ecuaciones diferenciales i...en esta sección vamos a trabajar el método de ecuaciones...
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MATEMÁTICAS
CUARTO SEMESTRE
Ecuaciones Diferenciales I
Unidad 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Clave 05142422/06142422
Universidad Abierta y a Distancia de México
Unidad 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
UNADM | DCEIT | MT | MEDI1 1
ÍndicePresentación ........................................................................................................................... 2
Competencia específica .......................................................................................................... 2
Propósitos .............................................................................................................................. 2
Unidad 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden ............................................................... 3
1.1 Conceptos básicos y definiciones .......................................................................................... 3
1.2 Separación de variables ........................................................................................................ 5 1.2.1 Ecuaciones homogéneas ......................................................................................................................... 6 1.2.2 Ecuaciones de Bernoulli .......................................................................................................................... 9
1.3 Ecuaciones Exactas .............................................................................................................. 12 1.3.1 Teorema de existencia y unicidad ......................................................................................................... 19
Cierre de la unidad ............................................................................................................... 24
Para saber más ..................................................................................................................... 24
Fuentes de consulta .............................................................................................................. 25
Índice de figuras Fígura 1. Gráfica de la posición de la partícula versus tiempo. (Gráfica obtenida con Derive) _________________ 22 Fígura 2. Familia de curvas que representan algunas de las soluciones particulares de la Ecuación (5) (Gráfica generada con DERIVE) _________________________________________________________________________ 23
Unidad 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
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Presentación
Muchas de las leyes que rigen la naturaleza, ya sea físicas, químicas o astronómicas pueden ser
analizadas mediante modelos matemáticos. Estos modelos son, generalmente, funciones
matemáticas.
Recuerda que si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de
cambio de 𝑦 con respecto a 𝑥. En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus
razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de las leyes que gobiernan dicho
proceso. Por ello, al expresar tal conexión en lenguaje matemático, el resultado con frecuencia
es una ecuación diferencial.
Competenciaespecífica
Utilizar los principios de ecuaciones diferenciales para resolver ecuaciones diferenciales de
primer orden por medio de diferentes técnicas analíticas.
Propósitos
• Identificar sistemas de ecuaciones de primer orden.
• Aplicar los principios de ecuaciones diferenciales en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado y la ecuación de Bernoulli.
• Identificar ecuaciones diferenciales exactas y reducibles a ellas, y aplicar las técnicas de solución a las mismas.
Unidad 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
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Unidad1.Ecuacionesdiferencialesdeprimerorden
1.1 Conceptos básicos y definiciones
Una ecuación es una igualdad con incógnitas, por ejemplo:
es una ecuación algebraica de 2º grados donde los valores 𝑥! = −1 y 𝑥" = −2 satisfacen la
ecuación. En cambio, la siguiente ecuación también es una igualdad pero la incógnita es una
función que depende de la variable independiente 𝑥
𝑑"𝑦𝑑𝑥" + 𝑦 = 0,
en este caso 𝑦 = sin 𝑥 satisface la ecuación, pues # $%& '#'
= cos 𝑥 y por tanto #! $%& '#'!
= −sin 𝑥,
de esta manera
𝑑"𝑦𝑑𝑥" + 𝑦 = −sin 𝑥 + sin 𝑥 = 0
De manera similar la ecuación #!(
#'!+ #(
#)= 0 es una igualdad donde la incógnita es una función
de dos variables𝑢(𝑥, 𝑦). En este caso 𝑢(𝑥, 𝑦) = −𝑥" + 2𝑦 es una función que satisface la
ecuación, como lo puedes comprobar.
En general una ecuación en donde las incógnitas sean funciones, de una variable o de varias
variables, se llama ecuación diferencial.
En esta unidad nos concentraremos en ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, aquellas
ecuaciones que contienen derivadas de una o más variables dependientes respecto a una única
variable independiente. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son:
2 3 2 0xx + + =
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𝑑𝑦𝑑𝑥 + 5𝑦 = 𝑒'
𝑑"𝑦𝑑𝑥" −
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 6𝑥 = 0
𝑑𝑥𝑑𝑡 +
𝑑𝑦𝑑𝑡 = 2𝑥 + 𝑦
Por otra parte, las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas de una o más variables
dependientes respecto a dos o más variables independientes se llaman ecuaciones
diferenciales parciales. Por ejemplo, las siguientes igualdades son ecuaciones diferenciales
parciales
𝑑"𝑢𝑑𝑥" +
𝑑𝑢𝑑𝑦 = 0
𝑑"𝑢𝑑𝑥" +
𝑑"𝑢𝑑𝑦" +
𝑑"𝑢𝑑𝑧" = 0
El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de orden más alto. Por ejemplo:
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
El grado de una ecuación diferencial es igual al exponente positivo mayor al que se eleva la
derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo:
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de tercer grado.
Dada una ecuación diferencial, cualquier función que satisfaga dicha ecuación se conoce como
solución a la ecuación diferencial. Por ejemplo la función 𝑦 = 𝑥" + 1es una solución a la
ecuación diferencial #)#'− 2𝑥 = 0.
2
2 0d y ydx
+ =
32
2 0d y ydx
æ ö+ =ç ÷
è ø
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1.2 Separación de variables
Si una ecuación diferencial ordinaria de orden y grado uno es de la forma
𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜌(𝑦)𝑑𝑦
entonces la ecuación recibe el nombre de ecuación con variables separadas.
Algunos ejemplos son
(𝑥" + 2𝑥 − 1)𝑑𝑥 = sin(2𝑦)𝑑𝑦
y
[y + cos(𝑦)]𝑑𝑦 = (𝑥 − 4)𝑑𝑥
Observa que las ecuaciones anteriores se pueden reescribir como
𝑑𝑦𝑑𝑥 sin(2𝑦) =
(𝑥" + 2𝑥 − 1)
y
𝑑𝑦𝑑𝑥 [y + cos(𝑦)] = (𝑥 − 4)
respectivamente.
Para encontrar la solución a una ecuación de variables separadas sólo se integra en cada lado
de la ecuación, de esta manera las soluciones a la ecuación tienen la forma
@𝜌(𝑦)𝑑𝑦 − @𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶
donde 𝐶 es una constante.
Ejemplo
Consideremos la siguiente ecuación
𝑑𝑦𝑑𝑥(1 + 𝑥") =
6cos(2𝑦)
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Entonces si multiplicamos ambos lados de la ecuación por *+$("))(!.'!)
se tiene que
𝑑𝑦𝑑𝑥 cos(2𝑦) =
6(1 + 𝑥")
y multiplicando 𝑑𝑥 en ambos lados
𝑑𝑦 cos(2𝑦) =6
(1 + 𝑥") 𝑑𝑥
al integrar en ambos lados
@cos(2𝑦) 𝑑𝑦 = @6
(1 + 𝑥") 𝑑𝑥
resolviendo las integrales se tiene que
sin(2𝑦)2 + 𝑐! = 6tan/! 𝑥 + 𝑐"
como 𝑐! y 𝑐"son contantes entonces 𝐶 = 𝑐" − 𝑐! también es constante, por lo tanto la solución
a la ecuación será
$%&("))
"− 6tan/! 𝑥 = 𝐶.
1.2.1 Ecuacioneshomogéneas
Para definir una ecuación diferencial homogénea primero se debe de definir qué es una función
homogénea, para ello sea 𝑓:ℝ" → ℝ una función, entonces 𝑓(𝑥, 𝑦) se dice homogénea de
grado 𝑛 si satisface la siguiente relación
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡0𝑓(𝑥, 𝑦)
Por ejemplo la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥" − 𝑦" es homogénea de grado 2 pues
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)" − (𝑡𝑦)" = 𝑡"(𝑥" − 𝑦") = 𝑡"𝑓(𝑥, 𝑦)
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Ahora considera la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = '!/)!
'), entonces 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función homogénea de
grado cero pues
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) =(𝑡𝑥)" − (𝑡𝑦)"
(𝑡𝑥)(𝑡𝑦) =𝑡"(𝑥" − 𝑦")𝑡"(𝑥𝑦) = 𝑡1𝑓(𝑥, 𝑦)
Una ecuación diferencial de la forma
𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
se dice que es una ecuación diferencial homogénea si la función 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función
homogénea de grado cero.
Para resolver una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio de variable 𝑢 = )', pues
una ecuación diferencial homogénea siempre se puede reducir a una ecuación de la forma
𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦 𝑥J )
Con el cambio de variable se tiene que 𝑢𝑥 = 𝑦, por lo tanto #)#'= 𝑥 #(
#'+ 𝑢, de esta manera la
ecuación homogénea
𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
se reescribe como
𝑥𝑑𝑢𝑑𝑥 = 𝑔(𝑢) − 𝑢
y por tanto
𝑑𝑢𝑔(𝑢) − 𝑢 =
𝑑𝑥𝑥
La última es una ecuación diferencial por variables separadas y se aplica el método anterior
para poder resolverla.
Una forma práctica de resolver una ecuación diferencial homogénea es hacer directamente el
cambio de variable 𝑥𝑢 = 𝑦.
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Ejemplo
Consideremos la ecuación (𝑥 − 𝑦) + #)#'(3𝑦 + 𝑥) = 0, entonces al despejar la derivada se tiene
que
𝑑𝑦𝑑𝑥 =
𝑦 − 𝑥3𝑦 + 𝑥
Como lo puedes comprobar la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = )/'2).'
es una función homogénea de grado
cero. Por tal razón la ecuación diferencial es homogénea. Así sea 𝑦 = 𝑢𝑥, entonces
𝑑𝑦𝑑𝑥 =
𝑦 − 𝑥3𝑦 + 𝑥
se transforma en
𝑥𝑑𝑢𝑑𝑥 + 𝑢 =
𝑢𝑥 − 𝑥3(𝑢𝑥) + 𝑥 =
𝑢 − 13𝑢 + 1
por tanto
𝑥𝑑𝑢𝑑𝑥 =
𝑢 − 13𝑢 + 1 − 𝑢 =
−(3𝑢" + 1)3𝑢 + 1
separando las variables se tiene que
−(3𝑢 + 1)3𝑢" + 1 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥𝑥
así
@−(3𝑢 + 1)3𝑢" + 1 𝑑𝑢 = @
𝑑𝑥𝑥
resolviendo las integrales se tiene que
−13 ln |3𝑢" + 1| −
13 [√3 + tan
/!O√3𝑢P + 𝑐! = ln|𝑥| + 𝑐"]
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y por tanto
−13 ln |3𝑢" + 1| −
13 [√3 + tan
/!O√3𝑢P − ln|𝑥| = 𝐶
regresando el cambio de variable 𝑢 = )', la solución será
−13 ln |3(𝑦 𝑥⁄ )" + 1| −
13 [√3 + tan
/! R√3(𝑦 𝑥⁄ )S − ln|𝑥| = 𝐶.
1.2.2 EcuacionesdeBernoulli
Las ecuaciones diferenciales de la forma #)#'+ 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑦0𝑞(𝑥) con 𝑛 un número natural
distinto de 1, se llaman ecuaciones diferenciales de Bernoulli, el caso particular cuando 𝑛 = 0
se llama ecuación diferencial lineal de primer grado.
Para resolver las ecuaciones diferenciales de Bernoulli primero daremos un método para
resolver las ecuaciones diferenciales lineales pues las ecuaciones de Bernoulli se pueden
reducir a estas.
Supongamos que tenemos una ecuación lineal de la forma
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑦𝑝
(𝑥) = 𝑞(𝑥)
Y supongamos que la que la función 𝑞(𝑥) = 0, entonces la ecuación que queda es una ecuación
que se puede resolver por separación de variables (está ecuación se conoce como ecuación
lineal homogénea). Entonces resolviendo la ecuación
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑦𝑝
(𝑥) = 0
Por separación de variables se tiene que la solución será de la forma
𝑦 = 𝐶𝑒/∫4(')#'
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Para obtener la solución general de la ecuación lineal utilizamos el método de variación de
constantes, en el cual se buscan las soluciones de la forma
𝑦 = 𝐶(𝑥)𝑒/∫4(')#'
Realizando este procedimiento se tiene que la solución general a la ecuación diferencial lineal
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑦𝑝
(𝑥) = 𝑞(𝑥)
es
𝑦 = 𝑒/∫4(')#'[𝐶 + @𝑞(𝑥)𝑒∫4(')#'𝑑𝑥]
Ejemplo
Hallar la solución general de la siguiente ecuación:
𝑑𝑦𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 = 𝑥
En este caso, vemos que:
𝑝(𝑥) = −2𝑥
𝑞(𝑥) = 𝑥
así:
𝑒∫4(')#' = 𝑒∫/"'#' = 𝑒/'!
sustituyendo en la fórmula
𝑦 = 𝑒/∫4(')#'[𝐶 + @𝑞(𝑥)𝑒∫4(')#'𝑑𝑥]
𝑦 = 𝑒/'![𝐶 + @𝑥𝑒'!𝑑𝑥]
𝑦 = 𝑒/'![𝐶 +𝑒'!
2 ]
Finalmente se obtiene que
𝑦 = 𝑒/'!𝐶 +12
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Para resolver las ecuaciones de Bernoulli se realizará un cambio de variable para reducir la
ecuación a una ecuación diferencial lineal.
Así, consideremos la ecuación
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑦𝑝
(𝑥) = 𝑦0𝑞(𝑥)
y sea 𝑧 = !)"#$
, si 𝑛 ≠ 0 y 𝑛 ≠ 1, pues en estos casos la ecuación es lineal. Con este cambio de
variable la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal de la forma (que puedes
comprobar)
𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑝!
(𝑥) = 𝑞!(𝑥)
donde
𝑝!(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑝(𝑥)
y
𝑞!(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑞(𝑥)
Ejemplo
Considera la siguiente ecuación
𝑥"𝑑𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 𝑦2
Primero dividiremos toda la ecuación entre :
𝑥"
𝑥"𝑑𝑦𝑑𝑥 +
2𝑥𝑦𝑥" =
𝑦2
𝑥"
Simplificando nos queda una Ecuación de Bernoulli:
𝑑𝑦𝑑𝑥 +
2𝑦𝑥 =
𝑦2
𝑥"
Donde 𝑝(𝑥) = "' y 𝑞(𝑥) = !
'!
2x
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tomado a 𝑧 = !)!
y 𝑛 = 3, entonces
𝑝!(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑝(𝑥) = −22𝑥 =
−4𝑥
y
𝑞!(𝑥) = (1 − 𝑛)𝑞(𝑥) = −2 !'!= /"
'!,
por lo tanto, la ecuación de Bernoulli se redujo a la ecuación lineal
𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧
−4𝑥 =
−2𝑥" .
Resolviendo esta última ecuación lineal se tiene que
𝑧 =25𝑥 + 𝐶𝑥
5
ahora despejamos el valor de 𝑦 del cambio 𝑧 = !)!
se tiene que 𝑦 = !√7
, por lo tanto se tiene que
𝑦 =1
X 25𝑥 + 𝐶𝑥
5
1.3 Ecuaciones Exactas
En esta sección vamos a trabajar el método de ecuaciones diferenciales exactas y con factor
integrante, cabe mencionar que utilizando la combinación de estos dos métodos resuelve todas
las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado, solo que el costo por hacer esto es que
a veces se tendrán que resolver ecuaciones diferenciales parciales (unas ecuaciones que
aprenderás a resolver en los próximos semestres), por esta razón solo veremos los métodos en
los cuales se eviten resolver ecuaciones diferenciales parciales.
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Una ecuación diferencial de la forma
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
se dice exacta si
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 =
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦
Por ejemplo la ecuación
(𝑥2 + 𝑥𝑦")𝑑𝑥 + (𝑥"𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑦 = 0
es exacta pues
𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑥𝑦")
y
𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥"𝑦 + 𝑦2)
por lo tanto
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 = 2𝑥𝑦
y
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 = 2𝑥𝑦
por lo tanto se cumple que
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 =
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 .
Un método para resolver las ecuaciones diferenciales exactas es el siguiente:
Si la ecuación
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
es exacta entonces la solución esta dada por
∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑁(𝑥1, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶))%
''%
.
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Donde los puntos 𝑥1 y 𝑦1 son valores constantes y no hay que considerarlos como variables.
Ejemplo
La ecuación
(𝑥2 + 𝑥𝑦")𝑑𝑥 + (𝑥"𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑦 = 0
ya se verifico que es exacta y tendrá por solución
@𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + @𝑁(𝑥1, 𝑦)𝑑𝑦 =
)
)%
'
'%
= @(𝑥2 + 𝑥𝑦")𝑑𝑥 + @(𝑥1"𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑦
)
)%
'
'%
= R'&
5+ '!)!
"S |'%
' +R'%!)!
"+ )&
5S |)%
)
= R'&
5+ '!)!
"S − R'%
&
5+ '%!)!
"S+R'%
!)!
"+ )&
5S − R'%
!)%!
"+ )%&
5S
Simplificando términos se tiene que
= R'&
5+ '!)!
"+ )&
5S − R'%
&
5+ '%!)%!
"+ )%&
5S=0
Si ponemos 𝐶 = '%&
5+ '%!)%!
"+ )%&
5 pues todos los términos son constates; por lo tanto la solución
será
]𝑥5
4 +𝑥"𝑦"
2 +𝑦5
4 ^ = 𝐶
Por otra parte, ¿qué pasa cuando la ecuación no es exacta?
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
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¿Cómo resolver ese problema?, para ello se utiliza un método conocido como factor integrante,
este método consiste en multiplicar a la ecuación no exacta por una función de tal manera que
el producto resulte en otra ecuación que sí será exacta y de esta manera resolver la ecuación.
Es decir, supongamos que la ecuación 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 no es exacta, entonces sea
µ(x, y) una función de dos variables de tal manera que la ecuación
µ(x, y)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + µ(x, y)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
resulte ser una ecuación exacta. Tal función µ(x, y) recibe el nombre de factor integrante.
Para calcular cuánto tiene que valer el factor integrante utilicemos su definición, es decir la
ecuación
µ(x, y)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + µ(x, y)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
es exacta por tal razón
𝜕µ(x, y)𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 =
𝜕µ(x, y)𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦
que es equivalente a
𝜕µ(x, y)𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) + µ(x, y)
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 =
𝜕µ(x, y)𝜕𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦) + µ(x, y)
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦
así
𝜕µ(x, y)𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) −
𝜕µ(x, y)𝜕𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦) = µ(x, y) ]
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 −
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 ^
dividiendo entre µ(x, y) se tiene que
𝜕µ(x, y)𝜕𝑥
1µ(x, y)𝑁
(𝑥, 𝑦) −𝜕µ(x, y)𝜕𝑦
1µ(x, y)𝑀
(𝑥, 𝑦) = ]𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦 −𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥 ^
y de las reglas de derivación de logaritmos se tiene que
𝜕 ln µ(x, y)𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) −
𝜕 ln µ(x, y)𝜕𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦) = ]
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 −
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 ^.
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Esta última expresión es una ecuación diferencial parcial, aprenderás métodos para resolverla
más adelante en la carrera, por el momento sólo vamos a resolver dos casos particulares; a
saber, cuando la función µ(x, y) sólo depende la variable 𝑥 y cuando µ(x, y), solo depende de la
variable 𝑦; es decir los casos µ(x)y µ(y). Supongamos primero que µ(x, y) = µ(x), entonces la
última expresión se reduce a
𝜕 ln µ(x, y)𝜕𝑥 𝑁(𝑥, 𝑦) = ]
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 −
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 ^
Por lo tanto
𝜕 ln µ(x)𝜕𝑥 =
a𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 − 𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 b
𝑁(𝑥, 𝑦)
integrando con respecto a la variable 𝑥 se tiene que
ln µ(x) = @a𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 − 𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 b
𝑁(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
por lo tanto
µ(x) = 𝑒∫89;(',))9) /9=(',))9' >
=(',)) #' .
De manera similar se tiene que si µ(x, y) = µ(y) entonces
µ(y) = 𝑒∫89=(',))9' /9;(',))9) >
;(',)) #'
En la práctica para saber qué factor integrante se debe de utilizar sólo hay que fijarse si
?')(+,-)'- /'/(+,-)'+ @
=(',)) sólo depende de la variable 𝑥 entonces el factor integrante será µ(x)
Mientras que si
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?'/(+,-)'+ /')(+,-)'- @
;(',)) sólo depende de la variable y, entonces el factor integrante será µ(y)
Ejemplo
Consideremos la ecuación
a2𝑦 −1𝑥b𝑑𝑥 + a𝑥 +
2𝑥b𝑑𝑦 = 0
En este caso 𝑀(𝑥, 𝑦) = R2𝑦 − !'S y 𝑁(𝑥, 𝑦) = R𝑥 + "
'S. Ahora calculamos las parciales
correspondientes para verificar si la ecuación es exacta o no, es decir
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 = a1 −
2𝑥"b
Mientras que
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 = 2
Por lo tanto
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 ≠
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥
Y en consecuencia la ecuación no es exacta, por tal razón debemos de encontrar su factor
integrante. Para ello analicemos
a𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 − 𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 b
𝑁(𝑥, 𝑦) = c2 − R1 − 2
𝑥"S
R𝑥 + 2𝑥Sd = c
1 + 2𝑥"
R1 + 2𝑥"S 𝑥
d =1𝑥
Por lo tanto el factor integrante que se necesita es µ(x). De esta manera utilizamos la formula
de µ(x) para obtener
Unidad 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
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µ(x) = 𝑒∫89;(',))9) /9=(',))9' >
=(',)) #' = 𝑒∫!'#' = 𝑒A& ' = 𝑥
por lo tanto si multiplicamos la ecuación inicial por el factor µ(x) = 𝑥
se tendrá que
𝑥 a2𝑦 −1𝑥b 𝑑𝑥 + 𝑥 a𝑥 +
2𝑥b𝑑𝑦 = 𝑥0
lo que implica que
(2𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑥 + (𝑥" + 2)𝑑𝑦 = 0.
En este caso la funciones 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) tomarán los siguientes valores
𝑀(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦 − 1)
y
𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥" + 2)
de esta manera
𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥 = 2𝑥
mientras que
𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦 = 2𝑥.
Por lo tanto la ecuación es exacta y se puede utilizar el método anterior para obtener como
solución
𝑥"𝑦 + 2𝑦 − 𝑥 = 𝐶
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1.3.1 Teoremadeexistenciayunicidad
Hasta el momento se han resuelto diversas ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando
diversos métodos, pero te has preguntado ¿Por qué las ecuaciones diferenciales tienen
solución? ¿Las soluciones a las ecuaciones diferenciales son únicas? Las respuestas a estas
preguntas se tienen con el Teorema de Existencia y Unicidad enunciado a continuación.
Sea una ecuación diferencial 𝑦B = 𝑓(𝑥, 𝑦), donde la función 𝑓(𝑥, 𝑦) esta definida en un dominio
𝐷 de ℝ", que contiene el punto (𝑥1, 𝑦1). Si la función 𝑓(𝑥, 𝑦) satisface las condiciones:
1) f(x,y) es continua en 𝐷 como función de dos variables.
2) 𝑓(𝑥, 𝑦) admite derivada parcial 9C(',))9)
, continua como función de dos variables en 𝐷.
Entonces, existe una y sólo una solución 𝜑(𝑥) = 𝑦 de la ecuación dada que satisface a la
condición inicial 𝑦(𝑥1) = 𝑦1.
La condición 𝑦(𝑥1) = 𝑦1 se conoce como condición inicial.
Hasta el momento sólo se han resuelto ecuaciones sin condiciones iniciales, analizaremos
algunos de los ejemplos dados y los convertiremos en problemas de valor inicial y daremos las
soluciones.
Ejemplo
Consideremos la ecuación
𝑑𝑦𝑑𝑥(1 + 𝑥") =
6cos(2𝑦)
Con condición inicial 𝑦(0) = 1. Entonces como ya lo hemos calculado la solución a la ecuación
es $%&("))"
− 6tan/! 𝑥 = 𝐶, entonces al sustituir 𝑥 = 0 y 𝑦 = 1, que son las condiciones iniciales,
se obtiene
Unidad 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
UNADM | DCEIT | MT | MEDI1 20
sin(2)2 − 6tan/! 0 = 𝐶
por lo tanto
sin(2)2 = 𝐶
y en consecuencia la solución a esta ecuación con condición inicial sería
sin(2𝑦)2 − 6tan/! 𝑥 =
sin(2)2 .
Como otro ejemplo consideremos la ecuación
𝑑𝑦𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 = 𝑥
Con condición inicial 𝑦(1) = 2". Como sabemos la solución a esta ecuación esta dada por
𝑦 = 𝑒/'!𝐶 +12
entonces al sustituir los valores 𝑥 = 1 y 𝑦 = 2" se tiene que
32 = 𝑒/!!𝐶 +
12
despejando a 𝐶 se tiene que
𝐶 = 𝑒
y por tanto la solución a nuestro problema inicial será
𝑦 = 𝑒/'!𝑒 +12 = 𝑒(/'!.!) +
12.
Para englobar lo visto en esta unidad veremos los siguientes problemas:
Un móvil se desplaza a lo largo del eje de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo
está dada por la ecuación . Encuentra la ecuación que determine la
x
0t ³ ( ) 21 2a t t t= - +
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posición de la partícula en cualquier tiempo, suponiendo que inicialmente la partícula
está localizada en y está viajando a una velocidad de
Solución:
Por el cálculo elemental, sabemos que la primera derivada nos da la velocidad y la segunda
derivada la aceleración. De donde los datos del problema de valor inicial serían:
(1)
Integrando la Ecuación (1) con respecto a obtenemos la velocidad:
Y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en
cualquier tiempo sería:
Integrando de nuevo, obtenemos el desplazamiento:
y usando la condición podemos determinar que y obtener la posición de la
partícula en cualquier tiempo :
En la figura1 se muestra la gráfica del movimiento:
( )x t t
1x = 3v = -
( ) 21 2a t t t= - +
22
2 1 2d x t tdt
= - +
( )0 1x =
( )' 0 3x = -
x3
213
dx tv t t cdt
= = - + +
( )' 0 3x = - 1 3c = -
t3
2 33
dx tv t tdt
= = - + -
( ) 2 3 42
1 1 1 32 3 12
x t t t t t c= - + - +
( )0 1x = 2 1c =
t
( ) 2 3 41 1 1 3 12 3 12
x t t t t t= - + - +
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Figura 1. Gráfica de la posición de la partícula versus tiempo. (Gráfica obtenida con Derive).
Problema 2:
Dado el problema de valor inicial
(2)
podemos obtener fácilmente la solución mediante separación de variables:
(3)
Integrando ambos lados de la ecuación obtenemos que:
(4)
La solución general será:
(5)
Si usamos la condición inicial:
122dy xy
dx=
( )0 0y =
122dy xy
dx=
12
2dy xdxy
=
12
2dy xdxy
=ò ò
1222y x c= +
( )0 0y =
0c =
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Por lo tanto, una solución particular de la ecuación será:
Elevamos al cuadrado para despejar “y”:
(6)
Al observar la ecuación (4) vemos que no está definida para y=0 (no se puede dividir entre
cero); sin embargo, y=0 también es una solución de la ecuación diferencial, esta solución recibe
el nombre de solución singular porque no se obtiene a partir de la solución general (5).
Al sustituir las condiciones iniciales obtenemos distintos valores para la constante, cada
solución representa una solución particular. En la figura 2 se muestran algunas de las
soluciones.
Figura 2. Familia de curvas que representan algunas de las soluciones particulares de la Ecuación (5) (Gráfica generada con Derive).
1222y x=
4
4xy =
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Cierredelaunidad
Como pudiste observar, las ecuaciones diferenciales combinan diferentes técnicas de las
matemáticas para poder encontrar las soluciones, por esta razón es muy importante que
refuerces tus conocimientos previos para poder desarrollar mejor tus habilidades en esta
asignatura.
Además de lo mencionado anteriormente, cabe señalar que existen diversos problemas en la
naturaleza que se modelan utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, por
lo cual se te recomienda que lo que aprendiste en este módulo lo trates de aplicar en algún
problema de la vida cotidiana.
Esperamos que después de esta unidad tu entusiasmo por estudiar ecuaciones diferenciales sea
mayor, pues en las siguientes unidades aprenderemos a resolver ecuaciones diferenciales de
grado mayor, las cuales te ayudarán a resolver ecuaciones diferenciales parciales.
Parasabermás
https://www.youtube.com/watch?v=s7vrM
p8lvfQ
https://www.youtube.com/watch?v=7HYc
QTTKPdA
Unidad 1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
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Fuentesdeconsulta
• Espinosa, Canals. Muños, Pérez, Prado, Darío, Ulín (2010), Ecuaciones diferenciales
ordinarias, México: Reverte.
• Larson, R., (2009), Matemáticas II Cálculo integral. México: Mc Graw Hill.
• Picón, P., (2006), Análisis conjunto, México: Porrúa.
• Zill, D., (2008), Ecuaciones diferenciales, México: Mc Graw Hill.
• Kiseliov,Krasov,Makarenko, (2002), Problemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias, México: Quinto Sol.
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