ecuaciones diferenciales de primer orden. caída libre...

Ecuaciones Diferenciales de Primer

Orden. Caída Libre con Resistencia

del Aire.

I. El comando DSolve. Resolvemos el problema de valor inicial de

primer orden. Velocidad inicial igual a cero (menor que la velocidad

límite).

In[1]:= DSolve@8v'@tD + Ρ * v@tD � g, v@0D � 0<, v@tD, tD

Out[1]= ::v@tD ®ã-t Ρ H-1 + ãt ΡL g

Ρ

>>

II. Graficamos la función resultante. Tomamos los valores:

In[2]:= g = 9.81;

Ρ = 0.14;

v1@t_D =ã-t Ρ H-1 + ãt ΡL g

�� Expand

Out[4]= 70.0714 - 70.0714 ã-0.14 t

In[5]:= menor = Plot@8v1@tD, 70.0714<, 8t, 0, 25<, PlotRange ® 8-1, 100<D

Out[5]=

5 10 15 20 25

20

40

60

80

100

III. El comando DSolve. Resolvemos el problema de valor inicial de

primer orden. Velocidad inicial mayor que la velocidad límite.

III. El comando DSolve. Resolvemos el problema de valor inicial de

primer orden. Velocidad inicial mayor que la velocidad límite.

In[6]:= Clear@v, tDDSolve@8v'@tD + Ρ * v@tD � g, v@0D � 90<, v@tD, tD

Out[7]= 99v@tD ® 70.0714 ã-0.14 t I0.284404 + 1. ã

0.14 tM==

IV. Graficamos la función resultante. Tomamos los valores:

In[8]:= v2@t_D = 70.0714 ã-0.14 t I0.284404 + ã

0.14 tM �� Expand

Out[8]= 70.0714 + 19.9286 ã-0.14 t

In[9]:= mayor = Plot@8v2@tD, 70.0714<, 8t, 0, 25<, PlotRange ® 8-1, 100<D

Out[9]=

5 10 15 20 25

20

40

60

80

100

V. Ambas gráficas:

In[10]:= Show@menor, mayorD

Out[10]=

5 10 15 20 25

20

40

60

80

100

2 Caida_Resistencia_Aire.nb

VI. El campo de direcciones asociado a la ED.

In[12]:= campo = VectorPlot@81, g - Ρ * v<, 8t, 0, 60<, 8v, 0, 80<, AspectRatio ® AutomaticD

Out[12]=

0 10 20 30 40 50 60

0

20

40

60

80

In[14]:= Show@menor, mayor, campoD

Out[14]=

5 10 15 20 25

20

40

60

80

100

Caida_Resistencia_Aire.nb 3

VII. ¿Qué es la solución general de una ED?

In[15]:= DSolve@v'@tD + Ρ * v@tD � g, v@tD, tD

Out[15]= 99v@tD ® 70.0714 + ã-0.14 t

C@1D==

In[27]:= familia = PlotAEvaluateATableA970.0714 + C * ã-0.14*t

, 70.0714=, 8C, -100, -70<EE,

8t, 0, 25<, PlotRange ® 8-1, 80<E

Out[27]=

5 10 15 20 25

20

40

60

80

VIII. ¿Qué es una solución particular de una ED?

In[64]:= datoinicial = ListPlot@885, 25.2<<, PlotStyle ® 8Red, PointSize@0.019D<D

Out[64]=

2 4 6 8 10

10

20

30

40

50

4 Caida_Resistencia_Aire.nb

In[65]:= Show@familia, datoinicialD

Out[65]=

5 10 15 20 25

20

40

60

80

In[53]:= vsp@t_D =g

Ρ-

1

Ρ* Exp@-Ρ * Ht - 18.1263LD

Out[53]= 70.0714 - 7.14286 ã-0.14 H-18.1263+tL

In[62]:= solparticular =

Plot@vsp@tD, 8t, 0, 25<, PlotRange ® 8-1, 72<, PlotStyle ® 8Thickness@0.007D, Blue<D

Out[62]=

5 10 15 20 25

10

20

30

40

50

60

70

Caida_Resistencia_Aire.nb 5

In[67]:= Show@familia, solparticular, datoinicialD

Out[67]=

5 10 15 20 25

20

40

60

80

6 Caida_Resistencia_Aire.nb