ejemplo_superficie_respuesta

EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

3. OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS CON SUPERFICIES DE RESPUESTA

Los diseños de experimentos factoriales y fraccionales, sirven para hacer

una selección de factores más relevantes que afectan el desempeño del

proceso. El paso siguiente es la optimización del proceso, o la búsqueda de las

condiciones de operación para las variables del proceso que lo optimicen.

3.1 MÉTODOS Y DISEÑOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA (RSM)

Sirven para modelar y analizar aplicaciones donde la respuesta de interés

es influenciada por diversas variables y el objetivo es optimizar esta respuesta.

Supóngase que se desea obtener el máximo rendimiento en un proceso (y) que

tiene como variables relevantes la temperatura de reacción (x1) y el tiempo de

reacción (x2). La función de rendimiento está en función de temperatura y tiempo,

o sea:

La superficie representada por esta ecuación se denomina superficie de

respuesta.

Región óptima

Rendimiento

esperado (%)

Tiempo de reacción (min.)

Temperatura (ºC)

Fig. 3.1 Superficie de respuesta tridimensional, muestra el rendimiento esperado en función de la temperatura y tiempo

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

Como apoyo se visualiza la grafica de contornos de igual rendimiento de la

superficie de respuesta como se muestra en la siguiente figura.

Rendimiento (%)

30

25 70 75 80 85 90

Tiempo de

Reacción 20

(min.) Condiciones de operación actuales

15 60 65

100 110 120 130 140

Temperatura (ºC)

Fig. 3.2 Gráfica de contornos del rendimiento de la superficie de respuesta

Si la respuesta es modelada adecuadamente por una función lineal de las

variables independientes, entonces la función de aproximación es el modelo de

primer orden, por ejemplo:

(3.1)

Si hay curvatura en el sistema, entonces se requiere un polinomio de mayor orden

por ejemplo, el modelo de segundo orden,

(3.2)

3.1 .1 EL MÉTODO DE ASCENSO RÁPIDO

Frecuentemente el estimado inicial de las condiciones óptimas de

operación, se encuentran lejos del verdadero óptimo. En tal circunstancia el

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

objetivo es moverse rápidamente a la vecindad del óptimo verdadero, en forma

económica. En estas condiciones se utiliza un modelo de primer orden.

El método de ascenso rápido es un procedimiento para moverse

secuencialmente por la trayectoria de ascenso rápido, o sea, en la dirección del

máximo incremento de la respuesta. Por supuesto, si lo que se busca es la

minimización, entonces se utiliza el método de descenso rápido. El modelo

ajustado de primer orden es:

(3.3)

Para este modelo de superficie de respuesta de primer orden, los contornos de

son una serie de líneas rectas paralelas como se muestra en la siguiente figura:

=50

=40 Trayectoria de

ascenso rápido

Región de la =30

superficie de respuesta =20

ajustada de 1º orden

Fig. 3.3 Superficie de respuesta de primer orden y trayectoria de ascenso rápido

La dirección de ascenso rápido es la dirección en la cual se incrementa

más rápido, esta dirección es normal a los contornos de la superficie de respuesta

ajustada y se toma como trayectoria de ascenso rápido, la línea que pasa al

centro de la región de interés y normal a los contornos de la superficie

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

ajustada. De esta forma, los pasos a lo largo de la trayectoria son

proporcionales a los coeficientes de regresión { }. El experimentador

determina la cantidad real de movimiento a lo largo de esta trayectoria en base a

su conocimiento del proceso u otras consideraciones prácticas.

Los experimentos se realizan a lo largo de la trayectoria de ascenso

rápido hasta que ya no se observa incremento en la respuesta o hasta que la

región de la respuesta deseada se alcanza. Entonces se usa un nuevo modelo

de primer orden, se determina la dirección de una nueva trayectoria de ascenso

rápido y de ser necesario, se realizan experimentos adicionales en esa dirección

hasta que el experimentador sienta que está cerca del óptimo.

Ejemplo 3.1 Un ingeniero químico está interesado en determinar las condiciones de operación que maximizan el rendimiento de un proceso. Hay dos variables de control que influyen Tiempo de reacción y temperatura de reacción, el punto de operación actual es 35 minutos y 155ºF que da un rendimiento del 40% aproximadamente.

Se hace un diseño experimental variando el tiempo (30 a 40 minutos) y la temperatura (150 a 160ºF).

Por simplicidad se codifican las variables en el intervalo (-1, 1). Si las variables codificadas son X1 y X2 y las variables naturales son 1 y 2 se tiene:

El arreglo y los datos experimentales son:

Variables Variablesdel Proceso codificadas Rendimiento

Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y1 30 150 -1 -1 39.32 30 160 -1 1 40.03 40 150 1 -1 40.9

4

EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

4 40 160 1 1 41.55 35 155 0 0 40.36 35 155 0 0 40.57 35 155 0 0 40.78 35 155 0 0 40.29 35 155 0 0 40.6

Los cinco puntos centrales se usan como réplicas para

verificar la adecuación del modelo de primer orden (con Pure

error).

Por medio de Minitab se crea el diseño factorial:

>Stat >DOE >Factorial >Create factorial design

2 Level designs Options: 5 puntos centrals

Introducir los valores de respuesta Y correspondientes.

Los resultados que arroja Minitab son los siguientes:

>Stat >DOE >Factorial >Analyze factorial design

Estimated Effects and Coefficients for Y (coded units)

Term Effect Coef SE Coef T PConstant 40.4250 0.1037 389.89 0.000A 1.5500 0.7750 0.1037 7.47 0.002 Son signif. A y BB 0.6500 0.3250 0.1037 3.13 0.035A*B -0.0500 -0.0250 0.1037 -0.24 0.821Ct Pt 0.0350 0.1391 0.25 0.814

La ecuación de regresión es: Y 40.44 + 0.775 X1 + 0.325 X2

Analysis of Variance for Y (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 2.82500 2.82500 1.41250 32.85 0.0032-Way Interactions 1 0.00250 0.00250 0.00250 0.06 0.821Curvature 1 0.00272 0.00272 0.00272 0.06 0.814Residual Error 4 0.17200 0.17200 0.04300 Curvatura no

significativa Pure Error 4 0.17200 0.17200 0.04300Total 8 3.00222

Para la trayectoria de ascenso más rápido, se siguen los pasos siguientes:

a) Se elige el tamaño de paso de una de las variables del proceso . La

variable que tiene el coeficiente en valor absoluto más alto. En este caso se

elige X1.

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

b) El tamaño del paso para loas otras variables es

En este caso

Para convertir los tamaños de los pasos codificados (Delta

X1=1.0 y Delta X2=0.42) a las unidades naturales de tiempo y

temperatura se tiene:

Tomando el punto correspondiente a (0,0)se realizan

experimentos individuales adicionales, incrementando

las variables en los pasos indicados arriba

resultando en:

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

Varia

bles

Codif. Variables naturales Respuest

a

Pasos X1 X2 1 2 y

Origen 0 0 35 155

1 0.42 5 2

Orig.+ 1 0.42 40 157 41.0

Orig.+2 2 0.84 45 159 42.9

Orig.+3 3 1.26 50 161 47.1

Orig.+4 4 1.68 55 163 49.7

Orig.+5 5 2.10 60 165 53.8

Orig.+6 6 2.52 65 169 59.9

Orig.+7 7 2.94 70 171 65.0

Orig.+8 8 3.36 75 173 70.4

Orig.+9 9 3.78 80 175 77.6

Orig.+10 10 4.20 85 177 80.3

Orig.+11 11 4.62 90 179 76.2

Orig.+12 12 5.04 95 181 75.1

Se observa que el punto décimo representa el valor

máximo de la trayectoria de experimentación por lo

que ahora se tomará como nuevo punto central (0,0)el

punto (85, 175) y la región de experimentación para

1 es (80,90) y para 2 es (170,180), con las

variables codificadas X1 y X2 como sigue:

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

90

80

70

60

50

40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pasos

Fig. 3.4 Gráfica de rendimiento contra pasos en la trayectoria de ascenso más pronunciado

Haciendo nuevos experimentos alrededor del nuevo punto (0,0) se tiene:

Variables Variablesdel Proceso codificadas Rendimiento

Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y11 80 170 -1 -1 76.52 80 180 -1 1 77.03 90 170 1 -1 78.04 90 180 1 1 79.55 85 175 0 0 79.96 85 175 0 0 80.37 85 175 0 0 80.08 85 175 0 0 79.79 85 175 0 0 79.8

Los resultados de Minitab son los siguientes:Estimated Effects and Coefficients for Y1 (coded units)

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

Term Effect Coef SE Coef T PConstant 77.7500 0.1151 675.45 0.000A 1.0000 0.5000 0.1151 4.34 0.012 A y B signif.B 2.0000 1.0000 0.1151 8.69 0.001A*B 0.5000 0.2500 0.1151 2.17 0.096Ct Pt 2.1900 0.1544 14.18 0.000

Analysis of Variance for Y1 (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 5.0000 5.0000 2.5000 47.17 0.0022-Way Interactions 1 0.2500 0.2500 0.2500 4.72 0.096Curvature 1 10.6580 10.6580 10.6580 201.09 0.000Residual Error 4 0.2120 0.2120 0.0530 Pure Error 4 0.2120 0.2120 0.0530 Curvatura signifTotal 8 16.1200

Como la curvatura es significativa ahora aplicamos

el modelo central compuesto que se muestra abajo

para obtener un modelo de segundo orden.

+2 X4

(0, 1.414)

(-1,1) (1,1) (-, 0) (,0) Exp. Axiales(-1.414,0) (1.414,0)

X1 -2 (0,0) +2

(-1,-1) (1,-1)

(0,-1.414)

-2

Fig. 3.5 Diseño Central Compuesto en las variables codificadas del ejemplo

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

La ecuación de segundo grado que nos dará tiene la

forma siguiente:

Los experimentos a realizar por medio del diseño central compuesto tomando el nuevo

punto (0,0) en (85, 175) y agregando puntos axiales en +- 1.414 queda como:

Variables Variablesdel Proceso codificadas Rendimiento

Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y21 80 170 -1 -1 76.52 80 180 -1 1 77.03 90 170 1 -1 78.04 90 180 1 1 79.55 85 175 0 0 79.96 85 175 0 0 80.37 85 175 0 0 80.089

8585

175175

00

00

79.779.8

10111213

92.0777.93

8585

175175

182.07167.93

1.414-1.414

00

00

1.414-1.414

78.475.678.577.0

Se forma este diseño central compuesto por medio de:

>Stat >DOE >Surface response > Create surface response Design >Central

composite design

Designs Center points 5, para 13 corridas; Alfa custom 0.05

Options: Quitar Randomize

Introducir datos de respuestas de rendimiento

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

StdOrder RunOrder BlocksA B Y

1 1 1 -1.00000 -1.00000 76.5

2 2 1 1.00000 -1.00000 78.0

3 3 1 -1.00000 1.00000 77.0

4 4 1 1.00000 1.00000 79.5

5 5 1 -1.41421 0.00000 75.6

6 6 1 1.41421 0.00000 78.4

7 7 1 0.00000 -1.41421 77.0

8 8 1 0.00000 1.41421 78.5

9 9 1 0.00000 0.00000 79.9

10 10 1 0.00000 0.00000 80.3

11 11 1 0.00000 0.00000 80.0

12 12 1 0.00000 0.00000 79.7

13 13 1 0.00000 0.00000 79.8

Analizar el diseño con:

>Stat >DOE > Surfase response > Analyze surfase response design

Central Composite Design

Central Composite Design

Factors: 2 Blocks: none Center points: 5Runs: 13 Alpha: 1.414

Response Surface Regression: Y versus A, B

The analysis was done using coded units.

Estimated Regression Coefficients for Y

Term Coef SE Coef T PConstant 79.940 0.11896 671.997 0.000A 0.995 0.09405 10.580 0.000 Si P<0.05 son signif.B 0.515 0.09405 5.478 0.001A*A -1.376 0.10085 -13.646 0.000B*B -1.001 0.10085 -9.928 0.000A*B 0.250 0.13300 1.880 0.102

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

S = 0.2660 R-Sq = 98.3% R-Sq(adj) = 97.0%

Analysis of Variance for Y

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 5 28.2478 28.2478 5.64956 79.85 0.000 Linear 2 10.0430 10.0430 5.02148 70.97 0.000 Square 2 17.9548 17.9548 8.97741 126.88 0.000 Interaction 1 0.2500 0.2500 0.25000 3.53 0.102Residual Error 7 0.4953 0.4953 0.07076 Lack-of-Fit 3 0.2833 0.2833 0.09443 1.78 0.290 Pure Error 4 0.2120 0.2120 0.05300 Total 12 28.7431

El modelo cuadrático de regresión es significativo

Estimated Regression Coefficients for Y using data in uncoded units

Term Coef Constant 79.9400A 0.994975B 0.515165A*A -1.37625B*B -1.00125A*B 0.250000

Por tanto la Ecuación de regresión queda como:

Y = 79.94 + 0.995ª + 0.515B –1.376 A*A – 1.001 B*B + 0.25AB

Para las gráficas de contornos y de superficie de

respuesta se obtienen de Minitab con:

>Stat >DOE >Surfase response > Contour / Surfase

plots

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

La localización exacta del punto estacionario se

obtiene de la ecuación matricial siguiente:

Las matrices se invierten marcando el área donde quedará el resultado y con la función matemática MINV (rango de la matriz original).

Las matrices se multiplican marcando el área donde quedará el resultado y usando la función MMULT.

En términos de las variables naturales el punto estacionario es:

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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008

También se puede usar el análisis canónico para caracterizar la superficie de respuesta, por medio de la identificación de los eigen valores lamda en la siguiente ecuación de determinantes:

Como los coeficientes lambda son negativos se concluye que se trata de un punto estacionario máximo, si ambos son negativos se trata de un mínimo y si tienen signos diferentes se trata de cordilleras.

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