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El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
El metodo de Arquımedes para calcular areas yvolumenes
La historia de las Matematicas como herramienta didactica
Alicia Tocino Sanchez
Master Universitario de Formacion del Profesorado de Educacion SecundariaObligatoria y Bachillerato, Formacion Profesional y Ensenanzas de Idiomas
Especialidad de Matematicas
22 de Octubre de 2018
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
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1 Estructura y Objetivos Principales
2 Area de un Cırculo
3 Area y Volumen de una Esfera
4 Principio de Cavalieri
5 Actividades
6 Analisis y Conclusiones
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
Estructura y Objetivos Principales
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Estructura
� Introduccion
� Fundamentacion teorica
� Metodologıa
� Analisis y Conclusiones
� Bibliografıa
� Anexos
Objetivos Principales
� Introducir la historia de lasmatematicas en la ensenanza
� Proponer actividades didacticas
� Comenzar un proceso deinvestigacion-accion yformacion continua
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
Area de un Cırculo
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El area de un cırculo
es igual al area de un triangulorectangulo donde uno de los catetoses el radio del cırculo y el otro es lacircunferencia.
Metodo de exhaucion
Realizamos doble reduccion al absurdo inscribiendo ycircunscribiendo un cırculo por polıgonos regulares.
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
Area y Volumen de una Esfera
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Relacion entre una esfera y su cilindro circunscrito
Todo cilindro de base un cırculo maximo de una esfera y de alturaigual al diametro de la esfera es 3
2 de la esfera y su area lateral consus bases es 3
2 del area de la esfera.
Volumen Esfera + Volumen Cono = Volumen Cilindro
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
Area y Volumen de una Esfera
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Metodo mecanico
Consideramos a un lado de la palanca un cilindro y al otro ladouna esfera y un cono como en la figura. Realizamos cortes en lossolidos y aplicamos la ley de la palanca para calcular el volumen dela esfera a partir de las secciones en el cilindro y en el cono.
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
Principio de Cavalieri
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Enunciado en 3 dimensiones
Consideramos dos solidos en un espacio delimitado por dos planos.Si cada plano paralelo a esos planos interseca ambos solidos ensecciones con la misma area, entonces los dos solidos tienen igualvolumen.
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
Principio de Cavalieri
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Volumen de la esfera
Consideramos la semiesfera y el solido formado por un cilindromenos un cono inscrito en el con la misma base y altura que elcilindro. Aplicamos el Principio de Cavalieri comparando el area delas secciones de cada solido.
Volumen Esfera = Volumen Cilindro − Volumen Cono
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
Actividades
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Algunas actividades propuestas
� Aplicar el metodo mecanico para calcular el volumen de unparaboloide
� Aplicar el Principio de Cavalieri para calcular el volumen de unparaboloide
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
Analisis y Conclusiones
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Lıneas futuras de trabajo - Formacion continua
� Area de una elipse por el metodo de exhaucion
� Volumen de un elipsoide por el metodo mecanico
� Aproximaciones del numero π y de numeros irracionales
� Estudios de otro matematico ilustre (Euclides)
El metodo de Arquımedes para calcular areas y volumenes
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Gracias por vuestra atencion
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