elasticidad y fluidos1
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Elasticidad y fluidos
Elasticidad Tensión y deformación
2Profesor Daniel Fernández Palma
F
Esfuerzo normal Deformación longitudinal
Elasticidad
Tensión y deformación
3Profesor Daniel Fernández Palma
Posición de la marca con F
F
Posición de la marca sin F
S
n = FS
n =
Ley de Hooke: n = En
n
E = Módulo de Young
Esfuerzo normal Deformación longitudinal
Profesor Daniel Fernández Palma 4
Sustancia
Módulo de Young (GPa)
Resistencia a la tracción (MPa)
Resistencia a compresión. (MPa)
Acero 200 520 520Cabello 196 Hueso compacto
16 tracción9.4 compr. 121 167
Huesoesponjoso
0.17 tracción0.088 compr. 1,2 1,9
Tendón 0.02 Vaso sanguíneo 0.0002
Colágeno 1.00 50-100 Goma 0.0010 Lino 15 200 Elastina 0.0006
Profesor Daniel Fernández Palma 5
En algunos materiales, la tensión no solo depende de la deformación sino de la velocidad a la que se produce la deformación. Puede necesitar mas tensión para estirarla mas rápidamente que para estirar lentamente y mas tensión para estirarla que para mantener una tensión fija. Estos materiales se denominan viscoelasticosAun otros materiales presentan histéresis, la relación tensión deformación es diferente cuando el material esta siendo estirada que cuando se le permite que regrese a su estado sin estirar
Profesor Daniel Fernández Palma 6
0 10 20 30
100 -
80 -
60 -
40 -
20 -
0
VO
LU
ME
N P
UL
MO
NA
R %
TL
C
PRESION DE RETRACCION ELASTICA cm H2O
Curva de histéresis presión-volumen del pulmón normal
Profesor Daniel Fernández Palma 7
El esfuerzo cortante
S
(a)
F
h
(b)
s =FSS
s =h
s = Gs
Módulo de corte: G
dy
dx
s =dxdy
Profesor Daniel Fernández Palma 8
Presión Hidrostática Deformación Volumétrica
σ = p = (Pa)F
S
B = Módulo de compresibilidad
Compresibilidad K =
𝐊=−𝟏𝐕
∆𝐕∆𝐩
V V
V =
Ley de Hooke p = B V
1
B
Profesor Daniel Fernández Palma 9
Ejemplo: Comparando compresibilidades
agua: 4.7610 – 10 Pa –1
aire: 9.8710 – 6 Pa – 1Razón = 4.8210 – 5
El agua es prácticamente incompresible respecto al aire
En buceo profundo: - La presión del agua reduce la expansión normal de los pulmones - La presión del aire que se respira aumenta al doble o el triple de su valor normalEl esfuerzo muscular se eleva muy por encima de sus valores normales
Profesor Daniel Fernández Palma 10
F3 F4
F5
F6
F2
F1
dz
dm g
Volumen liquido en equilibrio, cubo de agua en agua
xy
z
pequeñas cantidades diferencialesEjemplo: dm = diferencial de masa
Suma de fuerzas = 0
dp = – f gdz
p = po – f g z
HIDROSTATICA
p = F / S dF = dp S
densidad () = masa/volumen
= m / V dm = dV
S
dV = S dz
Profesor Daniel Fernández Palma 11
Presión manométrica: presión solo debido al liquido
p = po – f g z pman = fgh
En tal caso: po = 0; profundidad z = - h
Presión atmosférica (po): presión debida al peso del aire atmosférico. Es equivalente a la presión manométrica de una columna de mercurio de 760 mm de altura po = 760 mmHgpo = H2Ogh = 136009.80.760 = 1.013105 Pa
Presión atmosférica po = 101 kPa
Presión absoluta: p = po + pman
Profesor Daniel Fernández Palma 12
Profesor Daniel Fernández Palma 13
F3 F4
F5
F6
F2
F1
F3 = F4 = F5 = F6
dz
dm g
Volumen liquido en equilibrio, cubo de agua en agua
F1 – F2 – dm g = 0
xy
z
– (F2 – F1 ) – dm g = 0
– dp S – dm g = 0
– dp S – f Sdz g = 0
dp = – f gdz
p = po – f g z
Profesor Daniel Fernández Palma 14
La flotabilidad
E = gV
W = dm g
x
z
De dp = – f gdz se tiene:
Gradiente de presión: fuerza/volumen
– = f g
dpdz
Nm3
fuerzavolumen
Fuerza neta o peso efectivo:
F = – ( – f)gVF = E – W = – (W – E)
y
Profesor Daniel Fernández Palma 15
Animales marinos: f F 0 Animales terrestres: >> f F W
Profesor Daniel Fernández Palma 16
La centrifugadora
Sp Sp'
rdr
OFc
z Equilibrio: Sp – Sp' + Fc = 0 – S(p' – p) + (dm)ac = 0
p' – p = dp , dm = Sdr , ac = 2r dp = 2r dr
Si p = po en r = 0 p = ½ 2r2 + po
dm
Profesor Daniel Fernández Palma 17
Separación de solutos mediante la centrifugadora
Sp Sp'
r rO
Fc
z
Fuerza neta sobre el soluto de densidad dentro de un fluido de densidad f
F = (m)ac– S(p' – p)
m m = V = Srp' – p = f 2rr
F = ( - f) V 2r
F = Fc + Sp – Sp' (fuerza neta)
Profesor Daniel Fernández Palma 18
Fluidos en movimiento
Flujo laminarVelocidad en cada punto de la línea de flujo no depende del tiempo.
Flujo turbulentoLa velocidad en cada punto de la línea de flujo varia con el tiempo
Profesor Daniel Fernández Palma 19
Intensidad de corriente o volumen corriente Q
Q = , [Q] = m3/s o Lit/min Vt
Q = Av
Densidad de corriente j
j = = v [ j ] = m/s
QA
A1 A2v1 v2
A1v1 = A2v2
Profesor Daniel Fernández Palma 20
Fluidos ideales y Fluidos reales
Perfil parabólicoFluido real
Fluidos ideales: Son incompresibles y no viscosos
Fluidos reales: Son compresibles y de viscosidad muy variada
Perfil planoFluido ideal
Profesor Daniel Fernández Palma 21
x
yvx = v
F
vx = 0
F
Viscosidad
Perfil parabólicodel flujo laminar
S
dvx dy
Profesor Daniel Fernández Palma 22
La tensión cortante sobre un fluido genera una deformación continua
La tensión de corte es proporcional al gradiente de velocidad
F dvx S dy
=
= coeficiente de viscosidad
F/S dvx/dy
=
[] = Pa.s [] = Poise
1 Pa.s = 10 poise
Profesor Daniel Fernández Palma 23
Flujo viscoso en un tubo. Ley de Poiseuille
– p r2
x
r
dr
2rx(dv/dr) fuerza viscosa
v
v = f (r) v = (R2 – r2) 1 p4 x
Profesor Daniel Fernández Palma 24
Flujo viscoso en un tubo. Ley de Poiseuille
v
v = (R2 – r2) 1 p4 x
Q = v dS , dS = 2r dr
R
0
Q = R4 p 8 x
Profesor Daniel Fernández Palma 25
Ejemplo: conducción a través de un poro en la membrana de un glomérulo del riñón
R = 5 nmp = 15.4 mmHg = 132.815.4 = 2045.12 Pah = 1.410 – 3 Pa.sx = 50 nm
Q = (510 – 9)4 2045.12 8(1.410 – 3) (5010 – 9)
Q = 7.1710 – 21 m3/s
Profesor Daniel Fernández Palma 26
R(x)
x
z(x)
x2
x1
Caso generalAdemás de su naturaleza viscosa el fluido puede acelerar y su peso es importante
p = pvisc (viscosidad)
+ pgrav (peso)
+ pace1(posición)
+ pace2(tiempo)
Profesor Daniel Fernández Palma 27
pvisc =
pvisc: Presión a superar debido a una fricción
viscosa
𝒗=𝑸
𝝅 𝑹𝟐(𝒙), v = 2 , 𝒅𝑭
𝒅𝑨=𝜼
𝒅𝒗𝒅𝒓
dF = (dp)r2 , dA = 2r dx
8Q
x2
x1
𝒅𝒙𝑹𝟒(𝒙)
𝚫𝒑=𝟖𝜼𝑸𝝅 𝑹𝟒 𝑳
Profesor Daniel Fernández Palma 28
pgrav: Presión debido al efecto gravitatorio
pgrav = g(z2 – z1)
Profesor Daniel Fernández Palma 29
pace1: la velocidad en cada punto fijo no cambia
(flujo estacionario) pero la velocidad cambia de un punto a otro
pace1 =
ds
A
Masa del elemento de fluido dm = Ads
dF = (Ads) = A v dv dp = v dv dvdt
Profesor Daniel Fernández Palma 30
pace2: aceleracion por cambio de velocidad en el
tiempo en cada punto fijo (flujo turbulento)
𝒅𝑭=−𝑨𝒅𝒑=𝒅𝒎(𝝏𝒗𝝏 𝒕 )=𝝆 𝑨(𝝏𝒗𝝏 𝒕 )𝒅𝒔
∆𝒑𝒂𝒄𝒆𝟐=𝝆∫𝒔𝟏
𝒔𝟐
(𝝏𝒗𝝏 𝒕 )𝒅𝒔
Profesor Daniel Fernández Palma 31
Ecuación de Bernoulli para el flujo no viscoso en régimen estacionario (v/t = 0)
𝒑𝟏−𝒑𝟐=𝝆𝒈 (𝒛𝟐− 𝒛𝟏 )+𝟏𝟐 𝝆 𝒗𝟐𝟐−
𝟏𝟐𝝆𝒗𝟏
𝟐
𝒑𝟏+𝝆 𝒈𝒛𝟏+𝟏𝟐𝝆 𝒗𝟏
𝟐=𝒑𝟐+𝝆 𝒈𝒛𝟐+𝟏𝟐𝝆 𝒗𝟐
𝟐
𝒑+𝝆 𝒈𝒛+𝟏𝟐𝝆𝒗𝟐=𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Profesor Daniel Fernández Palma 32
Trabajo Presión-volumen
Fg Fe
SFg
Fg = fuerza expansiva del gasFe = fuerza externa equilibrante
Profesor Daniel Fernández Palma 33
p
V
Trabajo realizado por un gas cuando se expande
dWg = Fg dx
Fg = p S
dWg = p Sdx = p dV
Trabajo realizado por la fuerza exterior: Fe = - Fg
dWe = - p Sdx = - p dV
Profesor Daniel Fernández Palma 34
Trabajo necesario para respirar
p
pa
pt
p = presión en la narizpa = presión en los alveolos
Trabajo realizado por los alveolos sobre el aire
𝑾 𝒈=−∫𝒑𝒂𝒅𝑽
pt = presión en el tóraxpa > pt pa - pt = presión de retracción elástica
Profesor Daniel Fernández Palma 35
-(p-p)V = trabajo sobre el gas en la INSPIRACION
-(p+p)V = trabajo sobre el gas en la ESPIRACION
(p+p)V = trabajo neto sobre el gas en el CICLO
Profesor Daniel Fernández Palma 36
A
B
C V
p
AB = trabajo durante la inhalación BC = trabajo durante la exhalación
p = presion de retracción elástica
Área ABC = trabajo neto representa el calentamiento por fricción del tejido pulmonar
Profesor Daniel Fernández Palma 37
El sistema circulatorioCirculación pulmonar – 9%
Corazón – 7%
Aorta
Vena cavaSuperior
Vena cavaInferior Arterias 13%
Arteriolas yCapilares - 7%
Venas, vénulas, senos venosos- 64%
Sistema de vasos
Resistencia vascular
𝑹𝒗=∆𝒑𝑸
[Rv]=Pa.sm3
torr.minml
URP =
𝑹𝒗=𝟖∆ 𝒙
𝑹𝟒
Profesor Daniel Fernández Palma 38
Resistencias en serie y en paralelo
R = R1 + R2 + R3 + ………
𝟏𝑹
=𝟏𝑹𝟏
+𝟏𝑹𝟐
+𝟏𝑹𝟑
…… . .
En capilares
Caudal típico del corazónQ = volumen sistólico frecuencia de pulsos
= 60 ml.beat-1 80 beat.min-1
= 4800 ml. min-1 = 0.08 l/s = 288 l/h = 6912 l/dia = 8.010-5 m3 /s
Profesor Daniel Fernández Palma 39
Resistencia vascular total
𝑹=∆𝒑𝑸
=𝟏𝟎𝟎 𝒕𝒐𝒓𝒓×𝟏𝟑𝟑 𝑷𝒂 .𝒕𝒐𝒓𝒓 −𝟏
𝟖𝟎×𝟏𝟎−𝟔𝒎𝟑𝒔−𝟏
𝑹=𝟏 .𝟔𝟔×𝟏𝟎𝟖𝑷𝒂 . 𝒔 .𝒎−𝟑
𝑹=𝟐𝟎 .𝟖𝑼𝑹𝑷
Profesor Daniel Fernández Palma 40
Válvulas aorticas abiertas
Volumen ventricular, ml
llenado
contracción
Pre
sión
, tor
r
120 –
100 –
80 –
60 –
40 –
20 –
0 –
0 20 40 60 80 100
Trabajo Presión-volumen del ciclo cardiaco
I. Llenado ventricular
II. Contracción isovolumetrica
III. Impulsión de la sangre hacia la aorta
IV. Recuperación de la energía
Trabajo = Área
Profesor Daniel Fernández Palma 41
Trabajo realizadoen un ciclo
W = 6600 mltorr = 0.88 J
A 80 latidos por minuto la potencia esP = 0.88 J 80 beat / 60 s = 1.2 W
Volumen sistólico V = 100 -35 = 65 ml
Gasto cardiaco Q = 65 ml.beat-1)(80 beat/60 s)
Q = 8710-6 m3s-1
área limitadapor la curva
Profesor Daniel Fernández Palma 42
Flujo Turbulento y Numero de Reynolds
Además de la viscosidad, el peso del fluido y las aceleraciones, cuatro efectos mas se apartan del flujo de Poiseuille
1. Las turbulencias2. Desviaciones del perfil parabólico3. Elasticidad de las paredes del recipiente4. Viscosidad aparente dependiente de la fracción de
volumen de la sangre ocupada por los eritrocitos y del tamaño del vaso
La importancia de la turbulencia queda determinada por un numero adimensional NR
Profesor Daniel Fernández Palma 43
denominado el numero de Reynolds 𝑵 𝑹=𝝆 𝒗𝑳𝜼
Donde: = densidad del fluido, v y L , la velocidad y longitud característicos y la viscosidad
Cuando NR es mayor que algunos millares el flujo es turbulento
Los flujos con el mismo NR son idénticos
Si NR es alto predominan los efectos inercialesSi NR es bajo predominan los efectos viscosos, no hay aceleraciones por que las fuerzas externas se compensan con las fuerzas viscosas
Profesor Daniel Fernández Palma 44
EjemploPorción de fluido de longitud x, bajo una diferencia de presión p
Fuerza neta = R2p
p
x
𝒗
Trabajo neto: Wvisc = R2p.
Energía cinética: Ek = R2
Profesor Daniel Fernández Palma 45
𝑪𝒐𝒏𝑸=𝝅 𝑹𝟐𝒗=𝝅 𝑹𝟒∆𝒑
𝜼∆ 𝒙𝒚 𝑵 𝑹=
𝝆 𝒗𝑹𝜼
𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂 :𝑬𝒌
𝑾 𝒗𝒊𝒔𝒄=𝑵 𝑹
𝟏𝟔𝝃;𝚫 𝒙=𝝃 𝑹
Para NR alta predominan los efectos inerciales y para NR baja predominan los efectos viscososEn la naturaleza los movimientos se dan con un números de Reynolds que difieren en 16 órdenes de magnitud: Ejemplo el movimiento de una ballena (NR = 200 000 000) y el movimiento de una bacteria (NR = 0.000001)
Profesor Daniel Fernández Palma 46
Esto indica que el movimiento de los animales en la naturaleza responden a dinámicas muy distintas
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