ecuaciones de laplace
Post on 28-Jul-2016
243 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ECUACIONES DE LAPLACE Instituto Tecnológico Superior de Venustiano Carranza
Docente: ing. Jesús Hernández Pérez
Alumno: Uriel Alba Yáñez
19 DE ABRIL DE 2016 ECUACIONES DIFERENCIALES
Villa lázaro cárdenas, Venustiano Carranza, Puebla
ECUACIONES DE LAPLACE
1
Índice 1. Definición de la transformada de Laplace ....................................................................... 2
2. Transformada inversa de Laplace ..................................................................................... 5
Forma integral ............................................................................................................................... 6
Tabla de transformadas más usadas ........................................................................................ 6
3. Función de escalón unitario ................................................................................................ 7
4. Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad y teorema de
translación) .................................................................................................................................... 10
Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace ...................................................... 10
Primer Teorema de translación ................................................................................................ 10
Segundo Teorema de translación ............................................................................................ 10
Bibliografía ..................................................................................................................................... 11
ECUACIONES DE LAPLACE
2
1. Definición de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para
solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es
transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del
álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica
La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas
originales.
El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede
usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la
transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se
pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar
operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en
el plano complejo.
Definimos:
f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se
define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por
la integral.
s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente
para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes
constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar
en el campo complejo, considerando a scomo complejo.
L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe
transformarse por la integral de Laplace
Definicion. Una función u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de Laplace si
existe un real a > 0 tal que la integral converge para s > a. En este
caso, la transformada de Laplace de la función u es la función u definida en el
intervalo a < s < ∞ cuyo valor en cada s está dado por:
ECUACIONES DE LAPLACE
3
A veces conviene denotar la transformada de Laplace u de u mediante L {u}.
Recuérdese que la integral
impropia converge si la integral finita existe para
todo B > 0 y si lim existe y es finito. Entonces, por definición,
Ejemplos:
(Función constante). La función constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace
uˆ(s) = 1 s definida en 0 < s < ∞. En efecto,
Para 0 < s < ∞. Se observa que la integral diverge para s ≤ 0. (Función
exponencial). La función u(t) = e at tiene transformada de Laplace
definida en a < s < ∞ . En este caso,
(Función t n, n > 0 entero). La función u(t) = t n (n > 0 entero) tiene transformada
de Laplace definida en 0 < s < ∞. Primero, para n = 1, integrando por
partes obtenemos:
Para 0 < s < ∞. Para n > 1, la integración por partes da:
ECUACIONES DE LAPLACE
4
Y aplicando esto repetidamente, obtenemos:
Para 0 < s < ∞.
(Funciones seno y coseno). Se tiene:
Para 0 < s < ∞, donde a a= 0. Integrando por partes obtenemos:
Y volviendo a integrar por partes,
Luego:
De aquí se obtiene la expresión para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresión
para L {cos a t}. (Función de Heaviside). La función escalón de Heaviside o salto
unitario es la función H definida para todo t, −∞ < t < ∞, por:
ECUACIONES DE LAPLACE
5
La función salto unitario en a es la translación H(t − a) de H (véase figura 1):
Para a > 0 y 0 < s < ∞, se tiene:
En general.
Es decir,
2. Transformada inversa de Laplace
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la
función f(t) que cumple con la propiedad
ECUACIONES DE LAPLACE
6
Donde es la transformada de Laplace. La transformada de Laplace junto con la
transformada inversa de Laplace tiene un número de propiedades que las hacen
útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
Forma integral
Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de
Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la
integral lineal:
Donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical en el plano complejo
tal que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de.
Tabla de transformadas más usadas
ECUACIONES DE LAPLACE
7
Nota:
La transformada inversa de Laplace de F(s), no necesariamente es única.
Por ejemplo la función:
Y la función g(t) = 1 (obsérvese que f(t) 6= g(t)) tienen la misma transformada, es
decir, £{f(t)} = £{g(t)} = 1 s . Sin embargo £−1{ 1 s } = f(t) y £−1{ 1 s } = g(t) son
diferentes. Pero cuando f(t) y g(t) son continuas para t ≥ 0 y £{f(t)} = £{g(t)} entonces
f(t) = g(t)
3. Función de escalón unitario
En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no,
o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema
mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que
suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas
funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función
escalón unitario.
También llamada función salto unidad de Heavside, y con frecuencia se utiliza en
aplicaciones que tratan casos o situaciones que cambian de manera abrupta en
tiempos específicos. Para esto se necesita una notación para una función que
suprima un término dado hasta cierto valor de t e inserte ese término para todo valor
mayor que t. esta función nos proporciona una herramienta poderosa para construir
transformadas inversas.
La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su
nombre a Oliver Heaviside. Es una función continua cuyo valor es 0 para cualquier
argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:
ECUACIONES DE LAPLACE
8
Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales,
representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda
prendida indefinidamente.
Es la integral de la función delta de Dirac. Función escalón considerando u(0) =
1/2El valor de u(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como u(0) = 0, otros
u(0) = 1. u(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza la simetría
de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:
Varias unciones discontinuas frecuentemente se pueden expresar en términos de
esa función por eso es el punto de partida para el tema de las funciones definidas
por tramos.
Para cada constante a la gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura.
ECUACIONES DE LAPLACE
9
Observes que se ha dejado u(t-a) indefinida en t=a, y la figura incluye un segmento
vertical. El segmento vertical es tan solo una conveniencia del diagrama en este
caso, y de ninguna manera es parte de la gráfica de una función. Con respecto al
por que u(t) queda indefinido, existen dos razones: primero, la definición de u(t) no
afecta a la transformada de Laplace de u(t-a). La transformada de Laplace se define
mediante integrales, que no se ven afectadas por el valor de la función en un punto
dado cualquiera, al integrar. Al dejar sin definir algunos valores nos evitamos
molestias y detalles innecesarios que provoquen distracción de lo que nos ocupa.
Segundo, cada vez que resulte apropiada la definición de u(t) por alguna razón,
tenemos que estar libres para determinar el valor apropiado a la situación.
Ejemplo
ECUACIONES DE LAPLACE
10
4. Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad y
teorema de translación)
Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace
Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación
lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para a (alfa) y
b (beta) constantes.
La transformación de Laplace es lineal, esto es, dadas dos funciones se verifica.
Primer Teorema de translación
Si a es un número real cualquiera, entonces.
Demostración:
Nota:
Segundo Teorema de translación
Si a > 0 y f(t) es continua para t ≥ 0 y de orden exponencial entonces.
Demostración:
ECUACIONES DE LAPLACE
11
Hagamos u = t − a ⇒ du = dt, por lo tanto,
NOTA: forma recíproca
Bibliografía http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/docs/cap6.pdf
http://ergonpro.blogspot.mx/2011/05/36-propiedades-de-la-transformada-de.html
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/master_iccp/miccp511/images/Imagenes_co
mplementarios/resumen_laplace.pdf
http://matematicas.univalle.edu.co/~jarango/Books/curso/cap07.pdf
top related