ejercicios resueltos paso a paso de sistemas y problemas de sistemas-de los problemas del word
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7/25/2019 Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Sistemas y Problemas de Sistemas-De Los Problemas Del Word
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1
EJERC ICIOS DE S ISTEM A S DE
ECUA C IONES
Ejercicio n 1.-
a) Resuelve por sustitucin:
5x +2y =13x +3y =5
b) Resuelve por reduccin:
2x +y =64x +3y =14
Ejercicio n 2.-
a) Resuelve por igualacin:
5x 2y =2
x +2y =2
b) Resuelve por reduccin:
5x y =32x +4y =12
Ejercicio n 3.-
a) Resuelve por sustitucin:3x +5y =152x 3y =9
b) Resuelve por reduccin:4x +6y =26x +5y =1
Ejercicio n 4.-
a) Resuelve por sustitucin:
2x +3y =14 3x y =14
b) Resuelve por igualacin:
2x +3y =26x +12y =1
Ejercicio n 5.-
a) Resuelve por igualacin:5x +2y =112x 3y =12
b) Resuelve por reduccin:2x +4y =7 3x 5y =4
-
7/25/2019 Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Sistemas y Problemas de Sistemas-De Los Problemas Del Word
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Ejercicio n 6.-
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas:
a)
x +2y =13x +y =10
b) x +2y =4
2x 4y =3
Ejercicio n 7.-
Resuelve los siguientes sistemas:
a) x +4y =12x +y =5
b)
3x +y =46x 2y =1
Ejercicio n 8.-
Resuelve los siguientes sistemas:
a) 3x 2y =4 2x +y =2
b)
x 4y =53x 12y =15
Ejercicio n 9.-
Resuelve estos sistemas:
a) 2x +3y =13x +2y =4
b) 4x 3y =5
x +6y =10
Ejercicio n 10.-
Resuelve los siguientes sistemas:
a) 4x y =9
2x +2y =2
b) 5x 4y =310x +y =6
Ejercicio n 11.-
Resuelve este sistema:
-
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2 (x +4 ) y 9 = 3 2 2x +2y
1(3x 2)=
4 3 3
Ejercicio n 12.-
Resuelve el siguiente sistema:
2x 1+
y 3=
11
2 3 6
2x+
y 1=
6
5 10 5
Ejercicio n 13.-
Resuelve el siguiente sistema:
3x 2y
+4y =13
3 3
2 (2y +x ) 3x 13 = 3 2 6
Ejercicio n 14.-
Resuelve este sistema de ecuaciones:
2(x +1) 3
y =3
3(x +5 y )+3x =12
Ejercicio n 15.-
Resuelve el sistema:
7x 9y
2x + 4=15
2 2 5(x 1+y )=25
Ejercicio n 16.-
a) !usca dos pares de valores "ue sean solucin de la ecuacin 5x 4y =1#
b) Representa gr$%icamente la recta 5x 4y =1#
-
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c) &'u( relacin a* entre los puntos de la recta * las soluciones de la ecuacin+
Ejercicio n 17.-
a) ,bt(n dos puntos de la recta 3x 2y =1 * repres(ntala gr$%icamente#
b) &-lguno de los dos puntos obtenidos en el apartado anterior es solucin de la ecuacin 3x 2y =1+
c) &'u( relacin a* entre las soluciones de la ecuacin * los puntos de la recta+
Ejercicio n 18.-
a) Representa gr$%icamente la recta 5x +2y =3#
b) &.u$ntas soluciones tiene la ecuacin 5x +2y =3+ ,bt(n dos de sus soluciones#
c) &'u( relacin a* entre las soluciones de la ecuacin * los puntos de la recta+
Ejercicio n 19.-
- la vista de la siguiente gr$%ica:
a) ,bt(n tres puntos de la recta ax +by =c#
b) /alla tres soluciones de la ecuacin ax +by =c#
c)&'u( relacin a* entre los puntos de la recta * las soluciones de la ecuacin+
Ejercicio n 20.-
a) e los siguientes pares de valores:
(010) 3 19
(14)
02
1 7
2 5 2
&cu$les son soluciones de laecuacin
3x +1
y =5+2
b) Representa gr$%icamente larecta
3x +1
y =5#2
c) &'u( relacin a* entre los puntos de la recta * las soluciones de la ecuacin+
Ejercicio n 21.-
-verigua cu$ntas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones representando las dos rectas en losmismos ees:
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x +y =52x +2y =2
Ejercicio n 22.-
a) Representa en los mismos ees el siguiente par de rectas e indica el punto en el "ue se cortan:
2x +y =2 x y =1
b) &.u$ntas soluciones tiene el sistema anterior+
Ejercicio n 23.-
a) Representa en los mismos ees las rectas:
2x +y =1 2x y =2
b) &'u( diras acerca de la solucin del sistema anterior+
Ejercicio n 24.-
a) Representa en los mismos ees las rectas:
x +y =12x +2y =2
b) &n "u( punto (o puntos)se cortan+ &.u$ntas soluciones tendr$ el sistema+
Ejercicio n 25.-
a) Representa en los mismos ees las rectas: x +2y =0x +2y =4
b) &.u$ntas soluciones tiene el sistema anterior+ &.u$les son+
-
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R,!8- ;8- .mero sabiendo "ue la suma de sus dos ci%ras es 10 * "ue si invertimos el orden de dicasci%ras el n>mero obtenido es 36 unidades ma*or "ue el inicial#
Problema n 2.-
n un tri$ngulo rect$ngulo uno de sus $ngulos agudos es 12 ma*or "ue el otro# &.u$nto miden sus tres$ngulos+
Problema n 3.-
a distancia entre dos ciudades - * ! es de 255 ?m# mero de dos ci%ras sabiendo "ue la primera ci%ra es igual a la tercera parte de la segunda * "ue siinvertimos el orden de sus ci%ras obtenemos otro n>mero "ue eAcede en 54 unidades al inicial#
Problema n 5.-
a base ma*or de un trapecio mide el triple "ue su base menor# a altura del trapecio es de 4 cm * su $rea esde 24 cm
2# .alcula la longitud de sus dos bases#
Problema n 6.-
a raBn entre las edades de dos personas es de 2@3# abiendo "ue se llevan 15 aCos &cu$l es la edad de cadauna de ellas+
Problema n 7.-
mero eAcede en 12 unidades a otro * si rest$ramos 4 unidades a cada uno de ellos entonces el primerosera igual al doble del segundo# lantea un sistema * resu(lvelo para allar los dos n>meros#
Problema n 8.-
l permetro de un tri$ngulo issceles es de 19 cm# a longitud de cada uno de sus lados iguales eAcede en 2cm al doble de la longitud del lado desigual# &.u$nto miden los lados del tri$ngulo+
Problema n 9.-
ablo * -licia llevan entre los dos 160 D# i -licia le da 10 D a ablo ambos tendr$n la misma cantidad#&.u$nto dinero lleva cada uno+
Problema n 10.-
a suma de las tres ci%ras de un n>mero capic>a es igual a 12# a ci%ra de las decenas eAcede en 4 unidades aldoble de la ci%ra de las centenas# /alla dico n>mero#
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Prob lema n 11 .-
l permetro de un rect$ngulo es de 22 cm * sabemos "ue su base es 5 cm m$s larga "ue su altura# lantea unsistema de ecuaciones * resu(lvelo para allar las dimensiones del rect$ngulo#
Problema n 12.-
/emos meBclado dos tipos de l"uido el primero de 094 D@litro * el segundo de06 D@litro obteniendo 40 litros de meBcla a 09 D@litro# &.u$ntos litros emos puesto de cada clase+
Prob lema n 13 .-
l doble de un n>mero m$s la mitad de otro suman 7 * si sumamos 7 al primero de ellos obtenemos el"untuplo del otro# lantea un sistema de ecuaciones * resu(lvelo para allar dicos n>meros#
Problema n 14.-
os de los $ngulos de un tri$ngulo suman 122# l tercero de sus $ngulos eAcede en4 grados al menor de los otros dos# &.u$nto miden los $ngulos del tri$ngulo+
Prob lema n 15 .-
-
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SOLUCIONES A LOS EJER C IC IOS DES ISTEM A S DE
ECU A CIO
N E SEjercicio n 1.-
a) Resuelve por sustitucin:
5x +2y =13x +3y =5
b) Resuelve por reduccin:
2x +y =64x +3y =14
Solucin!
a) 5x +2y =1 y =1 5x
2
3x +3y =5 3x +31 5x
=5 3x +
3 15x=5 6x +3 15x =10
2 2
21x =7 x =7
=1
21 3
1+
5
y = 1 5x = 3 = 8 = 42 2 6 3
Solucin: x =1
; y =4
3 3
b) 2x +y =6 (3) 6x 3y =18
4x +3y =14
4x + 3y = 14
Sumando: 2x =4 x =2
2x +y =6 y =6 2x =6 4 =2
Solucin: x =2 ; y =2
Ejercicio n 2.-
a) Resuelve por igualacin:
5x 2y =2 x +2y =2
b) Resuelve por reduccin:
5x y =32x +4y =12
Solucin!
a) 5x 2y =2
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x +2y =2
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x =2 + 2y
+ y5 2 2
=2 2y 2 +2y =10 10y
12y =8 y =8
=2
x =2 2y
5 12 3
x =2 2 2
=2 4=
2
Solucin : x
=2
3 3
; y
=2
3 3b) 5x y =3
4
20x 4y =12
2x +4y =12 2x + 4y = 12
Sumando: 18x =0 x =0
5x y =3 5x 3 =y 3 =y
Solucin: x =0 ; y =3
Ejercicio n 3.-
a) Resuelve por sustitucin:3x +5y =152x 3y =9
b) Resuelve por reduccin:4x +6y =26x +5y =1
Solucin!
a) 3x +5y =15
2x 3y =9
x =15 5y
3
21= 5 = 5y
3y =9
= 30 = 10y
3y=9 30 10y 9y =27
3 3
19y =57 y =57
=319
x =15 5y
=15 5 3
=0=0
3 3 3Solucin: x =0 ; y =3
b) 4x +6y =26x +5y =1
5
(
6
)
20x +30y =1036x 30y = 6
Sumando: 16x=4
x =4
=1
16 4
4x +6y =2 4
1 +6y =
2
1+6y =2 6y =3 y =
3=
1
4
6 2
Solucin: x =
1
;
y =
1
4 2
3
-
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Ejercicio n 4.-
a) Resuelve por sustitucin:
2x +3y =14 3x y =14
b) Resuelve por igualacin:
2x +3y =2
6x +12y =1
Solucin!
a) 2x +3y =14 2x +3(3x+14)=14
2x +9x +42 =14
3x y =14
y =3x +14
7x =28 x =28
=47
y =3(4)+14 =12 +14 =2Solucin: x =4 ; y =2
b) 2x +3y =2 y = 2 2x 3
2 2x=
1+ 6x 8 8x =1+6x
6x +12y =1
y = 1+6x 3 12
12
14x =7 x =7
=1
14 22 2x
2 2(12) 1y = = =
3 3 3
Solucin: x =1
; y =1
2 3
Ejercicio n 5.-
a) Resuelve por igualacin:5x +2y =112x 3y =12
b) Resuelve por reduccin:2x +4y =7 3x 5y =4
Solucin!
a) 5x +2y =11 x =11 2y
5
11 2y=
12 + 3y
2x 3y =12 12 +3y
5 2
x = 2
22 4y =60 +15y
38 =19y y =
38=2
19
112y 112(2) 15x = = = =3
5 5 5Solucin: x =3 ; y =2
-
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b) 2x +4y =73 6x +12y =21
3x 5y =42
6x 1 0y = 8
Sumando: 2y =29 y =29
2
2x +4y =7 2x +429
=
7
2x +58 =7 2x =51 x =
51
2
Solucin: x =51
; y =29
2 2
Ejercicio n 6.-
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas:
a)
x +2y =13x +y =10
b)
x +2y =4
2x 4y =3
Solucin!
a) x +2y =1 x =12y3x y 10 3 12y +y =10 3 +6y +y =10 7y =7 y =1 ( )
x =12y =12(1)=1+2 =3
Solucin: x =3 ; y =1b) x +2y =4 2y 4 =x2x 4y 3
2 2y 4 4y =3 4y 8 4y =3 0 =11 No tiene solucin.
(
)
Ejercicio n 7.-
Resuelve los siguientes sistemas:
a) x +4y =12x +y =5
b)
3x +y =46x 2y =1
Solucin!
a)x +4y =1 x =14y2x y 5 2 14y +y =5 2 8y +y =5 7y =7 y =1 ( )
x =14y =141=3
Solucin: x =3 ; y =1b) 3x +y =4 y =4 3x6x 2y 1 6x 2 4
3x=1 6x 8 +6x =1 0 =9
No tiene solucin. ( )
2
-
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Ejercicio n 8.-
Resuelve los siguientes sistemas:
a) 3x 2y =4 2x +y =2
b)
x 4y =5
3x 12y =15
Solucin!
a) 3x 2y =4 3x 2(22x)=4
3x 4 +4x =4 7x =0 x =0
2x +y =2 y =2 2x
y =2 2x =2 20 =2
Solucin: x =0 ; y =2
b) x 4y =5 x =5 +4y3x 12y 15 3 5 +4y 12y =15 15 +12y 12y =15
0 =0 ( )
l sistema tiene in!initas soluciones.
Ejercicio n 9.-
Resuelve estos sistemas:
a) 2x +3y =1
3x +2y =4b)
4x 3y =5
x +6y =10
Solucin!
a) 2x +3y =1
3x +2y =4
2
(
3
)
4x +6y =2
9x 6y = 12
Sumando: 5x =
10
x
=2
2x +3y =1 4 +3y =1 3y =3 y =1
Solucin: x =2 ; y =1b) 4x 3y =5 2
8x 6y =10
8x +6y =10 8x + 6y = 10
Sumando: 0 =20
No tiene solucin.
-
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Ejercicio n 10.-
Resuelve los siguientes sistemas:
a) 4x y =9
2x +2y =2b)
5x 4y =3
10x +y =6
Solucin!
a) 4x y =9
2x +2y =24x +9 =yx +y =1
x +4x +9 =1 5x =10 x =2
y =4x +9 =4(2)+9 =8 +9 =1
Solucin: x =2 ; y =1b) 5x 4y =3 2
10x 8y =6
10x +8y =6 10x + 8y = 6
Sumando: 0 =0
l sistema tiene in!initas soluciones.
Ejercicio n 11.-
Resuelve este sistema:
2 (x +4 ) y 9 = 3 2 2x +2y
1(3x 2)=
4 3 3
Solucin!
2 (x + 4) y 9 =3 2 2
2x + 8
y=
9
3 2 2
4x +16 3y =27
x +2y 1
(3x2)=4
3 3
x +2y 3x 2
=4
3 3
3x +6y 3x +2 =4
4x 3y =11
6y =6
4x +3 =11
y=
1
4x =8 x =2
Solucin: x =2 ; y =1
Ejercicio n 12.-
Resuelve el siguiente sistema:
2x 1+
y 3=
11
2 3 6
2x+
y 1=
6
5 10 5
-
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Solucin!
2x 1+
y 3=
11 2 3 6
6x 3 +2y 6 =11
6x +2y =20
3x +y =10
2x y 1 6
4x +y 1=12 4x +y =11 4x +y =11
+ = 5 10 5
y =10 3x10 3x =4x 11 y =4x 11
21=
7x
x=
3
y =10 3x =10 33 =10 9 =1
Solucin: x =3 ; y =1
Ejercicio n 13.-
Resuelve el siguiente sistema:
3x 2y+4y =
13
3 3
2 (2y +x ) 3x 13 = 3 2 6
Solucin!
3x 2y+4y =
13
3 3
3x 2y +12y =13 3x +10y =13 3x +10y =13
4y + 2x
3x
13
8y 4x 9x 13
5x 8y 13
2 ( 2y x )
3x 13 =3 2 6
3 2 6
5
3
15x +50y =65
15x 24y = 39Sumando: 26y =26
y =1
3x +10y =13
3x +10 =13
3x =3 x =1
Solucin: x =1 ; y =1
Ejercicio n 14.-
Resuelve este sistema de ecuaciones:
2(x +1) 3
y =3
3(x +5 y )+3x =12
Solucin!
2 (x+ 1)
3
y =3 2x +23
y =3 2x +2 3y =9
3(x +5 y)+3x =12
3x +15 3y +3x =12
6x 3y =3
-
7/25/2019 Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Sistemas y Problemas de Sistemas-De Los Problemas Del Word
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2x 3y =11 2x y =1
(
1
)
2x +3y =11
2x y = 1
Sumando: 2y =10 y =5
2x y =1 2x
5=
1
2x
=4
x
=2
-
7/25/2019 Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Sistemas y Problemas de Sistemas-De Los Problemas Del Word
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c) "os #untos de la $ecta son las soluciones de la ecuacin.
15
Solucin: x =2 ; y =5
Ejercicio n 15.-
Resuelve el sistema:
7x 9y
2x + 4=15
2 2
5(x 1+y )=25
Solucin!
7x 9y
2x + 4=15
7x 9y 2x 4 =30
2 2
5(x 1+y)=25
5x 5 +5y =25
5x 9y =26
5x 9y =26
5x +5y =30 %1)
Sumando:
5x 5y = 30
14y =56 y = 56 =4
14
5x +5y =30 x +y =6 x +4 =6 x =2
Solucin: x =2 ; y =4
Ejercicio n 16.-
a) !usca dos pares de valores "ue sean solucin de la ecuacin 5x 4y =1#
b) Representa gr$%icamente la recta 5x 4y =1#
c) &'u( relacin a* entre los puntos de la recta * las soluciones de la ecuacin+
Solucin!
a) 5x 4y =1 5x 1=4y
y =5x 1
4
"e damos &alo$es a x ' obtenemos( #o$ eem#lo( los #untos:
x =1 y =1 *unto (1( 1)
x =3 y =4 *unto (3( 4)
b) +tili,amos los dos #untos obtenidos en el a#a$tado ante$io$:
-
7/25/2019 Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Sistemas y Problemas de Sistemas-De Los Problemas Del Word
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c) "os #untos de la $ecta son las soluciones de la ecuacin.
16
-
7/25/2019 Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Sistemas y Problemas de Sistemas-De Los Problemas Del Word
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16
Ejercicio n 17.-
a) ,bt(n dos puntos de la recta 3x 2y =1 * repres(ntala gr$%icamente#
b) &-lguno de los dos puntos obtenidos en el apartado anterior es solucin de la ecuacin 3x 2y =1+
c) &'u( relacin a* entre las soluciones de la ecuacin * los puntos de la recta+
Solucin!
a) 3x 2y =1 3x 1=2y
y =3x 1
2
-amos &alo$es a x ' obtenemos los #untos:
x =1 y =1 *unto (1( 1)
x =1 y =2 *unto (1( 2)
b) "os dos #untos obtenidos son solucin de la ecuacin.
c) "os #untos de la $ecta son las soluciones de la ecuacin.
Ejercicio n 18.-
a) Representa gr$%icamente la recta 5x +2y =3#
b) &.u$ntas soluciones tiene la ecuacin 5x +2y =3+ ,bt(n dos de sus soluciones#
c) &'u( relacin a* entre las soluciones de la ecuacin * los puntos de la recta+
Solucin!
a) 5x +2y =3 y =3 5x
2
"e damos &alo$es a x ' obtenemos( #o$ eem#lo( los #untos:
x =1 y =1 *unto (1( 1)
x =1 y =4 *unto (1( 4)
b) iene in!initas soluciones. -os de ellas son( #o$ eem#lo( (1( 1) ' (1( 4).
-
7/25/2019 Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Sistemas y Problemas de Sistemas-De Los Problemas Del Word
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c) "os #untos de la $ecta son las soluciones de la ecuacin.
Ejercicio n 19.-
- la vista de la siguiente gr$%ica:
a) ,bt(n tres puntos de la recta ax +by =c#
b) /alla tres soluciones de la ecuacin ax +by =c#
c)&'u( relacin a* entre los puntos de la recta * las soluciones de la ecuacin+
Solucin!
a) *o$ eem#lo: (0( 0); (2( 1); (4( 2).
b) *o$ eem#lo: (0( 0); (2( 1); (4( 2).
c) "os #untos de la $ecta son las soluciones de la ecuacin.
Ejercicio n 20.-
a) e los siguientes pares de valores:
(010) 3 19
(14)
02
1 7
2 5 2
&cu$les son soluciones de laecuacin
3x +1
y =5+2
b) Representa gr$%icamente larecta
3x +1
y =5#2
c) &'u( relacin a* entre los puntos de la recta * las soluciones de la ecuacin+
Solucin!
a) Sustituimos cada uno de ellos en la ecuacin:
(0( 10) 3 0 +110 =
52
(0( 10)es solucin.
3( 19 3
3+
119 =
5
3( 19
es solucin.
2
2 2
2
(1( 4)
3 (1)+1(4)=1
2
(1( 4)no es solucin.
0(
2 3 0 +
12=1
0(
2 no es solucin.
5
2 5 5
5
-
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1( 7 3
1 +
17 =
5
1( 7
es solucin.
2
2
2
2
b) omamos dos #untos de la $ecta( #o$ e)em#lo (0(10) '
1( 7
( ' la $e#$esentamos:
2
c) "os #untos de la $ecta son las soluciones de la ecuacin.
Ejercicio n 21.-
-verigua cu$ntas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones representando las dos rectas en losmismos ees:
x +y =52x +2y =2
Solucin!
/e#$esentamos las dos $ectas obteniendo dos #untos de cada una de ellas:
x +y =5 y =x +5 2x +2y =2 x +y =1 y =x +1x y x y
0 5 0 1
1 4 1 2
-
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Son #a$alelas. l sistema no tiene solucin.
-
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Ejercicio n 22.-
a) Representa en los mismos ees el siguiente par de rectas e indica el punto en el "ue se cortan:
2x +y =2 x y =1
b) &.u$ntas soluciones tiene el sistema anterior+
Solucin!
a) /e#$esentamos las dos $ectas obteniendo dos #untos de cada una de ellas:2x +y =2 y =2 2x x y =1 y =x 1x y x y
0 2 0 11 0 1 0
b) a' una solucin: (1( 0);es deci$( x =1 ( y =0.
Ejercicio n 23.-
a) Representa en los mismos ees las rectas:
2x +y =1 2x y =2
b) &'u( diras acerca de la solucin del sistema anterior+
Solucin!
a) btenemos dos #untos de cada una de las $ectas #a$a $e#$esenta$las:2x +y =1 y =2x +1 2x y =2 2x 2 =yx y x y
0 1 0 21 3 1 0
-
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Son #a$alelas.
b) l sistema no tiene solucin( es incom#atible( 'a ue las $ectas no se co$tan.
Ejercicio n 24.-
a) Representa en los mismos ees las rectas:
x +y =12x +2y =2
b) &n "u( punto (o puntos)se cortan+ &.u$ntas soluciones tendr$ el sistema+
Solucin!
a) /e#$esentamos las $ectas obteniendo dos #untos de cada una de ellas:
x +y =1 y =x +1 2x +2y =2 x +y =1 y =x +1
x y
0 1 s la misma $ecta.
1 2
b) Se co$tan en todos sus #untos( #uesto ue se t$ata de la misma $ecta. l sistema tend$ in!initas soluciones: todoslos #untos de la $ecta.
-
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Ejercicio n 25.-
a) Representa en los mismos ees las rectas: x +2y =0x +2y =4
b) &.u$ntas soluciones tiene el sistema anterior+ &.u$les son+
Solucin!
a) /e#$esentamos las $ectas obteniendo dos #untos de cada una de ellas:
x +2y =0 2y =x y =x x +2y =4 2y =4 +x
y =4 +x
2 2
x y x y
0 0 0 2
2 1 2 3
b) iene una solucin: (2( 1);es deci$( x =2( y =1.
-
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, < .,= - , R,! 8- ; 8- .< - .,=
Problema n 1.-
.alcula un n>mero sabiendo "ue la suma de sus dos ci%ras es 10 * "ue si invertimos el orden de dicas
ci%ras el n>mero obtenido es 36 unidades ma*or "ue el inicial#
Solucin!
"lamamos x a la #$ime$a ci!$a del nme$o (la de las decenas)e y a la seunda (la de las unidades). s( el nme$ose$ 10x +y. enemos ue:
x +y =10 x +y =10
x +y =10
10y +x =10x +y +36 9x 9y =36 x y =4
y =10 x
y
=x
+4
10 x =x +4 6 =2x x =3
y =10 x =10 3 =7
l nme$o buscado es el 37.
Problema n 2.-
n un tri$ngulo rect$ngulo uno de sus $ngulos agudos es 12 ma*or "ue el otro# &.u$nto miden sus tres$ngulos+
Solucin!
"lamamos x e y a los nulos audos del t$inulo:
enemos ue:
x =y +12 x =y +12
y +12 =90 y
2y =78 y =78
=39
x +y =90 x =90 y
2
x =y +12 =39 +12 =51
"os nulos miden 39( 51 ' 90.
Problema n 3.-
a distancia entre dos ciudades - * ! es de 255 ?m#
-
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Solucin!
"lamamos x a la distancia ue $eco$$e el coce ue sale de A asta encont$a$se.
Sabemos ue e =v t( donde e $e#$esenta el es#acio $eco$$ido( v la &elocidad ' t el tiem#o. *o$ tanto:x =90t
255 x =80t 255 90t =
80t 255 =170t t =
255=1(5 o$as
170
x =90t =90 1(5 =135 m 255 x =255 135 =120 m
a$dan 1(5 o$as (una o$a ' media)en encont$a$se. l coce ue sali de lle&aba $eco$$idos 135 m; ' el ue salide ( lle&aba 120 m.
Problema n 4.-
/alla un n>mero de dos ci%ras sabiendo "ue la primera ci%ra es igual a la tercera parte de la segunda * "ue siinvertimos el orden de sus ci%ras obtenemos otro n>mero "ue eAcede en 54 unidades al inicial#
Solucin!
"lamamos x a la #$ime$a ci!$a del nme$o (la de las decenas)e y a la seunda ci!$a (la de las unidades). s( elnme$o se$ 10x +y. enemos ue:
x =y
3
3x =y
10y +x =10x +y +54 30x +x =10x +3x +54 18x =54 x =54
=318
y =3x =3 3 =9
l nme$o buscado es el 39.
Problema n 5.-
a base ma*or de un trapecio mide el triple "ue su base menor# a altura del trapecio es de 4 cm * su $rea esde 24 cm
2# .alcula la longitud de sus dos bases#
Solucin!
"lamamos x a la base meno$ e y a la base ma'o$.
enemos ue:
y
=3x
y
=3x
y
=3x
=242x +2y =24
x +y =12
x +3x =12 4x =12 x =3
y =3x =3 3 =9
2
-
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"a base meno$ mide 3 cm ' la base ma'o$( 9 cm.
Problema n 6.-
a raBn entre las edades de dos personas es de 2@3# abiendo "ue se llevan 15 aCos &cu$l es la edad de cada
una de ellas+
Solucin!
"lamamos x e y a las edades de cada uno. enemos ue:
x=
2 3x =2y 3x =2(x +15)
3x =2x +30 x =30
y 3 y =x +15
y =x +15 =30 +15 =45
ienen 30 ' 45 ameros#
Solucin!
aamos una tabla #a$a entende$ meo$ la situacin:
S= /S>S 4
*/=>/ N?>/ x x 4
S@+N- N?>/ y y 4
enemos ue:
x =y +12 x =y +12
x 4 =2(y 4)
y +12 4 =2y 8
y =16
x =y +12 =16 +12 =28
"os nme$os son el 28 ' el 16.
Problema n 8.-
l permetro de un tri$ngulo issceles es de 19 cm# a longitud de cada uno de sus lados iguales eAcede en 2cm al doble de la longitud del lado desigual# &.u$nto miden los lados del tri$ngulo+
Solucin!
"lamamos x a la lonitud de cada uno de los dos lados iuales e y a la del lado desiual.
-
7/25/2019 Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Sistemas y Problemas de Sistemas-De Los Problemas Del Word
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enemos ue:
2x +y =19
2(2y+2)+y =19 4y +4 +y =19 5y =15 y =3
x =2y +2
x =2y +2 =2 3 +2 =6 +2 =8
"os lados iuales miden 8 cm cada uno; ' el lado desiual mide 3 cm.
Problema n 9.-
ablo * -licia llevan entre los dos 160 D# i -licia le da 10 D a ablo ambos tendr$n la misma cantidad#
&.u$nto dinero lleva cada uno+
Solucin!
"lamamos x a la cantidad de dine$o ue lle&a *ablo e y a la ue lle&a licia. enemos ue:
x +y =160 y 20 +y =160 2y =180 y =90
x +10 =y 10
x =y 20
x =y 20 =90 20 =70
*ablo lle&a 70 A ' licia( 90 A.
Problema n 10.-
a suma de las tres ci%ras de un n>mero capic>a es igual a 12# a ci%ra de las decenas eAcede en 4 unidades aldoble de la ci%ra de las centenas# /alla dico n>mero#
Solucin!
"lamamos x a la ci!$a de las centenas (ue coincide con la de las unidades( #o$ se$ el nme$o ca#ica)e y a la delas decenas. s( tenemos ue:
2x +y =12 y =12 2xy =2x +4 y =2x +4 12 2x =2x +4 8 =4x x =2 y =8
l nme$o ue buscamos es el 282.
Problema n 11.-
l permetro de un rect$ngulo es de 22 cm * sabemos "ue su base es 5 cm m$s larga "ue su altura# lantea unsistema de ecuaciones * resu(lvelo para allar las dimensiones del rect$ngulo#
Solucin!
"lamamos x a la base e y a la altu$a.
-
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enemos ue:
2x +2y =22
x +y =11 y +5 +y =11 2y =6
y =3
x =y +5
x =y +5 =3 +5 =8
x =y +5
"a base mide 8 cm ' la altu$a( 3 cm.
Problema n 12.-
/emos meBclado dos tipos de l"uido el primero de 094 D@litro * el segundo de06 D@litro obteniendo 40 litros de meBcla a 09 D@litro# &.u$ntos litros emos puesto de cada clase+
Solucin!
acemos una tabla #a$a o$ani,a$ la in!o$macin:
1e$
=* 2B =* >CD"
N."=/S x y 40
*/D=E"=/%eu$os) 0(94 0(86 0(89
*/D= "%eu$os)
0(94x 0(86y 35(6
enemos ue:
x +y =40 y =40 x0(94x +0(86y =35(6 0(94x +0(86(40x)
=35(6
0(94x +34(4 0(86x =35(6
0(08x =1(2 x =
1( 2=
150(08
y =40 x =40 15 =25
emos #uesto 15 lit$os del #$ime$ ti#o ' 25 lit$os del seundo.
Problema n 13.-
l doble de un n>mero m$s la mitad de otro suman 7 * si sumamos 7 al primero de ellos obtenemos el"untuplo del otro# lantea un sistema de ecuaciones * resu(lvelo para allar dicos n>meros#
Solucin!
"lamamos x al #$ime$ nme$o e y al seundo. s( tenemos ue:
2x +y
=7 4x +y =14
y =14 4x
2 x +7 =5y
x +7 =5y x +7 =5(144x)
x +7 =70 20x
21x =63 x =
63=3
21
y =14 4x =14 4 3 =14 12 =2
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"os nme$os son el 3 ' el 2.
Prob lema n 14 .-
os de los $ngulos de un tri$ngulo suman 122# l tercero de sus $ngulos eAcede en4 grados al menor de los otros dos# &.u$nto miden los $ngulos del tri$ngulo+
Solucin!
+no de los nulos mide x; el ot$o( 122 x( ' el te$ce$o( y.
enemos ue:
y =x +4
y =x +4 x +4 =58 x =54
x +y +122 x =180 y =58
y =x +4 =54 +4 =58
"os nulos miden 54( 58 ' 122F 54F =68.
Prob lema n 15 .-
/*/-+D x 0(05x
S@+N-*/-+D y 0(035y
enemos ue:
x +y =10000
y =10000 x
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0(05x =0(035y +330
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0(05x =0(035(10000 x)+330
0(05x =350 0(035x +330
0(085x =680x =
680=8000
0(085
-
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y =10 000 x =10 000 8 000 =2 000
=n&i$ti 8 000 A en el #$ime$ #$oducto ' 2 000 A en el seundo.
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