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8/18/2019 ECUACION DE MUESTREO Y CIERRE DE BALANCES-1 (1).ppt
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ECUACION DE MUESTREOPIERRE GY
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FUENTES DEL ERROR TOTAL DE
MUESTREO Inicialmente Gy identificó a la acción de muestreo como un
método generador de errores consistentes en 7 errores. Luego el
numero de errores aumentó con el tiempo a 10 todos los cuales
fueron identificados.
El desarrollo y progreso en la comprensión de estos errores han
sido remarcados por Pitard en 199. !ontrario a la creencia
normal "ue indica "ue los errores son auto compensados# sin
em$argo las %ariancias en muestreo son aditi%as.
La forma mas simple de desagregar la %ariancia total de
muestreo es separarlos en sus componentes "ue surgen en
cada etapa del proceso integral de muestreo.
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FUENTES DEL ERROR TOTAL DE
MUESTREO Las 10 fuentes del error de muestreo idéntificadas al &00' "ue
contri$uyen a la no representati%idad de las muestras son las
siguientes(
i) Efecto *ugget +In ,itu-# *E) ii) Error /undamental de uestreo( /E)
iii)Error de agrupamiento y segregación GE)
i%) Error por eterogeneidad en amplio rango calidad) y error por
fluctuaciones cam$ios y tendencias)2 3E1)
%)Error por eterogeneidad en amplio rango calidad) y error porfluctuaciones f c4clica2 3E&))
%i) Error por incremento de la delimitación 5E)
%ii)Error por incremento de e6tracción2 EE)
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FUENTES DEL ERROR TOTAL DE
MUESTREO %iii) Error por Pesado( E)
i6) Error por Preparación PE)
6) Error 8nal4tico 8E).
El error otal de uestreo E) puede ser di%idido en componentesseparados tal como lo indican Gy y Pitard( errores a random reducidos
pero nunca eliminados) y sistem:ticos "ue pueden ser minimi;ados
aplicando procedimientos correctos de muestreo2
TE=[NE+FE+GSE+QE1+QE2] + [DE+EE+WE+PE+AE]
Los primeros 5 errores no pueden ser elimindos pero si redu!idosdise"ndo de!udmen#e el pro!edimien#o de mues#reo$
Elimin!i%n de los & errores si'uien#es es posi(le pero si pr)!#i!s
!orre!#s de mues#reo no son pli!ds* ellos pueden ser !us de
mores errores sis#em,#i!os
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FUENTES DEL ERROR TOTAL DE
MUESTREO Los 10 errores pueden ser agrupados en tres categor4as# cada una de
las cuales identifican los factores con mayor efecto(
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FUENTES DEL ERROR TOTAL DE
MUESTREO El o$Aeti%o del tra$aAo es determinar el Error /undamental de
uestreo y los tres pro$lemas $:sicos "u est:n alrededor de
este error particular. Estos incurren tres pro$lemas(
Pro(lem No 1$- Que error se in#rodu!e !undo un mues#rde un de#ermindo peso ./S0 es #omd de un rum de
minerl ro#o$
Pro(lem No 2$-Que peso de mues#r de(er) ser #omdo de
un pil o rum de minerl ro#o de #l mner ue el error de
mues#reo no e3!ed un 4rin esp!i6i!d$ Pro(lem No 7$-Que 'rdo de !8n!do * moliend o
pul4eri!i%n ser) reuerid pr l!nr un espe!3i6i!do
4lor del error e3presdo por l 4rin
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COMPONENTES DEL ERROR
FUNDAMENTAL DE MUESTREO (FE) La %arian;a σ2 del Error /undamental /E) identificado por Gy 19?&)
como el minimo a$soluto irreducti$le del error de muestreo esel Bnico
"ue puede ser estimado antes de proceder a la propia operación de
muestreo Petersen# &00&) y surge de la %aria$ilidad inherente del
material "ue est: siendo muestreado.
5e acuerdo a /.CongarDon 199?)# /E es el menor error residual
promedio "ue se puede o$tenerF "ue es una pérdida de precisión
inherente en la muestra de$ido a composición f4sica y "u4mica as4
como de$ida a tamao de part4cula.
Este surge de$ido ados caracter4sticas de los materiales rotos o
fracturados denominados heterogeneidad por composición t
heterogeneidad por distri$ución.
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HETEROGENEIDAD DE COMPOSICION 9e#ero'eneidd de :omposi!i%n es el refleAo de las diferencias en
composición interna en los fragtmentos indi%iduales del mineral
muestreado de acuerdo a la forma en "ue ellas estan constituidas y
compuestas.!uando mayor es la diferencia en composición entre los
granos o part4culas indi%iduales# mayor ser: la heterogeneidad
Esta$lecido por Pitard 199).
En la Literatura se utili;an los términos de eterogeneidad de
!omposición y eterogeneidad en !onstitución son usados
indestitamente.
9e#ero'eniedd de Dis#ri(u!i%n represen# l di6eren!i en
!omposi!i%n promedio de un lo#e de un lu'r de l mues#r l de o#ro
lo#e de l mues#r * siendo respons(le pr dis#ri(u!i%n irre'ulr del
'rdo de 4lores en 'rupos de 6r'men#os de l mues#r 6r!#urd
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HETEROGENEIDAD DE DISTRIBUCION L 8e#ero'eneidd de dis#ri(u!i%n es influenciada por las grandes
diferencias en densidad y en composición indi%idual de los fragmentos.
Eliminar el Error /undamental de uestreo /E) no es posi$le por "ue
las menas no son de estructura o de composición uniforme a tra%e; de
toda la muestra es heterogenea aun si se considerara el ni%el molecular
CongarDon# 199'). El Error /E surge de$ido a la heterogeneidad en
composición y en su distri$ución# am$os factores inter%ienen impidiendo
"ue la muestra sea representati%a de la totalidad de la ruma o pila.
al como se indica en la Ecuacion 1)# el Error /E es proporcional al
cu$o del tamao nominal de part4cula e in%ersamente proporcional a la
masa de la muestra. Por lo tanto reducción del Error /E ser: o$tenidoreduciendo el di:metro del tamao m:6imo de part4cula o
incrementando la masa o peso de la muestra.
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ECUACION DE MUESTREODE G!
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σFE2 " ( 1#P$ 1#P ) & ' & & & * & +, -..(1)
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SIMPLIFICACION DE ECUACION DE
G! El tétrmino compleAo de la ecuación anterior( fgml se puede igual a H
simplificando la ecuación anterior a(
,implificación complementaria puede ser o$tenida considerando "ue el
peso del lote a ser muestreado es de 100#000 de gr.) y por lo tanto
mucho mas grande en comparación al peso de muestra a ser tomada
representando solamente algunos gramos o unos 1#000 gr.)# por lo
"ue la función puede simplificarse a la siguiente(
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σFE2 " ( 1#P$ 1#P ) & & +, -..(2)
σFE2 " ( 1#P$) & & +, -..(,)
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COMPONENTES DE
f FACTOR DE FORMA
Es#e 6!#or rel!ion l 4olumen el dime#ro de ls pr#;!uls de
minerl o#ro * en el ue 6 =) "uetransforma el cu$o del tamao del fragmento( +, al %olumen delfragmento.
>=&p/ , ?7 / ,=7>?&p; considerando ( / ,=.d?20,
(+#2),=7>?&p; (+),=@>? p; #(+, 0=p ?@ ; Luego( fKpJ>)K.1=1>J>)K0.' apro6.)
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COMPONENTES DE
El producto > N = 6.d N 0, es el 4olumen promedio de los 6r'men#os !on
#m"o nominl .d N 0 .on'rBon* 1CC0$
F!#or de Form de ls Pr#;!uls
El factor 6 es un indi!e ue 4r; en#re
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F3/ + '/* ( ' )
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' " ( *6 + 6 7/3896 ) # ( +, & ( +:6;++ ))
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F3/ + D;63/; + 7/3896 ( )
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?:+; + ;
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F/* A3/:3;@ +D3/*;:;=:
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INDICE DE LIBERACION
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RELACION LOGLOG INDICELIBERACION
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INDICE MINERALOGICO ( m )
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* " ( 1 #$$ )2 & ( +@)#(a/a'')) ( 1 #$$ ) & +
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CONSTANTE DE MUESTREO(IHL)
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IHL " ' A9 & A9 & +,A9 & A9 #L
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FORMULA SIMPLIFICADA
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S2FE " ( (1#MS ) (1#ML)) & 0. & +,
A9 #L
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F;. 1 A9 LIBERADO. CALCULO DEL PESO DE MUESTRA PARA DESIACION ESTNDARDEL ERROR FUNDAMENTAL DE 2SFE" ,2%
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F; 2 A LIBERADO CALCULO DEL PESO DE MUESTRA PARA DESIACION ESTNDAR
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F;. 2 A9 LIBERADO. CALCULO DEL PESO DE MUESTRA PARA DESIACION ESTNDARDEL ERROR FUNDAMENTAL DE 2SFE" 10%
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F;. , A9 ASOCIADO. CALCULO DE PESO DE MUESTRA
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MINERAL POLIMETALICO
Los errores de muestreo se incorporan en cada etapa de
reducción de tamao de part4cula y peso incluyendo hasta el
error anal4tico# para la determinación del error total de muestreo
se utili;a la %ariancia d&
Esta e6presión general resulta2 dT 2 " d1 2+d2 2+d, 2+d4 2.............. d 2
EME@!I!IN
,e reci$e muestra de mineral de '0 Og chancada a 100 Q RS
conteniendo &.0 P$# 0.=0 !u y apro6imadamente 1>0 gr.
8gJ,. ,e considera necesario determinar la representati%idad
de la muestra
El estudio metalBrgico a reali;ar inicialmente considera flotación
$ulO seguida por separación de %alores.
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CALCULOS
Los minerales contenidos son galena# chalcopirita y minerales de
8g distri$uidos ensayando 9000 ppm en la pie;a de mayor ley de
8g
!onsiderando "ue la muestra ha sido preparada con técnicas demuestreo aceptadas la muestra. ,e entiende "ue en la
preparación de la muestra se han utili;ado procedimientos "ue
dieron a todas las part4culas igual pro$a$ilidad de incorporarse a
la muestra
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" L! 7/&;*+ + *: 2.00 % P<
dK !hancado a 100 Q &.' cm
dJL amao a6 Part4culaJli$eración &.'J0.01=9
dJLK 1>?
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CALCULOS ( C:3;:9;=:)
% P< : : .5
f /actor /orma 0.'0
g /actor granulométrico 0.&'
l /actor li$eración 0.?=0'T1>?UQ0.'99)) 0.09
m /actor mineralógico 1QaJa-)U&)Td%JaJa-))V1QaJa-)dg 1?.?
d2
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CALCULOS ( C:3;:9;=:)
% C9 : C7;/;3 ,4.
f /actor /orma 0.'0
g /actor granulométrico 0.&'
l /actor li$eración 0.?=0'T1>?UQ0.'99)) 0.09
m /actor mineralógico 1QaJa-)U&)Td%JaJa-))V1QaJa-)dg '7.>&
d& 7 !u 0.=0W 0.0& E@K=.>7
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CALCULOS ( C:3;:9;=:)
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A 77* +;63/; E@K1>.0&
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ERRORES EN BALANCEMETALURGICO
odas las mediciones en Ingenier4a tienen errores en mayor o
menor grado dependiendo de los e"uipos y procedimientos
empleados# particularmente en la determinación de $alances
metalBrgicos "ue son herramienta $:sica de control deproducción y de performance de planta.
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ERROR TOTAL DE RECUPERACION
El error de determinación de la recuperación es determinado
en primera apro6imación por (
∆ @E!K d@T ∆ V d@T ∆ f V d@T ∆t
dc df dtQ En esta función# los %alores de Xc# X f y Xt son los errores de
determinación de la ley de ca$e;a# concentrado y rela%e.
Q Los factores "ue ponderan cada uno de estos errores secalculan con las respecti%as e6presiones de las primeras
deri%adas parciales de la recuperación respecto a cada ensaye
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DERIADAS PARCIALES
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DERIADAS PARCIALESRECUPERACION
D@ K 100TtTtQf)
dc cQt)2*f
D@ K 100TcTt
df cQt) *f 2
D@ K 100TcTfQc)
dt cQt) 2*f
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EJEMPLOS DE CALCULOS YRESULTADOS
PLANT ENSAY ' T D ' D D 3 R % D REC±%
1 !u 1.1>' ='.&& 0.&19 1>.& Q0.009 Q?=.= ?1.> 0.'
1 !u N 0.1>& 0.>& 0.1'& 7>7 Q= Q?00 ?.& 7.?
& !u 0.&19 19.& 0.179 77 Q0.009 Q=>0 1?.= =.&
& !u N 0.1'&1 0.& 0.1'& &7? Q= Q&7= 0. &7
!u 1.00 19.& 0.&> .& Q0.0> Q9?.1 >?.> 0.7 !u N 0.&' 0.& 0.&'& 1''1 Q7= Q1=79 .0 1'
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BALANCE METALURGICO
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CALCULO DEL BALANCE PORRECUPERACIONES POR ETAPAS
&da Limpie;a
!oncK@t
8limentoK @tJ@=
@ela%eK@tT1Q@=)J@= 1ra Limpie;a
!oncK@tJ@=
8limentoK@tJ@=T@&)
@ela%eK@tT1Q@&)J@=T@&)
1ra Limpie;a ,ca%enger 8limentoK@tT1Q@&)J@=T@&)
!oncK@tT@T1Q@&)J@=T@&)
@ela%eK@tT1Q@)T1Q@&)J@=T@&)
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CALCULO DEL BALANCE PORRECUPERACIONES POR ETAPAS
/lotacion @ougher
!oncK@tJ@=T@&)Q@tT1Q@=)J@=
8limentoK @tJ@=T@&T@1)Q@tT1Q@=)J@=T@1)
@ela%eK @tT1Q@1)J@=T@&T@1)Q@tT1Q@1)T1Q@=)J@=T@1)
@K@1T@&T@J1Q@1T1Q@=)Q@1T@T1Q@&)
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
ECUACIONES DE BALANCE DE MASA
5onde(
L1 # L& # L son las leyes ensayadas por La$oratorio 3u4mico.
8 # ! # @ son los pesos hallar.
ECUACIONES NORMALIADAS5i%idiendo la ecuación 1) entre el 8limento +8-.
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
5onde reempla;aremos los siguientes cocientes por las siguientes
%aria$les(
N$teniendo(
5onde(
5i%idiendo la ecuación &) entre el 8limento +8- y reempla;ando las
%aria$les Y
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
@eempla;ando la ecuación ) en la ecuación =)
ERRORES DEBIDO A LOS FLUJOS NORMALIADOS
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
Para o$tener un %alor m4nimo de se deri%ar:n e igualar:n a
cero las sumatorias de la ecuación ele%ada al cuadrado.
E: '9:;=: + 2
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
5onde(
8ZK LQL&)L1QL) y CKLQL&)&
@eempla;ando estas %aria$les en la ecuación >)# o$tendremos(
Por lo tanto(
@eempla;ando en la ecuación ) se o$tiene el %alor de .
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
CALCULOS DE LOS ERRORES
!alculando los errores [.
5onde Y Y son conocidos.
CALCULO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Esta$leciendo las correcciones de leyes
5onde(
L1c # L&c # Lc son las leyes corregidas.
[L1 # [L& # [L son las correcciones de las leyes.
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
@eempla;ando en la ecuación ?) o$tenemos(
,a$iendo "ue las leyes corregidas de$en cumplir lo siguiente(
ERRORES EN FUNCIONES DE LAS CORRECIONES
,i reempla;amos la ecuación 10) en la ecuación 9)# o$tendremos(
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
METODO LAGRANGIANO
La función Lagrangiana tiene la siguiente forma(
5onde(
\# \1# \]] ,on los multiplicadores de lagrange.
,on las correcciones.
g6) y /6)# son las funciones "ue se muestran a continuación(
5onde /6) se define como función o$Aeti%o.
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
D/;@*6 7/;*:3 /673 6 *93;7;+/6 ! 6//;:6
5eri%ación parcial respecto a los multiplicadores de Lagrange.
5eri%ación parcial respecto a las correcciones.
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DETERMINACIONK RECUPERACIONESPOR ETAPAS LAGRANGE
@eempla;ando las correcciones en la ecuación 11)
allamos \ reempla;ando los %alores de Y y [.
@ecordando "ue(
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PID BATEAS SEPARACIN C9P<
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SOLIDS % SOLIDS ST # H/ G:6 7/ *;:93 D E N S I T YFLO FLOTATION CIRCUIT DST#H/. EIGHT PULP H2O ATER SOLIDS PULP PULP SOLIDS
TOTAL BALANCE
1 /@E, /EE5 ?= 1#00 9#1' >#1 &'#&= &7#&' 1#=& '#>='
11 !opper !oncentrate 0#=1 &'#00 1#>> 1#&= =#97 0#== '#=1 1#&&= #7=&
9 Lead !oncentrate II 0#&& 1 1#79 1#'? >#1 0#11 >#=& 1#117 7#?&1
Lead !oncentrate I &1 17#00 1? 10#77 =#0? 1#=> ==#'= 1#1>' >#0'?
, TOTAL L+ C: 2 K42 1K, 14 KQQ 10KQQ 4,K0 1 K4 44K54 1 K,2 K12
N8L &N I* /LN8IN* 0#00 7#&? 7#&? &9#1& 0#00 &9#1&COPPER ROUGHER FLOTATION (R1)
1 Grinding circuit o%erflô ?= 1#00 9#1' >#1 &'#&= &7#&' 1#=& '#>='
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163 CLEANINGSTAGE (R2)
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