ecualizadores y filtros terminales Óptimos verónica m. miró comunicaciones eléctricas 2008
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Ecualizadores y Filtros Terminales Óptimos
Verónica M. MiróComunicaciones Eléctricas
2008
Corrección de la Distorsión - ECUALIZADORES
OBJETIVO Compensar ó igualar respuestas de
amplitud y fase no ideales de un canal cuya función transferencia es Hc(f).
H c(f) H ec (f)x(t) xc(t) y(t)
ECUALIZADORES
El ecualizador se coloca en cascada con el canal de manera que la respuesta en frecuencia del conjunto sea ideal, al menos hasta la máxima frecuencia de interés fx.
eKfHfH dtfjecC
2)(.)(
)( fH ecxfffH
eK
c
tfj d
)(
. 2
ECUALIZADORES
La forma de implementar el igualador es mediante un filtro llamado Filtro Transversal.
Los filtros transversales pueden ajustarse a cualquier requerimiento.
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL
Ck : Multiplicadores analógicos de 4 cuadrantes de ganancia ajustable. Son valores reales
TS : Unidades de retardo idénticas
Ts
GananciasVariables
y(t)
C-1
C0
x(t)
C1
C2
C0
C1
Ts
Forma Simétrica
Forma No Simétrica
1kC
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL Caso particular: 2 unidades de retardo, 3
ganancias ajustables, ( N = 3 )
)2()()()( 210 SS TtxCTtxCtxCty
efXCefXCfXCfY SS TfjTfj 222
210 )()()()(
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL La salida es la suma de un conjunto de
ecos de la entrada
eCeCCfX
fYfH SS TfjfTj
FT22
22
10)(
)()(
)( 221
20
2 eCCeCe SSS fTjfTjfTj
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL También podemos escribir la ecuación
anterior en su forma simétrica
La forma simétrica: presencia de un término central C0 (el mayor de todos los términos).
)( 210
21
2 eCCeCe SSS fTjfTjfTj
)2()()()( 101 SSFT TtCTtCtCth
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL
Podemos ver que la respuesta impulsiva es finita y discontinua como un muestreo.
HFT(f) será periódica, período fS = 1/TS Será necesario colocar un filtro pasabajos
para permitir que sólo el primer período pase.
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL
t
C1
C0
C-1
TS 2TS
h FT(t)
ffx
IH C(f)I
IHc(f)I
IHec(f)I
FiltroIdeal
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL Procedimiento de diseño para un ecualizador
basado en un Filtro Transversal.
Afecta en forma lineal la fase (1º término)Serie de Fourier en frecuencia con un número
finito de términos.Ck = C (kTS)Vamos a pedir que HFT(f) = Hec(f), IfI fx
)()( 21
1
2 eCefH SS Tkfj
kk
TfjFT
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL Generalizando para (N – 1) unidades de retardo y N
unidades de ganancia
Los coeficientes Ck se podrán calcular como los coeficientes de una serie de Fourier
)()( 22/)1(
2/)1(
2
12 eCefH SS Tkfj
N
Nkk
TNfj
FT
dfefHTdfefHf
kTCC S
S
S
S
S
S
Tkfj
f
f
FTSTkfj
f
f
FTS
Sk 2
2/
2/
2
2/
2/
)()(1
)(
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL Queremos que
casoOtrofH
ffffHfH
ec
SxecFT
0)(2
)()(
dfefHTdfefHTC SS
x
kTfjFTS
kTfjfx
f
FTSk 22 )()(
Hec(f) que se hace cero para . xff
)(2
1)( Sec
xSecSk kTh
fkThTC fx = fS /2
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSALObtención del N N se estima, no hay un método determinístico
Despreciar las muestras menores al 5% de la máxima muestra
de hec(t).
Procedimiento alternativo para la obtención de hec(t). Se adopta un valor de N y se calcula HFT(f). Si lo obtenido difiere mucho de Hec(f), se va aumentando la cantidad de muestras (se aumenta N) hasta tener una diferencia aceptable ó se cumpla la condición de error solicitada.
ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL – Puesta a punto Pedimos
Antitransformando
eKfHfH dtfjecc
2.)(.)(
decc ttKfHfHF .)(.)(1
H c(f) H ec (f)x(t) xc(t) y(t)
C k
(t-t d)
td
(t)
Filtro Transversal - Conclusiones Filtro general, se puede obtener cualquier función
transferencia H(f). Filtro flexible, variando sus ganancias. Mantener TS mismo ancho de banda.
Para uso en aplicaciones lineales del mismo ancho de banda de señal.
Generación de códigos de línea Desventajas: No es sencillo variar los TS (a menos que sea
un filtro digital con registros de desplazamiento que se pueden variar modificando el clock general).
El número de unidades de retardo es N-1 y se lo hace par, es decir, N es impar. Las ganancias Ck, trabajan de a pares los del mismo IkI , con respecto a C0 son iguales en magnitud y de igual ó distinto signo dependiendo si debemos compensar amplitud ó fase.
Se utiliza como ecualizadores adaptativos automáticos, ya que manteniendo fijo TS y N, se pueden variar los Ck (canal + igualador).
Filtro Transversal → hec(kTS)
Dos maneras de obtener hec(k.TS) por métodos discretos:
Por respuesta impulsiva hc(kTS)→Hc(nf0) Por muestreo de Hc(f) @ n.f0 Hec(nf0) → hec(kTS)
Filtro Transversal → hec(kTS)
Se hace un ensayo impulsivo del canal hc(t). Muestreándola tendríamos hc(kTS) Por aproximación a la antitransformada tendríamos
Hc(n.f0) pasando a Hec(n.f0) A través de la IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform)
hec(k.TS) Obteniendo C(k.TS). O sea hc(t) define a hec(t).
Ambas están relacionadas por hc(t) * hec(t) = k. δ(t – td) Si suponemos una igualación hasta un cierto ancho de
banda = k. sinc (t – td)
Filtro Transversal → hec(kTS)
Con N mediciones del canal en frecuencia, obtenemos Hc(nf0) y luego usando la ecuación siguiente a frecuencias discretas
Además tenemos fS = 1/TS, fS :período de HecS(nf0), podemos proponer fS = N.f0
T0: duración útil de hec(t) = período de hecS(kTS)
)( fH ec
0
)(
. 2
nffc
tfj
fH
eK d
NTf
T
T
f
fN S
S
S 10
0
0
Filtros Terminales Óptimos
Filtros Terminales Óptimos
Objetivos Eliminar la distorsión lineal de amplitud
producida por el canalMaximizar la relación (S/N)d
WfeKfHfHfH dtfjRCT 2)()()( ; W: Ancho de
Banda del canal
H T(f)
n(t)
x0(t) +n 0(t)
x(t)H C (f) H R (f)
xT(t)
S T S R (S/N) d
Filtros Terminales Óptimos
Canal ruidoso ó ruido no blanco La respuesta en frecuencia del canal varía
con el ancho de banda del mensaje.
Se diseñan filtros Transmisores y Receptores para mejorar la relación S/N0
Filtros Terminales Óptimos
La optimización requiere de una característica adicional: la potencia transmitida ST deberá ser la mínima posible.
Maximizaremos la relación T
d
S
N
S
Filtros Terminales Óptimos
Se elige HR (f) y HT(f) para cumplir la ecuación Se elige HR(f) para minimizar el ruido en esta etapa.Entonces: La señal de salida no está distorsionada Se maximiza la relación (S/N)d
FILTROS TERMINALES ÓPTIMOS
WfeKfHfHfH dtfjRCT 2)()()(
Filtros Terminales Óptimos
Haciendo K = 1 x0(t) = x(t – td)
E{x02(t)} = E{x2(t)} = Sd =
Nd = E{n02(t)} =
ST = E{XT2(t)} =
WfeKfHfHfH dtfjRCT 2)()()(
dffGx )(
dffGfH nR )()(2
dffHfG TX
2)()(
Filtros Terminales Óptimos
dT
d
T
d S
NS
N
S
S
tnE
txE
N
S
)(
)(2
0
20
.)(
.)()(.)()(22
dffG
dffGfHdffHfG
X
nRTX
.)(
.)()(.)()(
)( 2
2
dffG
dffGfHdffHfH
fG
X
nR
Rc
X
Para minimizar
Filtros Terminales Óptimos
Minimización: Adecuada elección de HR(f) Desigualdad de Schwarz
Con V(f) y W(f) funciones complejas de f
dffWdffVdffWfV222
* )(.)()(.)(
Filtros Terminales Óptimos
Igualdad: V(f) = c. W(f), c=ctte., c > 0
se minimiza
)(.)()( fHfGfV Rn
)()(/)()( fHfHfGfW RCX
d
T
N
S
S
)()( fWfV
Filtros Terminales Óptimos
x
nC
XR ff
fGfH
fGcfH
)()(
)()(
2
x
XC
nT ff
fGfH
fG
cfH
)()(
)(1)(
2
2
)(
)()(
)(
dffH
fGfG
dffGS
N
S
C
nX
XT
d
NOTA: Los límites de la integral podrán ser
cambiados por +/- fX dado que GX(f) = 0 para
valores por encima de fX.
Filtros Terminales ÓptimosConclusiones El filtro de recepción atenúa las frecuencias donde
el ruido (Gn(f)) es grande y la señal es pequeña, el de transmisión lo inverso.
La fase de HR y HT son arbitrarias, pero deben cumplir la ecuación
Mejora significativa frente a un ecualizador cuando HC(f) y/ó GX(f), Gn(f) varían apreciablemente en el ancho de banda del mensaje
WfeKfHfHfH dtfjRCT 2)()()(
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