ecuaciones de dirac
Post on 07-Jul-2018
231 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
1/36
La ecuación de Dirac
17 de marzo de 2015
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 1 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
2/36
Hamiltoniano de Dirac
El hamiltoniano propuesto por Dirac es el siguiente:
H D = −i α · ∇ + β m
y conduce a la siguiente ecuación:
i ∂ t + i α · ∇ − β mψ = 0Los objetos αi y β satisfacen las siguientes relaciones:
β 2 =
αiα j + α jαi = 2 δ ij
αiβ + βαi = 0
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 2 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
3/36
Dirac probó que, para part́ıculas con masa, la ḿınima dimensiónpara representar el álgebra mediante matrices era n = 4.
Representación de Dirac:
αi = 0 σiσi 0 β = 00 −
Para mostrar que este formalismo es invariante de Lorentz, multiplica-mos la ecuación de Dirac por β (por la izquierda):
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 3 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
4/36
iβ ∂ tψ + iβ αi∂
i
−β 2m
ψ = 0
Si llamamos γ 0 ≡ β , γ i ≡ βαi, y usando que β 2 = ,
iγ 0 ∂ tψ + i γ · ∇ − mψ = 0Definiendo un cuadrivector γ µ = (γ 0, γ ), la ecuación queda como:
(iγ µ
∂ µ − m)ψ = 0donde ψ es un vector de cuatro componentes.
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 4 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
5/36
Matrices de Dirac
1
Al cuadrivector γ µ
se le conoce como Matrices de Dirac
2 Dicho cuadrivector no transforma bajo Lorentz como lo hacexµ
3 Satisface: {γ µ, γ ν } = 2gµν y γ µ = gµν γ ν
4 A veces es útil definir γ 5 = γ 5 = i γ 0γ 1γ 2γ 3, donde:
γ 5 = 0 0
5 Mediante cálculo directo, γ µ† = γ 0γ µγ 0
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 5 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
6/36
Relación enerǵıa–momentum
A la ecuación de Dirac en notación covariante, apliquemos el operador
(i γ ν
∂ ν + m) por izquierda:
(i γ ν ∂ ν + m)(i γ µ∂ µ − m)ψ = 0
(−γ ν γ µ∂ ν ∂ µ − m2)ψ =
Notar que:
γ ν γ µ∂ ν ∂ µ = 1
2{γ µ, γ ν }∂ ν ∂ µ = gµν ∂ ν ∂ µ = ∂ µ∂ µ
Por tanto, los spinores de Dirac tambiém satisfacen K–G:
(∂ µ∂ µ + m2)ψ = 0
∴ E 2 = p 2 + m2
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 6 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
7/36
Ecuación adjunta y corriente conservada
Tomemos el hermı́tico conjugado de la ecuación de Dirac:
−i ∂ µψ†γ µ† − mψ† = 0
−i ∂ µψ†
γ
0
γ
µ
γ
0
− mψ†
= · γ 0−i ∂ µψ†γ 0γ µ − mψ†γ 0 =
Si definimos el spinor adjunto ψ ≡ ψ†γ 0, la ecuación queda escrita
como sigue: i ∂ µψγ µ + mψ = 0
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 7 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
8/36
Ahora,
i γ µ∂ µψ
−mψ = 0 ψ ·
i ∂ µψγ µ + mψ = 0
· ψy sumando,
i ψγ µ∂ µψ + i ∂ µψγ µψ = 0
∂ µ
ψγ µψ
=
∂ µ µ =
y hemos encontrado una cantidad conservada. La corriente es:
µ = ψγ µψ
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 8 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
9/36
Notemos que:
0 = ψγ 0ψ = ψ†
ψ ≥ 0y la probabilidad vuelve a ser positiva definida.
La densidad lagrangiana para el campo spinorial es:
L = ψ(i γ µ∂ µ − m)ψ
La ecuación de Euler–Lagrange para ψ nos entrega la ecuación de
Dirac; para ψ, la ecuación adjunta.
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 9 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
10/36
Spinores de una part́ıcula libre
Como el spinor de Dirac satisface la ecuación de K–G, entonces admitesoluciones de onda plana:
ψ(x) = u( p) e−i pµxµ
donde u( p) es un spinor de cuatro componentes independientes de xµ.Este spinor satisface:
(γ µ pµ − m)u( p) = 0
(I) Sistema de referencia con la part́ıcula en reposo: En este caso, pµ = (E, 0 ).
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 10 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
11/36
La ecuación de autovalores queda:
(Eγ 0
−m)u(E ) = 0
m 00 −m
uAuB
= E
uAuB
donde hemos representado al spinor u (de cuatro componentes) me-
diante dos spinores de Weyl , uA y uB.
Los autovalores y autovectores son triviales. y los escribimos en funciónde dos spinores de Weyl:
χ(1) = 1
0
∧ χ(2) = 01
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 11 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
12/36
Aśı,
u(1) =
χ(1)
0
, u(2) =
χ(2)
0
con E = m
u(3) =
0χ(1)
, u(4) =
0χ(2)
con E = −m
(II) Sistema de referencia con la part́ıcula en movimiento: En este caso, p = 0. Aśı:
(Eγ 0 − γ · p − m)u( p) = 0
γ 0 ·(E − γ 0γ · p − mγ 0)u( p) =
(E − α · p − mβ )u( p) =( α · p + mβ )u( p) = Eu( p)
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 12 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
13/36
Escribiendo en forma matricial,
m σ · pσ · p −m uAuB = E uAuB lo que se reduce a:
(σ·
p )uB = (E −
m)uA ∧
(σ·
p )uA = (E + m)uB
∴ (E − m)uA = (σ · p )2
E + m uA
Calculando, (σ
· p )2 = p
2
y aśı:
E 2 = p2
+ m2 → E = ±
p2 + m2
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 13 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
14/36
Volviendo al problema,
uA(1) = χ(1) =
10
, uA(2) = χ(2) =
01
En este caso, el segundo spinor de Weyl satisface:
uB(s) =
σ · pE + m
χ(s) , s = 1, 2
la cual solo funciona para las soluciones con E > 0, ya que de otro
modo uB diverge en el sistema de referencia donde la part́ıcula está enreposo.
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 14 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
15/36
El spinor de Dirac con E > 0 queda:
u(s)( p) = N χ(s)
σ · pE + m
χ(s) , s = 1, 2
donde N es una constante de normalización. Encontramos las otras
soluciones L.I. si tomamos:
ub(1) = χ(1) =
10
, ub
(2) = χ(2) =
01
y por tanto,
uA(s) =
σ · pE − m uB
(s) = − σ · p−E + m uB(s)
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 15 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
16/36
Por el mismo argumento anterior, para E
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
17/36
Introduciendo la normalización u†u = 2E → N = √ E + m, loscuatro spinores son:
u(1,2) =√
E + m
χ(1,2)
σ · pE + m
χ(1,2)
v(1,2) =
√ E + m
σ · pE + m
χ(2,1)
χ(2,1)
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 17 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
18/36
Invariancia de Lorentz
Asociemos a cada punto del espacio–tiempo xµ la matriz herḿıtica:
X (xµ) =
x0 + x3 x1 − ix2x1 + ix2 x0 − x3
El determinande de esta matriz es:
det(X ) = xµxµ
Consideremos un elemento M ∈ SL(2, ) y la matriz X dada por:
X = (M −1)†XM −1 ↔ X = M †X M
Notar que X también es herḿıtica, y puede escribirse como:
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 18 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
19/36
X = x
0 + x3 x1 − ix2
x1
+ ix2
x0
− x3
Además,
det(X ) = det (M †X M ) = det (M †)det(X )det(M ) = det (X )
pues det (M ) = 1. Aśı,ds
2= ds2
Entonces, los eventos x y x están relacionados por una tranformaciónde Lorentz representada por M .
Ahora nos preguntamos, ¿cómo transforman las matrices de Pauli?
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 19 / 36
D fi l i i i´
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
20/36
Definamos la siguiente notación:
σµ = (σ0, σ ) ∧
σµ = (σ0, −σ )
Es fácil ver que:X (x) = xµσµ
Del mismo modo,X (x) = xµσ
µ
La relación M †X M = X significa que:
xµM †
σµM = xµ
σµ = Lµν x
µ
σν
y como los xµ son arbitrarios, descubrimos la forma en que transforman
las matrices de Pauli:
M †
σµM = Lµν
σν
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 20 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
21/36
De una manera similar, se puede definir la matriz
X 1(x) = xν σν
y verificar que también cumple con:
det(X 1) = xν xν
Entonces, mediante un razonamiento análogo, podemos mostrar queexiste una matriz N ∈ SL(2, ) tal que:
N †σµN = Lµν σν
Es posible probar que ambas matrices están relacionadas mediante:
N −1 = M †
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 21 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
22/36
Para estudiar cómo transforman los spinores bajo el grupo de Lorentz,conviene introducir una nueva representación para las matrices de Di-
rac:
Representación Chiral:
αi = −σi 00 σi β = 0 σ0
σ0 0
Con ello,
γ 0 = 0 σ0σ0 0
, γ i = 0 σi−σi 0 , γ 5 = −σ0 00 σ0
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 22 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
23/36
En la representación chiral, escribimos el spinor de Dirac de la siguienteforma:
ψ = ψLψR Consideremos la ecuación de Dirac:
(i ∂ t + i α · ∇ − mβ )ψ = 0Realizando las multiplicaciones matriciales, se llega a las siguientesecuaciones acopladas:
i σ0∂ tψL − i σk∂ kψL − mψR = 0i σ0∂ tψR + i σ
k∂ kψR − mψL = 0
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 23 / 36
fi
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
24/36
Empleando la notación definida con anterioridad,
i
σµ∂ µψL − mψR = 0
i σµ
∂ µψR − mψL = 0El lagrangiano correspondiente es:
L = i ψL†
σµ∂ µψL + i ψR
†σµ∂ µψR
−m(ψL
†ψR + ψR†ψL)
Ahora, demostraremos que el lagrangiano tiene la misma forma encualquier sistema de referencia: Sean x y x el mismo evento en el espacio–tiempo, medidos en sistemas de referencia S y S respectiva-
mente:
xµ
= Lµν xν , ∂ µ = Lµ
ν ∂ ν , ∂ µ = Lν µ∂
ν
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 24 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
25/36
El lagrangiano expresado en el sistema S es:
L = i ψL†
σµLν µ∂
ν ψL + i ψR
†σµLν µ∂ ν ψR − m(ψL†ψR + ψR†ψL)
= i ψL†
M †σν M ∂ ν ψL + i ψR†N †σν N ∂ ν ψR
− m(ψL†ψR + ψR†ψL)
Ahora, hacemos las siguientes definiciones:ψL(x) es un left-handed spinor si transforma como
ψL(x) = M ψL(x)
ψR(x) es un right-handed spinor si transforma como
ψR(x) = N ψR(x)
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 25 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
26/36
Recordando que M †N = ,
ψL †ψR
= ψL†M †N ψR = ψL†ψR
ψR †ψL
= ψR†N †M ψL = ψR
†ψL
y por tanto, ambas cantidades son invariantes de Lorentz (escalares).
Entonces, el lagrangiano en el sistema S queda:
L = i ψL †σµ∂ µψL + i ψR †σµ∂ µψR − m(ψL †ψR + ψR †ψL)
con lo que queda demostrado que el lagrangiano se escribe del mismo
modo en cualquier sistema inercial.
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 26 / 36
Simetŕıas discretas
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
27/36
Simetrıas discretas
Una manera alternativa de probar invariancia bajo Lorentz es la si-guiente: considerar que la transformación del spinor está mediada poruna matriz, i.e.
ψ(x) → ψ(x) = S (L)ψ(x)Aśı,
(i γ µ∂ µ − m)ψ(x) = 0(i γ µLν µ∂
ν − m)S −1ψ(x) =
S ·
(i Sγ µS −1Lν µ∂ ν − m)ψ(x) =
(i γ ν
∂
ν − m)ψ
(x
) =
La relación impuesta es:
Sγ µS −1Lν µ ≡ γ ν
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 27 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
28/36
Paridad. La paridad espacial es la simetŕıa discreta más simple. Pro-ponemos la siguiente transformación:
ψ(t, −x) = Pψ(t, x)De una forma similar, para que los nuevos campos también satisfaganla ecuación de Dirac, se debe cumplir que:
Pγ µP−1Lν µ = γ ν
¿Cómo se relaciona la paridad con la definición de los spinores ψL yψR? Para responder esta pregunta, notamos que:
x = −x → ∇ = −∇
Por tanto, se cumplen las siguientes igualdades:
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 28 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
29/36
σµ∂ µ = σµ∂ µ ∧ σµ∂ µ = σµ∂ µSi se utiliza lo anterior en el lagrangiano, se concluirá que será inva-
riante cuando:
ψL p(x ) = ψR(x) ∧ ψR p(x ) = ψL(x)
Inversión temporal. En este caso, la relación viene dada por:
ψ(−t, x) = Tψ(t, x)
La naturaleza de T implica que las soluciones de la ecuación de Dirac
debeŕıan ser mapeadas a soluciones de la ecuación compleja conjugada.De un modo análogo al anterior, se puede ver que:
Lν µTγ µ∗T
−1 = −γ ν
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 29 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
30/36
Conjugación de carga. El campo de Dirac posee carga, por lo cualtiene sentido definir la conjugación de la misma. El mapeo viene dado
por:ψ(x) = Cψ∗(x)
tal que ψ resuelve la misma ecuación que ψ. Sustituyendo,
0 = (i γ µ∂ µ − m)ψ = (i γ µ∂ µ − m)Cψ∗ = (−i γ µ∗∂ µ − m)C∗ψ∗La expresión anterior se anula si:
−γ µ
= Cγ µ∗
C
∗
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 30 / 36
Covariantes Bilineales
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
31/36
Covariantes Bilineales
De modo de escribir diferentes densidades langrangianas, será útil es-tudiar las propiedades de transformación bajo Lorentz de las siguientescombinaciones bilineales de spinores:
(1) ψψ
ψψ = ψ†γ 0ψ =
ψL† ψR
† 0
0
ψLψR
= ψL†
ψR + ψR†
ψL
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 31 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
32/36
ψψ = ψL†ψR
+ ψR†ψL
= ψL†M †N ψR + ψR
†N †M ψL
= ψL†ψR + ψR†ψL
= ψψ
Ante paridad,
ψ pψ p = ψL p†ψR
p + ψR p†ψL
p = ψR†ψL + ψL
†ψR = ψψ
Por tanto, ψψ es un escalar bajo Lorentz y bajo paridad.
(2) ψγ 5ψψγ 5ψ = ψ†γ 0γ 5ψ = ψL
†ψR − ψR†ψL
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 32 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
33/36
Mediante un cálculo directo se puede probar que este bilineal trans-forma como escalar ante transformaciones de Lorentz propias, y quecambia de signo ante paridad: se dice que es un pseudo-escalar.
(3) ψγ µψ
ψγ µψ = ψL†
σµψL
+ ψR†σµψR
= ψL†
M †σµM ψL + ψR†N †σµN ψR
= ψL†Lµν σν ψL + ψR†Lµν σν ψR
= Lµν ψγ ν ψ
y transforma como un cuadrivector bajo Lorentz. Ante paridad,
ψ pγ µψ p = ψR†σµψR + ψL†σµψL
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 33 / 36
Lo anterior significa que las componentes espaciales cambian de signo
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
34/36
Lo anterior significa que las componentes espaciales cambian de signobajo paridad. Por tanto, a este bilineal se le dice cuadrivector.
(4) ψγ 5
γ µ
ψ
ψγ 5γ µψ = ψL†σµψL − ψR†σµψR
= ψL†M †
σµM ψL − ψR†N †σµN ψR
= ψL†
L
µ
ν σν ψL − ψR†Lµν σν ψR= Lµν ψγ
5γ ν ψ
y transforma como un cuadrivector bajo Lorentz. Ante paridad,
ψ pγ 5γ µψ p = ψR†σµψR − ψL†σµψLlo que significa que las componentes espaciales no cambian de signo:hablamos de un cuadrivector axial.
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 34 / 36
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
35/36
Definición.
σµν ≡ i2
[γ µ, γ ν ]
(5) ψσµν ψ
ψσµν ψ = i
2ψL
†(
σµσν
− σν σµ)ψR + ψR
†(σµ
σν
−σν
σµ)ψL
ψσµν ψ = i
2
ψL
†M †(σµσν − σν σµ)N ψR+ ψR
†N †(σµ
σν
−σν
σµ)M ψL
Recordando que M †N = N M † = M N † = N †M = ,
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 35 / 36
i † † †
-
8/18/2019 Ecuaciones de Dirac
36/36
ψσµν ψ = i
2
ψL
†(M †σµM )(N †σν N )ψR− ψL†(M †
σν M )(N †σµN )ψR
+ ψR†(N †σµN )(M †σν M )ψL− ψR†(N †σν N )(M †σµM )ψL
= i
2ψL
†(LµασαLν βσ
β
−Lν β
σβLµασα)ψR
+ ψR†(Lµασ
αLν βσβ − Lν βσβLµασα)ψL= LµαL
ν β
i
2
ψL
†(
σασβ −
σβσα)ψR
+ ψR†(σασβ − σβσα)ψL= LµαL
ν β ψσ
αβψ
y transforma como un tensor de dos ı́ndices.
Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 36 / 36
top related