el modelo mtsk para planificar la actividad matemÁtica · dominio y uso de sus propiedades...

EL MODELO MTSK PARA PLANIFICAR LA

ACTIVIDAD MATEMÁTICA

Primer Seminario-Taller Didácticas para la Educación Básica

Nielka Rojas - Guillermo Guevara

nrojas03@ucn.cl - gguevara@ucn.cl

Antofagasta, Chile

14 de enero de 2016

… busca el significado de un conocimiento profundo de la matemática elemental

… abordar los problemas de la educación matemática desde la propia matemática, estructura, epistemología, su fenomenología (Bass, 2007)

¿Qué necesita conocer un profesor de matemáticas?

…razonar, argumentar, conjeturar, refutar, representar,modelizar y hacer un uso con significado delconocimiento matemático

Didáctica de la matemática

2

≠ Trivial

Conocimiento profundo de la matemática elemental

Permitir abordar el currículo escolar

Conocimiento especializado para enseñar matemáticas

Tarea especializada

3

Un modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (MTSK)

KMLSConocimiento de los

estándares de aprendizaje de las matemáticas

KMTConocimiento de la

enseñanza de las matemáticas

KSMConocimiento de la estructura de la

matemática

KoTConocimiento de

los temas

KPMConocimiento de la práctica

matemática

KFLMConocimiento de las

características del aprendizaje de las

matemáticas

Co

no

cimie

nto

did

áctico d

el co

nten

ido

Creencias

en

matemática

en la

enseñanza y

aprendizaje de

la matemática

Co

no

cimie

nto

mate

mático

4

Shulman (1986;1987)Ball et al. (2008)

Carrillo et al. (2013)

Aritmética de los números naturales

527

+431

-1 8 5

+ 4 1

2 2 6568: 4 = 1421608

08: 2 = 4 5 × 3 = 15

¿Qué necesita conocer un profesor de matemáticas?

¿Algoritmo, procedimientos….? 5

Aritmética de los números naturalesEstructura aditiva

• Conocimiento propio de la estructura aditivaConceptos y significados

de las operacionesSituaciones que le dan

sentidoForma de representación,

organización y justificación

Conocimiento conceptual

• Incluye los procesos y modos de actuación para realizar cálculos con númerosDominio y uso de sus

propiedadesAlgoritmosEstimación de resultados

Conocimiento procedimental

KSM

KoT

KPM

M

K

6

Aritmética de los números naturalesEstructura aditiva

Juan tenía 5 bolitas y María le da 2, ¿cuántas bolitas tiene Juan?

5 + 2 = 5 + 1 + 1 =? ?−2 = 5

No hay problemas de sumar y problemas de restar, ya que una suma puede interpretar como una resta, y viceversa

La adición y la sustracción se consideran dentro de una misma estructura numérica: estructura aditiva

7

Significado de adición

María tiene 3 lápices y Diego le da 2

Acción física sobre un número de objetos iniciales

Aumente

Concepción unitaria de adición3 + 2 = 5

María tiene 2 lápices en su mano derecha y 3 lápices en su mano izquierda

Dos cantidad (unión)

No se realiza acción física

Concepción binaria de la adición

2 + 3 = 5

8

¿Qué es sumar?

Si 𝑎 y 𝑏 son dos números naturales que representan los cardinales de dos conjuntos (𝐴 y 𝐵), la adición de a y b se escribe 𝑎 + 𝑏, y es el cardinal del conjunto 𝐴 unión 𝐵(se supone que 𝐴 y 𝐵 no tienen elementos comunes).

La suma de dos números naturales a y b se define por 𝑎 + 𝑏 = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴 ∪ 𝐵),donde 𝑎 = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐴) y b = card (B), con los conjuntos A y B disjuntos.

9

Significado de sustracción

María tiene 6 lápices en total, 3 de ellos los tiene en la mano derecha

Concepción binaria de sustracción

Se conoce la cantidad total

No se realiza acción física

María tiene 4 lápices y pierde 1

Concepción unitaria de sustracción

Acción física sobre un número de objetos iniciales

Disminuya

4 − 1 = 3

?−3 =6 10

¿Qué es restar?

La diferencia de dos números naturales 𝑎 y 𝑏, con 𝑎 ≥ 𝑏 es aquel otronúmero 𝑐 que sumado con el menor de ellos, 𝑏, da como resultado elmayor 𝑎: 𝑐 + 𝑏 = 𝑎.

Por este motivo se dice que la sustracción es la operación inversa de laadición.

Sean dos números naturales a y 𝑏, con 𝑎 ≥ 𝑏 , se define su diferencia, 𝑐 = 𝑎 − 𝑏, como aquel número (𝑐) que sumado con 𝑏 da como resultado 𝑎.

11

Tipos de problemasAditivos de comparación

12

KFLM

KMT

KMLS

P

C

KComparación-aumento Comparación- disminución

Incógnita en referente

María tiene 9 galletas, 3 galletas más que Juan. ¿Cuántas galletas tiene Juan?

Juan tiene 6 galletas, 3 galletas menos que María. ¿Cuántas galletas tiene María?

Incógnita en comparado

Juan tiene 6 galletas. María tiene 3 galletas más Juan, ¿Cuántas galletas tiene María?

María tiene 9 galletas. Juan tiene 3 galletas menos que María. ¿Cuántas galletas tiene Juan?

Incógnita en diferencia

María tiene 9 galletas y Juan tiene 6. ¿Cuántas galletas tiene María más que Juan?

Juan tiene 6 galletas y María tiene 9. ¿Cuántas galletas tiene Juan menos que María

Algoritmos de la adición y la sustracción

• Un algoritmo es una serie finita de pasos a aplicar en un determinado orden para llegar con certeza a un resultado

• Diferentes formas de obtener los resultado de las operaciones aritméticas

• Forma directa y sistemática de obtener los resultado de las operaciones es mediante los algoritmos

Algoritmos

13

Aspectos de enseñanza

185 + 415 Tabla de valor posicional

C D U

1 8 5

+ 4 1

2 2 6

1

1 8 5

+ 4 1

2 2 6

Material multibase

C D UÁbaco

C D U

1 8 5

+ 4 1

1 12 6

KFLM

KMT

KMLS

P

C

K

1 8 5

+ 4 1

Algoritmo estándar

14

Estructura multiplicativa

¿Cuántos huevos hay en 3 cajas de 6 huevos?

3 veces 6

15

Estructura multiplicativaLa multiplicación como suma repetida

Recta numérica. Modelo lineal

Continuo

Modelo cardinal discreto

La suma repetida 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 se abrevia mediante el producto 6 × 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3 3 3 3 3 3

16

La multiplicación como suma repetida

Si 𝑎 y 𝑏 son dos números naturales, el producto de 𝑎 y 𝑏, escrito 𝑎 x 𝑏, se define como: 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 + 𝑏 + … + 𝑏 cuando 𝑎 ≠ 0

𝑎 sumandos𝑎 y 𝑏 factores

𝑏 𝑎 × 𝑏𝑎

El número que se repite se llama multiplicando

Producto

17

La multiplicación como producto cartesiano de conjuntos

Puede definirse como una nueva operación sin acudir a la operación de adición

Una forma es recurriendo al producto cartesiano de conjuntos.

En el caso de 3 pantalones y 4 camisetas, el ¿número de posibilidades de vestirse son?

A B

𝑎 × 𝑏 = 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝐴) × 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝐵) = 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝐴 × 𝐵)

18

La multiplicación como producto cartesiano

Modelo de área de un rectángulo

4

6

Conmutativa:

4

6

Distributiva: 4 × (6 + 3) = 4 × 6 + 4 × 3

4

6 3

4

319

La multiplicación como producto cartesiano

Asociativa:

4 × 3 × 5

4

5

3

4

5

34

3

5

4 × 3 × 5 × 1 (4 × 3 × 1) × 5

4 × 3 × 5 (4 × 3) × 5

20

El uso de los algoritmos se fundamenta en los conocimientos:

• Unidades de distintos orden y valor de posición• Desarrollo polinómico de un número

Números de una cifraRealizar el algoritmo de la multiplicación con números de una cifra

4 × 5

Algoritmos de cálculo de la multiplicación

21

Algoritmos de cálculo de la multiplicación

Multiplicador de una cifra4 × 13

4 × 13 = 4 × 10 + 3 = 4 × 10 + 4 × 3

Matriz rectangular: 4 filas de 13 puntos

10 3

13

4

22

Proceso que se sintetiza el algoritmo clásico de la multiplicación

Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad

135 × 5 (100 + 30 + 5) × 5500 + 150 + 25

135 × 525150500675

+

135 × 5675

23

Proceso que se sintetiza e el algoritmo clásico de a multiplicación

Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad

24

135 × 5675

Algoritmos de cálculo de la multiplicación

Multiplicador con dos o más cifras 16 × 13

10 6

10

3

16183060100

× 13 1648

160

× 13

++

25

División

División partitiva

• Se conoce el total de elementos y el número de grupos (cantidades de diferente naturaleza)

• No se conoce el número de elementos por grupo

8: 2

𝑅𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜

• Se conoce el total de elementos y el número de elementos por grupo (cantidades de igual naturaleza)

• No se conoce el número de grupos

División cuotitiva o medida

8: 2

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎

María plantará 8 árboles en su jardín. Quiere formar 2 filas, ¿cuántos árboles

tendrá cada fila?

María plantará 8 árboles en su jardín. Quiere tener filas de 2 árboles cada una,

¿cuántas filas tendrá?

26

Modelo funcional de la división

D 𝐷: 𝑑d

Dividendo

Divisor

Cociente

• Partitiva• Cuotitiva: se entiende como sustraer de

forma repetida el cociente del dividendo,siendo el divisor el número de veces quepodemos realizar esta sustracción

La operación aritmética de división es la operación reciproca o inversa de la multiplicación.

Para encontrar el cociente 𝑐 de dos números 𝐷 y 𝑑, basta con encontrar un número que multiplicado por el divisor de como resultado el dividendo (10: 2 = 5 → 5 × 2 = 10)

27

Algoritmo de la división

Más complejo de aprender, algunas dificultades:• Se requiere conocer la multiplicación y la sustracción• La operación se realiza de izquierda a derecha• Implica estimar y aplicar estrategias de ensayo y error

568: 4 = 14216080

28

Modelo MTSK como base para planificar

KMLSConocimiento de los

estándares de aprendizaje de las matemáticas

KMTConocimiento de la

enseñanza de las matemáticas

KSMConocimiento de la estructura de la

matemática

KoTConocimiento de los

temas

KPMConocimiento de la práctica

matemática

KFLMConocimiento de las

características del aprendizaje de las

matemáticas

Co

no

cimie

nto

did

áctico d

el co

nten

ido

Creencias

en

matemática

en la

enseñanza y

aprendizaje de

la matemática

Co

no

cimie

nto

mate

mático

29

EL MODELO MTSK PARA PLANIFICAR LA

ACTIVIDAD MATEMÁTICA

Primer Seminario-Taller Didácticas para la Educación Básica

Nielka Rojas - Guillermo Guevara

nrojas03@ucn.cl - gguevara@ucn.cl

Antofagasta, Chile

14 de enero de 2016

Conocimiento de los Temas (KoT): aspectos fenomenológicos, significados, definiciones, ejemplos…,que caractericen aspectos del tema abordado, además de referirse al contenido disciplinar que figura enmanuales y textos matemáticos.

Conocimiento de la Estructura Matemática (KSM): sistema integrado de conexiones que le permita

comprender y desarrollar conceptos avanzados desde una perspectiva elemental y conceptos elementalesmediante el tratamiento a través de una visión avanzada.

Conocimiento de la Práctica Matemática (KPM): incluye el conocimiento de las formas de conocer,

crear o producir en matemáticas (conocimiento sintáctico según Schwab, 1978), conocimiento de aspectos dela comunicación matemática, del razonamiento y la prueba. Saber, por ejemplo, qué es definir y cómo usardefiniciones.

31

Conocimiento de la Enseñanza de las Matemáticas (KMT): incluye conocer distintas estrategiasque permitan al profesor fomentar un desarrollo de las capacidades matemáticas procedimentales oconceptuales. Conocer la potencialidad de recursos, ejemplos o modos de representación (Shulman, 1986)para hacer comprensible un contenido determinado.

Conocimiento de las Características del Aprendizaje de las Matemáticas (KFLM):conocimiento de las características del proceso de comprensión de los estudiantes sobre los distintoscontenidos, del lenguaje asociado a cada concepto, así como de errores, dificultades u obstáculos posibles.

Conocimiento de los Estándares de Aprendizaje de las Matemáticas (KMLS): conocimiento

acerca de lo que el estudiante debe/puede alcanzar en un curso escolar determinado, sobre las capacidadesconceptuales, procedimentales y de razonamiento matemático que se promueve en determinados momentoseducativos. Consideramos, además de lo prescrito en el currículo institucional, lo que proviene de lasinvestigaciones y de las opiniones de profesores expertos acerca de logros de aprendizaje.

32