ecuacion laplace-redes de flujos

FLUJO DE AGUA EN SUELOS1. INTRODUCCIÓNEste tema tiende a presentar información para el estudio del flujo de agua subterráneay los interrogantes asociados a ella:

1) Cantidad de agua que infiltra2) Análisis de estabilidad de estructuras atravesadas por el flujo subterráneo o sobre él.

Los problemas de filtración en régimen laminar y permanente se obtienen resolviendo la ecuación de Laplace la cual es una ecuación de diferencias parciales elíptica. Existendiferentes métodos de solución:

a) Métodos Analíticos (Mapeo- Método de los Fragmentos- Solución en Forma Cerrada).

B) Método de las Redes de Flujo. c) Modelos (analogía eléctrica, a escala, etc.). d) Métodos Numéricos: Diferencias Finitas (método de la relajación) y por

Elementos Finitos.

Se desarrolla primero la obtención de la ecuación de Laplace y se presenta la solución por el Método de las redes de flujo y el método numérico de la relajación.

2. LEY DE DARCY.

El flujo de agua en un medio poroso cumple la ley de Bernoulli modificada:

* Velocidad de flujo v es la velocidad media con que fluye el agua a través de los poros del suelo en dirección de la corriente ; esto es, v = q/Av , siendo q el gasto y Av el área de vacíos en la sección recta del tubo de flujo. Debe distinguirse de la velocidad de descarga v = q/A, en que A es el área total de la sección recta del tubo de flujo. Siendo n la porosidad del suelo, la relación entre ambas velocidades es v = n v .

La suma de los tres primeros términos en cada miembro de la ecuación anterior se llaman carga hidráulica total, h. Los términos individuales se llaman, respectivamente, carga depresión, carga de posición y carga de velocidad.En todos los problemas prácticos de flujo de agua en suelos, la carga de velocidad v2 / 2g es despreciable ( V raramente es de orden mayor de 0,1 m/seg, por lo que v2 / 2g es en general menor de 0,0005 m) y por lo tanto

La pérdida de carga Δh entre dos secciones cualesquiera en un tubo de flujo (Figura 1) puede obtenerse por integración de la ecuación diferencial

Que representa una relación empírica, conocida como ley de Darcy, entre la

velocidad de descarga v y el gradiente hidráulico en que ds se mide a lo largo de la trayectoria media de flujo.

Hay una frontera superior y una inferior de la velocidad v que limitan el. intervalo de validez de la ley de Darcy ; sin embargo, puede considerarse que en la mayoría de los problemas de ingeniería hidráulica, entre ellos los de presas, la velocidad de descarga cae en dicho intervalo. Figura 1.

3. ECUACIÓN DE LAPLACE.

Si se supone que ni el agua ni el suelo se deforman volumétricamente y que este se encuentra totalmente saturado, entonces el caudal de agua que entra a cualquier elemento de suelo de un dominio de flujo es idéntico al caudal que sale de él, lo que puede expresarse mediante la ecuación de continuidad :

Introduciendo en la ecuación anterior (ley de Darcy) se llega a la condición hidrodinámica que gobierna el flujo permanente del agua en suelos (ecuación de Laplace):

donde es la carga hidráulica Figura 1

Se dice que hay flujo permanente cuando sus características no varían con el tiempo.

La solución de la ecuación diferencial 5 con las condiciones de frontera apropiadas da la variación de la carga hidráulica, y por tanto la dirección del escurrimiento en todo punto de la zona de flujo.

En la mayoría de los casos que aquí se tratarán, las condiciones de flujo pueden considerarse aproximadamente bidimensionales y, por tanto, la ecuación de Laplace se reduce a:

4. Método de las Redes de Flujo

Para la resolución de la ecuación 6 por el Método de las Redes de Flujo, se trabaja con el hecho de que dicha solución puede representarse geométricamente mediante dos familias de curvas mutuamente ortogonales, una de las cuales está constituida por las curvas de igual carga hidráulica o líneas equipotenciales (h = constante), y la otra por las líneas de corriente o de flujo. El conjunto de ambas familias de curvas se llama red de flujo, de la cual se dan ejemplos en las Figura 2 y Figura 3.

5. Método de Relajación

El método de relajación permite obtener la solución de la ecuación de Laplace por diferencias finitas.

5.1. Derivación

Para infiltración en dos dimensiones, y para flujo permanente, la distribución de la altura de carga la ecuación de Laplace toma la forma:

En la figura siguiente se muestran las alturas de carga en una región determinada.

Para flujo en la dirección x, la relación entre las alturas de carga h1, h0, y h3, usando laexpansión en series de Taylor.

Sumando las ecuaciones (2) y (3), se obtiene:

Despreciando los términos mayor orden, asumiendo que un paso dx lo suficientemente pequeño, la ecuación (4) se puede reescribir como:

Para flujo en la dirección z , se obtiene una relación similar:

Sustituyendo las ecuaciones (5) y (6) en la ecuación (1), se obtiene:

Para un suelo isotrópico, Kx = Kz = K and dx = dz, y la ecuación (7) se simplifica quedando:

Puntos simétricos

Se puede obtener el mismo resultado que para la ecuación (a):

Puntos simétricos

Para diferentes condiciones de borde, se pueden escribir diferentes ecuaciones para evaluar la carga. Se presentan a continuación seis casos.

Caso (a): Elemento básico para región uniforme

Caso (a): Elemento básico para región uniforme

Caso (b): Borde impermeable

Case (c): Esquina

Caso (d): Esquina región exterior

Caso (e): Pila

Caso (f): Capas de suelo

TRABAJO PRACTICO

Realizar un ejemplo práctico y sencillo, por grupo, para el calculo de una red de flujo por el método de relajación y sustentarlo.

Fecha de presentación siguiente clase.