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ECONOMIA AGRARIA
ANALISIS ECONOMICO DE LA OFERTA
EL ENFOQUE DUAL Y SUS APLICACIONES
Daniel LemaUCEMA
La Función de Producción• Dados los insumos x=(x1,x2,…,xn), y el
producto y, tenemos:
• Propiedades: • Creciente:
• Cuasi-cóncava:
• Si y
• Entonces
)x(f)x,...,x(fy n1
0x/f
)x(f)x(f 10 10
)x(f)x)1(x(f 010
f(x)=y0x0+(1-)x1
x0
x1
X2
X1
f(x)=y1>y0
La Función de Producción Isocuantas y Convexidad:
Retornos a Escala Supongamos que la función de producción es:
=1 retornos a escala constantes
Duplicando los insumos, se duplica el producto
>1 retornos a escala crecientes: duplicando los
insumos más que se duplica el producto
<1 retornos a escala decrecientes: duplicando los
insumos menos que se duplica el producto
x)x(fy
DUALIDAD EN PRODUCCION
DUALIDAD EN PRODUCCION
Concepto de Dualidad: si existe una función de costo que cumpla ciertas condiciones de regularidad, también existe una función de producción y ambas representan la misma tecnología.
La misma relación se encuentra entre la función de beneficios y la función de producción.
DUALIDAD EN PRODUCCION
Esto implica que hay diferentes maneras de representar la misma tecnología:
A través de la función de producción (enfoque primal)
A través de las funciones de costos y beneficios (enfoque dual).
Usos del Enfoque Dual
Es un camino más fácil para obtener funciones de ofertas de productos y de demanda de insumos.
El dual se puede usar también para estimar y descomponer la ineficiencia en costos, a través de una frontera de costos y sus respectivos componentes, eficiencia técnica y asignativa.
El dual hace posible también la medición de la eficiencia en beneficios.
Las funciones de Costo y de beneficios pueden trabajar fácilmente con múltiples productos e insumos.
Las funciones de Costos y beneficios facilitan una clara distinción entre insumos fijos y variables.
Resolver
Demanda de Insumos(no condicionada)
xi = insumo iwi = precio insumo iY = productoP = precio
Función de oferta
Sustituyendo en y = f(x)
Diferenciando π con respecto a wi
Lema de Hottelling
pwwxi ,, 21* pwwy ,, 21
*
21
221121
,
),(*
xx
wxwxxxfpMax
y
ywwCypMax ,,* 21
pww ,, 21
Resolver
Sustituyendo y* enπ = p*y – C(wi,y)
Sustituyendo x* en π = p*f(xi) – x1w1-x2w2
Diferenciando π con respecto a p
Lema de Hottelling
0,, 21*
pwwy 0,, 21*
pwwxw i
i Función de beneficios
Función de beneficios DualFunción de beneficios DualFunción de beneficios DualFunción de beneficios Dual
),(: 21
_
2211
xxfyst
xwxwMin
_
21 ,, ywwxi
Resolver
Demanda Condicional de
insumos
donde:xi = insumo iwi = precio insumo iY = producto
_
21 ,, ywwC
Función deCostos dual
Sustituyendo en w1x1+w2x2
Diferenciando con respecto a wi
__
21
__
,,),(
ywwxw
ywCi
i
i
Lema de Shephard
Función de Costos DualFunción de Costos DualFunción de Costos DualFunción de Costos Dual
Funciones de Dualidad:Corto y Largo Plazo Costo Total (CT) = f(wi; y)
Costo Variable Total (CVT) = f(wi; y, z)
beneficiosTotal (π) = f(p, wi)
beneficios Variable Total (πVT) = f(p, wi; z)
Costos y Beneficios
Función de Costos: PropiedadesSi f es continua y estrictamente creciente, entonces c(w,y)
es
1. Cero cuando y=0
2. Creciente en w.
3. Homogénea de grado uno en w.
4. Cóncava en w.
5. Si f es estrictamente cuasi-cóncava podemos aplicar el lema de Shephard: c(w,y) es diferenciable en w (w0, y0 ) siempre que w>>0 y
ii wywcywx /),(),( 0000
Maximización de beneficios Mercado Competitivo: Los productores
individuales son tomadores de precios de los insumos y productos (bienes).
Comportamiento Racional: Las firmas maximizan beneficios (beneficio es la diferencia entre ingresos y costos de producción)
Propiedades de la Función de beneficios Dado f, y considerando un p0 y w0, la
función de beneficios (p,w), estará bien definida, será continua y
1. creciente en p
2. Decreciente en w.
3. Homogénea de grado uno en (p,w)
4. Convexa en (p,w)
5. Lema de Hotelling
),(),(
),(),(
wpxw
wpandwpy
p
wpi
i
Maximización de beneficios:
Minimización de costos
pwyywCpyy
pwxxwxpfx
y
x
,),(maxmax
,maxmax
*
*
Dualidad
),(
'minmin* ywx
yy s.a.
xwxCx
Teorema de la Envolvente
1) Sin restricciones Función objetivo:
Función objetivo indirecta:
1,2i )(0
;,maxmax
*21
21,, 2121
ii
xxxx
xxff
xxfy
)(*
*2
2
*1
1
*2
*1 (;,
xxf
fx
fx
f
valor) máximo de funciónxxf
Teorema de la Envolvente
0indirecto efectofx
directo efectof
xf
;
1) Sin restricciones Función objetivo indirecta:
Teorema de la envolvente
2) Con restricciones Función objetivo:
Función objetivo indirecta:
*,,,,
0,..
,maxxxgxfxL
xgas
xfx
fd
dxf
d
dxf
d
d
xxf
*
22
*1
1
*2
*1 ,)(,)(
fd
dxg
d
dxg
d
d
*2
2
*1
1
Teorema de la envolvente
2) Con restricciones Función objetivo indirecta:
Condición de primer orden:
0
0;)(,)(*
22
*1
1
*2
*1
gd
dxg
d
dxg
óptimoxxg
Teorema de la envolvente
2) Con restricciones Función objetivo indirecta:
Condición de primer orden:
0
),,()(*
***
Lindirecto efectox
directo efectoL
xL
Lfg
d
d
xx
Maximización del beneficio
),(,),(
,
maxmax
**
21
2211
wpywpx MCMR
1,2i wx
xfp
:orden primer de sCondicione
xxfy s.a.
xwxwpyx
ii
x
(1)
Maximización del beneficio
x
y
x*
p
y= f(x)
Isobeneficio: Pendiente w/p
Maximización del beneficio
(2) Condición de segundo orden:
0)('
)()(
2
2
hxfDh
ida semidefinnegativaxx
xfxfD
ji
Maximización del beneficio
Función de beneficios:
Yy s.a.
xwypwp
wpxwwpypwp
xy,
**
max,
),(),(,
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:
1. No decreciente en , no creciente en
2. Homogénea de grado 1 en
p w
wp,
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios: Convexa en wp,
)()1()(
10;')1(
ptptp
t pttpp
''p
p p’’
')1( ptpt
π
p’
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios: Convexa en wp,
π
π(p*)
p*
** xwpyp
π(p)
pp’
Función de beneficios de corto plazo
ón)substituci (efecto alproporcion que más )( pp
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:3. Convexa en wp,
π
π(w*)
π(w)
ww* w’
Función de beneficios de corto plazo
** wxypp
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:4. Continuidad de
5. Lema de Hotelling
0,0,, wpwp
n1,...,j wpxw
wp
m1,...,i wpyp
wp
wpxwwpypwp
jj
ii
,,
,,
,,,
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:5. Lema de Hotelling
wpxwx
xfp
objetivo función xwxfpwpyx
,
max,
*
,
indirecta objetivo función wpxwwpxfpwp ,,,
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:5. Lema de Hotelling
wpxw
wp wpxw
x
fp
w
x
wpxw
xw
w
x
x
fp
w
wp
,,
,
,,
=0 por c.p.o.
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:5. Lema de Hotelling
0 indirecto efecto y
directo efecto yp wpxf
p
wp
0 indirecto efecto x
directo efecto x w wpx
w
wp
jj
ii
,,
,,
Propiedades, funciones de oferta y demanda derivada de factores
1) π es función monótona en precios:
2) yi , –xj son homogéneas de grado 0 en precios
0
, 0
,
ji w
wp
p
wp
Propiedades, funciones de oferta y demanda derivada de factores3) Matriz de segundas derivadas de π(p,w) = matriz de
primeras derivadas de x*(p,w) e y*(p,w) y es semidefinida positiva.
ión substitucdez Matri
w
x -
p
x
w
y
p
y
ww
wp
pw
ppwpD
i
j
i
j
j
i
j
j
jiji
ijji
22
22
2 ,
Propiedades, funciones de oferta y demanda derivada de factores3) a) Elementos de la diagonal principal no negativos
negativa pendiente :demanda w
x -
w
positiva pendiente :oferta p
y
p
j
j
j
i
i
i
0
0
2
2
2
2
Propiedades, funciones de oferta y demanda derivada de factores3) b) Los efectos cruzados son simétricos (matriz de
substitución simétrica)
i
j
ijjij
i
i
j
ijjij
i
i
j
ijjij
i
w
y
wppwp
x -
w
x
wwwww
x -
p
y
ppppp
y
22
22
22
Ejemplo de maximización de beneficios Un producto – Un insumo:
0:/
max
a ; xxfyas
wxpy
a
x
1
1
1**
1*1
1
*
2
1
,
,,
01
aa
a
a
a
a
a
a
ap
ww
ap
wpwxpywp
ap
wwpy ;
ap
wwpx
xapa :orden segundode Condición
wpax :orden primer de Condición
Principio de Le Chatelier
pzz plazo largo p
plazo cortozp
variables factores x
fijo factor z
lp
cp
,
Principio de Le Chatelier
LPCP 0ph pen
0,
,
****
cplp
**cp
*lp
pzz
zppph
pzpp
Principio de Le Chatelier
0
,
negativa no es ppen derivada Segunda b)
(tangente) plazo corto de envolvente es plazo Largo
mínimo 0 )
**
2
2
2
2
*
*
p
zpy
p
py
pp
p
pha
cplp
pp
0
,**
p
zpy
p
py
Principio de Le Chatelier: Ejemplo – Cobb-Douglas
po
LP
CP
yo yCP yLP
p’
y
p
zz
Función de beneficios restringida
),(),
max,,
,
,
,
rr
rrmmrrmmxyrrmm
rm
rm
xyYxy( .a. s
xwxwypyp xy,wp
racionadosrvariables;mxxx
yyy
mm
Función de beneficios restringida
J1,...,j xywpxw
I1,...,i xywpyp
xyYxy( s.a.
xwyp xwyp xy,wp
rrmmjmm
rrmmimm
rr
mmmmxyrrrrrrmm
j
i
mm
,,,.
,,,.
),(),
max,,,
Función de beneficios restringida
envolvente la de teoremaAplicación
oferta la de inversa o sombra Precios
L1,...,l ,,,.
S1,...,s ,,,.
rrmmrr
rrmmrr
xywpwx
xywppy
l
l
s
s
Función de Ingresos
Todos los insumos son fijos están dados, fijos
productos de dacondiciona oferta xpy
Tyxypx,pr
*
y
,
,:max
wpx ,,
)x,py(
Función de Ingresos
yVxypL
xyV s.a.
yp maxy
x: escalar
Función de Ingresos
x,py
yyV
yyV
p
p
yVxL
I1,...,i y
yVp
y
L
:orden primer de sCondicione
j
i
j
i
ii
i
0
0
Función de Ingresos
2021
01 ypypR
y2
y1
xyyV 21,
Frontera de posibilidades de producción
Función de isoingreso
0
Función de Ingresos
dasemidefini positiva D
:orden segundo deCondición
2 yV
Propiedades de la función de ingresos
xpypxpr ,, 000
xpypxpr ,, 111
y2
y1
xpypxpr ,, 222
0
Frontera de posibilidades de producción
Propiedades de la función de ingresos (FPP no convexa)
xpypxpr ,, 111
xpypxpr ,, 000 y2
y1
xpypxpr ,, 222
0
Propiedades de la función de ingresos
1. No decreciente en precios
2. No decreciente en insumos
3. Homogénea de grado 1 en precios
0,:.max, pxYyypxpr
0;,, t xptrxtpr
Propiedades de la función de ingresos
4. Convexa en precios
xpr ,
xprtxptrxpttpr ,'1,,'1
xpr ,r
i
m
ii ypypR
211
1p01p 1
1p
B
A
p 'pp
r
r
)( pr
xpr ,
Propiedades de la función de ingresos
5. Es una función continua
6. Lema de Shephard: oferta condicionada
xpr ,
m1,...,i ; xpyp
xpri
i
,
,
Propiedades de la oferta condicionada
1. Es monótona en precios
2. Homogénea de grado cero en precios
xpyi ,
0
,
ip
xpr
Propiedades de la oferta condicionada
3. Matriz de transformación simétrica y positiva definida:
a) Efecto propio positivo
b) Simétrica - efectos cruzados
xpyi ,
s sustituto
arioscomplement
p
y
pp
xpr
j
i
ji 0
0,2
Econometría Modelo Estructural:
Modelo Reducido:
SD
S
D
zbpbbq
zapaaq
22210
11210
322110
11
122
11
21
11
2
11
00
zzp
baz
ba
bz
ba
a
ba
bap
Econometría Maximización de beneficios 1 insumo, x 1 producto, y
1
1
,
a
ap
wwpx
0a ; xy a
1,
a
a
ap
wwpy
Econometría
p
a
aa
a
aw
a
ay log
1log
1log
1log
p
aa
aw
ax log
1
1log
1
1log
1
1log
Econometría
pwx logloglog 211101
pwy logloglog 221202
11120102 a a
Econometría
1
1
1
a
ap
w
a
aw
pa
aa
waa
aw
log1
1
log1
1log
1
11logloglog
Econometría
pw logloglog 210
1
11
log1
11log
2
1
0
a
a
a
aaa
a
Econometría: Leontieff Generalizada
m
i
n
jjiij
m
i
m
ijjiij
n
i
n
ijjiij
m
iiii
n
iiii
wpcppa
wwbpawbwp
1 1
21
1
21
1
21
11,
jiijjiijjiij cc aa bb
Econometría: Leontieff Generalizada
ni
w
pc
w
wbbwpx
w
m
j i
jij
n
j i
jijiii
i
,...,1
,1
21
1
21
mi
p
wc
p
paawpy
p
n
j i
jij
m
j i
jijiii
i
,...,1
,1
21
1
21
Econometría: Translogarítmica
n
i
m
jjiij
m
i
m
jjiij
n
i
n
jjiij
m
iii
n
iii
pwc
ppb
wwa
pbwaawp
1 1
1 1
1 1
110
loglog2
1
loglog2
1
loglog2
1
loglog,log
Econometría: Translogarítmica Simetría
Homogeneidad de grado 1 en precios
jiijjiijjiij cc aa bb
n
jij
m
jij
m
jij
n
jij
m
ii
n
ii
cb
ca
ba
11
11
11
0
0
1
Econometría: Translogarítmica
mi
wcpbbwpS
pyp
ppn
jjij
m
jjijii
iii
ii
,...,1
lnln,
ln
ln
11
Econometría: Translogarítmica
ni
pcwaawpS
wxw
wwm
jjij
n
jjijii
iii
ii
,...,1
lnln,
ln
ln
11
Fulginiti and Perrin (AJAE 1990)
p, is a vector of m output prices r,is a vector of n input prices x,is a vector of n input quantities z, is a vector of l fixed factors T is a production possibility set
( , ; ) { ;( , ; ) }maxxy
p r z py rx y x z T
Fulginiti and Perrin (AJAE, 1990)
Fulginiti and Perrin Modelo: translogarítmica
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and PerrinParameters are estimated using time series data for years 1940-1980
Output categories:wheat, corn, grain sorghum, sunflower, linseed, soybeans and beef.
Variable inputs:Labor, capital, and aggregate of fertilizers, seeds and chemicals
Fixed inputs:Land, precipitation, and time in years,( proxy for tech change)
Fulginiti and PerrinTable 1. Condiciones de Homogeneidad y Simetría Impuestas
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin (AJAE 1990)
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