulosángulos: 2 agudos iguales y 2 obtusos igualesdiagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: iguales y no perpendiculares.
a partir de la base mayor, la altura y un lado
situar la base mayor trazar una perpendicular por un extremo que mida h
trazar una perpendicular a la altura que mida la base menor
cerrar el trapecio
situar la base mayor trazar 2 arcos desde el extremo de la base, de radio
el lado y la diagonal
repetir la operación desdeel otro extremo de la base
diagonallado
cerrar el trapecio
trapezoidetrapezoidetrapezoidetrapezoide
ladosladosladoslados: los 4 diferentesángulosángulosángulosángulos: los 4 diferentesdiagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales: diferentes.
a partir de los 4 lados y 1 diagonal
lado 1
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situar un lado del trapezoide
lado 1
trazar 2 arcos con centro en los extremos de a y radio la diagonal y otro lado, b
trazar 2 arcos con centro en los extremos de los lados
y radio c y d
unir vértices
un polígono inscrito es aquel que tiene sus vértices sobre una circunferencia. cualquier polígono puede construirse de esta forma, si dividimos la circunferencia en partes iguales.
a continuación, vamos a ver, desde el más sencillo hasta los más complicados, todos los
métodos que se aplican desde el triángulo (3 divisiones) hasta el octógono (8 divisiones).
cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado inscritoinscritoinscritoinscrito
4 divisiones
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4 divisiones
octógono octógono octógono octógono inscritoinscritoinscritoinscrito8 divisiones
trazar un diámetro trazar otro diámetro,perpendicular al primero
unir los vértices
partimos de la construcción del cuadrado
dividir los ángulos rectos en 2 partes iguales
unir los vértices
hexágono hexágono hexágono hexágono inscrito inscrito inscrito inscrito 6 divisiones
hemos de saber que el radio de una circunferencia la divide en 6 partes iguales
aplicar el radio 6 veces sobre la circunferencia
unir las divisiones
t 1. epv3. 09/10 22
triángulotriángulotriángulotriánguloequiláteroequiláteroequiláteroequiláteroinscritoinscritoinscritoinscrito3 divisiones
realizar la misma construcción que para el hexágono
unir los vértices adecuadosvamos a necesitar sólo vértices alternos
heptágono inscrito heptágono inscrito heptágono inscrito heptágono inscrito 7 divisiones
trazar 2 diámetros perpendiculares trazar la mediatriz de un radio. el punto de corte es m
la distancia desde m hasta la circunferencia va a ser el lado
aplicar la medida 7 veces y unir
m
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pentágono inscritopentágono inscritopentágono inscritopentágono inscrito5 divisiones
partimos de la construccióndel heptágono
trazar un arco con centro en m y radio ma que corta al diámetro en b
m
a
la distancia desde a hasta b va aser el lado del pentágono
b
a
b
aplicar la medida 5 veces y unir
método generalmétodo generalmétodo generalmétodo generaln divisiones
1.trazar un diámetro y dividirlo en n partes.
4. unir las divisionessobre la circunferencia.
t 1. epv3. 09/10 24
2. trazar 2 arcos con centro en los extremos del diámetro y radio toda la longitud del diámetro,
3. desde los dos puntos de corte, trazar rectas que pasen por las divisiones pares del diámetro.
polígonos estrelladospolígonos estrelladospolígonos estrelladospolígonos estrelladosde paso2 y paso3
el paso se refiere al modo de unir los vértices sobre la circunferencia. el modo convencional de ir uniendo los vértices consecutivos se conoce como paso1. del mismo modo, el paso2 implica unir
vértices alternativamente (uno si, uno no), y el paso3 dejar 2 libres.
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heptágono paso1 heptágono paso3heptágono paso2
octógono paso 3hexágono paso 2, el de paso 3 no existe
pentágono de paso 2 y paso 3
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