ejercicio resuelto edo homogénea
Post on 27-Jul-2016
222 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Ejercicio resuelto
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Ejercicio resuelto
Resolver la EDO
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥 + 𝑦
𝑥− 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Desarrollo:
Se verifica que la función
𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑥 + 𝑦
𝑥− 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
Es un función homogénea de orden cero
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 =𝜆𝑥 + 𝜆𝑦
𝜆𝑥− 𝑡𝑔
𝜆𝑦
𝜆𝑥
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Desarrollo:
Se verifica que la función
𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑥 + 𝑦
𝑥− 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
Es un función homogénea de orden cero
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 =𝜆𝑥 + 𝜆𝑦
𝜆𝑥− 𝑡𝑔
𝜆𝑦
𝜆𝑥
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 =𝑥 + 𝑦
𝑥− 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Se cumple que:
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦
Es una EDO homogénea la cual se puede reescribir como:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 1 +
𝑦
𝑥− 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
Por lo tanto la EDO
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥 + 𝑦
𝑥− 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Aplicaremos la sustitución 𝒖 = 𝒚/𝒙 con 𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝒖 + 𝒙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝑥𝑑𝑢
𝑑𝑥= 1 − 𝑡𝑔 𝑢
Dándonos una EDO en variables separables
𝑢 + 𝑥𝑑𝑢
𝑑𝑥= 1 + 𝑢 − 𝑡𝑔 𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 1 +
𝑦
𝑥− 𝑡𝑔
𝑦
𝑥
Al sustituir en la EDO
Como la sustitución esta dada por:Tenemos que
ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Separamos las variables
𝑑𝑢
1 − 𝑡𝑔 𝑢=𝑑𝑥
𝑥Integramos
1
2𝑢 − 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑢 − 𝑠𝑒𝑛𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶
La solución de la EDO es igual a:
1
2
𝑦
𝑥− 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝑦
𝑥− 𝑠𝑒𝑛
𝑦
𝑥= 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶
Corina Villarroel RobalinoDOCENTE
top related