ecuaciones polinomicas uni
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9x⁵- 12x⁴ + 2x³ - 2x² - 10x + 5x⁰¹
El grado de un polinomio : Observe el exponente de cada monomio, el de mayor exponente es el grado del polinomio
El coeficiente principal : El coeficiente del monomio de mayor exponente
El coeficiente independiente : Al monomio que solo muestra coeficiente
El grado del polinomio “5”
Coeficiente Principal “9”
Coeficiente Independiente “5”
+ 4a²Signo
Coeficiente
Exponente
Variable
Monomio :
División Sintética3 𝑥6−2𝑥5+𝑥3−32𝑥2+𝑥−8
𝑥−23 𝑥6−2𝑥5+𝑥3−32𝑥2+𝑥−8⌊𝑥−2¿¿
En toda división debe estar el Polinomio completo:
3 𝑥6−2𝑥5+𝟎 𝒙𝟒+𝑥3−32 𝑥2+𝑥−8⌊𝑥−2¿¿𝟑 𝒙𝟓−𝟑 𝒙𝟔+𝟔 𝒙𝟓
4 𝑥5+𝟒 𝒙𝟒
−𝟒 𝒙𝟓+𝟖 𝒙𝟒
8 𝑥4
+𝟖 𝒙𝟑
−𝟖 𝒙𝟒+𝟏𝟔𝒙𝟑
17 𝑥3
+𝟏𝟕𝒙𝟐
−𝟏𝟕𝒙𝟑+𝟑𝟒𝒙𝟐
2 𝑥2
+𝟐 𝒙
−𝟐 𝒙𝟐+𝟒 𝒙5 𝑥
+𝟓
−𝟓 𝒙+𝟏𝟎𝟐
El resto de la
División
Otra forma Sencilla
3 𝑥6−2𝑥5+𝑥3−32𝑥2+𝑥−8⌊𝑥−2¿¿
Ahora hacemos lo mismo pero solo ponemos los coeficientes:
3−2+𝟎+1−32+1−8⌊1−2¿ ¿𝟑−𝟑+𝟔
4+𝟒
−𝟒+𝟖8
+𝟖
−𝟖+𝟏𝟔1 7
+𝟏𝟕
−𝟏𝟕+𝟑𝟒2
+𝟐
−𝟐+𝟒5
+𝟓
−𝟓+𝟏𝟎𝟐El resto
de la División
𝟑 𝒙𝟓+𝟒 𝒙𝟒+𝟖 𝒙𝟑+𝟏𝟕𝒙𝟐+𝟐 𝒙+𝟓
3 -2 + 0 +1 - 32 + 1 - 8
Para que este factor
sea cero
2
3
6
4
8
8
16
17
34
2
4
5
10
2
El último número es
el resto
3 𝑥6−2𝑥5+𝟎 𝒙𝟒+𝑥3−32 𝑥2+𝑥−8
𝟑 𝒙𝟓+𝟒 𝒙𝟒+𝟖 𝒙𝟑+𝟏𝟕𝒙𝟐+𝟐 𝒙+𝟓
4 𝑥 ⁵−2𝑥 ⁴+5 𝑥 ³− 𝑥 ²−8𝑥+6=0Resolver :
Teorema de Descartes El grado del polinomio indica el número de soluciones
Número de soluciones = 5
¿De estas 5 soluciones cuantas son positivas y cuantas negativas?
Observe los signos de cada monomio, luego avance de monomio en monomio y cuente los cambios de signo
4 𝑥 ⁵−2𝑥 ⁴+5 𝑥 ³− 𝑥 ²−8𝑥+6=0+ + +-- -
Se contabilizó 4 cambios de signo, cuando este número es mayor o igual a 2; reste siempre 2
Hay 4 positivas ò 2 positivas
Soluciones Positivas:
4 𝑥 ⁵−2𝑥 ⁴+5 𝑥 ³− 𝑥 ²−8𝑥+6=0
Soluciones Negativas:
Observe los signos en cada monomio y cambie el signo si la potencia es impar, si la potencia es Par no cambie, el termino independiente mantiene su signo
4 𝑥 ⁵−2𝑥 ⁴+5 𝑥 ³− 𝑥 ²−8𝑥+6=0- - ++- -
Se contabilizó solo un cambio de signo, como este número es menor a 2; no se resta nada
Hay 1 negativa
Resumen:+ 4 ò +2- 1
Debe combinar las respuestas
+ 4 y - 1
+2 y -1
5 respuestas
3 respuestas faltan 2, por lo tanto se completa con complejos.
Descartes asegura que una de estas combinaciones sucederá de todas maneras.
Ejemplo: 4x⁷ +- 3x⁴ +5x³ - x - 12 =0
¿Cuántos cambios de signo? 2 cambios ¿restamos 2?
Hay 2 positivas ò ninguna positiva+ 2 ò +0
POSITIVAS
NEGATIVAS
-+ + +- -+ -¿Cuántos cambios de signo? 3 cambios ¿restamos 2?
- 3 ò -1
Resumen:
Hay 3 negativas ò una negativa
+ 2 ò +0- 3 ò -1 Las combinaciones
+2 y -3+2 y -1+0 y -3+0 y -1
Y 2 complejosY 4 complejosY 4 complejos
Y 6 complejos
7 Soluciones
Teorema de Gauss: Da una combinación de las posibles soluciones pero; solo racionales
2 𝑥 ⁴−3 𝑥 ³−4 𝑥 ²+3 𝑥+2=0
1.- Debe estar el polinomio completo, si falta algún monomio se completa con ceros.
2.- Se toma el coeficiente independiente y se hallan todos sus divisores
{ 2 } → {1 , 2}
3.- Se toma el coeficiente principal y se hallan todos sus divisores
{ 2 } → {1 , 2}
4.- Se divide cada divisor independiente entre cada divisor principal
±{ 1, ½, 2 } Hay 6 posibles soluciones racionales, 3 positivas y 3 negativas
5.- En la división sintética podemos saber cual es la respuesta pero; si ninguna es la respuesta entonces solo podemos decir que la respuesta es irracional y/o Compleja.
2 𝑥 ⁴−3 𝑥 ³−4 𝑥 ²+3 𝑥+2=0Recuerde que el Polinomio debe estar completo
-3 -4 32 2
Las soluciones según Gauss
1
22-1
-1-5
-5-2
-20
Cuando el último número es cero quiere decir que el numero probado es
una respuesta
𝑥=¿
1
2
2
1
1
-4
-4-6 Al no ser cero el
número probado no es respuesta
Probamos con otro numero
2 -1 -5 -22
243
61
20
Otra respuesta
𝑥=¿
Como lo que queda es cuadrática , lo podemos resolver
2 𝑥2+3 𝑥+12𝑥2
2+ 3 𝑥
2+ 1
2 𝑥2+3 𝑥2
+12
(𝑥+ 34)
2
−9
16+ 1
2 (𝑥+ 34)
2
−1
16⇒ ⇒ ⇒ ⇒
(𝑥+34+
14)(𝑥+
34−
14)⇒ ) ⇒𝑥=−1 ; 𝑥=−1/2
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