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ElasticidadEcuaciones constitutivas

Recordemos el Tensor de Esfuerzos

Ahora pensemos qué pasa cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo, es posible que éste se deforme (cambie de forma)

No deformado

Deformado

Cambio en el desplazamiento relativo durante la deformación

Una relación constitutiva en el caso de elasticidad nos relaciona el esfuerzo con la deformación.

ESFUERZO DEFORMACIÓN

La relación más sencilla es una relación lineal, por ejemplo:

F = K*x

K es una constante

Las ecuaciones constitutivas nos dan la relación entre los esfuerzos y las deformaciones.

La relación más sencilla entre estos procesos es una RELACIÓN LINEAL.

Esto nos lleva a lo que llamamos materiales LINEALMENTE ELÁSTICOS.

Si tenemos otro tipo de relación, podemos referirnos a materiales:

• PLÁSTICOS, • VISCOSOS (Newtonianos y No-Newtonianos), • ELASTO-PLÁSTICOS, ETC

La relación más general para el caso de ELASTICIDAD LINEAL (Ley de Hooke Generalizada) se puede escribir como:

Donde

Es el tensor de deformación (vamos a verlo con más detalle).

Las constantes Nos dan la relación de proporcionalidad, se conocen como “Módulos Elásticos” y describen el comportamiento del cuerpo

Como los subíndices van de 1 a 3, entonces en el caso más general tenemos 34 o sea

¿Qué podemos hacer para operar con esto?

(Y este es el caso más simple…)

¡ 81 constantes !

Por fortuna como los tensores de esfuerzo y deformación son SIMÉTRICOS (se puede demostrar, créanlo) tenemos que

Esto nos reduce el número a 36 constantes

Condiciones de preservación de la energía de deformación nos lleva a otro tipo de simetría:

Lo cual reduce el problema a 21 constantes (este es el caso conocido como Anisotropía General, pero sigue siendo elástico lineal)

Por último, si consideramos que el medio tiene las mismas propiedas sin importar la dirección, entonces estamos en el caso de ISOTROPÍA LINEAL.

Esto nos reduce considerablemente el problema ya que sólo requerimos de 2 constantes (módulos elásticos) independientes

Estos módulos pueden ser dos de varias combinaciones de parámetros (de acuerdo a lo que podamos o queramos medir).

Ejemplos (los definiremos más tarde):

λ, µ ; E, G ; ν, K ; etc

En muchos casos podemos aproximar el comportamiento de un material como elástico, sin embargo para casos en los que el nivel del esfuerzo es muy grande en comparación con la resistencia del material es claro que no se cumple una relación lineal. Lo mismo sucede en los casos de una alta tasa de deformación.

Recordemos nuestras ecuaciones constitutivas para el caso de elasticidad general:

Para poder describir la deformación usamos vectores de desplazamiento:

La diferencial du la podemos descomponer en dos partes:

Al hacer esto estamos en efecto desacoplando la parte de deformación rígida (wij) de la de distorsión (eij).

Cambio en la posición en x con respecto al eje xj

Posición en x

ω  corresponde a la rotación rígida.La parte que produce distorsión es el tensor de deformación:

Fijarse que los elementos son variaciones (tasas) de cada componente del vector de desplazamiento con respecto a los ejes coordenados.

Ejemplos de posibles deformaciones para un elemento de dos dimensiones

La traza o suma de la diagonal del tensor de deformación nos da lo que se llama la dilatancia:

Para un volumen inicial dx1 dx2 dx3 el volumen que resulta después de la deformación es:

Si el volumen inicial es V=dx1 dx2 dx3 ,el volumen final es V+dV=(1+q)V, por lo que:

Veamos las ecuaciones constitutivas en forma matricial:

Fijémonos que en esta manera de escribirlas, sólo se usan 6 de los términos del Tensor de Esfuerzo y 6 de los del Tensor de Deformación debido a su simetría.Las constantes C son los coeficientes elásticos (“stiffness”).

De forma similar podríamos definir:

Siendo las D, los coeficientes de dureza (“compliance”). Sin embargo, recordamos que para el caso de ELASTICIDAD ISOTRÓPICA sólo requiere de 2 CONSTANTES INDEPENDIENTES.

Es común un cambio de nomenclatura de forma que:

La manera de cambiar la notación es como se muestra en la figura:

Pero para el caso de elasticidad isotrópica tenemos sólamente las siguientes constantes:

Pero, ¿No eran 2 las constantes?

Lo que sucede en el caso de ISOTROPÍA es que (usando algunos de los parámetros elásticos que definiremos posteriormente):

C44 NO es independiente

C44 =E1+ν( )

=C11 −C12 = 2G = 2µ

Para el caso de elasticidad isotrópica la ley de Hooke es entonces:

A esta notación le llamaremos la notación de seis elementos

Pero hay que tener cuidado con la notación nuevamente porque en muchos casos en esta forma de cambio de variables se consideran las llamadas deformaciones ingenieriles (γ):

Es decir, hay un factor de 2 en las deformaciones de corte que algunos libros no mencionan por lo que, por ejemplo:

Con los llamados parámetros de Lammé, en la notación anterior de seis elementos para esfuerzo y deformación, las constantes elásticas quedan así usando deformaciones ingenieriles (así se encuentran en varios textos):

Las ecuaciones constitutivas (Ley de Hooke) se pueden escribir:

σi = Cij ej

σ11σ 22

σ 33

σ 23

σ13σ12

!

"

########

$

%

&&&&&&&&

=

λ + 2µ λ λ 0 0 0λ λ + 2µ λ 0 0 0λ λ λ + 2µ 0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ

!

"

########

$

%

&&&&&&&&

e11e22e33γ23γ13γ12

!

"

########

$

%

&&&&&&&&

Ahora bien, también podemos escribir la Ley de Hooke de manera compacta:

Por ejemplo, podemos calcular (Ejercicio: háganlo):

µ se conoce como la rigidez del medio (resistencia al esfuerzo de corte) θ , como vimos, es la dilatancia (qué tanto se expande o se contrae el cuerpo):

De otra manera también podemos escribir (esta es la forma que usaremos a partir de ahora):

σ11σ 22

σ 33

σ 23

σ13σ12

!

"

########

$

%

&&&&&&&&

=

λ + 2µ λ λ 0 0 0λ λ + 2µ λ 0 0 0λ λ λ + 2µ 0 0 00 0 0 2µ 0 00 0 0 0 2µ 00 0 0 0 0 2µ

!

"

########

$

%

&&&&&&&&

e11e22e33e23e13e12

!

"

########

$

%

&&&&&&&&

Notar nuevamente el factor de 2 en las deformaciones de corte, comparado con el caso de las deformaciones ingenieriles (γ).

Empleando el módulo de Young y la relación de Poisson:

σ11σ 22

σ 33

σ 23

σ13σ12

!

"

########

$

%

&&&&&&&&

=E

(1+ν )

(1−ν )(1− 2ν )

ν(1− 2ν )

ν(1− 2ν )

0 0 0

ν(1− 2ν )

(1−ν )(1− 2ν )

ν(1− 2ν )

0 0 0

ν(1− 2ν )

ν(1− 2ν )

(1−ν )(1− 2ν )

0 0 0

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

!

"

############

$

%

&&&&&&&&&&&&

e11e22e33e23e13e12

!

"

########

$

%

&&&&&&&&

De forma compacta:

σ ij =E

(1+ν )(1− 2ν )1− 2ν( )eij +νδijekk"# $%

Usando el módulo de incompresibilidad y la rigidez, la ecuación constitutiva se puede escribir de forma compacta:

Ejercicio:Escribir las ecuaciones en forma matricial para este caso.

K es el módulo de incompresibilidad que resulta si suponemos que se somete el cuerpo a una presión litostática de forma que lo que medimos es la razón entre la presión y el cambio de volúmen (dilatancia o θ ).

Entonces

Si

Lo que nos da

Veamos cómo medir algunos parámetros elásticos en el laboratorio. Por ejemplo, podemos intentar medir µ y K, los cuales se derivan como sigue.

µ es el módulo de rigidez que resulta si suponemos que el cuerpo se somete a una fuerza cortante de manera que se deforma como se muestra en la figura.La relación entre el esfuerzo y la deformación está dada por el ángulo de deformación.

Para deformaciones muy pequeñas

µ =σ122e12

=F / AΔx / l

2e12 = γ12 = Δx / l = tanθ2e12 = γ12 =θ

Otras dos módulos elásticos pueden ser definidos si jalamos al material a lo largo de uno de los ejes, lo que se denomina estado de Tensión Uniaxial. Si la tensión se aplica en la dirección del eje x1 entonces:

Substrayendo las dos últimas ecuaciones tendríamos que e22 = e33, entonces:

Lo anterior define el módulo de Poisson, ν, la cual nos da la razón entre la contracción (en la dirección de los dos ejes ortogonales al de la tensión) sobre la tensión aplicada.

Sustituyendo esto último en la ecuación para σ11 :

La constante E es el módulo de Young, la cual nos da la razón entre el esfuerzo tensional y la deformación tensional resultante, también se conoce como módulo elástico a la tensión.

Si suponemos una barra delgada sujeta a tensión podemos pensar en la relación entre la elongación y el esfuerzo tensional de forma que:

l l+Dl

Si generalizamos para un cubo sometido a esfuerzos en las tres caras:

En este caso relacionamos los términos de esfuerzo de corte con las deformaciones de corte (términos fuera de la diagonal):

Supongamos una prueba de deformación uniaxial.

¿Cuál sería la forma del tensor de deformación?

¿Cuál sería la forma del tensor de esfuerzo?

¿Cuál sería la relación entre σ1 y e1 ?

Relaciones entre los diferentes módulos elásticos