ecuaciones lineales y cuadraticas

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALACalidad, Pertinencia y Calidez

VICERRECTORADO ACADÉMICOCURSO DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

PROYECTO DE MATEMATICASVIDEO TUTORIAL

INTEGRANTES:Castro Freire Armando RobertoEspinoza Enríquez Leonardo AdaliGia Zhigui Joselyn SamantaGuamán Marín Luis FernandoQuintero Correa Annie KatrinSimbaña montesinos Ginne Alejandra

DIRECTORA:Ing. Mariuxi Marquez

TUTOR:Biólogo. Jaime Daniel Martínez

Martínez

Las MATEMÁTICAS SON EL ALFABETO CON EL CUAL DIOS HA ESCRITO EL UNIVERSO.

Galileo Galilei

TEMA: ECUACIONES LINEALES Y ECUACIONES CUADRATICAS

OBJETIVO GENERAL: Conocer y estudiar las formas de resolución de una ecuación lineal

y una ecuación cuadrática, a través de ejercicios propuestos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS: Identificar ecuaciones lineales y cuadráticas. Resolver ecuaciones lineales, por medio de los siguientes métodos:

Método de Sustitución. Método de Igualación. Método de Reducción. Método Grafico.

Resolver ecuaciones cuadráticas, por medio de la formula general o formula cuadrática.

ECUACIÓN 

Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra.

¿Cómo se resuelven las ecuaciones?

TIPOS DE ECUACIONES ECUACION LINEAL.- Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -bSi está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a.

ECUACION CUADRATICA.-

SISTEMA DE RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES

Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales:

Reducción Igualación Sustitución Grafico

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.

Reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por números y

sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo (molotov). 

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe.

EjemploMultiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

15x - 9y = 1

-15x + 20y = 5

IGUALACIÓN El método de igualación consiste en lo

siguiente: Supongamos que tenemos dos

ecuaciones: donde a ,b  , y c  representan

simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

Ejemplo El sistema de ecuaciones es equivalente a este otro

SUSTITUCIÓN Se debe despejar   en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida. 

Aquí  a, b, c, d y e son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

EjemploIntentemos resolver

METODO GRAFICO1. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método

gráfico se resume en las siguientes fases:2. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.3. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la

tabla de valores correspondientes.4. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.5. En este último paso hay tres posibilidades:

A. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.

B. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

C. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

y = -x + 600 y = 2xX y x y

200 400 100 200600 0 200 400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

SISTEMA DE RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:  

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática 

( x +   )   (x  -   ) = 0

Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.              Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8  (x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2]  

   (x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2

                                                                    4 · -2 = -8        x + 4 = 0       x – 2 = 0      x + 4 = 0      x – 2 = 0 x = 0 – 4      x = 0 + 2 x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones. 

Completando el Cuadrado:  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.  Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:    

 x2 + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.  Ejemplo:x2 + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]x2 + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]      

x2  + 2x + 1 = 9 (       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.                                  Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.      

 x + 1 =  ± 3x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]x = -1 + 3       x = -1 – 3 x = 2               x = -4 

4x2 + 12x – 8  = 0 

 4        4      4      4

Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: 

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8        

    x = -2 ± 6           2X =  -2 + 6     x = -2 - 6            2                  2     x = 4          x = -8         2                  2x = 2      x = - 4 

EJEMPLO APLICADO EN UN PROBLEMA DE GESTION

AMBIENTAL Si tenemos cuatro fabricas de

contaminantes X y Y, dos en 2 ciudades distintas y cada fabrica produce el 3% del contaminante X, y el 5% del contaminante Y. Si los ambientales han disminuido el 9% de la contaminación actual, cual es el porcentaje que falta por reducir la contaminación ambiental.