el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta...
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0
( )
E E
F qE f E
( )
0 0( )
1´ ´S V
E
S V V
QE dS r dV
El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε0
•Aislantes•Conductores•Semiconductores•Superconductores
•Son aquellos materiales o sustancias en las cuales
“no” fluye la corriente eléctrica
•Los electrones no se pueden mover libremente
•La resistividad es mayor a 108 Ohm-m
•Algunos alcanzan resistividades hasta 1016 Ohm-m
•La teoría del estado sólido (la teoría de bandas)
explica su comportamiento
•Vidrio, porcelana, plásticos
•Son “perfectos” conductores de la corriente electrica
•Tiene un “infinito” de cargas libres
•En realidad tiene muchos electrones libres
•La teoría del estado sólido (la teoría de bandas) explica su comportamiento
•Las resistividades pueden ser tan bajas como 10-8 Ohm-m
•Casi todos los metales son buenos conductores
•Entre los aislantes y los conductores en lo que a
resistividad se refiere
•Son aislantes a bajas temperaturas
•Son buenos conductores a temperatura ambiente
•La teoría del estado sólido (la teoría de bandas)
explica su comportamiento
•A muy bajas temperaturas prácticamente
tiene resistividad cero
•Expulsan el campo magnético
•Es un efecto completamente cuántico
El campo eléctrico dentro de un conductor es siempre cero
0E
El campo eléctrico dentro de un conductor es siempre cero
Sino las cargas eléctricas (que en un
conductor perfecto consideramos
que hay una cantidad infinita) se
seguirán moviendo hasta que lo
hagan cero
No existe carga libre dentro de un conductor
0
No existe carga libre dentro de un conductor
Aplicando la ley de Gauss a la superficie roja (una que este justo debajo de la superficie del conductor, tenemos
( )
0
S V
E dS
Ya que el campo eléctrico dentro del conductor es estrictamente cero.
Así que, por la ley de Gauss, la carga neta encerrada dentro de la superficie roja debe ser cero.
Por tanto, la carga neta dentro del conductor es cero
En un conductor, toda la carga libre reside en la superficie
Un conductor es una equipotencial. Todo él, superficie y volumen
constante
El campo eléctrico inmediatamente afuera del conductor siempre es perpendicular a su superficie y de magnitud
0
E
0
0 0E
S
AE
Q A
E
•El campo electrostático dentro de un conductor siempre es cero
•No existen cargas libres dentro de un conductor
•En un conductor toda la carga libre reside en la superficie
•Un conductor es una equipotencial. Todo su volumen y su superficie están al mismo potencial
•El campo eléctrico inmediatamente afuera del conductor siempre es perpendicular a su superficie y de magnitud σ/ε0
•Integración directa
•Solución de la ecuación de Laplace
•Método de imágenes
•Desarrollo del potencial en armónicos esféricos
•Solución mediante la función de Green
•Solución por inversión
20
Conocida "podemos" hacer cualquiera
de estas integrales
1 ( )
4
r
r r rE r dV
r rr r
0
1 ( )
4
rr dV
r r
0
0E E
0
0
0
E E
E E
0
2
0
0
0
E E
E E
E
0
2
0
2
0
0
0
E E
E E
E
La ecuación de Poisson:
2
0
0,
2 0
r
Si estamos en una región donde
tenemos la ecuación
de Laplace:
2 2 22
2 2 2
22 2
2 2 2 2 2
22
2
0
1 1 1sin 0
sin sin
1 1
2 0
En coordenadas cartesianas:
En coordenadas esféricas:
En coordenadas cilíndricas:
x y z
rr r r r r
rr r r r
2
2 20
z
1 q
2 q
3 q
iq
Nq
1 2
3j
M
2 0
•Sobre los conductores el potencial es constante e
igual al de la superficie
•En los conductores NO SE CONOCE la distribución
de carga
•Sobre las cargas
•En todo el resto del espacio
2
0
ii
qr r r
2 0r
Es decir, lo que hay que resolver es la
ecuación de Laplace
con las condiciones a la frontera ade-
cuadas. Por ejemplo,
sobre el conductor
2 0
ii
-Linealidad: Cualquier combinación lineal de soluciones
es una solución.
-Unicidad: Si una función satisface la ecuación de Laplace
y las condiciones de frontera, entonces es única.
- Las soluciones de la ecuación de Laplace no tienen
extremos locales; es decir, no tiene ni máximos ni
mínimos más que en las fronteras.
Fijas las condiciones a la frontera, la solución
a la ecuación de Laplace
Así que si tenemos las solución a un problema
podemos adecuar otros
es única
problemas a sa
.
e
2 0
solu-
ción.
2
2 2 22
2 2 2
0
0x y z
x
La ecuación de Laplace se escribe
en coordenadas cartesianas como
Así que si por simetría el problema sólo depende
de una variable, que escogeremos como , la
ecuación de L
2
20
d x
dx
aplace queda como
22
20 se reduce a 0
d xr
dx
La solución es
donde y son constantes que se eligen
para satisfacer las condiciones de frontera
x ax b
a b
0
es la solución para un plano infinito
ˆ ˆ
por tanto 2
x ax b
dE x x i ax b ai
dx
a
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
r
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
que en el caso de problemas con simetría esférica
depende únicamente de la variable y
22
10
d rdr
r dr dr
se reduce a una
sola dimensión
22
10
d rdr
r dr dr
La ecuación de Laplace para problemas con
simetría esféricas es
Una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden.
es la solución para todos los problemas
con simetría esférica.
Nota: Es la ecuación de Laplace,
entonces fuera de las distribuciones
de carga
ax b
r
Fijadas las condiciones a la frontera, la solución
a la ecuación de Laplace
es única.
Así que si tenemos las solución a un problema
podemos adecuar otros problemas a e
2 0
sa solu-
ción.
22 2 22
2 2 2 2
Sea
, ,
donde y son constantes
Es obvio que
0
x y z ax b
a b
d ax b
x y z dx
22
2
Sea , , donde y son constantes
0
Además,
, ,
implica
constante
(planos paralelos al plano )
x y z ax b a b
d ax b
dx
x y z c
x
YZ
Sea , , donde y son constantesx y z ax b a b
Las equipotenciales son planos paralelos al plano YZ
0x x l
1 2
Dos placas conductoras infinitas a potenciales fijos separadas una distancia l
Dos placas conductoras infinitas a potenciales fijos separadas una distancia l
1 1
2 2
2 11
( , , )
0, ,
, ,
( , , )
x y z ax b
x y z b
x l y z al b
x y z xl
2 2 2
2 2 20
x y z
, ,x y z X x Y y Z z
2 2 2
2 2 20
d X x d Y y d Z zY y Z z X x Z x X x Y y
dx dy dz
2 2 2
2 2 2
1 1 10
d X x d Y y d Z z
X x dx Y y dy Z z dz
22
2
22
2
22
2
1
1
1
d X x
X x dx
d Y y
Y y dy
d Z z
Z z dz
2 2 2 0
, , i x i x i y i y z zx y z Ae Be Ce De Ee Fe
2 2 2
2 2 20
x y z
Las constantes , ,
y los coeficientes , , , , ,
se determinan dependiendo de las
condiciones a la frontera
A B C D E F
Caja rectangular
a
b
c
,V x y
0 0
Sobre todas las caras,
excepto la de arriba el
potencial es cero
, ,
0 0
0, , 0
, ,
, , 2 sin
i x i x i y i y z z
i y i y z z
i x i x i y i y z z
i y
x y z Ae Be Ce De Ee Fe
x
y z A B Ce De Ee Fe
B A
x y z A e e Ce De Ee Fe
x y z A i x Ce De
i y z zEe Fe
, , 2 sin
0 0
, , 2 sin 0
, , 4 sin sin
i y i y z z
z z
z z
x y z iA x Ce De Ee Fe
y
x y z iA x C D Ee Fe
D C
x y z AC x y Ee Fe
, , 4 sin sin
0 0
, ,0 4 sin sin 0
, , 4 sin sin
z z
z z
x y z AC x y Ee Fe
z
x y AC x y E F
F E
x y z ACE x y e e
, , 4 sin sin
0
, , 4 sin sin 0
donde es un entero
, , 4 sin sin
z z
z z
z z
x y z ACE x y e e
x a
x a y z ACE a y e e
a n n
n
an
x y z ACE x y e ea
, , 4 sin sin
0
, , 4 sin sin 0
donde es un entero
, , 4 sin sin
z z
z z
z z
nx y z ACE x y e e
a
y b
nx y b z ACE x b e e
a
b m m
m
bn m
x y z ACE x y e ea b
2 2 2
2 2 2 22 2
2 2
, , 4 sin sin z zn mx y z ACE x y e e
a b
n m n m
a b a b
, , 4 sin sin z zn mx y z ACE x y e e
a b
Caja rectangular
0 0, 0, 0x y z
2 2
sin
sin
sinh
X x
Y y
Z z
Caja rectangular0 , x a y b
2 2
2 2
n
m
mn
n
am
b
n m
a b
sin sin sinhnm n m nmx y z
Caja rectangular
, 1
, , sin sin sinhnm n m nmn m
x y z A x y z
Caja rectangular
, 1
sin sin sinh ,nm n m nmn m
A x y c V x y
,z c V x y
0 0
4, sin sin
sinh
a b
nm n mnm
A dx dyV x y x yab c
Caja rectangular
0 0
4, sin sin
sinh
a b
nm n mnm
A dx dyV x y x yab c
, 1
, , sin sin sinhnm n m nmn m
x y z A x y z
2 2
2 2 n m mn
n m n m
a b a b
, ,r R r
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
22
2 2 2 2 2sin 0
sin sin
d dR R d R dr
r dr dr r d r d
22
2 2 2 2 2sin 0
sin sin
d dR R d R dr
r dr dr r d r d
22
2 2
1 1 1 1 1sin 0
sin sin
d dR d dr
R dr dr d d
2
2
2 2
11
1 1 1 1sin 1
sin sin
d dRr l l
R dr dr
d dl l
d d
2
2 2
1 1 1 1sin 1
sin sin
d dl l
d d
2
2 2
1 1 1 1sin 1 0
sin sin
d dl l
d d
2
22
sin 1sin 1 sin 0
d dl l
d d
2
22
sin 1sin 1 sin 0
d dl l
d d
2 2
22
2
sinsin 1 sin
1
dl l m
d
dm
d
22
2
1 dm
d
ime
2Q n Q
m
implica que
debe ser un entero
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
2 2sinsin 1 sin
dl l m
d
2 2 2
2
cos
sin
sin sin 1 cos 1
sin sin sin 1
x
d d dx d
d dx d dxd d d d
xd dx dx dx
d d d d dx d dx
d d dx d d dx dx
Haciendo el cambio de variable
tenemos
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
2
2
2 22
2 2
sin sin sin 1
1 1sin 1
sin
1 1sin 1
sin sin 1
d d d d dx d dx
d d dx d d dx dx
d d d dx
d d dx dx
d d m d d mx
d d dx dx x
22
2
22
2
11 1
1
1 1 01
d d mx l l
dx dx x
d d mx l l
dx dx x
La ecuación queda ahora
ó bien
2
22
1 1 01
d dP mx l l P
dx dx x
La ecuación es la generalizada de Legendre
y sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre.
Estas son "funciones especiales" que han sido
extensamente estudiadas y que sus propiedades
pueden ser cincultadas.
* La solución se encuentra mediante series.
22
2
/ 22 2
1 1 01
11 1
2 !
m l mm lm
l l l m
d dP mx l l P
dx dx x
dP x x x
l dx
La ecuación es la generalizada de Legendre
Sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre
!
, 2 1 cos!
m m iml l
l mY l P e
l m
La solución a la parte ángular queda
211
d dRr l l
R dr dr
2 1 0d dR
r l l Rdr dr
2
22
2 1 0d R dR
r r l l Rdr dr
22
22 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
nn
n n nn n n
nn
d R dRr r l l Rdr dr
a r
n n a r na r l l a r
n n n l l a r
n n n l l
22
2
2
22
1 2
1
2 1 0
1 0
1 1 4 1 1 2 11 4 4 1
2 2 21 2 1
21
nn
ll
d R dRr r l l Rdr dr
a r
n n l l
l l ll ln
ln
n l n l
BAr
r
22 2
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
Problema 3 del capítulo 3 del libro de Murphy
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