el producto vectorial o producto cruz
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El producto vectorial o producto cruz
El producto vectorial ( por eso también llamado producto cruz) está
definido únicamente para vectores de . El resultado será también un vector de
Definición: Sean y . El producto cruz de los vectores y se define como:
Nota: una manera sencilla de obtener el producto es: coloque el que va primero en el orden del
producto encima del que va de segundo ( por eso el vector está encima y el vector debajo).
Para calcular la primera componente, se calculará un determinante por cofactores. Se omite la
primera componente tanto del vector como del vector .Se calcula el
determinante
De la misma manera para la segunda se omiten y Se calcula el
determinante
y así para la tercera calculando el determinante
De esta manera se puede usar la notación:
Lo que se puede observar inmediatamente, por propiedades de los determinantes es
que
pero que
Para la dirección de y de se aplica lo que se aplica en un sistema de mano derecha
Ejemplo 1: Siendo y calcular el vector
Teorema: Sean , y vectores de (escalar)
1) y (El vector es ortogonal tanto a como a )
2) es paralelo a si y sólo si
3)
4) ( identidad de Lagrange)
5) siendo el ángulo entre los vectores y
6)
7)
Las demostraciones de cada uno de los numerales son básicamente comprobaciones por esa razón no se harán sino 1) y 2) para ilustrar.
1)
2) Si , se tiene que existe tal que . Por lo tanto
Si , es porque se ha producido un determinante con dos iguales ó múltiplos, por
lo tanto
Para la propiedad 4) lo más sencillo es calcular cada uno de los lados de la igualdad por separado
y luego comprobar que ellos son iguales .
La propiedad 5) es consecuencia de la 4) utilizando que
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO TRIPLE
ESCALAR
Considerando el paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores y , el área es:
base por altura = . Pero . Remplazando
Area del paralelogramo=
Area del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores
y
Ejemplo 2: Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos
Formamos los vectores y ( podrían ser cualquiera dos formados con estos puntos)
sería el área del paralelogramo
es entonces el área del triángulo
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Sean tres vectores de que conforman los lados de un paralelepípedo o caja.
El volumen de un paralelepípedo es área de la base por altura. El área de la base es
que es el área del paralelogramo. Al proyectar sobre y tomar la magnitud de la
proyección se encontrará la altura. altura proy entonces
Volumen Si se tomara como base la cara conformada por
los vectores y el volumen es Y si se toma como base la cara conformada por
los vectores y el volumen es Pero para evitar el problema que podría surgir de que de una cantidad negativa dependiendo de que producto vectorial se haga se toma el valor absoluto y la combinación puede ser entonces cualquiera. Volumen de un paralelepípedo de lados conformados por los
vectores Ejemplo 3:Encontrar el volumen del paralelepípedo cuyos lados están conformados por los
vectores El producto triple escalar en valor absoluto,en cualquier combinación nos dará el volumen
Volu
men
Utilizando desarrollo de determinantes por cofactores de la primera fila es fácil ver que: con los
vectores
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