ejercicios de potencia trifasica ing. julio alvarez
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POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Ejercicio 601: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.
Siendo las tres impedancias de carga iguales, no hay tensión de neutro, con lo cual las tensiones de fase sobre la carga, coinciden con las tensiones de fase de la alimentación.
IR=U RO´
ZR=URO
ZR=220∠90º
22∠0º=10∠90º [A ]
IS=USO´
Z S=USO
ZS=220∠330º
22∠0º=10∠330º [ A ]
IT=U TO´
ZT=UTO
ZT=220∠210º
22∠0º=10∠210º [A ]
Ing. Julio Álvarez 04/10
WST
WRT
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
O´
IT
IS
IR
T
S
R
22 Ð 0° W
22 Ð 0° W
22 Ð 0° W
ω
O = O´
DIAGRAMA FASORIAL
IT IS
IR
UST
UTR
URS
UTO = UTO´ USO = USO´
URO = URO´
150
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WRT = URT IR cos 30º = 380. 10. cos 30º = 3.290,90
WST = UST IS cos 30º = 380. 10. cos 30º = 3.290,90
PTRIF. = 3.290,90 + 3.290,90 = 6.581,80 W
PR = URO´ IR
cos φR = 220. 10. cos 0º = 2.200 W
QR = URO´ IR
sen φR = 220. 10. sen 0º = 0 VAr
SR = URO´ IR
= 220. 10. = 2.200 VA
PS = USO´ IS
cos φS = 220. 10. cos 0º = 2.200 W
QS = USO´ IS
sen φS = 220. 10. sen 0º = 0 VAr
SS = UTO´ IS
= 220. 10. = 2.200 VA
PT = UTO´ IT
cos φT = 220. 10. cos 0º = 2.200 W
QT = UTO´ IT
sen φT = 220. 10. sen 0º = 0 VAr
ST = UTO´ IT
= 220. 10. = 2.200 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 6.600 W
QTRIF: = QR + QS + QT = 0 Var
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√6 .6602+02=6. 600VA
La pequeña diferencia en la potencia activa trifásica, en relación con la suma de las indicaciones de los vatímetros, se debe al redondeo de la tensión de línea en 380 V (En lugar de tomar 381 V)
Ejercicio 602: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.
Ing. Julio Álvarez 04/10
30º
IS
UST
30º
IR URT
WST
WRT
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
O´
IS
IR
S
R
22 Ð 90° W
22 Ð 90° W 151
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Siendo las tres impedancias de carga iguales, no hay tensión de neutro, con lo cual las tensiones de fase sobre la carga, coinciden con las tensiones de fase de la alimentación
IR=U RO´
ZR=URO
ZR=220∠90º
22∠90º=10∠0º [A ]
IS=USO´
Z S=USO
ZS=220∠330º
22∠90º=10∠240º [ A ]
IT=U TO´
ZT=UTO
ZT=220∠210º
22∠90º=10∠120º [A ]
WRT = URT IR cos 60º = 380. 10. cos 60º = 1.900
Ing. Julio Álvarez 04/10
120ºIS
UST
60º
IR
URT
ω
O = O´
DIAGRAMA FASORIALIT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO = UTO´ USO = USO´
URO = URO´
152
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WST = UST IS cos 120º = 380. 10. cos 120º = - 1.900
PTRIF. = 1.900 – 1.900 = 0 W
PR = URO´ IR
cos φR = 220. 10. cos 90º = 0 W
QR = URO´ IR
sen φR = 220. 10. sen 90º = 2.200 VAr
SR = URO´ IR
= 220. 10. = 2.200 VA
PS = USO´ IS
cos φS = 220. 10. cos 90º = 0 W
QS = USO´ IS
sen φS = 220. 10. sen 90º = 2.200 VAr
SS = UTO´ IS
= 220. 10. = 2.200 V
PT = UTO´ IT
cos φT = 220. 10. cos 90º = 0 W
QT = UTO´ IT
sen φT = 220. 10. sen 90º = 2.200 VAr
ST = UTO´ IT
= 220. 10. = 2.200 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 0 W
QTRIF: = QR + QS + QT = 6.600 Var
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√02+6 . 6002=6. 600VA
Ejercicio 603: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.
Siendo las tres impedancias de carga iguales, no hay tensión de neutro, con lo cual las tensiones de fase sobre la carga, coinciden con las tensiones de fase de la alimentación.
Ing. Julio Álvarez 04/10
WST
WRT
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
O´
IT
IS
IR
T
S
R
22 Ð - 90° W
22 Ð - 90° W
22 Ð - 90° W
153
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IR=U RO´
ZR=URO
ZR=220∠90º
22∠−90º=10∠180º [A ]
IS=USO´
Z S=USO
ZS=220∠330º
22∠−90º=10∠60º [A ]
IT=U TO´
ZT=UTO
ZT=220∠210º
22∠−90º=10∠300º [A ]
WRT = URT IR cos 120º = 380. 10. cos 120º = - 1.900
WST = UST IS cos 60º = 380. 10. cos 60º = 1.900
Ing. Julio Álvarez 04/10
60º
IS
UST
120º
IR
URT
ω
O = O´
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO = UTO´ USO = USO´
URO = URO´
154
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
PTRIF. = - 1.900 + 1.900 = 0 W
PR = URO´ IR
cos φR = 220. 10. cos (- 90º) = 0 W
QR = URO´ IR
sen φR = 220. 10. sen (- 90º) = - 2.200 VAr
SR = URO´ IR
= 220. 10. = 2.200 VA
PS = USO´ IS
cos φS = 220. 10. cos (- 90º) = 0 W
QS = USO´ IR
sen φS = 220. 10. sen (- 90º) = - 2.200 VAr
SS = UTO´ IS
= 220. 10. = 2.200 VA
PT = UTO´ IT
cos φT = 220. 10. cos (- 90º) = 0 W
QT = UTO´ IT
sen φT = 220. 10. sen (- 90º) = - 2.200 VAr
ST = UTO´ IT
= 220. 10. = 2.200 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 0 W
QTRIF: = QR + QS + QT = - 6.600 Var
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√02+6 . 6002=6. 600VA
Ejercicio 604: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.
Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro
UO´O
=URO⋅Y R+USO⋅Y S+U TO⋅Y T
Y R+Y S+Y T
Ing. Julio Álvarez 04/10
WST
WRT
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
O´
IT
IS
IR
T
S
R
10 Ð 0° W
10 Ð 30° W
10 Ð 0° W
155
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
UO´O
= 220∠90⋅0,1∠0º+220∠ 330⋅0,1∠−30º+220∠210⋅0,1∠0º0,1∠0º+0,1∠-30º+0,1∠ 0º
=39,1∠234,5º [V ]
Cálculo de las tensiones de fase sobre las impedancias de carga.
URO´
=¿URO−¿UO´O =¿220∠90º−39,1∠234,5º=252,3∠ 84,9º [V ] ¿¿¿
USO´
=¿USO−¿UO´O=¿220∠330º−39,1∠234,5º=226,2∠−20,1º [V ] ¿¿¿
UTO´
=¿UTO−¿U O´O=¿220∠ 210º−39,1∠234,5º=184,7∠204,9º [V ] ¿¿¿
Cálculo de las corrientes de línea
IR=U RO´
ZR=252,3∠84,9º
10∠0º=25,2∠84,9º [A ]
IS=USO´
Z S=226,2∠ -20,1º
10∠30º=22,6∠ - 50,1º [A ]
IT=U TO´
ZT=184,7∠204,9º
10∠0º=18,5∠204,9º [ A ]
WRT = URT IR cos 24,9º = 380. 25,2. cos 24,9º = 8.685,85
Ing. Julio Álvarez 04/10
24,9º
IR
URT
ω
OO´
O
UTO´
USO´
URO´
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO USO
URO
156
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WST = UST IS cos 50,1º = 380. 22,6. cos 50,1º = 5.508,77
PTRIF. = 8.685,85 + 5.508,77 = 14.194,62 W
PR = URO´ IR
cos φR = 252,3. 25,2. cos 0º = 6.35,96 W
QR = URO´ IR
sen φR = 252,3. 25,2. sen 0º = 0 VAr
SR = URO´ IR
= 252,3. 25,2. = 6.357,96 VA
PS = USO´ IS
cos φS = 226,2. 22,6. cos 30º = 4.427,23 W
QS = USO´ Is
sen φS = 226,2. 22,6. sen 30º = 2.556,06 VAr
SS = UTO´ IS
= 226,2. 22,6. = 5.112,12 VA
PT = UTO´ IT
cos φT = 184,7. 18,5. cos 0º = 3.416,95 W
QT = UTO´ IT
sen φT = 184,7. 18,5. sen 0º = 0 VAr
ST = UTO´ IT
= 184,7. 18,5. = 3.416,95 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 6.357,96 + 4.427,23 + 3.416,95 = 14.202,14 W
QTRIF: = QR + QS + QT = 0 + 2.556,06 + 0 = 2.556,06 Var
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√14 . 202,142+2 .556,062=14 .430,32 VA
Ejercicio 605: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.
Cálculo de las corrientes de línea
Ing. Julio Álvarez 04/10
50,1º
IS
UST
WTO
IN
O
WSO
WRO
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
O´
IT
IS
IR
T
S
R
10 Ð 0° W
10 Ð 30° W
10 Ð 0° W
157
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IR=U RO
Z R=220∠90º
10∠0º=22∠90º [A ]
IS=USO
ZS=220∠330º
10∠30º=22∠300º [A ]
IT=U TO
ZT=220∠210º
10∠0º=22∠210º [A ]
La indicación de los vatímetros es la potencia por fase o sea:
WRO = PR = URO IR cos 0º = 220. 22. cos 0º = 4.840 W
WSO = PS = USO IS cos 30º = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W
WTO = PT = UTO IT cos 0º = 220. 22. cos 0º = 4.840 W
QR = URO I
R sen φR = 220. 22. sen 0º = 0 VAr
QS = USO I
S sen φS = 220. 22. sen 30º = 2.420 Var
QT = UTO I
T sen φT = 220. 22. sen 0º = 0 Var
PTRIF. = PR + PS + PT = 4.840 + 4.191,56 + 4.840 = 13.871,56 W
Ing. Julio Álvarez 04/10
ω
IN
O´
O
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO USO
URO
158
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
QTRIF: = QR + QS + QT = 0 + 2.420 + 0 = 2.420 Var
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√13 . 871,562+2. 4202=14 .081, 07 VA
Ejercicio 606: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.
Cálculo de las corrientes de línea
IR=U RO
Z R=220∠90º
38∠30º=5,79∠60º [A ]
IS=USO
ZS=220∠330º
22∠45º=10∠285º [A ]
IT=U TO
ZT=220∠210º
33∠0º=6,67∠210º [A ]
IN=−( I R+¿ I S+¿ IT )=−(5,79∠ 60º+10∠285º + 6,67∠210º=7,99∠87,9º [V ] ¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
WOT
IN
O
WST
WRT
O´
IT
IS
IR
T
S
R
33 Ð 0° W
22 Ð 45° W
38 Ð 30° W
ω
IN
O´
O
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UTR
URS
URO
159
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
La indicación de los vatímetros es:
WRT = URT IR cos 0º = 380. 5,79. cos 0º = 2.200,20
WST = UST IS cos 75º = 380. 10. cos 75º = 983,51
WOT = UOT IN cos 57º = 220. 7,99. cos 57º = 957,37
PTRIF = WRT + WST + WOT = 2.200,20 + 983,51 + 957,37 = 4.141,08 W
Calculo de las potencias por fase:
PR = URO I
R cos φR = 220. 5,79. cos 30º = 1.103,14 W
QR = URO I
R sen φR = 220. 5,79. sen 30º = 636,90 VAr
SR = URO I
R = 220. 5,79. = 1.273,80 VA
PS = USO I
S cos φS = 220.10. cos 45º = 1.555,63 W
QS = USO I
R sen φS = 220.10. sen 45º = 1.555,63 VAr
Ss = UsO IT
= 220.10 = 2.200 VA
PT = UTO I
T cos φT = 220. 6,67. cos 0º = 1.467,40 W
QT = UTO I
T sen φT = 220. 6,67. sen 0º = 0 VAr
ST = UTO I
T = 220. 6,67. = 1.467,40 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 1.103,14 + 1.555,63 + 1.467,40 = 4.126,17 W
Ing. Julio Álvarez 04/10
0º
IR
URT
75º
IS
UST
57ºIN
UOT
IS
160
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
QTRIF: = QR + QS + QT = 636,90 + 1.555,63 + 0 = 2.192,53 Var
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√4 .126,172+2 .192,532=4. 672,52 VA
Ejercicio 607: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.
Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro
UO´O
=URO⋅Y R+USO⋅Y S+U TO⋅Y T
Y R+Y S+Y T
UO´O
= 220∠90⋅0,0455∠0º+220∠330⋅0,0263∠−90º+220∠210⋅0,0263∠90º0,0455∠ 0º+0,0263∠-90º+0,0263∠90º
=0 [V ]
Aunque las cargas son desequilibradas, no se produce corrimiento de neutro, con lo cual:
URO´
=¿URO =¿220∠90º [V ] ¿¿
USO´
=¿USO =¿220∠330º [V ] ¿¿
UTO´
=¿UTO=¿220∠210º [V ] ¿¿
Cálculo de las corrientes de línea
Ing. Julio Álvarez 04/10
WTS
WRS
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
O´
IT
IS
IR
T
S
R
38 Ð - 90° W
38 Ð 90° W
22 Ð 0° W
161
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IR=U RO´
ZR=220∠90º
22∠0º=10∠90º [ A ]
IS=USO´
Z S=220∠330º
38∠90º=5,79∠240º [ A ]
IT=U TO´
ZT=220∠210º
38∠ - 90º=5,79∠300º [A ]
WRS = URS IR cos 30º = 380. 10. cos 30º = 3.290,90
WTS = UTS IT cos 120º = 380. 5,79. cos 120º = - 1.100,10
PTRIF. = 3.290,90 - 1.100,10 = 2.190,8 W
PR = URO´ IR
cos φR = 220. 10. cos 0º = 2.200,00 W
QR = URO´ IR
sen φR = 220. 10. sen 0º = 0 VAr
SR = URO´ IR
= 220. 10 = 2.200,00 VA
Ing. Julio Álvarez 04/10
30ºIR
URS
120º
IT
UTS
ω
O = O´O´
O
UTO´
USO´
URO´
DIAGRAMA FASORIAL
ITIS
IR
UST
UTR
URS
UTO USO
URO
162
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
PS = USO´ IS
cos φS = 220. 5,79. cos 90º = 0 W
QS = USO´ IS
sen φS = 220. 5,79. sen 90º = 1.273,80 VAr
SS = UTO´ IS
= 220. 5,79 = 1.273,80 VA
PT = UTO´ IT
cos φT = 220. 5,79. cos -90º = 0 W
QT = UTO´ IT
sen φT = 220. 5,79. sen -90º = - 1.273,80 VAr
ST = UTO´ IT
= 220. 5,79 = 1273,80 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 2.200,00 + 0 + 0 = 2.200,00W
QTRIF: = QR + QS + QT = 0 + 1.273,80 – 1.273,80 = 0 Var
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√2 .2002+02=2.200,00 VA
Ejercicio 608: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total. La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz
ZR = 10 – j 10 = 14,14 Ð - 45º [Ω] YR= 1ZR
= 114,14∠−45º
= 0,0707∠45º [ S ]
ZS = 20 – j 20 = 28,28 Ð - 45º [Ω] YS= 1Z S
= 128,28∠−45º
= 0,03536∠45º [S ]
ZT = 30 – j 30 = 42,42 Ð - 45º [Ω] YT= 1ZT
= 142,42∠−45º
= 0,0236∠45º [ S ]
Ing. Julio Álvarez 04/10
30 - j 30 [W]
20 - j 20 [W]
10 - j 10 [W]
O´
T
IT
S
IS
WST
R
IR
WRT
163
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro
UO´O
=URO⋅Y R+USO⋅Y S+U TO⋅Y T
Y R+Y S+Y T
UO´O
= 220∠90⋅0,0707∠ 45º+220∠330⋅0,03536∠45º+220∠210⋅0,0236∠ 45º0,0707∠ 45º+0,03536∠ 45º+0,0236∠45º
=72,1∠76,2º [V ]
Cálculo de las tensiones de fase sobre las impedancias de carga.
URO´
=¿URO−¿UO´O=¿220∠90º−72,1∠76,2º=150,3∠ 96,6º [V ] ¿¿¿
USO´
=¿USO−¿UO´O=¿220∠330º−72,1∠76,2º=249,3∠−46,1º [V ] ¿¿¿
UTO´
=¿UTO−¿U O´O=¿220∠ 210º−72,1∠76,2º=274,3∠ - 139,1º [V ] ¿¿¿
Cálculo de las corrientes de línea
IR=U RO´
ZR=150,3∠96,6º
14,14∠ -45º=10,7∠ 141,6º [A ]
IS=USO´
Z S=249,3∠ -46,1º
28,28∠ -45º=8,8∠ - 1,1º [A ]
IT=U TO´
ZT=274,3∠ -139,1º
42,42∠ -45º=6,5∠-94,1º [A ]
Ing. Julio Álvarez 04/10
ω
O
O´
UTO´ USO´
URO´
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO USO
URO
164
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WRT = URT IR cos 81,6º = 380. 10,7. cos 81,6º = 593,9
WST = UST IS cos 1,1º = 380. 8,8. cos 1,1º = 3.343,4
PTRIF. = 593,9 + 3.343,4 = 3.937,3 W
PR = URO´ IR
cos φR = 150,3. 10,7. cos 45º = 1.137,2 W
QR = - URO´ IR
sen φR = - 150,3. 10,7. sen 45º = - 1.137,2 VAr
SR = URO´ IR
= 150,3. 10,7. = 1.608,2 VA
PS = USO´ IS
cos φS = 249,3. 8,8. cos 45º = 1.551,3 W
QS = - USO´ IR
sen φS = - 249,3. 8,8. sen 45º = - 1.551,3 VAr
SS = USO´ IS
= 249,3. 8,8. = 2.193,8 VA
PT = UTO´ IT
cos φT = 274,3. 6,5. cos 45º = 1.260,7 W
QT = - UTO´ IT
sen φT = - 274,3. 6,5. sen 45º = - 1.260,7 VAr
ST = UTO´ IT
= 274,3. 6,5 = 1.783 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7 = 3.949,2 W
QTRIF: = QR + QS + QT = -(1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7) = - 3.949,2 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√3 .949,22+3 . 949,22=5.585 VA
Ejercicio 609: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.Ing. Julio Álvarez 04/10
1,1ºIS
UST
81,6ºIR
URT
UST
165
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz
ZR = 10 – j 10 = 14,14 Ð 45º [Ω] YR= 1ZR
= 114,14∠45º
= 0,0707∠ - 45º [ S ]
ZS = 20 – j 20 = 28,28 Ð 45º [Ω] YS= 1Z S
= 128,28∠45º
= 0,03536∠ - 45º [S ]
ZT = 30 – j 30 = 42,42 Ð 45º [Ω] YT= 1ZT
= 142,42∠45º
= 0,0236∠ - 45º [ S ]
Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro
UO´O
=URO⋅Y R+USO⋅Y S+U TO⋅Y T
Y R+Y S+Y T
UO´O
= 220∠90⋅0,0707∠−45º+220∠330⋅0,03536∠−45º+220∠210⋅0,0236∠−45º0,0707∠−45º+0,03536∠−45º+0,0236∠−45º
=72,1∠76,2º [V ]
Cálculo de las tensiones de fase sobre las impedancias de carga.
URO´
=¿URO−¿UO´O=¿220∠90º−72,1∠76,2º=150,3∠ 96,6º [V ] ¿¿¿
USO´
=¿USO−¿UO´O=¿220∠330º−72,1∠76,2º=249,3∠−46,1º [V ] ¿¿¿
UTO´
=¿UTO−¿U O´O=¿220∠ 210º−72,1∠76,2º=274,3∠ - 139,1º [V ] ¿¿¿
Cálculo de las corrientes de línea
Ing. Julio Álvarez 04/10
30 + j 30 [W]
10 + j 10 [W]
20 + j 20 [W]
O´
T
IT
S
IS
WST
R
IR
WRT
166
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IR=U RO´
ZR=150,3∠96,6º
14,14∠45º=10,7∠ 51,6º [A ]
IS=USO´
Z S=249,3∠ -46,1º
28,28∠45º=8,8∠ - 91,1º [ A ]
IT=U TO´
ZT=274,3∠ -139,1º
42,42∠45º=6,5∠175,9º [A ]
WRT = URT IR cos 8,4º = 380. 10,7. cos 8,4º = 4.022,4
WST = UST IS cos 91,1º = 380. 8,8. cos 91,1º = - 64,2
PTRIF. = 4.022,4 – 64,2 = 3.958,2 W
PR = URO´ IR
cos φR = 150,3. 10,7. cos 45º = 1.137,2 WIng. Julio Álvarez 04/10
91,1º
IS
UST
8,4º
IR
URT
ω
O
O´
UTO´ USO´
URO´
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO USO
URO
167
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
QR = URO´ IR
sen φR = 150,3. 10,7. sen 45º = 1.137,2 VAr
SR = URO´ IR
= 150,3. 10,7. = 1.608,2 VA
PS = USO´ IS
cos φS = 249,3. 8,8. cos 45º = 1.551,3 W
QS = USO´ IR
sen φS = 249,3. 8,8. sen 45º = 1.551,3 VAr
SS = UTO´ IS
= 249,3. 8,8. = 2.193,8 VA
PT = UTO´ IT
cos φT = 274,3. 6,5. cos 45º = 1.260,7 W
QT = UTO´ IT
sen φT = 274,3. 6,5. sen 45º = 1.260,7 VAr
ST = UTO´ IT
= 274,3. 6,5 = 1.783 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7 = 3.949,2 W
QTRIF: = QR + QS + QT = 1.137,2 + 1.551,3 + 1260,7 = 3.949,2 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√3 .949,22+3 . 949,22=5.585 VA
Ejercicio 610: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz
Ing. Julio Álvarez 04/10
ILT
IRT
j 30 [W]
30 [W]
ILS
IRS
j 20 [W]
20 [W]
ILR
IRR
j 10 [W]
10 [W]
O´
T
IT
S
IS
WST
R
IR
WRT
168
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
YR= 1RR
+ 1j XR
= 110∠0º
+ 110∠90º
= 0,1414∠ -45º [S ]
YS= 1RS
+ 1j XS
= 120∠0º
+ 120∠90º
= 0,0707∠ -45º [S ]
YT= 1RT
+ 1j XT
= 130∠0º
+ 130∠90º
= 0,0471∠ - 45º [S ]
Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro
UO´O
=URO⋅Y R+USO⋅Y S+U TO⋅Y T
Y R+Y S+Y T
UO´O
= 220∠90⋅0,1414∠−45º+220∠330⋅0,0707∠−45º+220∠210⋅0,0471∠−45º0,1414∠−45º+0,0707∠−45º+0,0471∠−45º
=72,1∠76,2º [V ]
Cálculo de las tensiones de fase sobre las impedancias de carga.
URO´
=¿URO−¿UO´O=¿220∠90º−72,1∠76,2º=150,3∠ 96,6º [V ] ¿¿¿
USO´
=¿USO−¿UO´O=¿220∠330º−72,1∠76,2º=249,3∠−46,1º [V ] ¿¿¿
UTO´
=¿UTO−¿U O´O=¿220∠ 210º−72,1∠76,2º=274,3∠ - 139,1º [V ] ¿¿¿
Cálculo de las corrientes de línea
IRR
=URO´
RR=150,3∠96,6º
10∠0º=15,03∠ 96,6º [A ]
ILR
=U RO´
j XR
=150,3∠96,6º10∠90º
=15,03∠ 6,6º [A ]
IR=¿ IRR+¿ ILR =¿15,03∠96,6º+ 15,03∠6,6º=21,22 ∠51,6º [ A ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10 169
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IRS
=USO´
RS=249,3∠ -46,1º
20∠0º=12,47∠ -46,1º [A ]
ILS
=USO´
j XS
=249,3∠ -46,1º20∠90º
=12,47∠ - 136,1º [A ]
IS=¿ IRS+¿ ILS=¿12,47∠ -46,1º+ 12,47∠ -136,1º=17,64 ∠ -91,1º [ A ] ¿¿¿
IRT
=U TO´
RT=274,3∠ -139,1º
30∠0º=9,14∠ - 139,1º [A ]
ILT
=U TO´
j XT
=274,3∠-139,1º30∠90º
=9,14∠ - 229,1º [A ]
IT=¿ IRT +¿ ILT =¿9,14∠ -139,1º+ 9,14∠ -229,1º=12,93 ∠ -184,1º [ A ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10 8,4º
IR
URT
UST
ω
O
O´
UTO´ USO´
URO´
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO USO
URO
170
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WRT = URT IR cos 8,4º = 380. 21,22. cos 8,4º = 7.977,1
WST = UST IS cos 91,1º = 380. 17,64. cos 91,1º = - 128,7
PTRIF. = 7.977,1 – 128,7 = 7.848,4 W
PR = URO´ IR
cos φR = 150,3. 21,22. cos 45º = 2.255,2 W
QR = URO´ IR
sen φR = 150,3. 21,22. sen 45º = 2.255,2 VAr
SR = URO´ IR
= 150,3. 21,22. = 3.189,4 VA
PS = USO´ IS
cos φS = 249,3. 17,64. cos 45º = 3.109,6 W
QS = USO´ IR
sen φS = 249,3. 17,64. sen 45º = 3.109,6 VAr
SS = USO´ IS
= 249,3. 17,64 = 4.397,6 VA
PT = UTO´ IT
cos φT = 274,3. 12,93. cos 45º = 2.507,9 W
QT = UTO´ IT
sen φT = 274,3. 12,93. sen 45º = 2.507,9 VAr
ST = UTO´ IT
= 274,3. 12,93 = 3.546,7 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9 = 7.872,7 W
QTRIF: = QR + QS + QT = 2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9 = 7.872,7 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√7 .872,72+7 .872,72=11. 133,7 VA
Ejercicio 611: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz
Ing. Julio Álvarez 04/10
IRS 20 [W]
ICR
IRR
- j 10 [W]
10 [W]
O´S
IS
WST
R
IR
WRT
171
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
YR= 1RR
+ 1- j XR
= 110∠0º
+ 110∠−90º
= 0,1414∠45º [S ]
YS= 1RS
+ 1-j XS
= 120∠0º
+ 120∠−90º
= 0,0707∠45º [S ]
YT= 1RT
+ 1-j XT
= 130∠0º
+ 130∠−90º
= 0,0471∠45º [ S ]
Cálculo de la tensión de corrimiento de neutro
UO´O
=URO⋅Y R+USO⋅Y S+U TO⋅Y T
Y R+Y S+Y T
UO´O
= 220∠90⋅0,1414∠45º+220∠330⋅0,0707∠45º+220∠210⋅0,0471∠ 45º0,1414∠45º+0,0707∠45º+0,0471∠ 45º
=72,1∠76,2º [V ]
Cálculo de las tensiones de fase sobre las impedancias de carga.
URO´
=¿URO−¿UO´O=¿220∠90º−72,1∠76,2º=150,3∠ 96,6º [V ] ¿¿¿
USO´
=¿USO−¿UO´O=¿220∠330º−72,1∠76,2º=249,3∠−46,1º [V ] ¿¿¿
UTO´
=¿UTO−¿U O´O=¿220∠ 210º−72,1∠76,2º=274,3∠ - 139,1º [V ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
O´S WST
172
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Cálculo de las corrientes de línea
IRR
=URO´
RR=150,3∠96,6º
10∠0º=15,03∠ 96,6º [A ]
ICR
=URO´
-j XR
=150,3∠96,6º10∠−90º
=15,03∠ 186,6º [ A ]
IR=¿ IRR+¿ ICR =¿15,03∠ 96,6º+ 15,03∠186,6º=21,22 ∠141,6º [ A ] ¿¿¿
IRS
=USO´
RS=249,3∠ -46,1º
20∠0º=12,47∠ -46,1º [A ]
ICS
=USO´
-j XS
=249,3∠-46,1º20∠−90º
=12,47∠43,9º [A ]
IS=¿ IRS+¿ ICS=¿12,47∠ -46,1º+ 12,47∠ 43,9º=17,64 ∠ -1,1º [ A ] ¿¿¿
IRT
=U TO´
RT=274,3∠ -139,1º
30∠0º=9,14∠ - 139,1º [A ]
ICT
=U TO´
-j XT
=274,3∠ -139,1º30∠−90º
=9,14∠ - 49,1º [A ]
IT=¿ IRT +¿ ICT =¿9,14∠ -139,1º+ 9,14∠ -49,1º=12,93 ∠ -94,1º [ A ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
ω
O
O´
UTO´ USO´
URO´
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UTR
URS
URO
173
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WRT = URT IR cos 8,4º = 380. 21,22. cos 81,6º = 1.178
WST = UST IS cos 91,1º = 380. 17,64. cos 1,1º = 6.702
PTRIF. = 1.178 + 6.702 = 7.880 W
PR = URO´ IR
cos φR = 150,3. 21,22. cos 45º = 2.255,2 W
QR = - URO´ IR
sen φR = - 150,3. 21,22. sen 45º = - 2.255,2 VAr
SR = URO´ IR
= 150,3. 21,22. = 3.189,4 VA
PS = USO´ IS
cos φS = 249,3. 17,64. cos 45º = 3.109,6 W
QS = - USO´ IR
sen φS = - 249,3. 17,64. sen 45º = - 3.109,6 VAr
SS = USO´ IS
= 249,3. 17,64 = 4.397,6 VA
PT = UTO´ IT
cos φT = 274,3. 12,93. cos 45º = 2.507,9 W
QT = - UTO´ IT
sen φT = - 274,3. 12,93. sen 45º = - 2.507,9 VAr
ST = UTO´ IT
= 274,3. 12,93 = 3.546,7 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9 = 7.872,7 W
QTRIF: = QR + QS + QT = - (2.255,2 + 3.109,6 + 2.507,9) = - 7.872,7 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√7 .872,72+7 .872,72=11. 133,7 VA
Ing. Julio Álvarez 04/10
UST
IS 1,1º
URT
IR
81,1º
174
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Ejercicio 612: En el siguiente circuito hallar, las corrientes de línea, la potencia activa, reactiva y aparente trifásica y la indicación de los vatímetros.La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz
ZR = 10 – j 10 = 14,14 Ð - 45º [Ω]
ZS = 20 – j 20 = 28,28 Ð - 45º [Ω]
ZT = 30 – j 30 = 42,42 Ð - 45º [Ω]
Cálculo de las corrientes de fase
IRS
=U RS
ZRS
=380∠120º14,14∠−45º
=26,87 ∠165º [ A ]
IST
=UST
ZST
=380∠0º28,28 ∠−45º
=13,44 ∠45º [A ]
ITR
=U TR
Z TR
=380∠240º42,42∠−45º
=8,96 ∠285º [A ]
Cálculo de las corrientes de línea
IR=¿ IRS−¿ ITR =¿26,87∠165º− 8,96∠285º=32,3 ∠151,1º [ A ] ¿¿¿
IS=¿ IST−¿ IRS=¿13,44∠ 45º− 26,87∠165º=35,6∠4,1º [ A ] ¿¿¿
IT=¿ ITR−¿ IST =¿8,96∠285º− 13,44∠45º= 19,5∠ - 111,6º [ A ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
30 - j 30 [W]
20 - j 20 [W]
10 - j 10 [W]
ITR
IST
IRS
IR
T
IT
WTR
S
IS
WSR
R
64,1º
IS
USR
ω
- IST
ITRIT
IST- IRS
IS
- ITR
IRS
UST
UTR URS
DIAGRAMA FASORIAL
IR
175
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WSR = USR IS cos 64,1º = 380. 35,6. cos 64,1º = 5.909,1
WTR = UTR IT cos 42,5º = 380. 19,5. cos 8,4º = 7.330,5
PTRIF = WSR + WTR = 5.909,1 + 7.330,5 = 13.239,6 W
Calculo de las potencias por fase:
PRS = URS IRS
cos φRS = 380. 26,87. cos 45º = 7.220 W
QRS = - URS IRS
sen φRS = - 380. 26,87. sen 45º = - 7.220 VAr
SRS = URS IRS
= 380. 26,87 = 10.210,6 VA
PST = UST IST
cos φST = 380.13,44. cos 45º = 3.611,3 W
QST = - UST IST
sen φST = - 380.13,44. sen 45º = - 3.611,3 VAr
SST = UST IST
= 380.13,44 = 5.107,2 VA
PTR = UTR ITR
cos φTR = 380. 8,96. cos 45º = 2.407,6 W
QTR = - UTR ITR
sen φTR = - 380. 8,96. sen 45º = - 2.407,6 VAr
STR = UTR ITR
= 380. 8,96 = 3.404,8 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 7.220 + 3.611,3 + 2.407,6 = 13.238,9 W
QTRIF: = QR + QS + QT = - (7.220 + 3.611,3 + 2.407,6) = - 13.238,9 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√13 . 238,92+13 . 238,92= 18. 722,6 VA
Ing. Julio Álvarez 04/10
8,4ºIT
UTR
176
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Ejercicio 613: En el siguiente circuito hallar, las corrientes de línea, la potencia activa, reactiva y aparente trifásica y la indicación de los vatímetros.La tensión de alimentación es de 3 x 380 V – 50 Hz
ZR = 10 + j 10 = 14,14 Ð 45º [Ω]
ZS = 20 + j 20 = 28,28 Ð 45º [Ω]
ZT = 30 + j 30 = 42,42 Ð 45º [Ω]
Cálculo de las corrientes de fase
IRS
=U RS
ZRS
=380∠120º14,14∠45º
=26,87 ∠75º [A ]
IST
=UST
ZST
=380∠0º28,28 ∠45º
=13,44 ∠−45º [A ]
ITR
=U TR
Z TR
=380∠240º42,42∠45º
=8,96 ∠195º [ A ]
Cálculo de las corrientes de línea
IR=¿ IRS−¿ ITR =¿26,87∠75º− 8,96∠195º=32,3 ∠61,1º [ A ] ¿¿¿
IS=¿ IST−¿ IRS=¿13,44∠ -45º− 26,87∠75º=35,6∠ -85,9º [ A ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
30 + j 30 [W]
20 + j 20 [W]
10 + j 10 [W]
ITR
IST
IRS
IR
T
IT
WTR
S
IS
WSR
R
ω
- ISTITR
IT
IST
- IRS
IS
- ITR
IRS
UST
UTR URS
DIAGRAMA FASORIAL
IR
177
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IT=¿ ITR−¿ IST =¿8,96∠195º− 13,44∠−45º= 19,5∠158,4º [ A ] ¿¿¿
WSR = USR IS cos 25,9º = 380. 35,6. cos 25,9º = 12.1692
WTR = UTR IT cos 81,6º = 380. 19,5. cos 81,6º = 1.082,5
PTRIF = WSR + WTR = 12.169,2 + 1.082,5 = 13.251,7W
Calculo de las potencias por fase:
PRS = URS IRS
cos φRS = 380. 26,87. cos 45º = 7.220 W
QRS = URS IRS
sen φRS = 380. 26,87. sen 45º = 7.220 VAr
SRS = URS IRS
= 380. 26,87 = 10.210,6 VA
PST = UST IST
cos φST = 380.13,44. cos 45º = 3.611,3 W
QST = UST IST
sen φST = 380.13,44. sen 45º = 3.611,3 VAr
SST = UST IST
= 380.13,44 = 5.107,2 VA
PTR = UTR ITR
cos φTR = 380. 8,96. cos 45º = 2.407,6 W
QTR = UTR ITR
sen φTR = 380. 8,96. sen 45º = 2.407,6 VAr
STR = UTR ITR
= 380. 8,96 = 3.404,8 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 7.220 + 3.611,3 + 2.407,6 = 13.238,9 W
QTRIF: = QR + QS + QT = - (7.220 + 3.611,3 + 2.407,6) = - 13.238,9 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√13 . 238,92+13 . 238,92= 18. 722,6 VA
Ing. Julio Álvarez 04/10
25,9º
IS
USR
81,6º
IT
UTR
178
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Ejercicio 614: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total.
Cálculo de las corrientes de fase
IRS
=U RS
ZRS
=380∠120º38∠40º
=10 ∠80º [ A ]
IST
=UST
ZST
=380∠0º38 ∠45º
=10 ∠−45º [A ]
ITR
=U TR
Z TR
=380∠240º38∠−45º
=10 ∠285º [ A ]
Cálculo de las corrientes de línea
IR=¿ IRS−¿ ITR =¿10∠80º− 10∠285º=19,53 ∠ 92,5º [ A ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
O
WTO
WSO
WRO
T
S
R
ITR
IST
IRS
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
IT
IS
IR
38 Ð-45° W
38 Ð45° W
38 Ð40° W
ω
- ISTITR
IT
IST
- IRS
IS
- ITR
IRS
UST
UTR
URS
DIAGRAMA FASORIAL
IR
179
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IS=¿ IST−¿ IRS=¿10∠ - 45º− 10∠80º=17,74∠ - 72,5º [ A ] ¿¿¿
IT=¿ ITR−¿ IST =¿10∠285º− 10∠ - 45º= 5,18∠210º [ A ] ¿¿¿
WRO = URO IR cos 2,5º = 220. 19,53. cos 2,5º = 4.292,51
WSO = USO IS cos 42,5º = 220. 17,74. cos 42,5º = 2.877,45
WTO = UTO IT cos 0º = 220. 5,18. cos 0º = 1.139,60
PTRIF = WRT + WST + WOT = 4.291,51 + 2.877,45 + 1.139,60 = 8.308,56 W
Calculo de las potencias por fase:
PRS = URS IRS
cos φRS = 380. 10. cos 40º = 2.910,97 W
QRS = URS IRS
sen φRS = 380. 10. sen 40º = 2.442,59 VAr
SRS = URS IRS
= 380. 10= 3.800,00 VA
PST = UST IST
cos φST = 380.10. cos 45º = 2.687,00W
QST = UST IST
sen φST = 380.10. sen 45º = 2.687,00 VAr
SST = UST IST
= 380.10 = 3.800 VA
PTR = UTR ITR
cos φTR = 380. 10. cos -45º = 2.687,00 W
QTR = UTR ITR
sen φTR = 380. 10. sen -45º = - 2.687,00 VAr
STR = UTR ITR
= 380. 10 = 3.800 VA
PTRIF. = PR + PS + PT = 2910,97 + 2.687,00 + 2.687,00 = 8.284,97 W
QTRIF: = QR + QS + QT = 2.442,59 + 2.687,00 – 2.687,00 = 2.442,59 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√8 .284,972+2. 442,592=8.637,53 VA
Ejercicio 615: En el siguiente circuito calcular las tensiones, corrientes y dibujar en escala el diagrama fasorial de corrientes y tensiones, hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente por fase y total
Ing. Julio Álvarez 04/10
2,5º
IR URO
42,5ºIS
USO
0ºIT
UTO
IRS IR1
10 W
WST
WRT
3 x 380 V – 50 Hz
IS
IR
S
R
10 Ð 30° W
10 Ð 30° W 180
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IR1
=U RO´
ZR=U RO
ZR=220∠90º
10∠30º=22∠60º [A ]
IS1
=USO´
ZS=U SO
ZS=220∠330º
10∠30º=22∠300º [ A ]
IT1
=U TO´
ZT=UTO
ZT=220∠210º
10∠30º=22∠180º [A ]
I
RS=U RS
R=380∠120º
10∠0º=38∠120º [A ]
IR=¿ IR1+¿ IRS=¿22∠60º+ 38∠120º= 52,56 ∠98,7º [ A ] ¿¿¿
IS=¿ I 1−¿ IRS=¿22∠300º− 38∠120º=60∠ - 60º [ A ] ¿¿¿
IT=¿ IT1 =¿22∠180º [ A ] ¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
WST3 x 380 V – 50 Hz S
ω
IS
- IRS
IRIRS
O = O´
DIAGRAMA FASORIAL
IT1= IT
IS1
IR1
UST
UTR
URS
UTO = UTO´ USO = USO´
URO = URO´
181
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WRT = URT IR cos 38,7º = 380. 52,56. cos 38,7º = 15.587,38
WST = UST IS cos 60º = 380. 60. cos 60º = 11.400
PTRIF. = 15.587,38 + 11.400 = 26.987,38 W
PR1 = URO´ IR1
cos φR = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W
QR1 = URO´ IR1
sen φR = 220. 22. sen 30º = 2.420,00 VAr
SR1 = URO´ IR1
= 220. 22. = 4.840 VA
PS1 = USO´ IS1
cos φS = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W
QS1 = USO´ IR1
sen φS = 220. 22. sen 30º = 2.420,00 VAr
ST1 = UTO´ IT1 = 220. 20.= 4.840 VA
PT1 = UTO´ IT1
cos φT = 220. 22. cos 30º = 4.191,56 W
QT1 = UTO´ IT1
sen φT = 220. 22. sen 30º = 2.420,00 VAr
ST1 = UTO´ IT1
= 220. 22 = 4.480 VA
PRS = URS IRS cos 0º = 380. 38.1 =14.440 W
QRS = URS IRS sen 0º = 0 Var
SRS = URS IRS = 380. 38 = 14.440 VA
PTRIF. = PR + PS + PT + PRS = 27.014,68 W
QTRIF: = QR + QS + QT + QRS = 7.260 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√27 . 014,682+7 .2602= 27. 973,21 VA
La pequeña diferencia en la potencia activa trifásica, en relación con la suma de las indicaciones de los vatímetros, se debe al redondeo de la tensión de línea en 380 V (En lugar de tomar 381 V)
Ejercicio 616: En el siguiente circuito, Las indicaciones de los vatímetros son: WRT = 330 y Ing. Julio Álvarez 04/10
60ºIS
UST
38,7º
IR URT
182
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WST = 330, sabiendo que las tres impedancias son iguales, determine el valor de las mismas.
La suma de las indicaciones vatimétricas es la potencia trifásica, o sea 660 W, o sea 220 W por fase.
Siendo un sistema equilibrado se cumple que el valor de la potencia reactiva está dada por:
Q=√3 (WRT−WST )=√3 (330−330 )=0
Luego las tres impedancias son resistencias, teniendo aplicada cada una de ella la tensión de fase de 220 V, o sea:
PFase
=UF
2
R ⇒ R=
U F2
PFase
=2202
220=220 W
Ejercicio 617: En el siguiente circuito, Las indicaciones de los vatímetros son: WRT = 4.400 y WST = 2.200, sabiendo que las tres impedancias son iguales, determine el valor de las mismas.
PTRIF. = WRT + WST = 4.400 + 2.200 = 6.600 W
QTRIF :=√3 (W RT−WST )=√3 (4 .400−2 .200 )=3.810,4 VAr
Ing. Julio Álvarez 04/10
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
WST
WRT
O´
IT
IS
IR
T
S
R
Z [W]
Z [W]
Z [W]
3 x 380 V – 50 HzSecuencia directa
WST
WRT
O´
IT
IS
IR
T
S
R
Z [W]
Z [W]
Z [W]
183
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
tg ϕ=QTRIF
PTRIF
=3. 810,46. 600
= 0,577 ⇒ ϕ=30º
I=PTRIF
√3.U . I . cos ϕ= 6 . 600
√3. 380 . 0,577=17,32 A
Z=UI¿220
17,32= 12,70 W
Z = 12,70 cos 30º + 12,70 sen 30º = 11 + j 6,35 [Ω]
Ejercicio 618: La carga de un establecimiento industrial conectado a la red de 3 x 380/220 V – 50 Hz, secuencia positiva, está representada por:
a) Tres impedancias iguales de valor: ZC = 4 Ðj [W] , conectadas en estrella, siendo él cos j = 0,75 en atraso.
b) Tres motores trifásicos conectados en estrella que absorben cada uno, una potencia de 15 kW con una corriente de línea de 30,4 A
Dibuje el esquema eléctrico del circuito completo, con los condensadores y los instrumentos conectados.
Determine las indicaciones obtenidas en tres amperímetros conectados uno en cada línea y en dos vatímetros conectados según el método de Aron, con el punto común en la fase T.
Luego, se compensa parcialmente el factor de potencia de la carga mediante un banco de condensadores conectados en triángulo, de modo de llevarlo al valor de 0,85 en atraso.
Calcule el valor (en mF) de estos condensadores y las nuevas indicaciones de los instrumentos mencionados.
Construya un único fasorial de tensiones y corrientes, indicando en él las tensiones de línea y de fase, y las corrientes de línea correspondientes a las situaciones antes y después de compensado el factor de potencia, para las tres fases.
Ing. Julio Álvarez 04/10
AR
15 kW
M3 ~
15 kW
M3 ~
AT
AS
15 kW
M3 ~
4 Ðj W
4 Ðj W
4 Ðj W
CAPACI-TORES
WST
WRT
IT
IS
IR
T
S
R
184
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Cálculo de las corrientes en las impedancias:
Dado que el sistema es equilibrado las 3 corrientes serán de igual módulo, con un ángulo de desfasaje de 120º entre ellas, siendo el ángulo de las impedancias: φ1 = Arc cos 0,75 = 41,4º.
IR1
=U RO´
ZR=U RO
ZR=220∠90º
4∠41,4º=55∠48,6º [A ]
IS1
=USO´
ZS=U SO
ZS=220∠330º
4∠41,4º=55∠288,6º [ A ]
IT1
=U TO´
ZT=UTO
ZT=220∠210º
4∠41,4º=55∠168,6º [A ]
Cálculo de las corrientes en los motores:
Cada motor absorbe una corriente de 40,3 A, lo que equivale a 120,9 A en su conjunto, con el siguiente factor de potencia:
cos ϕM
=PMOT
√3 .U . I= 3 .15000
√3 . 380. 120,9=0,566 ⇒ ϕ
M=55,5º
Las corrientes de línea de los motores serán:
IRM
=120,9 ∠90 - 55,5 = 120,9 ∠ 34,5º [A ]
ISM
=120,9∠330 - 55,5 = 120,9 ∠ 274,5º [A ]
ITM
=120,9 ∠210 - 55,5 = 120,9 ∠ 154,5º [ A ]
Cálculo de las corrientes totales de línea:
IR=¿ IR1+¿ IRM=¿55∠ 48,6º + 120,9 ∠34,5º=174,8 ∠38,9º [ A ] ¿¿¿
IS=¿ IS1+¿ ISM=¿55∠288,6º + 120,9∠274,5º=174,8 ∠278,9º [ A ] ¿¿¿
IT=¿ IT1 +¿ ITM=¿55∠168,6º + 120,9∠154,5º=174,8 ∠158,9º [ A ] ¿¿¿
φm = 90º – 38,9º = 51,1º
Indicación de los instrumentos
AR = 174,8 A AS = 174,8 A AT = 174,8 A
Ing. Julio Álvarez 04/10
21,1º
IR
URT 185
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WRT = URT IR cos 21,1º = 380. 174,8. cos 21,1º = 61.970,50
WST = UST IS cos 81,1º = 380. 174,8. cos 81,1º = 10.276,48
PTRIF. = 61.970,5 + 10.276,48 = 72.246,98 W
Cálculo de los capacitores
ΦR = Arc tg 0,85 = 31,8º
C=Pm( tg ϕ
m− tgϕ
R
3. ω⋅U L2
=72 . 246,98 ( tg 51,1º−tg 31,8º )
3. 314 .3802 = 329 μF
Nuevas corrientes de línea
ICOR
=Pm
√3 .U . cos ϕR= 72 . 246,98
√3 . 380 .0,85=129,2 A
IRCOR
=129,2∠90 - 31,8 = 129,2 ∠ 58,2º [A ]
ISCOR
=129,2∠330 - 31,8 = 129,2 ∠ 298,2º [A ]
ITCOR
=129,2∠210 - 31,8 = 129,2 ∠ 178,2º [A ]
ARCOR = 129,2 A ASCOR = 129,2 A ATCOR = 129,2 A
WRT = URT IRCOR cos 1,8º = 380. 129,2. cos 1,8º = 49.071,77
WST = UST ISCOR cos 61,8º = 380. 129,2. cos 61,8º = 23.200,35
Ing. Julio Álvarez 04/10
81,1º
IS
UST
61,8º
ISCOR
UST
1,8º
IRCOR
URT
186
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
PTRIF. = 49.071,77 + 23.200,35 = 72.272,12 W (La diferencia con el cálculo anterior se debe a los redondeos)
Verificación de las potencias antes de colocar los capacitores
Pm=√3 .U . I . cos ϕm=√3 .380 . 174,8. cos 51,1º = 72 . 244,87 W
Qm = Pm . tg φm = 72.244,87 . tg 51,1º = 89.534,05 Var
Sm=√3.U . I=√3. 380. 174,8 = 115. 018,40 VA
Verificación de las potencias resultantes después de colocar los capacitores
PR=√3 .U . ICOR . cos ϕR=√3 .380 .129,2 .cos 31,8º = 72. 244,87 W
QR = P.m. tg φm = 72.244,87. tg 31,8º = 44.793,72 Var
SR=√3 .U . ICOR=√3. 380. 129,2 = 85 . 013,60 VA
Ejercicio 619: Una línea trifásica de 3 x 380/220 V, 50 Hz, alimenta un motor trifásico conectado en triángulo que consume una potencia de 30 kW con cos j = 0,85 en atraso. Además dicha línea alimenta una serie de cargas de iluminación monofásicas de 220 V, de la siguiente potencia:
Una potencia de 16,5 kW con cos j = 1 sobre la fase “R” Una potencia de 11 kW con cos j = 1 sobre la fase “S” Una potencia de 8,8 kW con cos j = 1 sobre la fase “T”
Ing. Julio Álvarez 04/10
ITCOR
IRCOR
ISCOR
O = O´
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO = UTO´ USO = USO´
URO = URO´
187
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Se colocan los vatímetros necesarios para medir la potencia del sistema.
Dibuje el esquema de conexiones de las cargas y de los vatímetros, y calcule la indicación de los mismos.
Corrientes que absorbe el motor
IM
=PMOT
√3 .U . I . cos ϕ= 30 . 000
√3 . 380 .0,85=53,6 A
φM = Arc cos 0,85 = 31,8º
IRM
=53,6 ∠90 - 31,8 = 53,6 ∠ 58,2º [ A ]
ISM
=53,6 ∠330 - 31,8 = 53,6 ∠ 298,2º [A ]
ITM
=53,6 ∠210 - 31,8 = 53,6 ∠ 178,2º [A ]
Corrientes de iluminación
Las mismas están en fase con las tensiones que tienen aplicadas, o sea:
IRIL =PRU RO
=16 . 500220
=75 A IRIL= 75 ∠90º [A ]
ISIL =PSUSO
=11.000220
=50 A ISIL= 50 ∠330º [A ]
ITIL =PTUTO
=8 . 800220
=40 A ITIL = 40 ∠210º [A ]
Corrientes totales de línea
IR=¿ IRIL+¿ IRM =¿75∠90º + 53,6 ∠58,2º=123,8 ∠76,8º [ A ] ¿¿¿
IS=¿ ISIL+¿ ISM =¿50∠330º + 53,6∠298,2º=99,6 ∠313,5º [ A ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
O
WT
IT1
IS1
IR1
ITM
ISM
IRM
WS
WR
IT
IS
IR
T
S
R
M
3 ~
188
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IT=¿ ITIL+¿ I TM=¿40 ∠210º + 53,6 ∠178,2º=90,1 ∠191,7º [ A ] ¿¿¿
IN=−(I R+¿ I S+¿ IT )=¿31,2∠254º [A ] ¿¿¿
WR = URO IR cos 13,2º = 220. 123,8. cos 13,2º = 26.516,4 W
WS = USO IS cos 16,5º = 220. 99,6. cos 16,5º = 21.009,6 W
WT = UTO IT cos 18,3º = 220. 90,1. cos 18,3º = 18.819,5 W
PTRIF. = 26.516,4 + 21.009,6 + 18.819,5 = 66.345,5 W
PTRIF. = PM + PR + PS + PT = 30.000 + 16.500 + 11.000 + 8.800 = 66.300 W
La diferencia con el cálculo anterior se debe a los redondeos en los ángulos.
Ing. Julio Álvarez 04/10
16,5ºIS
USO
13,2º
IR
URO
18,3º
UTO
IT
ω
IT
ISIL
IRM
ITIL
IRIL
ISM
O
DIAGRAMA FASORIAL
ITM
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO = UTO´ USO = USO´
URO = URO´
189
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
Ejercicio 620: Una industria toma energía de la red de 3 x 380 V – 50 Hz a través de una línea trifásica.La carga está formada por:
Motores trifásicos conectados en triángulo, que totalizan una potencia de 28 kW con factor de potencia 0,7 en atraso.
Un horno de inducción conectado en estrella que consume 7200 W, con factor de potencia 0,25 inductivo.
Un equipo de calefactores conectados en triángulo que consume 3800 W con factor de potencia igual a 1.
Se desea compensar el factor de potencia de la carga total, mediante un banco de capacitores conectados en triángulo, de modo de llevar el valor del factor de potencia a 0,85 en atraso.Para medir la potencia se utilizan vatímetros conectados en conexión Aron, con el punto común en la fase “S”.
Calcular:
1. La lectura de los vatímetros antes de la compensación2. El valor de los condensadores3. La lectura de los vatímetros después de la compensación.4. La corriente por el alimentador antes y después de la compensación
CARGAPOTENCIA
ACTIVA [W]
POTENCIA REACTIVA
[VAr]
POTENCIA APARENTE
[VA]
MOTORES 28.000 28.566 40.000
HORNO 7.200 27.885 28.800
CALEFACTORES 3.800 --- 3.800
TOTAL 39.000 56.451 68.613
ϕm=Arc tg
QmPm
=Arc tg 56 . 45139. 000
=55,4º cos ϕm=0,568
Ing. Julio Álvarez 04/10
IR
HORNOCALEFACTORES
WTS
WRS
IT
IS
T
S
R
M
3 ~
190
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
I=Pm
√3. U. cos ϕ= 39 .000
√3 . 380 .0,568=104,35 A
IR=104,35 ∠(90 - 55,4 ) = 104,35∠ 34,6º [A ]
IS=104,35 ∠(330 - 55,4 ) = 104,35 ∠ 274,6º [A ]
IT=104,35 ∠(210 - 55,4 ) = 104,35 ∠ 154,6º [A ]
WRS = URS IR cos 85,4º = 380. 104,35. cos 85,4º = 3.180,13
WTS = UTS IT cos 25,4º = 380. 104,35. cos 25,4º = 35.819,95
PTRIF. = 3.180,13 + 35.819,95 = 39.000,08 W
Cálculo de los capacitores
C=Pm( tg ϕ
m− tgϕ
R
3. ω⋅U L2
=39 . 000 ( tg 55,4º− tg 31,8º)
3. 314 .3802 = 238 μF
Nuevas corrientes de línea
ICOR
=Pm
√3 .U . cos ϕR= 39 . 000
√3 . 380 .0,85=69,73 A
IRCOR
=69,73∠(90 - 31,8 ) = 69,73 ∠ 58,2º [A ]
ISCOR
=69,73∠(330 - 31,8 ) = 69,73 ∠ 298,2º [A ]
ITCOR
=69,73∠(210 - 31,8 ) = 69,73 ∠ 178,2º [A ]
Nuevas lecturas de los vatímetros
WRS = URS IRCOR cos 61,8º = 380. 69,73. cos 61,8º = 12.521,37
Ing. Julio Álvarez 04/10
85,4º
IR
URS
25,4ºIT
UTS
URS
61,8º
IRCOR
191
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WTS = UTS ITCOR cos 1,8º = 380. 69,73. cos 1,8º = 26.484,33
PTRIF. = 12.521,37 + 26.484,33 = 39.005,70 W
Ejercicio 621: En el siguiente circuito hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente total
Ing. Julio Álvarez 04/10
1,8º ITCOR
UTS
ω
ITCOR
IRCOR
ISCOR
O
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO = UTO´ USO = USO´
URO = URO´
ITRIST
10 W
10 W
IRS
10 W
IT1
IS1
IR1
WST
WRT
O´
IT
IS
IR
T
S
R
10 Ð 30° W
10 Ð 30° W
10 Ð 30° W
192
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IR1
=U RO
Z R=220∠90º
10∠30º=22∠ 60º [A ]
IS1
=USO
ZS=220∠330º
10∠30º=22∠ 300º [A ]
IT1
=U TO
ZT=220∠210º
10∠30º=22∠ 180º [A ]
IRS
=U RS
ZRS
=380∠120º10∠0º
=38 ∠120º [A ]
IST
=UST
ZST
=380∠0º10∠0º
=38 ∠0º [A ]
ITR
=U TR
Z TR
=380∠240º10∠0º
=38 ∠240º [ A ]
Cálculo de las corrientes de línea
IR2
=¿ IRS−¿ ITR =¿38∠120º− 38∠240º=65,82 ∠90º [ A ] ¿¿¿
IS2
=¿ IST−¿ I RS=¿38∠ 0º− 38∠120º=65,82∠330º [ A ] ¿¿¿
IT2
=¿ ITR−¿ IST =¿38∠ 240º− 38∠0º= 65,82∠210º [ A ] ¿¿¿
IR=¿ IR1+¿ IR2=¿22∠60º+ 65,82∠90º=85,58 ∠ 82,6º [ A ] ¿¿¿
IS=¿ IS1+¿ IS2=¿22∠300º+ 65,82∠330º=85,58 ∠322,6º [ A ] ¿¿¿
IT=¿ IT1 +¿ IT2 =¿22∠180º+ 65,82∠210º=85,58 ∠202,6º [ A ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
IT1
ω
DIAGRAMA FASORIAL
IR
URS
URO
193
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WRT = URT IR cos 22,6º = 380. 85,58. cos 22,6º = 30.023,17
WST = UST IS cos 37,4º = 380. 85,58. cos 37,4 º = 25.834,68
PTRIF. = 30.023,17 + 25.834,68 = 55.857,85 W
Como el sistema es equilibrado:
QTRIF=√3 (W RT−W ST)=√3 (30 .023,17−25 .834,68 )=7 .254,46 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√55 . 857,852+7 . 254,682= 56 .326,96 VA
Ejercicio 622: En el siguiente circuito hallar las indicaciones de los vatímetros y las potencias activa, reactiva y aparente total
Ing. Julio Álvarez 04/10
22,6º
IRURT
37,4º
IS
UST
10 Ð90° W
10 Ð90° W 10 Ð90° W
ITRIST
IRS
IT1
IS1
IR1
WST
WRT
O´
IT
IS
IR
T
S
R
10 Ð- 30° W
10 Ð- 30° W
10 Ð- 30° W
3 x 380 V – 50 Hz Secuencia directa194
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IR1
=U RO
Z R=220∠90º
10∠−30º=22∠ 120º [ A ]
IS1
=USO
ZS=220∠330º
10∠−30º=22∠ 0º [A ]
IT1
=U TO
ZT=220∠210º
10∠−30º=22∠ 240º [A ]
IRS
=U RS
ZRS
=380∠120º10∠90º
=38 ∠30º [A ]
IST
=UST
ZST
=380∠0º10∠90º
=38 ∠−90º [A ]
ITR
=U TR
Z TR
=380∠240º10∠90º
=38 ∠150º [ A ]
Cálculo de las corrientes de línea
IR2
=¿ IRS−¿ ITR =¿38∠30º− 38∠150º=65,82 ∠ 0º [ A ] ¿¿¿
IS2
=¿ IST−¿ I RS=¿38∠ - 90º− 38∠30º=65,82∠240º [ A ] ¿¿¿
IT2
=¿ ITR−¿ IST =¿38∠150º− 38∠ - 90º= 65,82∠120º [ A ] ¿¿¿
IR=¿ IR1+¿ IR2=¿22∠120º+ 65,82∠ 0º=58,04 ∠19,16º [ A ] ¿¿¿
IS=¿ IS1+¿ IS2=¿22∠ 0º+ 65,82∠ 240º=58,04 ∠259,16º [ A ] ¿¿¿
IT=¿ IT1 +¿ IT2 =¿22∠240º+ 65,82∠120º=58,04 ∠139,16º [ A ] ¿¿¿
Ing. Julio Álvarez 04/10
ω
O
DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO USO
URO
195
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WRT = URT IR cos 40,84º = 380. 58,04. cos 40,84º = 16.685,61
WST = UST IS cos 100,84º = 380. 58,04. cos 100,84 º = - 4.147,86
PTRIF. = 16.685,61 – 4.147,86 = 12.537,75 W
Como el sistema es equilibrado:
QTRIF=√3 (W RT−W ST)=√3 (16 .685,61 + 4 . 147,86 )=36 .083,57 VAr
STRIF:=√PTRIF2 +QTRIF
2 =√12 .537,752+36 . 083,572= 38.199,73 VA
Ejercicio 623: En el siguiente circuito hallar las indicaciones de los vatímetros y la potencia activa trifásica
IR1
=U RO
Z R=220∠90º
10∠45º=22∠ 45º [A ]
IS1
=USO
ZS=220∠330º
10∠45º=22∠ 285º [A ]
Ing. Julio Álvarez 04/10
40,84º
IR
URT
100,84º
IS
UST
10 Ð- 90° W
10 Ð90° W 10 W
ITRIST
IRS
IT1
IS1
IR1
WST
WRT
O´
IT
IS
IR
T
S
R
10 Ð45° W
10 Ð45° W
10 Ð45° W
3 x 380 V – 50 Hz Secuencia directa
196
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
IT1
=U TO
ZT=220∠210º
10∠45º=22∠ 165º [A ]
IRS
=U RS
ZRS
=380∠120º10∠90º
=38 ∠30º [A ]
IST
=UST
ZST
=380∠0º10∠−90º
=38 ∠90º [A ]
ITR
=U TR
Z TR
=380∠240º10∠0º
=38 ∠240º [ A ]
Cálculo de las corrientes de línea
IR2
=¿ IRS−¿ ITR =¿38∠30º− 38∠240º=73,4 ∠ 45º [ A ] ¿¿¿
IS2
=¿ IST−¿ I RS=¿38∠ 90º− 38∠30º=38∠150º [ A ] ¿¿¿
IT2
=¿ ITR−¿ IST =¿38∠ 240º− 38∠90º= 73,4∠255º [ A ] ¿¿¿
IR=¿ IR1+¿ IR2=¿22∠45º+ 73,4∠45º=95,4 ∠45º [ A ] ¿¿¿
IS=¿ IS1+¿ IS2=¿22∠ 285º+ 38∠150º=27,3 ∠184,73º [ A ] ¿¿¿
IT=¿ IT1 +¿ IT2 =¿22∠165º+ 73,4∠255º=76,63 ∠238,3º [ A ] ¿¿¿
WRT = URT IR cos 15º = 380. 95,4. cos 15º = 35.016,74
Ing. Julio Álvarez 04/10
175,27ºIS
UST
15ºIR
URT
ω
IT2
IT1
IS2
IS1
IR2
IR1
O DIAGRAMA FASORIAL
IT
IS
IR
UST
UTR
URS
UTO USO
URO
197
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS
WST = UST IS cos 175,27º = 380. 27,3. cos 175,27 º = - 10.338,67
PTRIF. = 35.016,74 – 10.338,67 = 24.678,07 W
Ing. Julio Álvarez 04/10 198
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