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DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA
SEMINARIO DE PROYECTO I y II:
Ciclo 2007-2010 Diciembre, 2010
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
UNIDAD IZTAPALAPA
“FUNDAMENTOS TERMODINÁMICOS Y METODOLOGÍAS PARA EL DISEÑO DE TURBOCOMPRESORES CENTRÍFUGOS”
DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS:
Con ya cuatro años de mi vida dedicados a un gran sueño que es concluir la
Universidad de forma satisfactoria, es importante recordar para nunca
olvidar de donde vengo, que aun cuando creía en algunos momentos que el final
de este camino jamás llegaría, que cada una de las desveladas, ayunos y
cansancios interminables no valdrían la pena, siempre a mi lado y para cada
ocasión se encontraba un persona que me impulsaba a concluir lo que ya había
iniciado, diciéndome en cada una de sus palabras y continuamente, que
siempre para obtener éxito en lo que uno desea con el alma y con gran pasión
será difícil, “por que en la vida lo bueno y lo que te de felicidad será siempre
difícil de obtener”, esto es algo que me llevaré para toda mi vida y que siempre
buscaré transmitírselo a quienes tenga la oportunidad de conocer. A través de
las siguientes palabras espero poder corresponderles y dedicarle a cada una de
estas personas especiales e importantes en mi vida este trabajo que costó
lágrimas y gran dedicación.
A MIS PADRES: FILIBERTO SALAZAR OLIVAREZ Y ELVIRA FRANCO
SÁNCHEZ, ustedes que siempre me han apoyado incondicionalmente, ustedes
que siempre han buscado lo mejor para mí aún cuando ustedes también
sufrieran a mi lado, que importa si les escribo miles de palabras, si lo único que
quiero decirles es “gracias por todo” y que este logro de mi vida es de ambos y,
que seguiremos con el siguiente sueño, por que nada es imposible y lo único que
se requiere es constancia y disciplina, y nunca dejar de luchar por aquello que
nos de felicidad, por muy difícil que parezca, ustedes me lo enseñaron muy bien
desde que nací, Gracias…..
A MI HERMANO: LINO SALAZAR FRANCO Y FAMILIA que me enseñaron
a siempre tener estas ganas de crecer en la vida, por desvelarse a mi lado y por
hacerme sentir siempre seguro de poder lograrlo, gracias hermano por todo el
apoyo que me has dado y que lo recuerdo desde que tengo uso de razón, gracias.
A MI ASESOR: RAÚL LUGO LEYTE le agradezco demasiado por haber creído
en mi, por haberme brindado un lugar de estudio por tantos años y por
apoyarme a concluir satisfactoriamente el presente trabajo, también le
agradezco por haberme dedicado tiempo para platicar en aquellos días en que
sentía caerme y por hacerme crecer como estudiante y como persona, gracias…
A AMIGOS: como Dr. Juan Manuel Zamora, Dr. Alejandro Vázquez y amigos
de carrera que me dieron los suficientes regaños y orientaciones para tener
siempre una perspectiva de lo quiero lograr en mi vida, gracias…
Atte. Salazar Franco Filiberto
Universidad Autónoma Metropolitana
CONTENIDO Página
RESUMEN I
OBJETIVOS III
JUSTIFICACIÓN III
CONTENIDO V
NOMENCLATURA XIII
INTRODUCCIÓN XVII
CAPÍTULO 1 ECUACIÓN DE EULER DE LA TRANSFERENCIA
DE LA ENERGÍA 1
1.1 Cambio en la Cantidad de Movimiento 1
1.2 Ecuación de Euler 3
1.2.1 Segunda Ley de Newton para Sistemas Rotativos 3
1.3 Ecuación de la Transferencia de Energía bajo la forma de Componentes
Energéticas 6
1.3.1 Primera Ley de la Termodinámica 11
1.3.2 Energía Total de un Fluido en Movimiento 11
1.4 Grado de Reacción 15
1.4.1 Grado de Reacción en Turbinas de Vapor y de Gas 20
1.4.2 Grado de Reacción en Turbocompresores Centrífugos 21
1.4.3 Grado de Reacción en Turbocompresores Axiales 26
1.5 Grado de Reacción en un Escalonamiento 26
1.5.1 Turbinas de Impulso 26
1.5.2 Turbinas de Reacción 29
1.5.3 Turbinas de Reacción Pura 34
CAPÍTULO 2 TEORÍA TERMODINÁMICA DE LOS TURBOCOMPRESORES
CENTRÍFUGOS 36
2.1 Componentes de un Turbocompresor 36
2.2 Procesos de Compresión 37
2.2.1 Proceso de Compresión Isoentrópico 39
2.2.2 Proceso de Compresión Politrópico 42
2.2.3 Proceso de Compresión Politrópico con Enfriamiento 47
2.2.4 Proceso de Compresión Isotérmico 49
2.3 Diagramas de Compresión 51
2.4 Eficiencia en un Escalonamiento 53
2.5 Eficiencia en Varios Escalonamientos 57
Contenido
Universidad Autónoma Metropolitana
2.6 Enfriamiento Intermedio en la Compresión 60
2.6.1 Condición Necesaria y Suficiente de Óptimalidad 63
CAPÍTULO 3 TEORÍA PARA EL DISEÑO DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO 69
3.1 Compresor y Turbocompresor 69
3.2 Parámetros que Caracterizan al Fluido 71
3.3 Trabajo de Compresión 72
3.4 Relación de Presiones 73
3.5 Coeficiente de Flujo 74
3.6 Característica de Operación 75
3.7 Coeficiente de Presión 76
3.8 Coeficiente de Potencia 77
3.9 Coeficiente de Par 77
3.10 Análisis de Fluidos Compresibles 78
3.11 Propiedades de Estancamiento 80
3.12 Diseño Óptimo de la Entrada de un Compresor Centrífugo 83
3.13 Difusores 86
CAPÍTULO 4 TURBOMAQUINARIAS DE FLUJO RADIAL 145
4.1 Aplicaciones de las Turbomaquinarias 145
4.2 Factor de Compresibilidad 147
4.3 Relación entre la Eficiencia Politrópica y la Eficiencia Isoentrópica
de Compresión 147
4.4 Cálculo de las Propiedades del Gas 155
4.5 Fracción Mol de Vapor de Agua en una Mezcla 157
4.6 Índice de la Velocidad del Sonido 157
4.7 Método “N” para Estimar el Tamaño del Compresor 159
4.8 Enfriamiento Intermedio 166
4.9 Tren de Compresor Multi-Cuerpos 172
ÍNDICE DE FIGURAS
CAPÍTULO 1 ECUACIÓN DE EULER DE LA TRANSFERENCIA DE LA ENERGÍA
Figura 1.1 Componentes espaciales ortogonales de la velocidad absoluta 2
Figura 1.2 Curvatura de álabes en función de 3
Figura 1.3 Triángulo de velocidades en función del ángulo de álabe β 4
Figura 1.4 Compresor centrífugo con álabes con salida radial, mostrando las
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componentes de la velocidad de entrada y salida de una masa
elemental después de un tiempo dt. 5
Figura 1.5 Triángulo de velocidades 7
Figura 1.6 Dinámica del movimiento circular 9
Figura 1.7 Aceleración normal en virtud al cambio en la dirección de la velocidad cu 10
Figura 1.8 Elemento de fluido dentro del compresor, modelado como un émbolo
imaginario 12
Figura 1.9 Turbocompresor radial-axial STC-SR (Cortesía SIEMENS) 15
Figura 1.10 Turbocompresor centrífugo de un solo escalonamiento. 16
Figura 1.11 Difusor 17
Figura 1.12 Proceso de compresión adiabático-politrópico de un compresor centrífugo 18
Figura 1.13 Saltos entálpicos en una turbina para un proceso isoentrópico 21
Figura 1.14 Grado de Reacción en función de las velocidades periféricas U1 y U2 23
Figura 1.15 Diagrama T-s para el turbocompresor centrífugo de un
solo escalonamiento 24
Figura 1.16 Triángulos de velocidades para el impulsor 25
Figura 1.17 Curvatura de los álabes y diagramas de velocidades para el impulsor 26
Figura 1.18 Turbina De Laval (Turbomaquina Axial), Fuente: Crónica de la Técnica 27
Figura 1.19 Triángulo de velocidades en función del ángulo de álabe β (Turbina
De Laval) 28
Figura 1.20 Diagramas de presión y velocidad absoluta para un Turbina
ideal, y de una sola etapa de impulso (Turbina De Laval) 28
Figura 1.21 Turbina de Vapor Curtis (Cortesía General Electric) 29
Figura 1.22 Diagramas de presión total y velocidad absoluta para una
Turbina de Reacción de un solo escalonamiento 30
Figura 1.23 Triángulo de velocidades para una Turbina de Reacción de una sola etapa 31
Figura 1.24 Triángulo de velocidades de la Figura 1.23 en forma compacta 32
Figura 1.25 Turbina Francis (Turbina de Reacción) 35
CAPÍTULO 2 TEORÍA TERMODINÁMICA DE LOS TURBOCOMPRESORES
CENTRÍFUGOS 37
Figura 2.1 Turbocompresor centrífugo de 6 escalonamientos con carcasa dividida
horizontalmente (Cortesía MAN) 37
Figura 2.2 Trabajo de compresión isoentrópico contra la relación de presiones (πimp) 41
Figura 2.3 a) Coeficiente de recalentamiento (α) contra relación de presiones (πimp)
b) Factor de recalentamiento (f) contra relación de presiones (πimp) 44
Figura 2.4 Eficiencia contra relación de presiones (πimp) 44
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Figura 2.5 Diagrama T-s para el proceso de compresión isoentrópico y politrópico 45
Figura 2.6 Diagrama T-s para el proceso de compresión isoentrópico y politrópico 49
Figura 2.7 Procesos de compresión en el diagrama T-s para distintos valores de n 52
Figura 2.8 Procesos de compresión en el diagrama p-v para distintos valores de n 52
Figura 2.9 Relación de presiones en un escalonamiento para un turbocompresor
centrífugo 53
Figura 2.10 Trabajo real contra relación de presiones (π) 55
Figura 2.11 Cambio de entropía contra relación de presiones (π) 55
Figura 2.12 Turbocompresor centrífugo de 3 escalonamientos (Cortesía MAN) 57
Figura 2.13 Proceso de compresión isoentrópico y politrópico con 4 escalonamientos 58
Figura 2.14 Turbocompresor centrífugo isotermo de 5 escalonamientos, con una
relación de presión total de hasta 80 bar (Cortesía MAN) 60
Figura 2.15 Diagrama T-s para el proceso de compresión con enfriamiento
intermedio del Turbocompresor centrífugo mostrado en la Figura 2.14 61
Figura 2.16 Diagrama p-v para el proceso de compresión con enfriamiento
intermedio del Turbocompresor centrífugo mostrado en la Figura 2.14 62
Figura 2.17 Diagrama T-s para la obtención de la relación de presiones óptima 64
Figura 2.18 Área normal a la salida del impulsor en función del gasto volumétrico 68
CAPÍTULO 3 TEORÍA PARA EL DISEÑO DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO
Figura 3.1 Compresor centrífugo con álabes de salida radial 69
Figura 3.2 Compresor centrífugo a) De entrada simple, b) De entrada doble 70
Figura 3.3 Triángulo de velocidades para una corriente de flujo con deslizamiento 72
Figura 3.4 Curva característica de operación 75
Figura 3.5 Número de escalonamientos contra relación de presiones 77
Figura 3.6 Flujo estable unidimensional 78
Figura 3.7 Relación entre el estado estático y el estado de estancamiento 80
Figura 3.8 Diagrama entalpía-entropía con estados de estancamiento para
una compresión 81
Figura 3.9 Pérdidas de presión a la entrada del impulsor 83
Figura 3.10 Representación del área transversal del ojo de admisión 84
Figura 3.11 Ángulo de álabe máximo para la función f (Mr,1) 86
Figura 3.12 Geometrías de difusores subsónico, a) Bidimensional, b) Cónico
y c) Anular 87
Figura 3.13 Difusión del flujo 87
Figura 3.14 Diagrama de Mollier para el proceso de difusión en un difusor subsónico 90
Figura 3.15 Variación de la eficiencia del difusor con respecto a πdif y el factor p03/p02 91
Figura 3.16 Representación esquemática de un compresor centrífugo de una sola etapa 97
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Figura 3.17 Triángulos de velocidades para un compresor centrífugo a) En la raíz
del ojo de admisión, b) En la punta del ojo de admisión y c) A la salida
del impulsor 99
Figura 3.18 Triángulos de velocidades sin prerrotación para el ojo de admisión 102
Figura 3.19 Número de Mach de acuerdo a las características del compresor 105
Figura 3.20 Variación de la presión, temperatura y velocidad en función de M1 106
Figura 3.21 a) Representación del acanalado axial en la periferia a la salida del
impulsor y b) Área perpendicular a la dirección de la velocidad radial cR2 107
Figura 3.22 Triángulos de velocidades para el compresor del caso práctico 3.3 109
Figura 3.23 Diagrama de Mollier representativo para un compresor centrífugo 112
Figura 3.24 Triángulo de velocidades a la salida del impulsor (isoentrópico y
politrópico) 116
Figura 3.25 Difusores usados en compresores centrífugos 122
Figura 3.26 Diagrama de Mollier para el compresor de un escalonamiento del
ejemplo 3.3 129
Figura 3.27 Diagrama de Mollier para el compresor del ejemplo 3.3 130
Figura 3.28 Conjunto de líneas primitivas sobre parte de la superficie de
curvatura del álabe del impulso 133
Figura 3.29 Efectos del cambio del área de paso sobre las propiedades de flujo
en toberas y difusores subsónicos y supersónicos 138
Figura 3.30 Variación de las propiedades del fluido y de la velocidad absoluta
del fluido a lo largo del ducto divergente 141
Figura 3.31 Representación esquemática de la variación del área transversal de
la voluta de un difusor 142
Figura 3.32 Variación de las velocidades absolutas en función del flujo másico 142
Figura 3.33 Variación de las presiones estáticas en función del flujo másico 143
Figura 3.34 Variación de las temperaturas estáticas en función del flujo másico 143
Figura 3.35 Variación de las densidades estáticas en función del flujo másico 144
CAPÍTULO 4 TURBOMAQUINAS DE FLUJO RADIAL
Figura 4.1 Clasificación de la Turbomaquinaria en función del tipo de
trayectoria del flujo de fluido 145
Figura 4.2 Turbina de Gas para generación de energía 146
Figura 4.3 Diagrama de Mollier representativo para la obtención de la eficiencia
politrópica 152
Figura 4.4 Eficiencia isoentrópica de compresión contra relación de presiones para
distintos valores de ηPIC 153
Figura 4.5 Eficiencia isoentrópica en función de la eficiencia politrópica para
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distintos valores de p2/p1 154
Figura 4.6 Carga politrópica máxima para una sola etapa en función de θ 157
Figura 4.7 Corte horizontal de un compresor centrífugo de múltiples-etapas 160
Figura 4.8 Sección de un compresor centrífugo con enfriamiento a la entrada 166
Figura 4.9 Diagrama de Flujo para un proceso de compresión de tres etapas con
Interenfriamiento a la salida de cada una de las etapas 167
Figura 4.10 Representación esquemática de un solo compresor con interenfriamiento 172
Figura 4.11 Tren de Compresor multi-cuerpos con Interenfriamiento (Cortesía Siemens) 173
Figura 4.12 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-Secciones 177
Figura 4.13 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-Cuerpos 179
Figura 4.14 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-
Cuerpos con enfriamiento intermedio y sección de limpieza 185
Figura 4.15 Diagrama T-s para el tren de compresores de tres cuerpos 185
ÍNDICE DE TABLAS
CAPÍTULO 2 TEORÍA TERMODINÁMICA DE LOS TURBOCOMPRESORES
CENTRÍFUGOS
Tabla 2.1 Propiedades termodinámicas en cada estado de la compresión
(Sección 2.6) 61
Tabla 2.2 Relación de presiones óptima y presiones al final de cada escalonamiento,
al igual que el rendimiento interno correspondiente (Sección 2.6). 66
CAPÍTULO 3 TEORÍA PARA EL DISEÑO DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO
Tabla 3.1 Relaciones para una similitud física completa entre dos máquinas 70
Tabla 3.2 Tipo de flujo de acuerdo al número de Mach 79
Tabla 3.3 Valores de la densidad, velocidad, temperatura y presión para cada
iteración (Ejemplo 3.3) 101
Tabla 3.4 Valores para la presión estática p3 en cada una de las iteraciones
(caso práctico 3.3) 120
Tabla 3.5 Valores de la densidad, temperatura y presión para distintos valores
de cR3,med (Ejemplo 3.3) 126
Tabla 3.6 Valores para las propiedades estáticas y de estancamiento a la entrada
y salida del impulsor, al igual que a la salida del difusor (Ejemplo 3.3) 127
Tabla 3.7 Valores de la densidad, velocidad, temperatura y presión para cada
iteración (Ejemplo 3.3) 136
Contenido
Universidad Autónoma Metropolitana
CAPÍTULO 4 TURBOMAQUINARIA DE FLUJO RADIAL
Tabla 4.1 Aplicación de la turbomaquinaria 145
Tabla 4.2 Aproximación de pérdidas mecánicas como un porcentaje de la
potencia requerida para el gas 162
Tabla 4.3 Valor para la presión reducida y temperatura reducida a la salida
del compresor (Ejemplo 4.1) 165
Tabla 4.4 Valor de la temperatura de descarga en función del número de
secciones (Ejemplo 4.3) 176
Tabla 4.5 Estimación de los parámetros para el Tren de Compresor de Tres-Secciones 178
Tabla 4.6 Estimación de los Parámetros del Tren de compresor de Cuatro-Secciones 180
Tabla 4.7 Resumen de la variables para el compresor del caso práctico 4.3 184
CONCLUSIONES 187
ANEXOS 191
REFERENCIAS 197
Contenido
Universidad Autónoma Metropolitana
I
RESUMEN
Debido a la amplia gama de aplicaciones que se le ha dado a los compresores de flujo
radial y axial en los diversos procesos industriales, principalmente en el campo de la
generación de energía eléctrica, tales como, ciclos de potencia de Turbinas de Gas, Ciclos
Combinados, etc., es indispensable un estudio cada vez más detallado del fenómeno de la
transferencia de energía o cambio de la cantidad de movimiento que ocurre entre máquina
y fluido, para así poder incrementar la eficiencia del proceso, es decir, reducir en mayor
medida las pérdidas de energía que se tienen como consecuencia del calor de
recalentamiento o de la degradación de algunos de los componentes de la propia máquina.
Por ello, en el primer capítulo del presente escrito, se desarrolla tanto Vectorialmente
como Termodinámicamente la deducción de la ecuación de Euler de la Transferencia de
Energía entre máquina y fluido, y viceversa, en términos de la velocidad periférica y de la
componente tangencial de la velocidad absoluta del flujo de fluido. Posteriormente, se
expresa esta ecuación de Euler en términos de las componentes energéticas (estática más
dinámica), que permiten poder realizar la clasificación de la Turbomaquinaria en función
del valor que tome el Grado de Reacción, pudiendo resultar máquinas de Impulso, de
Reacción o de Reacción Pura.
En el capítulo dos, se abarca la teoría correspondiente a la deducción de las ecuaciones
termodinámicas que gobiernan a los diversos procesos de compresión, definidos por el
valor del índice politrópico. Se presenta además, un ejemplo representativo para cada uno
de estos procesos de compresión, haciendo énfasis esencialmente en la explicación
termodinámica de los diagramas de Mollier correspondientes, al igual que la obtención de
la relación de presiones para la eficiencia isoentrópica de compresión óptima, esto a través
de las condiciones de óptimalidad y para el caso en que se tuviera más de un solo
escalonamiento en el compresor.
Para el capítulo tres, se establecen las relaciones que deben de existir entre dos máquinas
para poder obtener una similitud física completa entre éstas, haciendo posible la
experimentación en prototipos de menor tamaño y costo, para después aplicar los
resultados a máquinas reales.
Por otro lado, se especifican también los parámetros que caracterizan al fluido y algunos
de los coeficientes de diseño (de flujo, de presión, de potencia y de par). No obstante, el
tema de mayor interés de esta sección, corresponde a la que hace referencia a la dinámica
de gases, definiendo las propiedades de estancamiento, que son utilizadas durante el
análisis para el diseño de un compresor aerodinámico de un solo escalonamiento, rea-
Resumen
Universidad Autónoma Metropolitana
II
lizando la comparación entre los triángulos de velocidades ideal y real, los diagramas de
Mollier y algunas de las variables de gran interés, como son: velocidad absoluta, flujo
másico, densidad, temperatura, número de álabes, etc.
Es en el cuarto capítulo donde se representa esquemáticamente la clasificación de la
Turbomaquinaria en función de la trayectoria del fluido, al igual que se presentan las
ventajas y desventajas que existen entre turbocompresores axiales y centrífugos. También,
se retoma la definición de las eficiencias isoentrópicas, de compresión y de expansión,
pero ahora en términos del Politrope, esto con la finalidad de poder contar con los datos
nominales de los impulsores correspondientes a ser ocupados para cualesquier diseño
inicial de un compresor.
Por otro lado, para el diseño de compresores centrífugos, existen distintas metodologías
que varían de acuerdo al enfoque y precisión que se requiera en su aplicación, sin
embargo, debido a que son máquinas de fluido compresible, y que no han sido del todo
analizados por la complejidad que conlleva el poder expresar mediante expresiones
matemáticas el comportamiento aerodinámico del flujo del fluido, es indispensable
identificar el grado de confiabilidad o las limitantes de las metodologías existentes. En
este documento se presentan dos métodos: el Método N, con el cual es posible diseñar
hasta un Tren de Compresores, siendo aplicable para cualesquier mezcla y que es basado
principalmente, en los datos nominales de los impulsores, por otro lado, el segundo
método es basado en la dinámica de gases, el cual requiere de métodos iterativos en
algunos de los casos, para poder determinar las dimensiones faltantes para los dispositivos
del impulsor y difusor. Los resultados obtenidos mediante el análisis de una comparación
correspondiente, indican que el método basado en la dinámica de gases posee una mayor
precisión, al considerar las pérdidas que podrían originarse debido a la trayectoria del
flujo de fluido por el impulsor, se generan también los diagramas T-s y los triángulos de
velocidades.
Resumen
Universidad Autónoma Metropolitana
III
OBJETIVOS
Para el primer capítulo del presente trabajo, se tiene como finalidad poder obtener los
conocimientos necesarios que permitan distinguir a los diferentes clasificaciones de
compresores en términos de la transferencia de energía, al mismo tiempo de familiarizarse
con la nomenclatura dada en la literatura.
Otro objetivo es poder comprender las ecuaciones que gobiernan a los procesos de
compresión, al igual que se logra tener la habilidad de comprender los fenómenos
termodinámicos mediante la representación esquemáticas correspondiente, objetivo que es
cubierto por el capítulo dos.
En cuando al capítulo tres, se tiene como objetivo diseñar un primer compresor de un solo
escalonamiento mediante la aplicación de la definición de propiedades de estancamiento y
diagramas de Mollier.
Mientras que, para el capítulo cuatro, se tiene como objetivo el poder comprender y
dominar el Método N, basado en las propiedades de la mezcla y en los datos nominales de
los impulsores.
JUSTIFICACIÓN
Poder familiarizarse, comprender y lograr aplicar los conceptos básicos que rigen a los
procesos de compresión en compresores centrífugos para aplicaciones industriales, al
igual que se desglosan dos metodologías para el diseño de compresores centrífugos, el
Método Basado en la Dinámica de Gases y el Método N, para así lograr estimular la
investigación que conlleve junto con datos de pruebas experimentales y principios
aerodinámicos y termodinámicos a nuevas metodologías de diseño que permitan tener una
mejor precisión y exactitud en sus resultados.
Objetivos
Universidad Autónoma Metropolitana
XIII
NOMENCLATURA
Capítulo 1 ECUACIÓN DE EULER DE LA TRANSFERENCIA DE LA ENERGÍA
velocidad absoluta; [m/s],
fuerza; [N],
flujo másico; [kg/s],
flujo de calor; [kW],
(t) vector posición en función del tiempo; [m],
velocidad periférica; [m/s],
(t) vector velocidad en función del tiempo; [m/s],
velocidad relativa; [m/s],
potencia; [kW],
(t) vector aceleración en función del tiempo; [m/s2],
A área; [m2],
Cp calor específico a presión constante; [kJ/kgK],
Cv calor específico a volumen constante; [kJ/kg
d derivada; [-],
GR grado de reacción; [-],
h entalpía por unidad de masa; [kJ/kg],
m masa; [kg],
M torque; [N m],
p presión; [Pa o bar],
calor por unidad de masa; [kJ/kg],
R constante particular de los gases; [kJ/kgK],
r radio; [m],
t tiempo; [s],
v volumen específico; [m3/kg],
V volumen; [m3],
VC volumen de control; [-],
τ trabajo por unidad de masa; [kJ/kg],
e energía total por unidad de masa; [kJ/kg],
u energía interna por unidad de masa; [kJ/kg],
rapidez; [m/s],
Letras griegas
β ángulo de álabe; [ ° ],
π relación de presiones; [-],
δ derivada inexacta; [-],
ρ densidad; [kg/m3],
ω velocidad angular; [s-1
],
Subíndices
1 punto de entrada 2 punto de salida
Nomenclatura
Universidad Autónoma Metropolitana
XIV
a dirección axial a aire
dif difusor imp impulsor
m meridiana part partícula
rev reversible R dirección radial
s proceso isoentrópico u dirección tangencial
SIC eficiencia isoentrópica de compresión
Superíndices
´ primera derivada ´´ segunda derivada
Capítulo 2 TEORÍA TERMODINÁMICA DE LOS TURBOCOMPRESORES
CENTRÍFUGOS
X relación igual a 0.2857; [-],
entropía por unidad de masa; [kJ/kgK],
T temperatura; [°C o K],
f factor de recalentamiento; [-],
z número de escalonamientos; [-],
Letras griegas
α coeficiente de recalentamiento; [-],
η eficiencia; [-],
Subíndices
Aho ahorro c compresión
e enfriamiento elim eliminado
i escalonamiento, etapa máx máximo
mín mínimo rec recalentamiento
t isotérmica
Capítulo 3 TEORÍA PARA EL DISEÑO DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO
conda velocidad de la onda elástica; [m/s],
Eu número de Euler; [-],
KM coeficiente de par; [-],
KS coeficiente de compresibilidad isoentrópica; [-],
KT coeficiente de compresibilidad isotérmica; [-],
coeficiente de potencia; [-],
M número de Mach; [-],
Pr número de Prandtl; [-],
Re número de Reynolds; [-],
Letras griegas
β coeficiente isobárico de expansión; [-],
μ coeficiente de presión; [-],
Nomenclatura
Universidad Autónoma Metropolitana
XV
σ factor de deslizamiento; [-],
ϕ coeficiente de flujo; [-],
ψ factor de potencia; [-],
Subíndices
0 estado de estancamiento acan acanalado
alt altura avan avance
int interior mec mecánica
med medio punta punta
part particular r relativo
tier tierra
Capítulo 4 TURBOMAQUINARIA DE FLUJO RADIAL
N flujo molar; [kmol/s],
xi fracción mol; [-],
yi fracción masa; [-],
Z factor de compresibilidad; [-],
Subíndices
cr crítica gs gas seco
nom nominal mec mecánica
mez mezcla obj objetivo
p politrópica PIC politrópica de compresión
PIT politrópica de expansión r reducida
tot total v vapor
Nomenclatura
Universidad Autónoma Metropolitana
XVII
INTRODUCCIÓN
Debido a que más del 97 % de la energía que se consume en el mundo en cualesquier uso,
es procedente de alguna transformación de una energía natural a una más práctica, es
importante que las máquinas que dan lugar a esta transformación energética, operen en los
rangos más altos de eficiencia. Por ello, es importante en este caso, que las máquinas de
fluido compresible, en donde se citan a las de aire, gas y de vapor, sufran el menor
deterioramiento en su eficiencia, que está en función de las horas de operación y de los
servicios de mantenimiento que pueden recuperar parcialmente este deterioro.
No obstante, para lograr realizar un análisis más detallado de los mecanismos de
degradación, así como también de la optimización de los tiempos de servicios de
mantenimiento, se requiere de un conocimiento extenso y previo sobre el diseño de la
maquinaria a analizar, esto con motivo de ser una de las alternativas para dar lugar a una
disminución en el trabajo suministrado si es un compresor, en cuando se opta por tener
interenfriamiento o cierta curvatura que beneficie al tipo de transformación de energía que
se desea obtener, o bien, en reducir las pérdidas por transformación de energía a través del
impulsor o difusor, como pueden ser, cuando se evitan las ondas de choque.
Como los compresores pueden estar constituidos por más de un escalonamiento, es decir,
tener más de una sección que contiene varias etapas, o cuerpos que constituyen un tren de
compresor, es entonces de suma importancia, conocer algunas de las metodologías con las
cuales son basados estos diseños, al igual que las ecuaciones que gobiernan esta
transformación de energía a través de la máquina, sin embargo, siendo un tema que no ha
sido desarrollado ha profundidad, debido a la complejidad implícita que se tiene cuando
se busca expresar el comportamiento dinámico del fluido en expresiones matemáticas, es
necesario hacer uso de algunas consideraciones que son establecidas por experiencia
propia de diseñadores de compresores centrífugos que han estado laborando por muchos
años en este campo de la turbomaquinaria.
Por tanto, en el presente escrito se abarca en gran parte, las ecuaciones y diagramas
correspondientes a los distintos procesos de compresión, además de la clasificación de la
turbomaquinaria en función de la trayectoria del fluido de trabajo, que de acuerdo al tipo
de trayectoria que lleva el flujo de fluido, estos compresores se clasifican en axiales o
radiales. Como los compresores radiales proporcionan una mayor seguridad en la
operación y requieren de un menor número de escalonamientos para la misma relación de
presiones en comparación con los axiales, son los compresores centrífugos los más
utilizados en la industria (refinerías, plantas de separación de aire, plantas petroquímicas,
Introducción
Universidad Autónoma Metropolitana
XVIII
etc.), en aviación, automóviles, etc. Para el método basado en la dinámica de gases [11],
es necesario el bosquejo y análisis del diagrama de Mollier, donde se requiere conocer el
ángulo de álabe a la salida del impulsor, con el cual es posible trazar el triángulo de
velocidades y calcular el número de álabes requeridos para llevar acabo el proceso de
compresión. Para el cálculo del trabajo de compresión, determinado por la ecuación de
Euler para la transferencia de la energía, debe ser considerado el deslizamiento del flujo
de fluido a la salida impulsor, como consecuencia del torbellino relativo que se forma
entre los álabes, y de esta manera tener la posibilidad de determinar el punto de operación
del compresor que evite en mayor medida las pérdidas que podrían originarse por ondas
de choque. Pérdidas que no son consideradas por el Método N [19], ya que es basado
principalmente en la disposición de los datos nominales del impulsor, como la velocidad
de giro, diámetro del impulsor, eficiencia politrópica y trabajo politrópico. No obstante, la
metodología de este Método N lo hace el más apto para poder realizar un diseño
preliminar de compresores de ciclos de potencia, debido a que toma en cuenta la
posibilidad de tener interenfriamiento, maximizando la potencia de salida.
Introducción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
1
CAPÍTULO 1 ECUACIÓN DE EULER DE LA TRANSFERENCIA DE
LA ENERGÍA
1.1 CAMBIO EN LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La transferencia de energía entre máquina y fluido se da en relación a las propiedades
elásticas, determinada por el número de Mach, y en los cambios que sufre el momento de
la cantidad de movimiento del fluido con relación al tiempo, que se origina al pasar el
fluido por los ductos que forman los álabes y la carcasa misma de la turbomaquina, que al
darse la interacción entre fluido y álabe, da lugar a una fuerza o impulso, es decir, que da
origen a la transformación de energía cinética del fluido en cantidad de movimiento, a la
vez, convertida en energía mecánica en el eje de la máquina, que hace girar al rotor o
viceversa.
Para el diseño de las turbomaquinas se busca primordialmente, que se dé la mayor
transferencia de energía entre máquina y fluido, lo que ha propiciado un exhausto estudio
sobre los parámetros que determinan esta transferencia. Para evaluar el cambio en la
cantidad de movimiento, se hacen consideraciones en el flujo de fluido, éste se puede
caracterizar como un flujo en una, dos o tres coordenadas, es decir, que se tiene un flujo
unidimensional, bidimensional o tridimensional, respectivamente. Por tanto, analizar el
cambio de la cantidad de movimiento, también es analizar la velocidad del flujo del fluido
que entra al cuerpo de la turbomaquina, siendo ambas cantidades vectoriales, donde la
primera de ellas es caracterizada por el sentido y la segunda por la dirección; se
descompone la velocidad absoluta c del flujo del fluido en las tres componentes
espaciales ortogonales (x, y y z), que junto con la velocidad periférica, U, puede
introducirse el concepto de la velocidad relativa.
Para la representación de las componentes, se bosqueja una superficie de revolución S a
una distancia r del eje del rotor, que es por donde fluye una partícula de fluido que lleva
una trayectoria Tpart y una velocidad absoluta c (ver Figura 1.1). El vector velocidad c , en
el punto M, es tangente a la trayectoria de la partícula de fluido Tpart, y se representa
vectorialmente como
. La Figura 1.1 también muestra que la velocidad periférica
del rotor U que se origina en la zona de acción es tangente al contorno de la superficie S;
por otro lado, del plano MNO se tiene que la velocidad mc (velocidad meridiana) es la
resultante de las componentes de la velocidad axial y radial, es decir
m a Rc =c +c (1.1)
Si el plano del vector mc se traslada al punto P, y se toma ahora el plano PQR, se deter-
Cambio en la Cantidad de Movimiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
2
Cambio en la Cantidad de Movimiento
mina una nueva resultante, que se denota como .
u mW= c +U +c (1.2)
Esta velocidad relativa W , puede ser resumida con el sólo hecho de hacer referencia a los
principios generales de la dinámica, como se muestra en la ecuación (1.3).
Figura 1.1 Componentes espaciales ortogonales de la velocidad absoluta .
W=c U (1.3)
Las partículas de fluido siguen los contornos del álabe, que son las líneas de corriente,
entonces se tiene que la velocidad relativa W es tangente al álabe del rotor, y al ángulo
que forma con el vector U , se denomina ángulo de álabe “β” que, es el que determina en
el compresor si los álabes son curveados hacia atrás, álabes curveados hacia adelante o
álabes de salida radial (ver Figura 1.2).
Además, este ángulo de álabe “β” también determina la distribución y la magnitud de las
presiones sobre el álabe, que son de suma importancia para su diseño. En el diseño se
deben considerar otros argumentos, como pueden ser:
Gradientes de temperatura, como resultado de originarse un gradiente de presión
dinámica, que se relacionan a través de modelos matemáticos, una de ellas:
n 1
n2 2
1 1
T p=
T p
Reacciones debido a la acción centrífuga o centrípeta alrededor del eje de la máquina.
z
x y
Superficie de revolución S
P
L
O
N
Q
Tpart
R
M
N
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
3
c)
a)
Momentos flexionantes que se definen de la estática como la resultante de los esfuerzos
que actúan sobre la sección transversal, en este caso del álabe. Entre otras cuestiones,
están las propiedades mecánicas, propiedades físicas, propiedades térmicas, etc.
Figura 1.2 Curvatura de álabes en función de β:
a) Curveados hacia atrás, b) Curveados hacia adelante, c) Con salida radial.
1.2 ECUACIÓN DE EULER
La transferencia de energía que se da por la acción del fluido sobre los álabes a su paso,
generan la aparición de fuerzas sobre ellas, debido a los cambios que sufre la cantidad
de movimiento del fluido con el tiempo, es decir, el torque sobre el eje, multiplicado por
la velocidad de rotación de eje y dividida entre el flujo másico, resulta la carga específica
transferida o recibida por el eje de la turbomaquina, que puede ser modelado por la
Segunda Ley de Newton para sistemas rotativos.
1.2.1. Segunda Ley de Newton para Sistemas Rotativos:
Se define como Impulsión angular al cambio en el momento de la cantidad de
movimiento
Mdt=c rdm
Donde r es la distancia entre el elemento diferencial de masa y el eje de rotación.
Ecuación de Euler
a) c)
b)
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
4
Las partes del rotor cumplen distintas funciones, como lo es el inductor, donde el ángulo
de álabe debe ser apropiado para que el fluido entre al rotor con una velocidad relativa W
que es paralela a la superficie de éste, de manera que, entre la entrada y la salida sufra un
cambio de dirección para producir el torque. Considerando flujo estable y antes de darse
el cambio de dirección se tienen las tres componentes de la velocidad absoluta (ver Figura
1.1), donde dos de ellas, ac y Rc , o bien, la resultante de ambas mc (ver Figura 1.3) son
las que determinan el flujo másico del fluido que pasa por la máquina receptora o motriz,
y uc califica la trasferencia de energía.
Figura 1.3 Triángulo de velocidades en función del ángulo de álabe β.
Como ya se mencionó en un inicio, la transferencia de energía entre máquina y fluido es
consecuencia del cambio en la cantidad de movimiento, que se ve reflejado en la rapidez
de la velocidad absoluta c . Para la demostración se toma como modelo a un compresor
centrífugo con álabes de salida radial (ver Figura 1.4), es decir, que el flujo radial es de
dentro hacia afuera. Suponiendo, flujo estable a la entrada del compresor, que se da en el
dispositivo de admisión y considerando una masa elemental dm en el punto inicial
marcado con el número 1, se bosquejan las componentes del vector de la velocidad
absoluta, denotada como c1. Cabe resaltar, que se han bosquejado las tres componentes de
la velocidad c para poder deducir en forma general la ecuación de Euler, posteriormente
se establece cuales de ellas son características de este tipo de compresor.
Al paso por el rotor que consta de cierto número de álabes, los cuales pueden ir dispuestos
de alguna de las formas mostradas en la Figura 1.2, se tiene que no se produce cualquier
cambio en la cantidad de movimiento con el tiempo, sin embargo, después de un tiempo
dt y suponiendo una velocidad angular ( ω ) del rotor constante, la misma masa elemental
dm que se ha tomado estará ubicada en el punto 2, que poseerá una magnitud de velocidad
absoluta diferente de c1, denotándola como c2. Esto ha propiciado un cambio en la
cantidad de movimiento en ese tiempo dt, que da lugar a una fuerza o impulso entre fluido
y álabe. Que de acuerdo a la segunda Ley de Newton (1.2.1) aplicada a la masa elemental
dm para el lapso de tiempo dt entre la entrada y la salida del rotor, resulta
2 1Fdt=dm c c (1.4)
Ecuación de Euler
β
U uc
cmc
W
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
5
Figura 1.4 Compresor centrífugo con álabes con salida radial, mostrando las componentes
de la velocidad de entrada y salida de una masa elemental después de un tiempo dt.
Despejando F de la ecuación (1.4) y considerando al compresor como el sistema, el cual
es un volumen de control (sistema abierto) porque la masa cruza su frontera durante el
proceso, observando sólo una entrada y salida en el sistema, entonces, la rapidez de
cambio de masa con respecto al tiempo dentro de las fronteras del volumen de control es
dm/dt= m , quedando
2 1F=m c c (1.5)
Al igual que la velocidad absoluta, ésta tiene sus tres componentes espaciales ortogonales
(x, y y z), y por ello, se le conoce como la ecuación dinámica para flujo estable
tridimensional, donde la componente tangencial uF es la que produce el momento de giro
sobre el eje del rotor, ya que la componente axial aF al igual que la radial RF no tiene
alguna acción útil en la transferencia de energía. Por lo tanto, la ecuación (1.5) puede ser
R1c
u1c a1c
1c
R1
R2
1U
2W
m1c
1β
u2c 2c
R2c
u2c
2U 2β
2W
Ecuación de Euler
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
6
reescrita, en términos de magnitud como:
u u2 u1F =m c c (1.6)
La impulsión angular exterior o momento M=F r (para el caso en que, el vector F sea
perpendicular al vector posición r) transmitido por el fluido al rotor o viceversa, entre la
entrada y la salida es:
u 2 u2 1 u1M=F R=m R c R c (1.7)
Debido a que se ha considerado al eje del rotor como punto de referencia, entonces R2 y
R1 son los radios de los puntos de entrada y salida del fluido, respectivamente. La
potencia transferida de la máquina al fluido de trabajo, suponiendo que ω sea constante es
2 u2 1 u1=mω R c R c (1.8)
La velocidad periférica está definida como U=ω R, sustituyendo U con los subíndices
respectivos de la entrada y la salida del compresor, la potencia se expresa como:
2 u2 1 u1Τ=m U c U c (1.9)
La potencia por unidad de flujo másico ( m ), es decir, el trabajo por unidad de masa
(denotado por ) entre rotor y fluido, resulta
2 u2 1 u1τ= U c U c (1.10)
A τ se le denomina también como carga específica transferida. Ahora bien, la ecuación
(1.10) es conocida como Ecuación de Euler de la transferencia de la energía [1]. La
Ecuación de Euler se aplica tanto para máquinas de fluido compresible, como de fluido
incompresible, bajo la hipótesis de que todas las partículas que entran en el rotor tienen la
misma velocidad y experimentan la misma aceleración. Para que siempre conserve un
valor positivo, la Ecuación de Euler se escribe de manera convencional de la forma
siguiente:
Para máquinas receptoras, Compresores o Bombas 2 u2 1 u1U c >U c
2 u2 1 u1τ= U c U c (1.11)
Para máquinas motrices, Turbinas 2 u2 1 u1U c <U c
1 u1 2 u2τ= U c U c (1.12)
1.3 ECUACIÓN DE LA TRANSFERENCIA DE ENERGÍA BAJO LA FORMA DE
COMPONENTES ENERGÉTICAS
La Ecuación de Euler cuantifica la energía transferida entre el rotor y fluido mientras éste
pasa a través del rotor. Para fines prácticos, toda máquina se clasifica de acuerdo a su
Ecuación de Euler
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
7
rendimiento, al fluido a ocupar, tamaño, diseño, etc. Para máquinas de transferencia de
energía (receptora o motriz) se induce un concepto más, llamado Grado de Reacción, que
es la relación de las energías Dinámica y Estática. Esta expresión evalúa la transferencia
de energía en función de las componentes energéticas en una máquina receptora, tanto
interna, como externa que experimenta el fluido. La ecuación de Euler no cuantifica de
manera independiente cada una de estas energías, para eso se transforma dicha ecuación
en otra, que muestre estas componentes energéticas específicas. Al considerar nuevamente
a la ecuación de Euler (ecuación (1.10)), en la Figura 1.5 se muestra que cm ha dividido al
triángulo de velocidades en dos triángulos rectángulos, aplicando el teorema de Pitágoras
al triángulo abd, queda que
2 2 2m uc =c c (1.13)
de igual manera, para el triángulo bcd
22 2
m uc =W U c (1.14)
Ahora, al igualar la ecuación (1.13) con (1.14), se obtiene
22 2 2
u uc c =W U c
desglosando y despejando al término U cu, se tiene que
2
2 2 2
u
c +U WUc =
aplicando a la entrada y la salida
2
2 2 21 1 1
1 u1
c +U WU c = (1.15)
2 2 22
2
2 2 2
u2
c +U WU c = (1.16)
Finalmente, sustituyendo en la Ecuación de Euler (1.10) y agrupando términos
2 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 22 1 2c c U U W W
τ= (1.17)
Componentes Energéticas
Figura 1.5 Triángulo de velocidades.
a b c
d
β
U cu
c cm
W
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
8
2 1
2
2 2c c
2 1 1 2
2 2
2 2 2 2U U W W
2 1
2
2 2U U
1 2
2
2 2W W
Esta última expresión evalúa la transferencia de energía en función de las componentes
energéticas (carga dinámica más carga estática) en una máquina receptora, mientras que,
para una máquina motora (Turbina de Gas o Vapor) resulta:
1 2 1 2 2 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2c c U U W Wτ= (1.18)
La interpretación física de cada una de las componentes energéticas de la ecuación (1.17)
[1], o bien, de la ecuación (1.18) es la siguiente:
Es el cambio de energía cinética transferida, debida a un cambio de las
velocidades absolutas c1 y c2, este término es conocido como carga dinámica.
Cuantifica la transferencia de energía interna debido al efecto
interno, involucrando una acción centrífuga consecuencia del
paso del fluido por el rotor, conocida como carga estática.
De manera individual expresan lo siguiente:
Es la parte de la energía estática debida a la acción centrífuga o reacción
inercial del fluido, producida por la aceleración normal, que se crea con el
arrastre del fluido por los álabes en su rotación alrededor del eje de la
máquina.
Es la contribución de la carga estática, referente al cambio de la velocidad
relativa del fluido, o efecto de difusión entre los álabes desde la entrada
hasta la salida del rotor, sin embargo, es poca su influencia en la carga
estática total.
Para demostrar la acción centrífuga 1
2
2 22U U creada en el interior del compresor,
considérese lo siguiente [2]: Una partícula de masa m se mueve con rapidez constante “ξ ”
siguiendo una trayectoria circular, es decir, se encuentra a una distancia r0 del eje de
rotación. Suponiendo que se mueve en el plano x-y, se elimina de esta forma la tercera
componente y se escribe su posición como:
0 0
0 0
ξt ξtr(t)= r Cos ,r Sen
r r (1.19)
Es la ecuación de una circunferencia de radio r0, la razón de cambio de la distancia con
Componentes Energéticas
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
9
respecto al tiempo define la rapidez de la partícula m en el tiempo t, que se determina
como la magnitud del vector velocidad, es decir, ξ=||r´(t)|| .
Por consiguiente, si la velocidad angular está dada como 0ω=ξ/r [s-1], entonces, la
posición es expresada como:
0 0r(t)= r Cos ωt ,r Sen ωt
El vector velocidad, tangente al vector posición en r0 es:
0 0v(t)=r'(t) r ωSen ωt ,r ωCos ωt (1.20)
Para obtener el vector aceleración de la partícula, siendo definida como la derivada de la
velocidad, se tiene que
a 2 2
0 0(t)=v'(t) r ω Cos ωt , r ω Sen ωt (1.21)
Con la consideración, de que la velocidad angular con la que gira el eje es constante, y
factorizando ω de la ecuación (1.21), se obtiene
a 2
0 0(t)=v'(t)=r''(t)= ω r Cos ωt ,r Sen ωt (1.22)
Donde el término dentro de los corchetes, es exactamente la posición de la partícula de
masa m en el tiempo t, por lo tanto, sustituyendo la ecuación (1.19) en (1.22)
a 2(t)=v'(t)= ω r(t) (1.23)
A la aceleración se le llama aceleración radial o centrípeta, por que el vector está
dirigido hacia el centro de la circunferencia (ver Figura1.6), dirección opuesta al del
vector posición .
Figura 1.6 Dinámica del movimiento circular.
De acuerdo a la dinámica del movimiento circular uniforme, se concluye que se requiere
una fuerza para mantener a la partícula de masa moviéndose circularmente, siempre y
Componentes Energéticas
a(t2)
v(t2)
r(t1)
v(t0)
y
x
ωt0
r(t0)
ω
m
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
10
cuando la rapidez sea constante. Debe tenerse en cuenta, que la fuerza centrípeta no es un
nuevo tipo de fuerza. Usando la segunda Ley de Newton, se tiene que la Fuerza Total
(neta) que experimenta la partícula en la dirección radial es:
a 2RF =m (t)= m ω r(t) (1.24)
Con lo anterior, se demostrará que el término 1
2
2 22U U corresponde a la acción centrífuga,
considerando a una masa elemental dm y debido a un cambio en la dirección de la
velocidad tangencial, se crea la aceleración normal, “ω2r”, dirigida hacia el centro del eje
del rotor, que da origen a una presión dinámica entre las dos caras dA de la diferencial dm
separadas por un dr (ver Figura 1.7), en la diferencial dA interna se tiene una presión p,
mientras que en la diferencial dA externa se tiene una presión p+dp.
Figura 1.7 Aceleración normal en virtud al cambio en la dirección de la velocidad cu.
Entonces, expresando el equilibrio de fuerzas en la dirección radial
2RF =0 pdA+ d+dp dA ω rdm=0 (1.25)
2pdA ω rdm (1.26)
La densidad se expresa como sigue:
dmρ=
dV (1.27)
despejando dm de la ecuación (1.26), y como dV=drdA, entonces dm es:
dm ρdV ρdrdA (1.28)
Componentes Energéticas
dr Radio
dm
ω2r
ω
dA
ω2rdm
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
11
sustituyendo la ecuación (1.28) en (1.26) 2dpdA=ω rρdrdA
2dp=ω rρdr (1.29)
Como la densidad es el inverso del volumen específico, entonces, se obtiene 2vdp=ω rdr
Integrando entre el estado 1 y 2, y considerando además a ω=cte, resulta:
2
1
2 2
1 1
R R
2 2
R R
vdp= ω rdr=ω rdr
2 2 2
1 1
12 2
2 22 2 2R R U U
vdp=ω (1.30)
Desde el punto de vista Termodinámico, el primer miembro de la ecuación (1.30) es la
expresión del trabajo reversible por unidad de masa para un sistema de flujo estable, que
se obtiene aplicando la Primera Ley de la Termodinámica (1.3.1), es decir, un balance de
energía para un dispositivo que experimenta un proceso internamente reversible.
Trabajo reversible 2
rev
1
τ = vdp (1.31)
1.3.1 Primera Ley de la Termodinámica
Conocida como el principio de la conservación de la energía, establece que la energía no
se crea ni se destruye durante un proceso, sólo se transforma. Para determinar el cambio
neto de energía durante un proceso, se hace la diferencia entre la energía total que entra
y la energía total que sale del sistema durante el proceso [3].
En ausencia de efectos eléctricos, magnéticos, y de tensión, la Primera Ley de la
Termodinámica se expresa como:
1
2 22 2 1 2 1
1Q+Τ=m c c +g z z + h h
2 (1.32)
A fin de obtenerse la relación de la ecuación de Euler que se obtuvo vectorialmente con la
que se obtendría Termodinámicamente, se realiza primero algunos análisis
termodinámicos con respecto a la energía en volúmenes de control.
1.3.2 ENERGÍA TOTAL DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO
Se considera ahora como volumen de control a un elemento de fluido (ver Figura 1.8)
dentro del compresor, el cual es lo suficientemente pequeño para que tenga propiedades
Componentes Energéticas
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
12
uniformes en cualquier punto del mismo, entonces, a este volumen de control se le puede
idealizar como un émbolo imaginario, en el cual, un elemento de fluido precedente a éste
efectuará sobre el elemento de fluido dentro del volumen de control, una fuerza que lo
empujará a forma de hacerlo pasar por las fronteras. La fuerza aplicada estará actuando a
lo largo de una distancia L, así, el trabajo por unidad de masa realizado al empujar el
elemento de fluido por la frontera (es decir, trabajo de flujo) es :
flujo
Fδτ = dL
m
Si la presión se define como la fuerza normal que actúa por unidad de área, entonces,
reescribiendo la ecuación de trabajo de flujo para cuando el émbolo se ha desplazado una
distancia dL, resulta ser:
L L
flujo
0 0
F pAδτ = dL dL
m m
Si el producto AdL define el dV del elemento de fluido, entonces
V V
flujo
0 0
p pτ = dV= dV
m m
Figura 1.8 Elemento de fluido dentro del compresor, modelado como un émbolo imaginario.
Realizando la integración correspondiente, se obtiene que
flujo
p Vτ = V 0 =p
m m
Como el volumen específico es el volumen ocupado por unidad de masa, resulta
flujoτ =pv (1.33)
De lo anterior resulta que, el trabajo de flujo es el producto de dos propiedades del fluido,
por esta razón, algunos lo consideran como una propiedad de combinación (como la
p
e
n
t
r
a
r
L
e
n
t
r
a
r
Frontera del VC
Componentes Energéticas
VC dV
p
m
dV
p
m
Antes de entrar Después de salir
F entrar
L
e
n
t
r
a
r
A
e
n
t
r
a
r
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
13
entalpía) y lo llaman energía de flujo, energía de convección o energía de transportación
en lugar de trabajo de flujo. Tratando con fluidos compresibles, la energía total del
sistema por unidad de masa está dada por los 4 tipos de energía siguientes:
1.- Energía cinética (c2/2) 2.- Energía potencial (gz)
3.- Energía interna (u) 4.- Energía de flujo (pv)
e u2c
=pv+ + +gz2
(1.34)
Pero a la suma pv + u se le define como la entalpía, así que la ecuación (1.34) se reduce a
e2c
=h+ +gz2
(1.35)
Para el caso, cuando una corriente de fluido con propiedades uniformes se mueve a un
flujo másico , el flujo de energía transportada con esa corriente es:
e
2
masa
cE m =m h+ +gz
2 (1.36)
El proceso considerado para la transferencia de energía entre máquina y fluido, o
viceversa, ha sido un proceso de flujo estable, en el cual, el fluido fluye por el volumen de
control, que al realizar un balance de masa para un sistema general de flujo estable, se
obtiene que
entrada salida
m= m (1.37)
Lo que permite determinar que el contenido de energía total de un volumen de control
permanece constante (EVC=0); por lo tanto, el cambio en la energía total del volumen de
control es cero (ΔEVC=0). Ahora, si se efectúa un balance de flujo de energía general, en
este caso para dispositivos de una sola corriente (es decir, 1 2m =m =m ), y para cuando se
ha contemplado ya cualquier otra contribución de energía al VC como es en forma de
calor o trabajo, se tiene
22 2
2 21
1 1
c cQ+Τ+m h gz m h gz
2 2
dividiendo entre , la energía por unidad de masa es:
2 2 1 2 1
1
2
2 21q+τ= c c g z z h h (1.38)
Esta última expresión, es la primera ley de la termodinámica dada en el enunciado (1.3.1).
Componentes Energéticas
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
14
Si al balance de energía (1.38) para un dispositivo de flujo estable que experimenta un
proceso internamente reversible es expresado en forma diferencial, resulta:
rev revq + τ =d ke +d pe +dh (1.39)
La ecuación de Gibbs para sistemas abiertos, se define como:
Tds=dh vdp (1.40)
pero
revδq =Tds
(1.41)
sustituyendo la ecuación (1.40) y (1.41) en el balance de energía (1.39)
revdh vdp+δq =d ke +d pe +dh
Integrando desde la entrada a la salida, se tiene
2
rev
1
q = vdp+Δke+Δpe
Ahora, debido a que los dispositivos de turbinas y compresores por las que fluye el fluido
no poseen grandes diferencias de elevaciones unos de otros, se considera que los cambios
de energía potencial son insignificantes, por lo tanto
2
2 2rev 2 1
1
1τ = vdp+ c c
2 (1.42)
La ecuación (1.42) se puede obtener bajo otras consideraciones, por ejemplo, sustituyendo
ecuación (1.41) en (1.40).
revTds=δq =dh vdp
Considerando un proceso isoentrópico, al realizar la integración queda que
2 1 2
1
h h vdp
Por tanto, la ecuación (1.42) puede ser reescrita como:
2 1
22 2 2 2
rev 2 1 2 1
1
1 1q =h h + c c vdp+ c c
2 2 (1.43)
Comparando esta ecuación con la ecuación de Euler bajo la forma de componentes
energéticas (1.17), se puede concluir que el cambio en la carga dinámica tiene la misma
expresión tanto en la ecuación obtenida vectorialmente, como termodinámicamente,
mientras que la carga estática corresponde al salto entálpico h2-h1, es decir:
Grado de Reacción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
15
12 1
2 2
2 2 2 22 1 2U U W W
h h (1.44)
1.4 GRADO DE REACCIÓN
La clasificación de las turbomaquinas es de gran importancia debido a las distintas
aplicaciones que se les da en cada una de las distintas ramas de la industria (ver Figura
1.9), que exigen presiones de trabajo altas o bajas, resultado del manejo de distintos
fluidos, ya que las condiciones en que se trabaja, por ejemplo: con aire (usado en plantas
de separación de aire), son distintas a las condiciones si el fluido es, por ejemplo:
hidrógeno, sulfuro de hidrógeno, etano, propano (usados en refinerías), propileno, butano,
benzeno, (usado en plantas petroquímicas), amoniaco, metanol, dióxido de carbono
(usados en la industria química), freón, gas licuado de petróleo, gas licuado natural, helio
(usado en procesos de criogénesis) [1], etc:
Figura 1.9 Turbocompresor radial-axial STC-SR, para un gasto de 1,300,000 m³/h, es el
turbocompresor de aire más grande operando en el mundo, usado en plantas CTL (Coal-to-
liquids) (Cortesía SIEMENS).
Las bases con las que se hace la clasificación de las turbomaquinas no son tan claras,
Grado de Reacción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
16
debido a tantos factores involucrados, sin embargo, de forma general resaltan cuatro
variantes [1]:
1. La naturaleza del fluido, es decir, si éste es incompresible o compresible.
2. La transferencia de energía, es decir, si son máquinas receptoras o motrices.
3. Dirección del flujo de fluido al paso por el rotor de la turbomaquina.
Máquinas de flujo radial.
Máquinas de flujo axial.
Máquinas de flujo mixto (radial-axial).
4. Grado de reacción, determina si se trata de una máquina de impulso o de reacción.
Para una turbomaquina perteneciente a cualquiera de las cuatro variantes anteriores, el
tipo de fluido empleado comprende una relación de presión, garantizando los
requerimientos que se espera tanto de entrada como de salida de la turbomaquina, además
de la estabilidad del proceso, por ejemplo: para el caso de los turbocompresores, que son
máquinas que sirven para hacer ganar energía a un fluido compresible, generalmente bajo
la forma de presión, y según sea la presión final que se requiera obtener, éstos serán de
uno o más escalonamientos.
Entonces, al hacer referencia a un turbocompresor centrífugo con álabes curveados hacia
atrás, cuando se habla de un escalonamiento, se entiende que es la presión ganada en el
rotor o impulsor más la presión ganada en el difusor, es decir, un cambio en la cantidad de
movimiento (sea en la energía dinámica o en la energía estática) [1], que de acuerdo a la
Figura 1.10, se hacen las siguientes observaciones:
Figura 1.10 Turbocompresor centrífugo de un sólo escalonamiento.
Difusor
Acanalado
Circunferencial
Inductor
Rotor o
Impulsor
Difusor
Eje del Rotor
Carcasa
Aire de
Admisión
Álabes curveados hacia atrás
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
17
1. La presión ganada en el Impulsor, es debido a la acción centrífuga, como resultado
del paso del flujo de fluido a través de los ductos formados entre los álabes y la
carcasa.
2. La presión ganada en el difusor, es resultado de una disminución de la velocidad del
fluido, en cuanto éste es dirigido, desde la salida del impulsor hasta la descarga o al
siguiente impulsor, para el caso en que se tiene más de un escalonamiento. Para
demostrar esta transformación parcial de energía dinámica en estática, se considera a
un ducto divergente (ver Figura 1.11).
Figura 1.11 Difusor.
Se consideran las siguientes suposiciones:
Del punto 1 al punto 2, hay un proceso de flujo estable, es decir, que se trata de un
proceso estacionario.
Se considera al fluido como un gas ideal para poder modelar su comportamiento,
haciendo uso de la ecuación de los gases ideales.
Se desprecia al cambio en la energía potencial.
No hay interacciones de trabajo con el VC (volumen de control).
Haciendo uso de Primera Ley de la Termodinámica (ecuación 1.32), y al aplicar cada una
de las suposiciones consideradas, se obtiene que
2 1
2 22 1
1h h c c
2
Para determinar, si el cambio en la energía cinética es positivo, negativo o es igual a cero,
se considera a la expresión para un proceso de compresión con n>γ.
2 1 2
1
h h vdp
Lo cual permitirá concluir sí hay un Δp en el difusor, por lo que, siendo flujo estable y
considerando una densidad constante, se procede a aplicar la ecuación de continuidad o
A1 A2
c1 c2<<c1
1 2
VC
Difusor
Difusor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
18
conservación de masa.
1 1 2 2m=ρA c =ρA c (1.45)
al despejar c2, y como A2 >A1, entonces
2 1c <c
con lo que resulta que, el salto entálpico es:
2 1 0 2
1
h=h h vdp
resultando que
Δp>0
Entonces, se concluye que, efectivamente un difusor es un dispositivo que tiene como
finalidad incrementar la presión del fluido, en cuando éste experimenta una disminución
en su energía cinética, es decir, la velocidad absoluta del fluido a la salida es menor a la
de entrada, dándose un incremento de temperatura en el caso de fluidos compresibles.
Este proceso de compresión adiabático-politrópico se muestra en el diagrama T-s de la
Figura 1.12, observando dos procesos de compresión que son caracterizados de acuerdo al
valor que tome el índice politrópico n, para el caso del aire, cuando n=γ, se define a γ
como la relación de calores específicos a presión constante y a volumen constante, es
decir, Cp/Cv, (ambos calores específicos están en función de la temperatura).
Figura 1.12 Proceso de compresión adiabático-politrópico de un compresor centrífugo.
Al ser considerado como fluido de trabajo al aire en condiciones normales, se tiene que
γ=1.4, que es para el caso de un proceso de compresión adiabático reversible, que va del
estado 1 (entrada del impulsor) al estado 3s (salida del difusor), pasando por el estado 2s
(entrada al difusor). Entonces, la relación de presiones en el impulsor y difusor son:
p1
p3
3
3s
p2
2s
1
2
Tem
pe
ratu
ra
Entropía
Grado de Reacción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
19
La relación de presiones en el impulsor (proceso 1-2s) es: 2
imp
1
pπ =
p
La relación de presiones en el difusor (proceso 2s-3s) es: 3
dif
1
pπ =
p
Resultando que, la relación de presiones para un sólo escalonamiento (proceso 1-3s) será:
3 32imp dif
1 2 1
p ppπ π π =
p p p (1.46)
Esta relación de presiones (ecuación 1.46) que se obtiene considerando a n=γ
(isoentrópico), es la misma para el caso en que se tiene un proceso de compresión
politrópico sin enfriamiento (n > γ), que va del estado 1 al estado 3, aunque claro, el
trabajo requerido en el proceso de compresión isoentrópico es menor al del trabajo de
compresión politrópico.
Además, la ecuación (1.46) expresa que, en cuanto mayor sea la relación de presiones,
mayor debe ser la transferencia de energía entre máquina y fluido, o viceversa, esto es
muy importante para poder determinar el diseño adecuado, debido a la gran diversidad de
aplicaciones, que propician en el campo de estudio de los turbocompresores, la búsqueda
de la mayor transferencia de energía estática (de presión) al fluido de trabajo, para así
alcanzar las altas presiones que hoy exigen los procesos industriales.
Basado en lo anterior, se define el Grado de Reacción (GR) a la relación entre el cambio
de energía estática en el rotor y la energía total transferida en el mismo (estática más
dinámica). La ecuación de Euler (1.17) proporciona la transferencia de energía bajo la
forma de componentes energéticas para máquinas receptoras, si la energía dinámica es:
2 1
2
2 2
dinámica
c cτ =
y la energía estática es
1
2 2
2 2 2 22 1 2
estática
U U W Wτ =
de acuerdo a la definición, el Grado de Reacción es
2
1
2 1 1
2 2 22 1 2estática
2 2 2 2 2 2estática dinámica 2 1 2
U U + W WτGR=
τ τ c c + U U + W W (1.47)
Grado de Reacción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
20
Como ya se mencionó, es sólo para máquinas de un sólo escalonamiento (máquinas
hidráulicas y ciertos turbocompresores), donde se tiene como función convertir,
parcialmente, la energía cinética que tiene el fluido a la salida del rotor en energía estática
o de presión, considerando además que las variaciones de temperatura y de volumen
específico no son sensibles.
De la ecuación (1.47) se hacen las siguientes observaciones:
No abarca toda clasificación de turbomaquinas, por ejemplo: las turbinas de vapor
y de gas de fluidos compresibles, donde son muy sensibles los cambios de
temperatura y de volumen específico.
Está limitada sólo para turbomaquinas que operan a bajas relaciones de presiones.
Para alcanzar una presión final dada, mayor a la presión máxima que podría obtenerse
ante condiciones ideales en un sólo escalonamiento, entonces, se requieren tener más de
un escalonamiento para poder incrementar la energía estática al paso de cada uno de éstos.
1.4.1 GRADO DE REACCIÓN EN TURBINAS DE VAPOR Y DE GAS.
Ya se demostró a través de la Primera Ley de la Termodinámica (bajo ciertas condiciones)
que el cambio en la carga estática significa un salto entálpico, que para el caso de
máquinas motriz, es la causa de la expansión adiabática del fluido, que puede realizarse en
más de una etapa, por lo tanto, para un escalonamiento y tratándose de turbinas de vapor
en la que su estructura se conforma por dos conjuntos, siendo el primero un conjunto de
toberas fijas que hacen la función de coronas de álabes fijos (directrices), que hacen
cuerpo con el estator, y el segundo conjunto de canales móviles delimitados por los
álabes que hacen cuerpo con el rotor, entonces, el grado de reacción se define por los
saltos entálpicos de acuerdo a la corona fija y móvil (ver Figura 1.13) como [1]:
salto entálpico isoentrópico móvilGR=
salto entálpico en el escalonamiento (1.48)
La Figura 1.13 muestra el salto entálpico en la corona fija más el salto entálpico en la
corona móvil, donde: h1 representa la entalpía en el estado 1 (entrada de la corona fija), h2
la entalpía en el estado 2s (entrada de la corona móvil) y h3s la entalpía en el estado 3s
(salida de la corona móvil), reescribiendo la ecuación (1.48) en función de las entalpías, se
obtiene que
2s 3s
1 3s
h hGR=
h h (1.49)
Grado de Reacción en Turbinas de Vapor y de Gas
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
21
Figura 1.13 Saltos entálpicos en una turbina para un proceso isoentrópico.
1.4.2 GRADO DE REACCIÓN EN TURBOCOMPRESORES CENTRÍFUGOS
Con base a la definición de Grado de Reacción, para el caso de turbocompresores
centrífugos se tiene que, está definido el GR como la relación de saltos entálpicos por
escalonamiento (ecuación 1.50) y lógicamente debe ser lo más grande posible (ecuación
1.50), que se logra de distintas maneras, una de ellas es con un aumento de la acción
centrífuga, lográndose principalmente con un aumento en el número de revoluciones por
minuto (N), ya que la velocidad periférica se define como U=ω N (donde ω es constante).
Otra manera de aumentar el GR es reduciendo la energía cinética del fluido, que se logra
en el impulsor cuando se tienen álabes curveados hacia atrás (β < 90° , ya que la
velocidad absoluta del fluido a la salida (c2) del rotor o impulsor es la más baja que podría
obtenerse en comparación cuando se tienen álabes curveados hacia adelante o álabes con
salida radial (ver Figura 1.2), por tanto el grado de reacción está dado como [1]:
salto de presión en la corona móvilGR=
salto de presión en el escalonamiento (1.50)
Con base a la Figura 1.12, se tiene que la ecuación (1.50) que define el Grado de Reacción
para turbocompresores centrífugos, puede ser reescrita en función de los saltos de presión,
es decir, que el salto de presión en la corona móvil es el análogo al salto de presión en el
impulsor, y el salto de presión del escalonamiento sería la presión ganada desde la entrada
hasta la salida del turbocompresor, es decir:
2s 1 2 1
3s 1 3 1
h h p pGR= =
h h p p (1.51)
3s
2s
1
p1
t1
p2
t2
t3
s
h3s
h2
h1
h
p3
Corona fija
Corona móvil
Grado de Reacción en Turbocompresores Centrífugos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
22
◙ Caso 1.4.2
Un turbocompresor centrífugo de un escalonamiento aspira aire a una temperatura T1= 15
°C y una presión p1=1 bar, girando a 7200 rpm. El diámetro exterior del impulsor es 80
cm y de 16 cm el del interior. La velocidad relativa de salida es de 65 m/s y la de entrada
de 120 m/s. En el difusor se recupera, en forma de presión, el 60 % de la energía dinámica
generada en el rotor. La energía transferida de la máquina al fluido es de 80 kJ/kg.
Calcular el Grado de Reacción haciendo uso de las ecuaciones (1.47) y (1.51) y hacer la
comparación correspondiente.
Solución:
2
1
2 1 1
2 2 2estática 2 1 2
2 2 2 2 2 2estática dinámica 2 1 2
τ U U +W WGR=
τ τ c c +U U +W W (1.47)
2s 1 2 1
3s 1 3 1
h h p pGR= =
h h p p (1.51)
Primero se calcula el GR con la ecuación (1.47), para ello, se requiere del cálculo de las
velocidades periféricas U1 y U2, las cuales están en función de los diámetros respectivos,
ya que la velocidad angular es constante y determinada por el número de revoluciones (N)
a la que gira el eje del rotor, dando así, los siguientes valores para las velocidades
periféricas tanto a la entrada como a la salida del impulsor.
11 1
D2πN 0.16 mU =ωR = = 753.982 =60.318
60 2 2 s
22 2
D2πN 0.80 mU =ωR = = 753.982 =301.593
60 2 2 s
El valor de la energía total transferida de máquina a fluido es proporcionado por el
problema, de esta manera, el Grado de Reacción es:
2 2 2 22 2 2 2
2 1 1 2301.593 60.318 + 120.0 65.0U U +W W
GR= =0.6092 80,000.0 2τ
Se tiene entonces que, el valor de GR está en función de las velocidades periféricas,
1 2GR= (U ,U )f , o de igual manera 1 2GR= (D ,D )f , si se mantiene constante alguna de las
velocidades periféricas mientras se hace variar la velocidad periférica restante, el valor de
GR variará respectivamente, tal comportamiento es mostrado en la Figura 1.14 marcando
el valor obtenido de GR=0.609.
Grado de Reacción en Turbocompresores Centrífugos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
23
Figura 1.14 Grado de Reacción en función de las velocidades periféricas U1 y U2.
Ahora, se prosigue a calcular el Grado de Reacción con la ecuación (1.51), para ello, se
requiere conocer las presiones p2 y p3, que es a la entrada y salida del difusor,
respectivamente, o de acuerdo a la definición de los saltos de presión, se requiere conocer
el salto de presión p2-p1 que es en la corona móvil (impulsor) y el salto de presión en el
escalonamiento p3-p1. Recordando que la energía estática se expresa para fluidos
incompresibles como el gradiente de presión, entonces
2
1
2 2
2 2 22 1 2
2 1
U U W Wp=p p ρ
La densidad no es una variable proporcionada por el problema, sin embargo, se puede
relacionar con la temperatura y presión por medio de la ecuación de estado del gas ideal
ρ=ρ1=p1/RaT1, donde Ra es la constante particular del aire, que al considerar un peso
molecular del aire seco de 28.9 kg/kmol, resulta
a
a
uR 8314.0 JR = = =287.7
M 28.9 kg K
Dando un valor de la densidad igual a:
a
51
1 31
p 1.0×10 kgρ = = =1.165
R T 287.7 298.15 m
Sustituyendo el valor de la densidad en la expresión del salto de presión para la corona
móvil, se obtiene
2301.593 60.318 120.0 65.0 2
2 2 2
2 1p=p p 1.165 =568.30 mbar
El salto de presión en el escalonamiento es:
3 3 2 2 1 1p p p p p p
El término 3 2p p significa la ganancia de presión en el difusor, y según se indica en el
GR=0.609
D1=0.16 m D2=0.80m
N=12000 rpm
W1=120 m/s W2=65 m/s
Grado de Reacción en Turbocompresores Centrífugos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
24
enunciado del problema, es el 60 % de la energía dinámica generada en el rotor.
2 13 2
60.0
2 100.0
2 2c cp p ρ
Ahora, de acuerdo a la ecuación de Euler bajo la forma de componentes energéticas, ec.
(1.17), el término de la carga dinámica es:
2
2 1 1 80000 48747.52 2 2
2 2 2 2 22 1 2c c U U W W J
τ =31252.5 kg
por lo tanto
3 2
60.0
100.0
p p 1.165 31252.5 21860.5 Pa=218.605 mbar
Por lo que, el salto de presión para el turbocompresor centrífugo considerado es:
3 3 2 2 786 1 1p p p p p p 218.605 568.30 .906 mbar
Lo que da un valor para el Grado de Reacción de
568.300.772
786.906
2 1
3 1
p pGR=
p p
Los saltos de presión obtenidos en el impulsor y en el difusor para el turbocompresor
centrífugo con un grado de Reacción de 0.722 se muestran en un Diagrama T-s (ver
Figura 1.15). Bajo la consideración de que los álabes del turbocompresor centrífugo son
álabes curveados hacia atrás (β2 < 90 °), en la Figura 1.16 se muestran los triángulos de
velocidades a la entrada y a la salida del impulsor.
Figura 1.15 Diagrama T-s para el turbocompresor centrífugo de un solo escalonamiento.
p1=1.00 bar
p2=1.568 bar
p3=1.786 bar
1
2s
3s
T1=298.2
T2s=339.0
T3s=351.0
270
290
310
330
350
370
390
410
5.6 5.65 5.7 5.75 5.8 5.85 5.9 5.95
Tem
pe
ratu
ra [
K]
Entropía [kJ/kgK]
T1= 25 °C p1= 1.0 bar
Cp= 1.004 kJ/kgK
τ = 80 kJ/kg
Grado de Reacción en Turbocompresores Centrífugos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
25
Figura 1.16 Triángulos de velocidades para el impulsor a) A la entrada b) A la salida.
De acuerdo a los datos del ejemplo tratado, τ = 80 kJ/kg, lo que permite realizar el cálculo
de la velocidad tangencial cu2.
u2
2
τ 80,000.0 mc = = =265.258
U 301.5928 s
Del triángulo de velocidades de la Figura 1.16b y aplicando la Ley del Coseno, la
velocidad absoluta del fluido a la salida del impulsor es:
270.6782 2 2 22 2 2 u22
mW -U +2U c (65.0) -(301.592) +2(301.592)(265.258)c = =
s La velocidad absoluta a la que debe entrar el fluido de trabajo (aire) al impulsor, se
obtiene al ser despejada de la ecuación (1.17).
2
1
2 2270.678 80,000.0 301.592 60.318 120.0 103.73
2 2 m- + (65.0)c = =
s
Los ángulos de álabe que garantizan la transferencia de energía a las condiciones
proporcionadas son:
22
2
1 11 u21
1
U U cβ =Cos =59.82° β =Cos =56.01°
W W
Los ángulos de álabe (β1, β2), las velocidades abosulutas del fluido (c1, c2), las velocidades
periféricas (U1, U2), y las velocidades relativas (W1, W2), son mostradas a escala en la
Figura 1.17.
Cabe resaltar dos puntos, uno de ellos es que, si la energía recuperada en el difusor
hubiese sido del 100 % de la energía dinámica generada en el rotor el valor de GR hubiera
sido el mismo para ambas ecuaciones, sin embargo, para fines prácticos, se usa más la
ecuación (1.47) por su simplicidad y por proporcionar un valor de GR lo suficientemente
aproximado a la realidad. El segundo punto es que, al considerar al fluido como
incompresible, se entrañan pequeños errores, ya que la densidad a la salida del impulsor
no es la misma que la de entrada.
c1=cR
1
mU =60.318
s
1
mW =120.0
s
1β
a) b)
2β cm
2
mU =301.593
s
u2c =?
2c =? 2
mW =65.0
s
Grado de Reacción en Turbocompresores Centrífugos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
26
a)
β2=56.01°
c2 U2
W2 cm2
c1
U1
W1 β1=59.82°
Estado 2
Estado 1
Figura 1.17 Curvatura de los álabes y diagramas de velocidades para el impulsor.
1.4.3 GRADO DE REACCIÓN EN TURBOCOMPRESORES AXIALES
Un Turbocompresor Axial está constituido por un rotor provisto de álabes y un estator de
álabes fijos a la carcasa que sirven de difusor y como directores del flujo, el cual es
paralelo al eje del rotor, para este tipo de turbocompresores, la velocidad periférica a la
salida es la misma a la de entrada para cualquier diámetro o número de revoluciones (N),
ocasionando que la componente energética correspondiente a la acción centrífuga en la
ecuación de Euler (1.17) sea cero.
Entonces, nuevamente de acuerdo a la definición de grado de reacción, se tiene que, el
Grado de Reacción para turbocompresores axiales está en función de las velocidades que
caracterizan el comportamiento dinámico del fluido [1], es decir: 2
2 12 1
1
1
21 2
2 22 2 2 21 2
2 21 2
W WGR
c cc c +W W
W W
(1.52)
1.5 GRADO DE REACCIÓN EN UN ESCALONAMIENTO
El valor que puede tomar el grado de reacción está acotado entre cero y uno, por lo tanto,
se tienen sólo tres posibles valores, GR = 0, 0 < GR < 1 o GR = 1, y que de acuerdo al
valor que tome, se habla de turbomaquinas de Impulso, de Reacción o de Reacción Pura,
respectivamente [1].
1.5.1 TURBINAS DE IMPULSO
El primer valor que podría tomar el Grado de Reacción es cero, y corresponde al caso en
Grado de Reacción en un escalonamiento
Escala: 1cm =70 m/s
ω
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
27
que las turbomaquinas tienen ruedas móviles de acción o impulso, donde el salto entálpico
se produce únicamente en las ruedas fijas o toberas de alimentación, siendo h1 - h2 =0.
Estas turbinas de impulso se caracterizan por ser de una o varias etapas dotadas de paletas
de impulso, las cuales se reconocen fácilmente por su forma simétrica, pero también, se
caracterizan por el hecho de que la mayor parte o la totalidad de la caída de entalpía (y de
la presión) ocurre en las toberas (o paletas fijas, que funcionan como tales), mientras que
no se produce prácticamente caída alguna en las paletas móviles [1].
La Turbina de vapor De Laval (ver Figura 1.18), de flujo compresible, es la máquina de
impulso más simple, que trata de aprovechar la energía cinética del fluido obtenida en
toberas acopladas a ésta. Esta turbina, consta de un rotor simple, que es dotado de álabes
simétricos, en el cual se le distribuyen de manera uniforme toberas de alimentación del
tipo convergente-divergente, que convierten la energía de presión en un incremento en la
energía cinética, por lo que, la dirección en la que se dirige el flujo de fluido a la salida de
las toberas, es en dirección a los álabes del rotor, y así, proporcionar el torque que lo haga
girar.
Figura 1.18 Turbina De Laval (Turbomaquina Axial), Fuente: Crónica de la Técnica,
Editada en Barcelona, Plaza and Jánes,1989, pág. 419.
En la Figura 1.19 se muestran los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del
rotor, trazados para un radio dado, y que sirven para calcular la transferencia de energía
entre fluido y máquina, entonces, a partir de la ecuación de Euler para la transferencia de
energía por unidad de masa, se tiene que
1 u1 2 u2τ= U c U c
(1.12)
Turbinas de Impulso
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
28
Figura 1.19 Triángulo de velocidades en función del ángulo de álabe β (Turbina De Laval).
Y tratándose de una turbomaquina axial, donde la velocidad periférica 1 2
U =U =U , se
concluye que el trabajo por unidad de masa para una turbina de impulso de un sólo
escalonamiento es:
u1 u2τ=U c c (1.53)
Este cambio en la cantidad de movimiento dado en el rotor, puede observarse en la Figura
1.20, mostrando la variación de la presión y de la velocidad absoluta del fluido en la
tobera y en el canal que es formado entre las paletas de la turbina. Entonces, siendo el
caso de paletas simétricas y considerando que no hay caídas de presión por rozamiento en
la corona móvil, se tiene que, la carga estática es nula, lo que permite concluir que la
energía transferida por unidad de masa para esta turbina de impulso es:
2 22 1c c
τ=2
(1.54)
Figura 1.20 Diagramas de presión y velocidad absoluta para una Turbina ideal, y de una
sola etapa de impulso (Turbina De Laval).
La Turbina de vapor Curtis (Figura 1.21), al igual que en la Turbina De Laval, se busca
aprovechar la energía cinética inicial del vapor, de forma que disminuya la acción diná-
c1
c2
Dirección de Rotación
Pre
sió
n
Vel
oci
da
d
Ab
solu
ta
Tobera
Turbinas de Impulso
1c 2
c a
c 2
β
U
u1c
2W
1W
1β
u2c
U
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
29
mica de éste. Se tienen álabes simétricos en el rotor, mientras que en el estator se
encuentran invertidos con respecto a los del rotor. La ecuación que cuantifica la energía
transferida por unidad de masa para el caso tratado, es la misma que en la ecuación (1.54).
Algunas ventajas de las turbinas de impulso son [1]:
Menor velocidad periférica para un mismo salto entálpico adiabático, dando como
consecuencia, un menor número de escalonamientos para una misma relación de
presión y por tanto, dimensiones de la turbina más reducidas.
Mejor equilibrio axial de los rodetes en estas turbinas.
Posibilidad de utilización de la admisión parcial y de escalonamientos de
velocidad, lo cual es irrealizable en las turbinas de reacción.
Son las máquinas en las que es más fácil localizar alguna avería producida en un
escalonamiento cualquiera.
Figura 1.21 Turbina de Vapor Curtis, Fuente Enciclopedia Temática Planeta, Barcelona,
1974, vol. 3 pág. 163 (Cortesía General Electric).
1.5.2 TURBINAS DE REACCIÓN
Para el segundo caso, en que el Grado de Reacción toma valores que van desde 0 < GR <
1, se habla de Turbinas de Reacción, que fueron desarrolladas inicialmente por C.A.
Parsons, en las cuales es de esperarse un gradiente de presión entre la entrada y salida de
la turbomaquina, resultado de una caída de entalpía, tanto en las ruedas fijas como
móviles, siendo, el caso más general, además de que indica que las máquinas deben
trabajar a ducto cerrado. El Grado de Reacción para el caso de una turbina (máquina
axial) de un solo escalonamiento viene dado por la relación de la carga estática sobre la
total transferida (ecuación 1.52) [1].
Turbinas de Reacción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
30
2
2 12 1
1
1
21 2
2 22 2 2 21 2
2 21 2
W WGR
c cc c +W W
W W
(1.52)
Aunque, para el caso en que el Grado de Reacción sea menor a 0.2, se incluirá dentro de
la clasificación de turbinas de impulso. Ahora, frecuentemente el grado de reacción para
turbinas de gas y de vapor su valor aproximado es GR= 0.5, debido a que el valor de las
velocidades absolutas del flujo de fluido a la entrada y a la salida de la turbina toman los
siguientes valores:
1 2 2 1c W ; c W
Para una Turbina de Reacción de un solo escalonamiento, compuesta de una corona de
álabes fijas y otra de álabes móviles, se muestra en la Figura 1.22 los diagramas de
presiones totales y velocidades absolutas a lo largo de ambas coronas para un radio dado.
Se observa en la Figura 1.22 que la caída de presión producida se da en ambas coronas,
resultado de que en la corona móvil los álabes con forma semejante a la de los álabes fijos
pero incurveados en sentido opuesto, además de que funcionan como ductos directores del
flujo también funcionan como toberas encontradas en la periferia del rotor, dando así,
admisión total al flujo (vapor), y que debido a esta caída progresiva de presión, los álabes
deben irse haciendo más grandes para lograr acciones equivalentes en los distintos saltos
entálpicos, y cuyos rotores van todos montados sobre el mismo eje.
En la misma Figura 1.22, se muestra la dirección en la que el fluido entra a la corona fija,
Figura 1.22 Diagramas de presión total y velocidad absoluta para una Turbina de Reacción
de un solo escalonamiento.
Co
ron
a
Fij
a
Co
ron
a
Mó
vil
c1 c3
Pre
sió
n
Vel
oci
da
d
Ab
solu
ta
c2
p1
p3
p2
Turbinas de Reacción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
31
donde dentro de ésta sufre una expansión acelerada y enseguida es inyectado a la corona
móvil con una velocidad c2; a partir del diámetro de la corona móvil y la velocidad
angular de la flecha de la turbina, se obtiene la velocidad periférica ω . La razón por
la que los álabes son incurvados en sentido opuesto a los de la corona fija, es para que
sean tangentes a la velocidad relativa W2 que es la resta vectorial c2 -U2 que determina a
β , y así, el fluido ingrese a la rueda móvil sin cambiar de dirección [4].
A la salida de la corona móvil, la velocidad relativa es W3 con una dirección β ; donde la
velocidad absoluta c3 a la salida es dada por la adición vectorial U3+W3. En las Figuras
1.23 y 1.24 se muestran los triángulos de velocidades, considerados como representativos
de la circulación del fluido a través de las coronas de la Turbina de Reacción de una sola
etapa de reacción, y en los que se admite la hipótesis de bidimensionalidad.
Figura 1.23 Triángulo de velocidades para una Turbina de Reacción de una sola etapa.
Los ángulos y β son las direcciones entre las velocidades absolutas y relativas de la
salida del fluido de trabajo (c3 y W3), respectivamente, y la dirección de la velocidad
periférica ; como regla, se encuentran como positivas en el sentido contrario de las
manecillas del reloj.
Las velocidades c2 y W2 son positivas en el sentido de rotación de la rueda, es decir, la del
vector ; mientras que las velocidades c3 y W3 son positivas en el sentido contrario a la
rotación de la rueda móvil. Las componentes periféricas de la velocidad absoluta de
acuerdo al triángulo de velocidades de la Figura 1.23, son:
u2 2 2c =c Cosα (1.53)
3 3u3c =c Cosα' (1.54)
Mientras que las velocidades axiales a2c y a3c
son las proyecciones de las velocidades
absolutas en la dirección del eje de la turbina, y se expresan de la siguiente manera
a2 2 2 a3 3 3c =c Senα ; c =c Senα
Álabes Fijos
Álabes Móviles
c1
U2
U3
β
β
Turbinas de Reacción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
32
Figura 1.24 Triángulo de velocidades de la Figura 1.23 en forma compacta.
Y las componentes periféricas de la velocidad relativa, se expresan como:
u2 2 2 u3 3 3W =W Cosβ ; W =W Cosα
o bien
u2 u2 2 2 2 2W =c U =c Cosα U
3 3 3 3 u3 u3W =c U =c Cosα U
Como ya se mencionó anteriormente, la velocidad periférica es U=ω r =2 π N r, donde r es
el radio medio del álabe y N son las revoluciones por minuto, por tanto, se expresa
como:
2πrN πNDU= =
60 60 (1.55)
El trabajo motor por unidad de masa para una etapa de reacción, que es producido cuando
el fluido circula en la corona móvil que constituye el órgano motor de la turbina, puede
obtenerse a través de la Primera Ley de la Termodinámica, o a través de Conservación de
la Cantidad de Movimiento, para darle aplicación al triángulo de velocidades mostrado en
las Figuras 1.23 y 1.24, se obtendrá el trabajo motor con la segunda opción (Conservación
de la Cantidad de Movimiento). La variación de la cantidad de movimiento (Fuerza
Periférica) en la dirección del movimiento de los álabes en la corona móvil o en dirección
de la velocidad periférica , se expresa como:
u u2 u3F =m c c
o bien
3 3u 2 2F =m c Cosα c Cosα' (1.56)
El momento transmitido por el fluido al rotor en una turbina (o por el rotor al fluido a un
compresor) está dado por la fuerza periférica multiplicada por el radio , por lo
tanto, sustituyendo la ecuación (1.56) en el momento transmitido, y reemplazando r por
los radios respectivos a los puntos de entrada y salida del fluido en la corona móvil, se
obtiene que:
β
β
Turbinas de Reacción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
33
3 3 32 2 2M=m c R Cosα c R Cosα'
El trabajo desarrollado por unidad de tiempo o potencia, que es el producto del momento
y de la velocidad angular de rotación de la flecha de la turbina, está dado como:
3 3 3 u 2 2 2=Mω=F rω=ωm c R Cosα c R Cosα' (1.57)
El trabajo periférico o energía transferida entre el rotor y el fluido, se obtiene al dividir la
potencia por el flujo m :
3 3 32 2 2
Ττ= =ω c R Cosα c R Cosα'
m (1.58)
Y de acuerdo a la definición de velocidad periférica, la ecuación (1.58) se reescribe como:
2 2 2 3 3 3τ=c U Cosα c U Cosα' (1.59)
Sin embargo, entre los ángulos 3α' y 3β' que se encuentran en las ecuaciones y los ángulos
3α y 3β que se aplican en la práctica de los cálculos de las turbinas, existe la siguiente
relación:
3 3 3 3α' =π α y β' =π β
Por tanto, aceptando estas designaciones de los ángulos, se tiene que la fuerza periférica
dada en la ecuación (1.56) se reescribe como:
3 3u 2 2F =m c Cosα c Cosα (1.60)
o bien
u 2 2 3 3F =m W Cosβ +W Cosβ (1.61)
Entonces, la ecuación de Euler de la transferencia de energía es:
2 2 2 3 3 3τ=c U Cosα +c U Cosα (1.62)
o bien, como
3 3 3u2 2 u3 3 2 2 2τ=c U +c U U W Cosβ +U W Cosβ (1.63)
Esta ecuación de Euler, es la ecuación fundamental de las turbomaquinas receptoras, que
cuantifica la transferencia de energía y que indica además, el valor de la desviación que
hay que dar al fluido para producir el esfuerzo exigido, aunque no da alguna otra
información con respecto a la forma en que hay que darle a los álabes para producir este
esfuerzo. Ahora, con base a la Figura 1.24, se tiene que las velocidades tangenciales
expresadas en las ecuaciones (1.53) y (1.54) también se pueden expresar, como:
2 3u2 u2 u3 u3c =W +U ; c =W U
Turbinas de Reacción
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
34
Y la ecuación de Euler de la transferencia de energía que se obtiene es:
3 2 u2 2 u3 3τ=U W +U U W U
Realizando el producto y reagrupando términos, queda que
2 2
32 2 u2 3 u3τ= U U + U W +U W
No hay que perder de vista el signo del ángulo β de la componente u3W , 3 3β' =π β ; por
ello, finalmente la ecuación de Euler queda como sigue:
2 2
3 2 2 u2 3 u3τ= U U + U W U W (1.64)
En donde el término 2 2
32U U es la variación de la energía cinética de rotación y el
término 2 u2 3 u3U W U W es la variación de la cantidad de movimiento en la dirección
tangencial.
Algunas ventajas de las Turbinas de Reacción son:
Para el montaje de los álabes en cada escalonamiento, conducen a disposiciones
más sencillas constructivamente y económicamente, que en los discos de las
turbinas de acción.
Pueden operar fácilmente a velocidades angulares relativamente bajas, como es el
caso de las turbinas propulsoras de las hélices de los barcos.
1.5.3 TURBINAS DE REACCIÓN PURA
Por último, se dice que se tiene un escalonamiento puro de reacción para cuando GR = 1,
es decir, que se utiliza fundamentalmente la energía de presión de fluido (ver Figura 1.25),
Por ejemplo, para una Turbina Francis, la variación de la cantidad de movimiento axial es
prácticamente cero, lo que da como resultado, una caída de entalpía en las ruedas móviles,
ya que los álabes de los rotores sobre los que ejerce acción el fluido, son asimétricos.
La relación de presión en un escalonamiento puede llegar a valores de 10 a 12 en un
turbocompresor centrífugo y a valores entre 6 a 8 en un turbocompresor axial. Para poder
satisfacer la presión de salida que se exigen hoy en día, se requiere de más de un
escalonamiento, lo que resulta favorable en sus diseños; por ejemplo [1]:
Permite la construcción de máquinas de tamaño razonable.
Se mejora el rendimiento del proceso de compresión.
Turbinas de Reacción Pura
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 1-
35
Se puede hacer uso de sistemas de enfriamiento intermedio, que minimizan el
trabajo de compresión.
Se puede reducir el trabajo de compresión, si se mantiene la misma relación de
presiones en cada uno de los escalonamientos.
Figura 1.25 Turbina Francis (Turbina de Reacción), con cabezas anchas que van desde 20 m
a 700 m, una producción que va desde 1 kW hasta 1,000 MW, su tamaño varía desde unos
100 mm a unos 10 metros (desarrollada por James B. Francis).
Turbinas de Reacción Pura
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
36
CAPÍTULO 2 TEORÍA TERMODINÁMICA DE LOS TURBOCOMPRESORES
CENTRÍFUGOS
2.1 COMPONENTES DE UN TURBOCOMPRESOR
Los turbocompresores son máquinas receptoras, que tienen como finalidad hacer ganar
energía al fluido de trabajo, esto sucede en un órgano cilíndrico dotado de movimiento de
rotación y provisto de álabes; generalmente esta energía en forma de presión. Para este
tipo de máquinas, se considera al fluido de trabajo como fluido compresible, y por
consiguiente, experimenta variaciones en su densidad, como consecuencia del incremento
de presión y de su temperatura.
Los turbocompresores centrífugos son el grupo más importante de las turbomaquinas
radiales (centrípetos y centrífugos), siendo los más comunes en los procesos industriales.
Como punto de partida, en la Figura 2.1 se muestra a un turbocompresor centrífugo de 6
escalonamientos con la carcasa abierta, para poder apreciar cada uno de los órganos que lo
componen, a continuación se da una explicación de cada uno de éstos [1]:
1. Cojinetes: éstos son de bronce y tienen lubricación forzada, tanto los de paso, como
los de chumaceras, siendo de fácil inspección. Los cojinetes deben permitir el giro de
la masa rodante en ambos sentidos.
2. Corona directriz de entrada: suele ser opcional y permite tener control del flujo.
3. Difusores: los cuales están constituidos por ductos conformados por diafragmas y
carcasa. En algunos casos pueden ser álabes fijos a la carcasa.
4. Rotor sólido: es robusto y debe ser de gran estabilidad rotatoria.
5. Sellos de Laberinto en el rotor: evitan la distorsión del rotor para el caso de
sobrecalentamiento local debido a la fricción.
6. Acanalado circunferencial de la flecha a la entrada de los impulsores: para facilitar
la succión en cada escalonamiento.
7. Impulsores (colocados al inicio): son de tipo cerrado con álabes curveados hacia atrás.
Éstos son de alta capacidad de flujo en los primeros escalonamientos, con lo que se
tienen diámetros más grandes, los álabes están soldados a las cubiertas forjadas de
disco que constituyen el impulsor, el cual debe de ser de acero al carbón o especial.
8. Carcasa de hierro fundido: dividida horizontalmente por un plano que contiene el eje.
Turbocompresores Centrífugos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
37
9. Impulsores (colocados al final): tienen ductos de paso más estrechos, además de que
los álabes son remachados o soldados a las coronas y cubos forjados.
10. Acoplamiento rígido: para evitar problemas de bloqueo del par que se puede tener
con transmisión por engranes. Se transmiten así empujes axiales que reducen la
acción sobre los cojinetes y mejoran el rendimiento mecánico.
Figura 2.1 Turbocompresor centrífugo de 6 escalonamientos para un gasto de 10,000 –
230,000 m3/h y presiones menores a 1,000 bar, con carcasa dividida horizontalmente
(Cortesía MAN) [20].
2.2 PROCESOS DE COMPRESIÓN
Antes de realizar un análisis detallado de un turbocompresor centrífugo con alguna
aplicación industrial en específico, se requiere conocer las ecuaciones que determinan las
propiedades en cada uno de los estados del proceso de compresión, este análisis se realiza
desde el punto de vista termodinámico.
Procesos de compresión
1
2
5
6 7
3
8
9
4
10
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
38
El modelo matemático de un proceso de compresión politrópico es de acuerdo al uso para
el cual fue diseñado el turbocompresor. La ecuación que rige a los procesos de
compresión adiabáticos-politrópicos es:
npv =Cte (2.1)
n es el índice politrópico, y es quien caracteriza al proceso, y de acuerdo al valor que tome
este índice, se tiene que sí:
n = 1.4 , es un proceso de compresión isoentrópico
n > 1.4, es un proceso de compresión politrópico.
1 < n < 1.4, es un proceso de compresión politrópico con enfriamiento.
n = 1.0, es un proceso de compresión isotérmico.
Para cada uno de los procesos de compresión anteriores, se puede obtener la misma
presión al final de cada escalonamiento, si y sólo si, se suministra el trabajo requerido
para llevar a cabo el proceso de compresión deseado, ya que es distinto para cada uno de
ellos, debido al valor que tome el índice politrópico; enseguida se obtiene la relación que
hay entre el trabajo y el índice politrópico [5]; partiendo de la definición del trabajo, se
tiene que
δτ=vdp (1.31)
De la ecuación (2.1) se despeja al volumen específico, que al sustituir en la ecuación
(1.31) e integrando del estado 1 al estado 2, se obtiene
211
+12 2 21 1 1 1 n 1 n 1nnn n n n n n
2 1
1 1 1
1
Cte p nτ= vdp= dp=Cte p dp=Cte Cte p p
1p n 1+1n
Multiplicando por n-1
n1p al numerador y denominador, no se afecta a la expresión, sin
embargo, al reagrupar términos, se tiene que
n 11 n 1 n
2n n1
1
pnτ= Cte p 1
n 1 p
Como n n1 1 2 2p v =p v =Cte , entonces, el trabajo queda como sigue:
Proceso de compresión isoentrópico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
39
n 1 n 1n 1 n n
n 2 2n1 1 1 1 1
1 1
p pn nτ= v p p 1 v p -1
n 1 p n 1 p
Por tanto, el trabajo expresado en términos de la temperatura el inicio de la compresión y
del índice politrópico n, es:
a
n 1
n2
1
1
pnτ= R T 1
n 1 p (2.2)
Donde Ra es la constante particular del fluido de trabajo (aire), para comprender cada uno
de los distintos procesos de compresión se retoma como base al turbocompresor
centrífugo descrito en el ejemplo 1.4.2 (pág. 22).
2.2.1 PROCESO DE COMPRESIÓN ISOENTRÓPICO
De acuerdo a la ecuación (2.2), el trabajo suministrado al impulsor, cuando n=γ [6], es:
a
γ 1
γ2
s 1
1
pγτ = R T 1
γ 1 p (2.3)
Si la relación de presión en el impulsor está dada por
2imp
1
pπ =
p
Definiendo a la relación entre la constante particular (Ra) y el calor específico a presión
constante (Cp), como:
a
p
Rγ 1X=
γ C
Entonces, la expresión del trabajo isoentrópico de la ecuación (2.3) se reescribe como:
a
X Xs 1 imp p 1 imp
1τ = R T π 1 =C T π 1
X (2.4)
La expresión (2.4) también se obtiene, partiendo de la definición del trabajo reversible en
función del salto entálpico en el impulsor, es decir:
s 2s 1 p 2s 1τ = h h =C T T
(2.5)
En donde la temperatura 2sT , se obtiene a través de la relación de temperaturas para un
proceso de compresión isoentrópico, expresada de la siguiente manera:
Proceso de compresión isoentrópico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
40
γ 1
γ2s 2
1 1
T p=
T p
Por tanto, el trabajo por unidad de masa suministrado a la turbomaquina, en función de la
relación de presiones, es:
X
s p 1 impτ =C T π 1 (2.4)
Esta última expresión junto con la contribución de la energía dinámica del fluido, debe dar
un valor igual al de la ecuación de Euler bajo la forma de componentes energéticas.
2 1 1 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 22 1 2
s 2s 1
c c U U W W c cτ = h h
2 1
2
2 2X
s p 1 imp
c cτ =C T π 1 (2.6)
Para realizar la comparación entre el trabajo de compresión que se obtiene de la ecuación
(2.6) y la ecuación de la Primera Ley de la Termodinámica, con los datos del Caso 1.4.2
(pág. 22), c1=103.739 m/s, c2=270.678 m/s, T1=25 °C y πimp=1.568, se tiene que
1.004
2 2
0.2857s
270.678 103.739 kJτ = 298.15 1.568 1 + =41.069+31.322=72.322
2×1000 kg
El valor no concuerda con los 80.0 kJ/kg proporcionados por el problema, como
consecuencia de obtener la relación de presión πimp, bajo la consideración de que la
densidad del fluido de trabajo permanece constante durante el proceso de compresión. Si
se requiere conocer la relación de presiones πimp, que satisfaga la ecuación (2.5) para las
mismas velocidades absolutas c1 y c2 sería:
0.285780,000.01.695
1004.0 298.15
1 12 2 2 2X
s 2 1
imp
p 1
2τ c c 2 270.678 130.739π = +1 +1
2C T 2
Además, al realizar la comparación entre la relación de presiones dada por la ecuación de
Euler y la ecuación Termodinámica, se tiene que el error relativo porcentual es del 9.59
%, lo que indica que ambas ecuaciones pueden ser consideradas como validas.
En la Figura 2.2 se ha bosquejado una serie de curvas del trabajo isoentrópico por unidad
de masa (τs) en función de la relación de presiones en el impulsor (πimp), para 4 valores de
la temperatura a la entrada del turbocompresor (T1), manteniendo constante el cambio en
Proceso de compresión isoentrópico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
41
la energía dinámica del fluido. La Segunda Ley de la Termodinámica define a la Entropía,
como una medida cuantitativa del desorden microscópico de un sistema, donde un cambio
en esta propiedad es ocasionado por la transferencia de calor, el flujo másico o las
irreversibilidades.
Figura 2.2 Trabajo de compresión isoentrópico contra la relación de presión πimp.
Para el caso de gases ideales, y partiendo de la primera y segunda ecuación de Gibbs.
uTds=d +pdv
(2.7)
Tds=dh vdp
(2.8)
Empleando las relaciones de propiedad para los gases ideales
vdu=C dT
(2.9)
pdh=C dT (2.10)
Sustituyendo la ecuación (2.9) en (2.7), y con la ecuación de los gases ideales, se tiene
que p=RaT/v; entonces, la primera relación para el cambio diferencial de entropía es:
vC Rds= dT+ dv
T va
Sustituyendo la ecuación (2.10) en (2.8), y con la ecuación de los gases ideales se tiene
que v=RaT/p; entonces, la segunda relación para el cambio diferencial de entropía es:
τs=80.0
30
40
50
60
70
80
90
100
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
τ s[k
J/kg
]
Relación de presiones (πimp)
Proceso de compresión politrópico
T1=5 °C
T1=25 °C
T1=45 °C
T1=35 °C
p1= 1.0 bar
γ=1.4 Cp= 1.004 kJ/kgK
2 22 1c -c kJ
=31.252 kg
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
42
av
dT dpds=C R
T p
Integrando ambas relaciones para el cambio de entropía entre los estados extremos para
un proceso de compresión, se tiene que
a 2
2 1 v
1
dT dvs s = C T R
T v
a 2
2 1 p
1
dT dps s = C T R
T p
Bajo la consideración de que los calores específicos Cv(T) y Cp(T) permanecen constante
para un cierto rango de temperaturas, se sustituye Cv(T)= Cv y Cp(T)= Cp, entonces, el
cambio de entropía está dado como:
ln a
2 22 1 v
1 1
T vs s =C R
T v (2.11)
ln a
2 22 1 p
1 1
T ps s =C R
T p (2.12)
Por tanto, debido a que el proceso de compresión es isoentrópico (Caso 1.4.2), entonces,
la entropía se mantiene constante, es decir: 2s 1s s =0 .
2.2.2 PROCESO DE COMPRESIÓN POLITRÓPICO
Para este proceso de compresión politrópico, n > γ, su valor suele estar entre 1.5 y 1.62 en
turbocompresores. Además, el proceso requiere mayor trabajo de entrada, aumentando
conforme aumenta n, como consecuencia de considerar la irreversibilidad del proceso, si
se considera el modelo politrópico ideal sin contemplar la fricción producida por el flujo
de fluido durante su recorrido por la turbomaquina, se obtiene la ecuación (2.2) (será
reenumerada para hacer referencia al proceso de compresión de esta sección):.
a
n 12 n
21
11
pnvdp R T -1
n 1 p (2.13)
Aplicando Primera Ley de la Termodinámica a un sistema abierto con flujo estable, y
asumiendo que el compresor opera adiabáticamente pero no isoentrópicamente, en donde
Δpe = Δke = 0, y considerando la fricción producida por el flujo de fluido, se tiene que
Proceso de compresión politrópico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
43
2 1 p 2 1τ= h h =C T T (2.14)
La fricción producida se ve reflejada a través de la temperatura al final de la compresión,
es decir, T2 > T2s, obteniendo su valor de la ecuación de las politrópicas
1
n 1
n2
2
1
pT =T
p
A la diferencia entre el trabajo de compresión politrópico por Primera Ley de la
Termodinámica y el trabajo de compresión politrópico ideal, se le llama calor de
recalentamiento qrec, es decir [5]:
a
n 1
nrec 2 1 1 imp
nq h h R T π 1
n 1
Factorizando términos de la ecuación qrec, se tiene en una sola expresión que el calor de
recalentamiento se expresa como:
a
n 1
nrec 1 imp p
nq T π 1 C R
n 1 (2.15)
El coeficiente de recalentamiento (α), se define como:
rec
s
qα=
τ (2.16)
Y sirve para definir el factor de recalentamiento f, según la formula
f =1+α (2.17)
Para un valor de n=1.52, se muestra en la Figura 2.3 como el coeficiente de
recalentamiento aumenta con la relación de presiones, al igual que el factor de
recalentamiento [1]. Por definición, la eficiencia de un compresor ηi es la relación entre el
trabajo de entrada requerido para elevar la presión de un gas a un valor específico de una
manera isoentrópica y el trabajo real, es decir:
si
τη =
τ (2.18)
En función de las entalpías, o bien, en función de las temperaturas
2s 1 2s 1i
2 1 2 1
h h T Tη = =
h h T T
De acuerdo a la relación de temperaturas para un proceso isoentrópico y un proceso
politrópico, haciendo algebra se encuentra la siguiente expresión para la eficiencia
Proceso de compresión politrópico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
44
Figura 2.3 a) Coeficiente de recalentamiento (α) contra relación de presión, b) Factor de
recalentamiento (f) contra relación de presión.
1
1
γ 1γ
imp
i n 1n
imp
π
η =
π
(2.19)
En la Figura 2.4 se observa que cuando la relación de presiones aumenta, la eficiencia
disminuye, al igual que cuando n aumenta. Cuando el índice politrópico se acerca al valor
del índice adiabático (n=γ=1.4) la eficiencia tiende a uno, que es para el caso en que el
proceso es adiabático e internamente reversible, además, cuando la relación de presiones
es igual a la unidad (πimp=1) no existe compresión [6].
. Figura 2.4 Eficiencia isoentrópica contra relación de presiones πimp.
Ejemplo 2.1.2
Se comprime aire en un turbocompresor centrífugo sin enfriamiento, siguiendo un proceso
politrópico con n=1.52. El aire entra a la turbomaquina a una temperatura T1=25 °C y
0.190
0.195
0.200
0.205
0.210
0 2 4 6 8 10
Co
efi
cie
nte
de
R
eca
len
tam
ien
to
πimp [-]
1.190
1.195
1.200
1.205
1.210
0 2 4 6 8 10
Fact
or
de
Re
cale
nta
mie
nto
πimp [-]
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Efic
ien
cia
iso
en
tró
pic
a [η
i]
πimp [--]
Proceso de compresión politrópico
n=1.61
n=1.55
n=1.52
n=1.46
n=1.41
Cp= 1.004 kJ/kgK p1= 1.0 bar
T1=25 °C
n=1.52
a) b)
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
45
p1=1 bar, a razón de 20 m3/s y se descarga a 6 bar absolutos. Calcular. a) Calor de
recalentamiento, b) Coeficiente de recalentamiento, c) Factor de recalentamiento, d)
Eficiencia del compresor, e) Potencia para mover el compresor despreciando las pérdidas
mecánicas y f) El cambio de entropía.
Solución: Al considerar que los cambios en la energía cinética y potencial son
insignificantes, el proceso de compresión isoentrópico y politrópico son trazados en un
diagrama T-s (ver Figura 2.5).
Figura 2.5 Diagrama T-s para el proceso de compresión isoentrópico y politrópico.
a) Calor de Recalentamiento.
Usando la ecuación de calor de recalentamiento en términos del índice politrópico, de la
relación de presión obtenida y de las condiciones iniciales a las que entra el aire al
turbocompresor, se tiene que
a
n 1
nrec 1 imp p
nq T π 1 C R
n 1 (2.15)
1.521.52
298.15 0.2877 41.
1.52 1
rec
kJq 6.0 1 1.004 117
1.52 1 kg
b) Coeficiente de recalentamiento.
rec
s
qα=
τ (2.16)
Si el trabajo de compresión isoentrópico es dado por
X
s p 1 impτ =C T π 1 (2.4)
p1=1.0 bar
T2s=497.4
p2=6.0 bar
2s
1
2T2=550.3
T1=298.2
200
300
400
500
600
5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6
Tem
pe
ratu
ra [
K]
Entropía [kJ/kgK]
T1= 25 °C
p1= 1.0 bar
n=1.52 Cp= 1.004 kJ/kgK
Ra=0.2877 kJ/kgK
πimp=6.0
Proceso de compresión politrópico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
46
0.2857
1.004 298.15 6.0 1 20 X
s p 1 imp
kJτ =C T π 1 0.113
kg
Por tanto, el coeficiente de recalentamiento es:
41.1170.205
200.113 rec
s
qα=
τ
c) Factor de recalentamiento.
f =1+α=1+0.2054=1.205 (2.17)
El valor de α=0.205, es el mismo que se tiene de la Figura 2.3a para una relación de
presiones πimp=6, de igual manera para el factor de recalentamiento f =1.205 en la Figura
2.3b.
d) Eficiencia del compresor
La eficiencia isoentrópica de compresión, se obtiene con la ecuación (2.19)
0.2857
1.52 1
1.52
110.79
11
Ximp
i n 1
nimp
6.0πη =
6.0π
Puede observarse, que la ecuación de la eficiencia, es independiente de la temperatura T1,
por tanto, de la Figura 2.4 para π y un valor de n=1.52, el valor de . El
máximo valor que podría tomar la eficiencia para un valor de n=1.52, es de ,
siendo el caso en que, el cambio en la energía estática (de presión) del fluido fuese cero.
e) Potencia para mover el compresor despreciando las perdidas mecánicas
a
n-1 n-1
1n np 1 imp p imp
pΤ=mτ= ρG C T π 1 GC π 1
R
5
1.52
1.0 1010.0 1.004 295
0.2877
1.52-1
Τ 6.0 1 1.998 kW
e) El cambio de entropía
ln lna
2 22 1 p
1 1
T ps s =C R
T p (2.12)
1.52ln 1.004 ln 0.2877ln 6.0 0.0999a
1.52 1n 1
n2 1 p imp imp
kJs -s =C ln π R π 6.0
kgK
Proceso de compresión politrópico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
47
2.2.3 PROCESO DE COMPRESIÓN POLITRÓPICO CON ENFRIAMIENTO
En ocasiones, los turbocompresores son enfriados, utilizando aletas o camisas de agua
colocados alrededor de la carcasa para reducir el trabajo suministrado, lo cual hace perder
calor al fluido que se comprime, reduciendo su temperatura al final de la compresión por
debajo de la temperatura isoentrópica o politrópica, es decir, T2e < T2s <T2. Para este
proceso de compresión politrópico con enfriamiento (pvn=Cte), n < γ, y su valor estará
entre 1 y 1.4, para el caso en que n=1 se trata de una compresión isotérmica (siendo el
mínimo valor que podría obtener).
El trabajo por unidad de masa para la compresión politrópica ideal (1< n <1.4) con
enfriamiento y sin fricción, será
a
n 12e n
21
11
pnvdp R T 1
n 1 p (2.20)
Considerando el calor que es retirado del fluido de trabajo y la fricción interna por el flujo
del fluido, aplicando Primera Ley de la Termodinámica para un sistema abierto de flujo
estable, donde los cambios en la energía cinética y potencial son insignificantes, se tiene
que
e 2e 1 elimτ = h h +q
(2.21)
O bien, en función de las temperaturas
e p 2e 1 elimτ =C T T +q
(2.22)
En función de la relación de presiones, como:
n-1
ne p 1 imp elimτ =C T π 1 +q (2.23)
El calor eliminado es la diferencia entre el trabajo de compresión politrópico con fricción
(real) y el trabajo de compresión politrópico sin fricción (ideal) [5], es decir:
2e
elim 2e 1
1
q h h vdp (2.24)
Es decir, que el trabajo dado por Primera Ley representa el trabajo ideal
2e
e
1
τ vdp
Factorizando términos en la ecuación (2.24), resulta ser igual a la ecuación (2.15)
Proceso de compresión politrópico con enfriamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
48
a
n 1
nrec 1 imp p
nq T π 1 C R
n 1 (2.15)
Como el calor es eliminado, entonces, tiene signo negativo, por lo tanto
2e
2e 1
1
h h vdp
Ejemplo 2.1.3
Se comprime aire en un turbocompresor con enfriamiento, siguiendo un proceso
politrópico con n=1.3. El aire entra a la turbomaquina a una temperatura T1=25 °C y p1=1
bar, y se descarga a 6 bar absolutos. Calcular. a) El trabajo de compresión politrópico
ideal (sin fricción), b) El trabajo de compresión politrópico real (con fricción), c) El calor
eliminado, d) El trabajo ahorrado al considerar una compresión con n=1.3, en
comparación con el isoentrópico y e) El cambio de entropía.
Solución:
a) El trabajo de compresión politrópico ideal (ver Figura 2.6).
a
n 12e n
2e 1
11
pnτ = vdp R T 1
n 1 p (2.20)
1.31.3
0.2877 298.15 190.
2e 1.3 1
1
kJvdp 6.0 1 340
1.3 1 kg b) El trabajo de compresión politrópico real (con fricción)
1.31.004 298.15 6.0
n-1 1.3-1n
2c 1 p 1 imp
kJh h =C T π 1 1 =153.285
kg
c) El calor eliminado
1.31.3
298.15 6.0 1.004 0.28771
2e 1.3-1
elim 2e 1
1
kJq h h vdp 1 37.054
1.3 kg
d) El trabajo de compresión ahorrado con respecto al isoentrópico
n 1 n 1X Xn n
aho p 1 imp p 1 imp p 1 imp impτ C T π 1 C T π 1 C T π π
0.2857
1.31.004 298.15 6.0 6.0
1.3 1
aho
kJτ =46.827
kg
Proceso de compresión politrópico con enfriamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
49
Figura 2.6 Diagrama T-s para el proceso de compresión isoentrópico y politrópico.
e) El cambio de entropía.
Usando un valor de Cp constante, como resultado de tener una diferencia de temperaturas
relativamente pequeño durante el proceso, el cambio de entropía está dado como:
a
2 22 1 p
1 1
T ps -s =C ln R ln
T p (2.12)
1.3 1
1.36.0a
n-1
n2 1 p imp imp
kJs -s =C ln π R ln π 1.004 ln 0.2887 ln 6.0 0.10035
kg K
2.2.4 PROCESO DE COMPRESIÓN ISOTÉRMICO
Se entiende por servicios auxiliares de enfriamiento, a los equipos mediante los cuales se
enfría a un fluido, que se ha utilizado para retirar calor de otro fluido que en un inicio se
encuentra a una mayor temperatura, este proceso de transferencia de calor se da en
equipos llamados intercambiadores de calor.
En la realidad se emplean estos servicios auxiliares en las turbomaquinas para dos casos
en específico, uno de ellos, cuando el proceso de compresión estrictamente lo requiera,
por ejemplo: cuando se trabaja con gases en los que se exige conservar su pureza,
librándolos de la contaminación del aceite lubricante o cuando se necesita conservar la
temperatura de los mismos (evitar la polimerización, por ejemplo), para el segundo caso,
cuando la relación beneficio-costo sea mayor a uno, es decir, que al utilizar un fluido de
enfriamiento en la compresión, el cual reduce el trabajo que hay que suministrar a la
p1=bar
T2s=497.4
p2=6 bar
2s
1
2eT2e=450.8
T1=298.2
200
300
400
500
600
5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6
Tem
pe
ratu
ra [
K]
Entropía [kJ/kgK]
T1= 25 °C
p1= 1 bar n=1.3
Cp= 1.004 kJ/kgK
Ra=0.2877 kJ/kgK
πimp=6
Proceso de compresión isotérmico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
50
turbomaquina, el costo que se invierte para regresar al fluido de enfriamiento a sus
condiciones iniciales sea menor al costo equivalente del trabajo (energía) ahorrado en la
compresión [7].
Para este proceso de compresión isotérmico ( ), n =1, lo cual indica que no hay
variación de la temperatura del fluido durante el proceso de compresión, es decir, T2t=T1,
esto da como consecuencia que no haya variación en la energía interna
u u u
2t 1
1
T T2t
2t 1 v
1 T
= d = C dT=0
el cambio de entalpía es:
2t 1
1
T T2t
2t 1 p
1 T
h h = dh= C dT=0
Por consiguiente, durante una compresión isotérmica, el gas tiene que ceder calor en una
cantidad equivalente al trabajo realizado sobre él.
Entonces, la expresión del trabajo ideal de compresión isotérmico se obtiene al despejar el
volumen específico de la ecuación (2.1), con n=1, que al sustituir en la ecuación (1.31) e
integrando, se obtiene
2
1
2t 2t 2t
1 2
11 1 1
pCtevdp= dp=Cte p dp=Cteln p =Cteln
p p
Como 1 1 2 2p v =p v =Cte , entonces, sustituyendo su igualdad con respecto al estado uno,
resulta
a
2t
21
11
pvdp=R T ln
p (2.25)
Siendo un proceso isotérmico en el cual no hay fricción, ya que es reversible, aplicando
Primera Ley de la Termodinámica en el que son insignificantes los cambios en la energía
cinética y potencial, se tiene que
t elimτ =q
(2.26)
a
2t
2t 1 elim
11
pτ vdp=R T ln =q
p
Es decir, el trabajo ideal es igual al trabajo dado por Primera Ley de la Termodinámica, ya
que el calor que cede el fluido de trabajo es igual al trabajo que se suministra a la
turbomaquina.
Para un proceso de compresión isotérmico, es conveniente evaluar la relación del trabajo
que hay en un proceso de compresión isotérmico ideal y el trabajo real de compresión
Proceso de compresión isotérmico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
51
politrópico de un compresor enfriado, lo cual es la definición de la eficiencia isotérmica ηt
a
21
1t elimt
e 2e 1 elim p 2e 1 elim
pR T ln
pτ qη =
τ h h +q C T T +q (2.27)
El cambio de entropía para un proceso de compresión isotérmico estará dado como
lna
22t 1
1
ps s = R
p (2.28)
Ejemplo 2.1.4
Para los mismos datos del ejemplo 2.1.3, calcular a) Trabajo de compresión por kg, si el
proceso fuera isotérmico, b) Eficiencia isotérmica y c) Cambio de entropía para el proceso
isotérmico.
Solución
a) Trabajo de compresión por kg, si el proceso fuera isotérmico
a
2t
21
11
pvdp=R T ln
p (2.25)
0.2877 298.15 2t
1
kJvdp= ln 6.0 153.693
kg
b) Eficiencia isotérmica
153.6930.80
190.340 t
t
e
τη =
τ
c) Cambio de entropía para el proceso isotérmico.
a
22t 1
1
p kJs s = R ln 0.2877 ln 6.0 = 0.515
p kgK
2.2 DIAGRAMAS DE COMRESIÓN
Los procesos de compresión isoentrópico, compresión politrópica, compresión politrópica
con enfriamiento y compresión isotérmica que se han desglosado en cada uno de los
ejemplos anteriores, son mostrados en un sólo diagrama T-s (ver Figura 2.7), en el cual se
puede apreciar que, cuando el valor de n disminuye, también disminuye el valor de la
temperatura final de la compresión, al igual que el trabajo requerido para la compresión,
Diagramas de Compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
52
como consecuencia del enfriamiento, además de producir un cambio de entropía negativo.
Los mismos procesos de compresión y a las mismas condiciones, se muestran en un
diagrama p-v (ver Figura 2.8), en el cual se observa, como el volumen específico (v)
disminuye en mayor medida durante la compresión con enfriamiento, resultado de una
disminución de la temperatura al final de la compresión [5]
Figura 2.7 Procesos de compresión en el diagrama T-s para distintos valores de n.
Figura 2.8 Procesos de compresión en el diagrama p-v para distintos valores de n.
p1=1 bar
p2=6 bar
n=1
.4
T2t=298.2 n=1
T2=550.3
T2s=497.4
T2e=450.8
100
200
300
400
500
600
700
5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0
Tem
pe
ratu
ra [
K]
Entropía [kJ/kgK]
p1=1.0 bar
p2=6.0 bar2; n
=1.5
22
s;n
=1.4
2e;
n=1
.3
2t;
n=1
.0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Pre
sió
n [
bar
]
Volumen específico [m3/kg]
T1= 25 °C
p1= 1 bar
Cp= 1.004 kJ/kgK Ra=0.2877 kJ/kgK
πimp=6
T1= 25 °C p1= 1 bar
Cp= 1.004 kJ/kgK Ra=0.2877 kJ/kgK
πimp=6
Diagramas de Compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
53
2.4 EFICIENCIA EN UN ESCALONAMIENTO
En la Figura 2.9 se muestran los procesos de compresión isoentrópico y politrópico
(n=1.52) para el caso de un turbocompresor centrífugo de un solo escalonamiento (πi =6,
πimp=4), ya se mencionó con anterioridad que, cuando se habla de un escalonamiento se
entiende que es la presión ganada en el rotor o impulsor más la ganada en el difusor, por
lo tanto, la relación de presión está dada como [1]:
3 32i imp dif
1 2 1
p ppπ π π =
p p p
(1.46)
Para elevar la presión en el impulsor, se requiere suministrar trabajo; éste se expresa por
la ecuación de Euler de la transferencia de energía para máquinas receptoras, por lo tanto,
considerando una compresión isoentrópica y sin tener prerrotación a la entrada del ojo de
admisión del compresor, se tiene que
s 2 u2 1 u1τ = U c U c (1.10)
De no ser así, se tendría un trabajo de compresión politrópico, que se obtiene al aplicar
Primera Ley de la Termodinámica para un sistema de flujo estable; al ser despreciable el
cambio en la energía potencial, y considerando la energía cinética, debido a que la
relación de presiones que se desea obtener es muy baja, entonces, la ecuación de la
Primera Ley de la Termodinámica se reduce a:
2 1
2
2 2X
s p 1 imp
c cτ =C T π 1 (2.6)
Figura 2.9 Relación de presiones en un escalonamiento para un turbocompresor centrífugo.
p1=1 bar
p3=6.0 bar
n=1
.4
T3=550.36
T3s=497.47
p2=4.0 bar
T2s=443.05
T1=298.15
T2=479.07
200
300
400
500
600
5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0
Tem
pe
ratu
ra [
K]
Entropía [kJ/kgK]
3
3s
1
22s
T1= 25 °C
p1= 1 bar n=1.52
Cp= 1.004 kJ/kgK
Ra=0.2877 kJ/kgK
πi=6
Eficiencia en un escalonamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
54
Con ambos trabajos de compresión, se define a la eficiencia del impulsor como:
1
2 1
2
s 2 u2 1 u1imp n 2 2
np 1 imp
τ U c U cη = =
τ c cC T π 1
(2.29)
O bien, en función de las entalpías
2s 1 2s 1imp
2 1 2 1
h h T Tη = =
h h T T
De igual manera, y con base a la Figura 2.9, la eficiencia del difusor en función de las
temperaturas es:
2 2
3 2 3 2
3s 3sdif
h h T Tη = =
h h T T
(2.30)
Al aplicar la Primera Ley de la Termodinámica al dispositivo del difusor se tiene que, el
término de la potencia (Τ) y el cambio en la energía potencial (Δpe), son cero, al igual que
el flujo de calor, siendo este último consecuencia del poco tiempo de interacción entre
fluido y difusor, debido a las altas velocidades del fluido. Por tanto, el cambio de entalpía
en el difusor corresponde a un proceso de compresión adiabático reversible, es decir, el
trabajo para un proceso de compresión isoentrópico.
2 22 3
s,dif 3s 2
c cτ =h h =
2 (2.31)
Por ello, se reescribe a la expresión de la eficiencia del difusor como
2 3
2 2s,dif
dif
p 3 2
τ c cη =
τ 2C T T (2.32)
O bien, en términos de las relación de presiones como:
2 3 2 3 2 3
1 1
2 2 2 2 2 2
dif n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
n n n n np 2 dif p imp dif p i imp
c c c c c cη =
2C T π 1 2C T π π 1 2C T π π
La eficiencia de los difusores suele ser del mismo orden que el del rotor, pudiéndose
estimar la eficiencia interna global (rotor + difusor), del orden del 75% al 95%. De igual
manera, se tiene que la eficiencia para el escalonamiento está dado como:
1
3 1
X
3si n 1
n
π 1T Tη = =
T Tπ 1
(2.33)
La eficiencia para un solo escalonamiento dado por la ecuación (3.22) sólo es aplicable
Eficiencia en un escalonamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
55
para procesos de compresión sin enfriamiento (n>γ). El trabajo de compresión real está
dado como el trabajo de compresión isoentrópico entre la eficiencia, se observa en la
Figura 2.10 [6], como el trabajo real aumenta cuando disminuye la eficiencia del
compresor o aumenta la relación de presión en el escalonamiento.
Figura 2.10 Trabajo real contra relación de presión.
El cambio de entropía para un proceso de compresión en un escalonamiento (ecuación
(2.34)) está en función de la relación de presión π, siendo independiente de la temperatura
del aire a la entrada del compresor, se observa en la Figura 2.11, cómo el cambio de
entropía aumenta con la relación de presión en forma exponencial.
3 lna
n 1
n1 ps s =C ln π R π (2.34)
Figura 2.11 Cambio de entropía contra relación de presión π.
0
100
200
300
400
500
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Trab
ajo
re
al [
kJkg
]
Relación de presión (π)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Δs
[kJ/
kgK
]
Relacion de presión (π)
Cp= 1.004 kJ/kgK
Ra=0.2877 kJ/kgK
Eficiencia en un escalonamiento
T1= 25 °C
γ=1.4
Cp= 1.004 kJ/kgK
η=1.00
η=0.85
η=0.70
η=0.60
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
56
Ejemplo 2.2
Entra aire a un turbocompresor de un escalonamiento a T1=25 °C y p1=1 bar. La velocidad
de entrada al impulsor es c1=100 m/s y a la salida del mismo es c2=170 m/s. Del difusor
sale el aire con una velocidad c3=120 m/s. El trabajo de compresión es de 130 kJ/kg y el
índice politrópico tiene un valor de n=1.48, si la eficiencia en el impulsor y en el difusor
es el mismo, calcular a) Presión a la salida del impulsor, b) Temperatura del aire a la
salida del impulsor, c) Eficiencia del impulsor, d) Presión a la salida del difusor e)
Relación de presiones del escalonamiento, f) Temperatura al final del escalonamiento y e)
Eficiencia del escalonamiento.
Solución:
a) Presión a la salida del impulsor
12
n
2 2 n 12
imp 1 1
p 1
c c1p =π p p τ +1
C T 2
1.48
2
170.0 100.01.0 2.838
1.004 298.15
1.482 2 1
1p = 130.0 +1 bar
2 1000
b) Temperatura del aire a la salida del impulsor
1.48
1.482 298.15 2.838 .07
n 1 1
n1 impT =T π 418.22 K =145 °C
c) Eficiencia del impulsor
1.48
1.48
2.8380.862
2.838
X 0.2857imp
imp n 1 1
nimp
π 1 1η =
π 1 1
d) Presión a la salida del difusor
1.48
1.48
3
170.0 120.02.838 1.0
2 0.862 1004.0 298.15
n2 2 12 2 n 1
2 3imp 1
imp p 2
c cp =π p +1 +1 3.017 bar
2η C T
e).-Relación de presiones del escalonamiento
i imp dif
3.017π =π π = =3.017
1.0
f) Temperatura al final del escalonamiento
1.48
1.483 298.15 3.017 53.44
n 1 1
n1 iT =T π 426.592 K =1 °C
Eficiencia en un escalonamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
57
e) Eficiencia del escalonamiento.
X 0.2857
i n-1 1.48-1
n 1.48
π 1 3.017 1η = = =0.861
π 1 3.017 1
2.5 EFICIENCIA EN VARIOS ESCALONAMIENTOS
Generalmente, y como ya se ha comentado, las turbomaquinas están compuestas por
varios escalonamientos (z), y es uno de los parámetros fundamentales para el diseño de
los turbocompresores, junto con el diámetro de referencia (D), y la velocidad de giro (N),
permitiendo la construcción de máquinas de tamaño razonable.
Para obtener una primera aproximación de las dimensiones de la turbomaquina, se
considera en la ecuación de Euler que las componentes de la carga dinámica y el término
de la carga estática referente a la velocidad relativa del flujo de fluido son cero; y
expresando al término de la acción centrífuga en función de la velocidad de giro (N), y de
los diámetros correspondientes (D1 y D2) para un trabajo de compresión fijo, el cual está
dado por la ecuación del modelo politrópico (2.2.) con n=γ, se tiene que [1]
2 2
2 2s 2 1
π Nτ = D D
7200 …………. (2.35)
Donde la velocidad límite para la velocidad periférica U2 es aproximadamente de 320 m/s
en turbocompresores centrífugos, evitando así, turbulencia en la máquina o fracturas tanto
en el rotor como en álabes, consecuencia de una resistencia mecánica baja, lo que
conlleva a realizar la compresión del fluido en varios escalonamientos (ver Figura 2.12)
para poder obtener la relación de presiones deseada al final del proceso. Además de que la
máquina alcanza una mayor eficiencia.
Figura 2.12 Turbocompresor centrífugo de 3 escalonamientos, con una relación de presiones
total de hasta 80.0 bar, para un gasto de 2,000.0-660,000.0 m3/h (Cortesía MAN) [20].
Eficiencia en varios escalonamientos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
58
En la Figura 2.13 se han trazado los procesos de compresión isoentrópico y politrópico en
un diagrama h-s para un turbocompresor de 4 escalonamientos (z=4), para una relación de
presiones π=16, del cual se tiene que, el salto entálpico isoentrópico en cada uno de los
escalonamientos es [5]:
i,s 2s 1 3s 2s 4s 3s 5s 4sh =h h =h h =h h =h h =90.5 kJ/kg
Figura 2.13 Proceso de compresión isoentrópico y politrópico con 4 escalonamientos.
Si se realizará el análisis pensando en un sólo proceso de compresión, es decir, un sólo
escalonamiento, el rendimiento interno de forma general sería
1z+1 s
1z+1
h hη=
h h (2.36)
Para los cuatro escalonamiento, se tiene que
1
5s
2s
3s
4s
2
3
4
p1=1.00 bar
5
pi,1=2.51 bar
Δhi,1=90.5
pi,2=5.22 bar
Δhi,2=93.41
pi,3=9.56 bar
Δhi,3=97.61
pi,4=16 bar
Δhi,4=99.91
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
850
5.60 5.65 5.70 5.75 5.80 5.85 5.90 5.95 6.00
Enta
lpía
[kJ
/kg]
Entropía [kJ/kgK]
3ss
4ss
5ss735.68
661.00
299.38
622.55
511.83
403.90
T1= 25 °C
p1= 1 bar n=1.52
Cp= 1.004 kJ/kgK
Ra=0.2877 kJ/kgK
π=16
Eficiencia en varios escalonamientos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
59
5s 1
5 1
h hη=
h h
El salto entálpico isoentrópico es:
1.00 2 5s 1
kJh h =66 99.38=361.65
kg
El salto entálpico politrópico es:
5.68 2 5 1
kJh h =73 99.38=436.34
kg
Por tanto, la eficiencia (η) es:
361.650.828
436.34η=
Sin embargo, al dividir la compresión, en este caso en 4 escalonamientos, se puede
observar, que el trabajo de compresión isoentrópico que se requiere suministrar en cada
uno de los escalonamientos (Δhi,s), es distinto en comparación al equivalente en el caso de
un solo escalonamiento (excepto para el primer salto entálpico (h2s-h1)), es decir:
2s 2s 1 i,1 3s i,2h h Δh ; h h Δh
3 4s s 4s i,3 5s i,4h h Δh ; h h Δh
Al dividir la compresión, la eficiencia en general resulta ser:
1
z
g
i,g
1z+1
Δh
η'=h h
(2.37)
Al realizar la comparación entre los saltos entálpicos isoentrópico de las ecuaciones (2.36)
y (2.37), resulta ser que
1
z
sg
i,g 1z+1Δh h h (2.38)
sustituyendo los valores en la ecuación (2.25)
5
1
90.5 93.41 97.61 99.91 381. 361.65g
i,g 5s 1
kJ kJΔh 35 h h
kg kg
Entonces, la eficiencia queda como:
381.350.873
436.34η'=
Al realizar la comparación entre las eficiencias internas se tiene que, la eficiencia
Enfriamiento intermedio en la compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
60
mejora con la división de la compresión en varios escalonamientos, debido a la
divergencia de las isóbaras.
η'>η (2.39)
2.6 ENFRIAMIENTO INTERMEDIO EN LA COMPRESIÓN
Una de las ventajas, resultado de la división de la compresión es el poder reducir el
trabajo de compresión a través de cada una de las etapas múltiples con enfriamiento
intermedio, en la que se comprime al gas en etapas y se enfría pasándolo por un
intercambiador de calor, bajo la consideración idealizada de que la presión permanece
constante, debido a que las pérdidas de presión en el aire son muy pequeñas en relación
con las presiones de trabajo. En la Figura 2.14 se muestra un compresor isotermo de 5
escalonamientos, en el cual, el índice politrópico considerado en cada escalonamiento es
1.48, en el que se realiza el enfriamiento al final de los primeros 4 escalonamientos,
aunque puede darse después de dos o tres escalonamientos según sean las temperaturas
que se deseen obtener al final de cada salto de presión.
Figura 2.14 Turbocompresor centrífugo isotermo de 5 escalonamientos, con una relación de
presiones total de hasta 80 bar, para un gasto de 66,000-700,000 m3/h (Cortesía MAN) [20].
Se ilustra gráficamente en la Figura 2.15 el diagrama T-s del turbocompresor isotermo,
con las presiones conocidas al final de cada escalonamiento. Además, se observa en la
Enfriamiento intermedio en la compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
61
misma Figura 2.15 que la temperatura al final de cada escalonamiento con el enfriamiento
correspondiente se mantiene con el mismo valor al de la temperatura de entrada de la
Turbomáquina [6].
Figura 2.15 Diagrama T-s para el proceso de compresión con enfriamiento intermedio del
Turbocompresor centrífugo mostrado en la Figura 2.14.
En la Tabla 2.1 se muestran los valores de la temperatura, de la presión y del volumen
específico en cada estado del proceso de compresión con enfriamiento intermedio.
Tabla 2.1 Propiedades termodinámicas en cada estado de la compresión (Sección 2.6).
Estado p (bar) T (K) v (m3/kg) Estado p (bar) T (K) v (m
3/kg)
1 1.000 298.15 0.8578 6 5.665 359.63 0.1827
2 1.783 359.63 0.5804 6s 5.665 351.69 0.1786
2s 1.783 351.69 0.5676 7 5.665 298.15 0.1514
3 1.783 298.15 0.4812 8 10.098 359.63 0.1025
4 3.178 359.63 0.3256 8s 10.098 351.69 0.1002
4s 3.178 351.69 0.3184 9 10.098 298.15 0.0849
5 3.178 298.15 0.2699 10e 18.000 359.63 0.0575
10s 18.000 351.69 0.0562
13579
2s4s6s8s10s
246810e
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0
Tem
pe
ratu
ra [
K]
Entropía [kJkg/K]
T1= 25 °C p1= 1 bar
n=1.48
Cp= 1.004 kJ/kgK Ra=0.2877 kJ/kgK
π=18
Relación de presiones óptima en varios escalonamientos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
62
En el diagrama p-v de la Figura 2.16 se muestran los 5 procesos de compresión
politrópicos (color rojo), siendo en las isobaras pi,1, pi,2, pi,3 y pi,4 donde se da el proceso de
enfriamiento, reduciendo el volumen específico como resultado de una disminución en la
temperatura, relacionadas mediante la ecuación del gas ideal. Además, la línea punteada
(color negro) muestra el salto de presión de 18 bar para cuando es un solo escalonamiento
y el proceso es isotérmico, la línea continua (color amarillo) muestra el salto de presión de
18 bar para cuando es un solo escalonamiento y el proceso es politrópico.
Figura 2.16 Diagrama p-v para el proceso de compresión con enfriamiento intermedio del
Turbocompresor centrífugo mostrado en la Figura 2.14.
Ya se mencionó en la sección 2.1.3 que para una compresión politrópica con
enfriamiento, el trabajo requerido en la compresión es menor, lo cual se muestra en la
Figura 2.16, donde el área encerrada entre la línea amarilla (compresión politrópica, un
solo escalonamiento), las líneas rojas (compresión politrópica por escalonamiento) y las
isobaras, corresponde al calor eliminado o calor cedido por el fluido de trabajo a los
fluidos de servicios auxiliares en los equipos de intercambio de calor.
3 2 5 4 7 6 9 8 elimq = h h h h h h h h
p1=1.0 bar3
Enfr
iam
ien
to
pi,1= 1.783 bar25
4 pi,2= 3.178 barEnfr
iam
ien
to
76 pi,3=5.665 barEn
fria
mie
nto9
8 pi,4=10.098 barEnfr
iam
ien
to
Compresión Isotérmica
-----------
10e pi,5=18.0 bar
Compresión politrópica
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
20.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Pre
sió
n [
bar
]
Volumen específico [m3/kg]
T1= 25 °C
p1= 1 bar
n=1.48
Cp= 1.004 kJ/kgK Ra=0.2877 kJ/kgK
π=18
10
Relación de presiones óptima en varios escalonamientos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
63
O bien, en función de las relaciones de presión
π
Donde el trabajo de compresión politrópico con fricción es:
π
El trabajo de compresión politrópico ( suministrado al turbocompresor centrífugo
isotermo considerado, es de
1.48-1 1.48-1 1.48-1 1.48-1 1.48-1
1.48 1.48 1.48 1.48 1.48
c
1.78 3.17 5.66 10.09 18.0 kJτ = 1.004 298.15 + + + + -5 =308.637
1.0 1.78 3.17 5.66 10.09 kg
Por tanto, el calor transferido del fluido de trabajo (aire) a los servicios auxiliares es de
elim
kJq =464.99 308.637=156.354
kg
Una ventaja más que respalda la división en la compresión, es nuevamente la disminución
del trabajo de compresión, al mantener constante una relación de presión óptima en cada
uno de los escalonamientos presentes en el turbocompresor, para ello, se citan las
condiciones de óptimalidad.
2.6.1 CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE DE ÓPTIMALIDAD
Considérese minimizar el trabajo de compresión en función de cualquier variable, por
ejemplo: L; Sea Min τ=f(L), donde L es un número real y f(L) una función diferenciable
en los reales, entonces, se establecen los siguientes Teoremas [8].
Teorema 1 (Condición necesaria): Si f(L) tiene un óptimo local en Lopt y si f(L) es
diferenciable sobre un pequeño intervalo centrado en Lopt, entonces f’(Lopt)=0.
Teorema 2 (Condición suficiente): Si f(L) es 2 veces diferenciable en un pequeño
intervalo centrado en Lopt y sí
i. f’(Lopt)=0
ii. f’’(Lopt)>0
entonces, tiene un mínimo local en Lopt, o si
iii. f’(Lopt)=0
iv. f’’(Lopt)<0
entonces, f’(Lopt)=0 iene un máximo local en Lopt.
Relación de presiones óptima en varios escalonamientos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
64
Para obtener la relación de presión óptima para varios escalonamientos, basta con sólo
tomar dos saltos de presión cualquiera entre un proceso de compresión de varios
escalonamientos, por lo tanto, se muestra en la Figura 2.17 a las isobaras p1, pi,1 y pi,2 de la
Figura 2.15, pensando que no se conocen aún los valores de las presiones consideradas.
Figura 2.17 Diagrama T-s para la obtención de la relación de presión óptima.
El trabajo real por unidad de masa para ambos escalonamientos es
2 4 3 4 3 1 p 2 1 pτ= h h + h h C T T C T T
Como se trata de procesos de compresión isotérmica, T1=T3, entonces
4 12p 2τ=C T +T T
O bien, en función de la relación de presiones correspondiente
1 2
n 1 n 1
n ni,1 i,2
p
1 1
p pτ=C T
p p
Definidas las relaciones de presiones como:
i,1i,1
1
pπ =
p (2.40)
i,2i,2
i,1
pπ =
p (2.41)
Entonces, i,1p es la variable que determina la relación de presión óptima, lo que indica que
para optimizar f i,1τ, τ= p . Al aplicar el Teorema 1 de óptimalidad (condición necesaria),
queda que
135
2s4s24
270
290
310
330
350
370
390
5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0
Tem
pe
ratu
ra [
K]
Entalpía [kJkg/K]
Relación de presiones óptima en varios escalonamientos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
65
1
1 1
1
1' 0f
n 1 n 1 n 1 n
n n n ni,1 p 1 i,1 i,2 i,1
n 1 np =C T p p p p
n n
Como se busca el valor de , al dividir a la ecuación homogénea anterior por 1pC T y
multiplicar por n 1
n, se tiene que
1 2
0
n 1 1 n 1 n
n n n n1 i,1 i,2 i,1p p p p
multiplicando por 1
ni,1p
12
0
nn 1 n 1nn n
1 i,2 i,1p p p
despejando a la variable i,1p
1 1
2
nn n 1 n
n ni,1 1 i,2p p p
2i,1 1 i,2p =p p (2.42)
Se puede expresar también a la ecuación (2.29) como:
i,1 i,2
1 i,1
p p=
p p
Con las definiciones en las ecuaciones (2.27) y (2.28), la relación de presión óptima es:
i,1 i,2i,opt
1 i,1
p pπ = =
p p
Al aplicar el Teorema 2 de óptimalidad (condición suficiente), el valor de i,1p es
i,1 1 i,2p 2n 1 p p >0
Por tanto, f i,1τ= p tiene un mínimo en cuanto i,1 i,2π =π , al aplicar el mismo
procedimiento a los tres siguientes escalonamiento, se encuentra que
i,1 i,2 i,3 i,4 i,5π =π =π =π =π
La relación de presiones para todo el proceso es compresión con z=5 es:
i,5 i,1 i,2 i,3 i,4 i,5i,1 i,2 i,3 i,4 i,5
1 1 i,1 i,2 i,3 i,4
p p p p p pπ= = =π π π π π
p p p p p p
Relación de presiones óptima en varios escalonamientos
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
66
Por tanto, de forma general, la relación de presión óptima está en función del número de
escalonamientos (z) para una π dada, es decir:
1
zi,optπ =π (2.43)
El valor de i,optπ para el Turbocompresor isotermo tratado en esta sección es:
1 1
518.0 1.782z i,optπ =π
La eficiencia para el primer escalonamiento del turbocompresor isotérmico, con una
relación de presión πi =1.783 es:
0.2857
2 1.48
0.871
Xi,12s 1s
i,1 n-1 1.48-11 n
i,1
π 1 1.783 1h hτη = =
τ h hπ 1 1.783 1
En la Tabla 2.2 están contenidos los valores de las presiones óptimas, del rendimiento
interno y presiones, todos para el estado final en cada proceso de compresión, cabe
resaltar que las presiones para cada escalonamiento coinciden con las presiones mostradas
en la Figura 2.15.
Tabla 2.2 Relación de presiones óptima y presiones al final de cada escalonamiento, al igual
que el rendimiento interno correspondiente (Sección 2.6).
Escalonamiento Presión pi,z (bar) πi,opt ηi,z
0 1.000 --- ---
1 1.782 1.782 0.871
2 3.178 1.782 0.871
3 5.665 1.782 0.871
4 10.098 1.782 0.871
5 18.000 1.782 0.871
Para poder mejorar la transferencia de energía, evitar turbulencias a la entrada del flujo de
fluido a la turbomaquina, así como mejorar la eficiencia, debe impedirse una prerrotación
del fluido en el sentido del giro de la velocidad angular del eje del rotor, dando como
resultado, que la velocidad tangencial a la entrada del impulsor sea cero (cu1=0), lo que
reduce a la ecuación de Euler del trabajo de compresión ideal (isoentrópico) a
s 2 u2τ =U c
Si la velocidad límite de la velocidad periférica U2 para turbocompresores centrífugos con
Área normal al gasto volumétrico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
67
álabes curveados hacia atrás es de 320 m/s, la velocidad cu2 del fluido a la salida del
impulsor es
0.2857
1 1 1.004 298.15 1
320.0
Xp i,1s
u2
2 2
C T π 1.783τ mc 167.99
U U s
Para poder determinar un valor aproximado del área normal al gasto volumétrico , por
ecuación de continuidad se sabe que 2 R2m=ρA c =ρG , por tanto, al utilizar el triángulo de
velocidades representativo a la salida del impulsor de la Figura 1.16b, se expresa a la
velocidad como:
u2 2 R2 2c U c Cot β (2.44)
Sustituyendo cR2 de la ecuación de continuidad en la ecuación (2.44), al despejar A2 se
obtiene
22
R2 2 u2
Cot β GGA =
c U c (2.45)
Para valores intermedios de β2, de entre 30° y 90°, para los que suele estar el ángulo de
álabe del impulsor en un turbocompresor con álabes curveados hacia atrás, se bosqueja en
la Figura 2.18 el comportamiento de A2 en función del gasto volumétrico, G , para
distintos valores de β2, donde la pendiente es / 2 2 u2Cot β U c . Se observa en la Figura
2.18 que A2 aumenta linealmente al incrementarse el gasto volumétrico, o bien, cuando el
ángulo de álabe (β2) disminuye.
La potencia que se requiere suministrar al turbocompresor isotérmico para obtener una
relación de presiones total igual a 18, considerando el máximo gasto volumétrico (70, 000
m3/hr) que podría esperarse a la entrada del turbocompresor es:
1700,000.0 308.63
0.2877 298.15 3600máx
a
51
c máx cG1
p 1.0 10=mτ G τ 69.96 MW
R T
Por el contrario, la potencia que se requiere suministrar cuando se tiene a la entrada del
turbocompresor el mínimo gasto volumétrico (66,000 m3/hr), es:
min
166,000.0 308.63
0.2877 298.15 3600a
51
c min cG1
p 1.0 10=mτ G τ 7.334 MW
R T
El cambio de entropía del estado 1 al estado 10e es:
Potencia en función del gasto volumétrico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 2-
68
la
10e10e 1 p
1
T 359.63s s =C ln R n π = 1.004 ln 0.2877 ln 18.0
T 298.15
10e 1
kJs s = 0.6433
kgK
Figura 2.18 Área normal a la salida del impulsor en función del gasto volumétrico.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Áre
a n
orm
al [
m2 ]
Gasto volumétrico [m3/hr]X1000
β2= 30°
β2= 45°
β2= 75°
β2= 60°
Potencia en función del gasto volumétrico
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
69
CAPÍTULO 3 TEORÍA PARA EL DISEÑO DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO
3.1 COMPRESOR Y TURBOCOMPRESOR
Es muy importante poder comprender la diferencia que existe entre un compresor y un
turbocompresor, ya que ambos pueden ser de flujo axial, flujo radial o su combinación. La
función del compresor es comprimir al fluido de trabajo, mediante el uso de movimiento
mecánico a través de cualquier dispositivo; mientras que el turbocompresor o compresor
dinámico, es para el caso en que se tiene acoplada una turbina a un compresor, y
aprovechar la energía de los gases de combustión para poder comprimir al fluido de
trabajo, además de conseguir aumentar la energía dinámica del fluido por acción del rotor,
en el difusor se desacelera el fluido y aumenta la energía estática, a este proceso se le
llama difusión; de ésta manera, es característico que la presión de salida sea mayor o igual
en un turbocompresor al hacer uso del mismo trabajo suministrado.
En las secciones siguientes se introducen nuevos conceptos referentes a las partes del
compresor, como es el ojo de admisión, el cual es un ducto por el que ingresa el fluido de
trabajo al impulsor (ver Figura 3.1).
Figura 3.1 Compresor centrífugo con álabes de salida radial.
También es común encontrar en operación compresores con más de una entrada de
admisión, debido a que las dimensiones del espaciado varían de acuerdo a su aplicación
industrial, por lo tanto, se tiene que los impulsores pueden ser, por ejemplo: de entrada
simple o de entrada doble (ver Figura 3.2). Las principales diferencias radican en sus
dimensiones y en el arreglo de los ductos de admisión, por ejemplo: en el compresor de
Compresor y Turbocompresor
Punta del ojo (Eye tip)
Raíz del ojo (Eye root)
Profundidad axial de los canales
Impulsor
Ojo de admisión
Ojo de admisión
Salida del Difusor
Rotor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
70
doble entrada se tiene un diámetro menor; además, de manejar velocidades de giro
mayores y así poder asegurar la corriente de aire necesaria a la entrada, caso contrario en
el compresor de una sola entrada, ya que se requiere un diámetro mayor para entregar la
misma cantidad de aire a la salida, aunque claro, su diseño estructural es más sencillo.
Figura 3.2 Compresor centrífugo a) De entrada simple, b) De entrada doble.
Si los compresores correspondientes a los impulsores de la Figura 3.2 tienen como
finalidad efectuar una misma aplicación; entonces, existe una relación equivalente entre
los parámetros que rigen su funcionamiento, por tanto, de forma general, para que exista
una similitud física completa entre dos máquinas, debe darse una similitud geométrica,
cinemática y dinámica (ver Tabla 3.1), dando la ventaja de que este principio radica en el
estudio de las propiedades físicas en un prototipo de menor tamaño o costo, para después
aplicar los resultados a la máquina real [1].
Tabla 3.1 Relaciones para una similitud física completa entre dos máquinas.
Similitud Relación
Geométrica Dimensiones lineales en partes homogéneas.
Cinemática Velocidades absolutas de entrada y salida.
Dinámica Magnitudes de fuerzas en puntos análogos.
Cada una de las similitudes anteriores se basan en parámetros característicos que siguen
las leyes de funcionamiento para turbomaquinas, siguiendo modelos idealizados, con los
que se logra determinar las variables que condicionan a una función en específico, por
ejemplo: de la ecuación (3.1), donde las 9 primeras variables se refieren al fluido y las dos
restantes a la máquina, agrupando variables mediante un análisis dimensional o por
principios dinámicos, se encuentran a los parámetros que caracterizan el diseño u
operación de las turbomaquinas. Uno de los métodos de análisis dimensional más usado
para demostrar las ecuaciones físicas ya existentes, es el Teorema de Buckingham (Anexo
B1).
a) b)
Compresor y Turbocompresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
71
f p v partp,v,T,C ,C ,R ,λ,μ,G,N,D =0
(3.1)
3.2 PARÁMETROS QUE CARACTERIZAN AL FLUIDO
Otros grupos adimensionales se forman a través del análisis dimensional, y con éstos se
determinan los parámetros que caracterizan al fluido, que son de suma importancia para
encontrar los límites de diseño y de operación de la turbomaquina, desde distintas
perspectivas (por ejemplo: Termodinámica y Mecánica de Fluidos), algunos de estos
parámetros característicos son [1]:
i. Coeficiente de expansión isobárico
p
1 vβ=
v T
ii. Coeficiente de compresibilidad isotérmica
T
T
1 vK =
v p
iii. Coeficiente de compresibilidad isoentrópica
s
s
1 vK =
v p
iv. Módulo de elasticidad isoentrópica s
s
1E =
K
v. Número de Euler, que califica la acción inercial u
cE =
2Δp
ρ
vi. Número de Reynolds, referente a la viscosidad ρcD
Re=μ
vii. Número de Mach, califica la acción inercial onda
cM=
c
viii. Número de Plandtl, relacionado con la conductividad
térmica p
r
C μP =
λ
ix. Relación de calores específicos o coeficiente
isoentrópico
p
v
Cγ=
C
x. Relación de presiones 2
1
pπ=
p
xi. Velocidad de la onda elástica onda
Ec =
ρ
Parámetros que caracterizan al fluido
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
72
c´u2
cu2
3.3 TRABAJO DE COMPRESIÓN
El trabajo suministrado en un proceso de compresión isoentrópico, está dado por la
ecuación de Euler de la transferencia de la energía para máquinas receptoras,
considerando que la dirección de la velocidad del flujo de fluido a la entrada del impulsor
es totalmente axial (c1=ca), se reescribe la ecuación de Euler como sigue [23]:
s 2 u2τ =U c (3.2)
La ecuación (3.2) determina el trabajo de compresión de forma idealizada, ignorando al
torbellino relativo entre los álabes, que son en sentido opuesto a ω, resultado de la propia
rotación de la turbomaquina (ver Figura 3.3). En la misma Figura 3.3 se muestra el
triángulo de velocidades para la corriente de flujo con deslizamiento a la salida del
impulsor, resultado del torbellino, obligándolo a salir bajo un ángulo β´2<β2. A la relación
entre la velocidad del fluido en dirección tangencial y la velocidad periférica, define el
factor de deslizamiento (σ), que cuantifica la disminución de la energía transferida [25].
u2
2
cς=
U (3.3)
Figura 3.3 Triángulo de velocidades para una corriente de flujo con deslizamiento.
El factor de desplazamiento es siempre constante, y se relaciona con el número de álabes
en el impulsor (n) por medio de modelos matemáticos, una de ellas, es propuesta por
Stodola [9].
2πSen βς=1
n (3.4)
r1
rpun
r2
W2 c2 β´2
U2
cm2
Δcu
β2
Trabajo de Compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
73
El valor de σ es típicamente de alrededor de 0.9 para un compresor con un número de
álabes entre 19-21; de forma general, σ tiene un valor alto para un β2 chico y un n grande,
o viceversa. Ahora, al despejar a la velocidad tangencial cu2 de la ecuación (3.3) y
sustituyendo en la ecuación (3.2), se tiene que
2s 2τ =ςU (3.5)
Al ser la ecuación de Euler una expresión modelada idealmente, se ignoran algunas
pérdidas de energía, como son: por fricción en el eje de rotor, por efecto del frenado de
aire al paso del fluido por los ductos entre álabes y carcasa, o también, por variaciones en
la velocidad del viento que modifican el flujo de fluido a la entrada de la máquina, por lo
tanto, se introduce el factor de potencia de entrada (ψ), tomando valores mayores a la
unidad, para así, tener una primera aproximación del trabajo real que hay que suministrar,
y se expresa de la siguiente manera:
2c 2τ =ψςU (3.6)
Entonces, la potencia (Τ) requerida para el proceso de compresión es:
2c 2=m τ =mψςU (3.7)
3.4 RELACIÓN DE PRESIONES
El trabajo suministrado en un proceso de compresión adiabático reversible, en función de
la temperatura de estancamiento a la salida del compresor T02, y a la entrada del impulsor
(ver Sección 3.9), T01, es:
c 02 01 p 02 01τ = h h =C T T (3.6.1)
El impulsor y difusor son los dispositivos que conforman a un escalonamiento de un
compresor, siendo sólo en el impulsor en donde se hace trabajo, la temperatura a la salida
del difusor es igual a la temperatura a la salida del impulsor, es decir, T03=T02, entonces,
se define a la eficiencia isoentrópica de compresión (ηSIC) como:
p 01 03s 01 03s 01SIC
p 01 03 01 03 01
C T T T T Tη = =
C T T T T T (3.8)
O bien, en función de la relación de presiones en el escalonamiento
Xi
SIC n-1
ni
π 1η =
π 1 (3.9)
En la actualidad, el diseño de cualquier compresor debe ser factible a las condiciones
Relación de Presiones
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
74
dadas, especialmente por los procesos industriales, buscando su viabilidad o rentabilidad,
en este caso podría ser, si se dispone de energía con calidad que puede ser transformada
en trabajo, entonces, habría que verificar si la relación de presiones al final de la
compresión está por arriba de la deseada, de no ser así, proponer un nuevo diseño que sí
las satisfaga. Para encontrar esta relación de presiones en función del trabajo real
disponible [10], se sustituye la ecuación (3.6) en la ecuación (3.8) de la eficiencia
isoentrópica de compresión (ηSIC), se tiene que
X 2s p 03s 01 p 01 i SIC 2τ =C T T =C T π 1 =η ψςU
la relación de presiones está dada como:
1
X
2SIC 203
i
01 p 01
η ψςUpπ = = +1
p C T (3.10)
O bien, en función de la relación de temperaturas de estancamiento para un proceso de
compresión isoentrópico.
γγ-1
03 03si
01 01
p Tπ = =
p T
Para impulsores fabricados de aleación ligera y de una sola entrada, la velocidad
periférica U2 está limitada a los 460 m/s.
3.5 COEFICIENTE DE FLUJO
Los factores que son indispensables en el diseño del compresor, pero independientes del
propio diseñador, son las condiciones del lugar en que operará el compresor, por ejemplo:
la presión atmosférica y la temperatura del fluido en la admisión del compresor, lo que
conlleva a un estudio previo de la ubicación de la planta o industria, y así obtener una
mayor eficiencia del proceso. De la expresión (3.10), el parámetro que determina las
dimensiones del compresor es la velocidad periférica, el diseñador relaciona a la
velocidad periférica con el gasto volumétrico disponible y con la velocidad de giro, con la
siguiente proporcionalidad 3GαD N, al coeficiente que convierte esta proporción en
igualdad se llama coeficiente de flujo (ϕ), definido como [1]:
3
G=
D N (3.11)
Este coeficiente de flujo depende de la geometría del ducto de circulación del flujo en el
compresor, para el caso de compresores centrífugos, se determina por la anchura d/D,
Coeficiente de flujo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
75
siendo d el ancho del difusor. En la realidad se da su valor basado en la experiencia del
diseñador, por lo que, al ser redefinida la expresión del coeficiente de flujo, se tiene que
2
G=
D U (3.12)
3.6 CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN
Continuando con la hipótesis en donde cu1=0, es decir, sin prerrotación, entonces, al tener
flujo estable y un área determinada a la salida del impulsor (A2), la cual corresponde al
área de entrada del dispositivo del difusor, es posible mostrar gráficamente, el
comportamiento de la transferencia de energía de un compresor en específico, en función
del gasto volumétrico, a esta curva se le conoce como Característica de Operación, y se
obtiene de la ecuación de la velocidad tangencial (cu2) en función del ángulo de álabe [1]
(ver Figura 1.2), la cual está dada como:
u2 2 R2 2c =U c Cot β (3.13)
Si a la salida del impulsor, la componente de la velocidad absoluta c2 que atraviesa al área
A2 perpendicularmente es la velocidad radial (cR2). De la definición del gasto volumétrico
),R2 2(c =G/A sustituyendo G en la ecuación (3.13), y posteriormente en la ecuación (3.2),
el trabajo de compresión isoentrópico es:
2 22s 2
2
U Cot βτ =U G
A (3.14)
Del ejemplo (1.4.2) y suponiendo un área igual a la unidad, las curvas características de
operación se muestran en la Figura 3.4, observando que
Figura 3.4 Curva característica de operación.
τs es constante para cualquier G, con un β2=90°.
β2<90°
β2=90°
β2>90°
89
90
91
92
93
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
τ s[k
J/kg
]
Gasto volumétrico [m3/s]
Característica de Operación
A2= 1m2
U2=301.6 m/s
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
76
τs aumenta al aumentar G , para el caso en que β2 > 90°.
τs disminuye al aumentar G , para el caso en que β2 < 90°.
3.7 COEFICIENTE DE PRESIÓN
Si el trabajo por unidad de masa es proporcional a D2N2, se tiene la siguiente expresión:
2 2uτ=Uc αD N
El coeficiente que convierte en igualdad la proporción de la ecuación anterior, es llamado
coeficiente de presión o coeficiente de carga, denotado con la letra griega (μ).
2 2
τμ'=
D N (3.15)
De acuerdo a la definición de la velocidad periférica U = πND, al sustituir ND en la
ecuación (3.15) y multiplicando por π2, resulta el coeficiente utilizado en la práctica
constructiva, debido a que μ’ y μ son adimensionales y ambos significan lo mismo, por
tanto, el coeficiente de presión está expresado como:
2
τμ=
U (3.16)
Si se tienen z escalonamientos, y en cada uno de ellos se requiere el mismo trabajo,
entonces, el trabajo para cada escalonamiento es τ/z, que al sustituir en la ecuación (3.16),
se tiene que
2
τμ=
zU (3.17)
Si el valor de la energía disponible para ser suministrado como trabajo al compresor es un
valor ya conocido, entonces, ahora la incógnita es conocer el número de escalonamientos
requeridos, cuando se tiene una primera perspectiva de la dimensión radial que debe tener
la máquina. Bajo un modelo idealizado, el trabajo de compresión politrópico sin fricción
estará dado por la ecuación (2.13), que al despejar de la ecuación (3.17) el número de
escalonamientos z [1], se tiene que
a
n 1
n2
1
1
2
pn 1R T 1
n p
z=μU
(3.18)
Los valores de μ varían de acuerdo al tipo de turbomaquina, siendo aproximadamente de
0.48 en compresores centrífugos y de 0.35 a 0.5 en compresores axiales. Se demostró en
Coeficiente de Presión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
77
la sección 2.2.1 que al aumentar el índice politrópico, se reduce la eficiencia en el proceso
de compresión, requiriendo un mayor trabajo suministrado o un mayor número de
escalonamientos cuando se mantiene constante la relación de presiones (ver Figura 3.5), si
por el contrario, se mantiene constante el índice politrópico y se aumenta la relación de
presiones, se tiene también un aumento en el número de escalonamientos z, esto se
muestra en un diagrama p-v (Figura 2.8), al aumentar el área encerrada por las isobaras
correspondientes y la politrópica con n>γ.
Figura 3.5 Número de escalonamientos contra relación de presiones.
3.8 COEFICIENTE DE POTENCIA
Si la potencia se expresa como [1]:
3 2 2 5 3Τ=mτ=ρGτα D N D N αρD N (3.19a)
Al coeficiente que convierte en igualdad la proporción de la ecuación (3.19a), se le llama
coeficiente de potencia (KT), éste da un valor aproximado de la potencia que se debe
proporcionar con relación al tamaño de la máquina, y de su velocidad de giro; el
coeficiente de potencia se escribe como:
T 5 3
ΤK =
ρD N (3.19b)
3.9 COEFICIENTE DE PAR
Si el par o momento definido en la sección 1.1, se expresa como:
5 35 2Τ ρD N
M= α αρD Nω N
Al coeficiente que convierte en igualdad la proporción, se le llama coeficiente de par, éste
da un valor aproximado del par que se requiere proporcionar con relación al tamaño
n=1.52n=1.4
n=1.62
0
1
2
3
4
5
6
7
0 3 6 9 12 15
Nú
me
ro d
e
Esca
lon
amie
nto
s (z
)
Relación de presiones [-]
Coeficiente de Potencia y de Par
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
78
de la máquina y de su velocidad de giro. La velocidad de giro tiene mayor preponderancia
en la potencia que en el par, pasando de un término cúbico a uno cuadrático. El
coeficiente de par es:
M 5 2
ΤK =
ρD N (3.20)
Cabe resaltar, que para cada uno de los coeficiente anteriores, los valores son
determinados estadísticamente mediante la experimentación en máquinas ya existentes
(punto práctico constructivo), y se recopilan en tablas o gráficos disponibles para dar
solución a nuevos problemas.
3.10 ANÁLISIS DE FLUIDOS COMPRESIBLES
Al ser el fluido de trabajo un fluido compresible, se requiere de cálculos de mayor
complejidad en comparación a las relaciones en fluidos incompresibles, debido a los
cambios importantes en la densidad, relacionados con las variaciones en la presión
estática. Esta variación de presiones se propaga al resto del gas, la concentración de masa
también se propaga, esta propagación se da de forma elástica en cada punto; entonces, de
forma general, esta propagación se da en forma de onda elástica, cambiando la estructura
física del fluido, por concentrar en un mismo espacio una mayor cantidad de masa,
cuando se está realizando el proceso de compresión.
La expresión de la velocidad de propagación de esta onda elástica, y como sólo depende
del proceso de compresión del fluido y es independiente del cambio de presión, entonces,
de la ecuación dinámica unidimensional del cambio en la cantidad de movimiento [1]
(ver Figura 3.6), se tiene que
2 1F=m c c (3.21)
Figura 3.6 Flujo estable unidimensional.
Análisis de Fluidos Compresibles
c2
Área normal a c2
2
x
c1
Área normal a c1
dx
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
79
Al dividir la ecuación (3.21) en forma diferencial entre el área (A), donde el término
dF/A, expresa un gradiente de presión negativa en el sentido de la fuerza, es decir
dF=-dp=ρcdc
A (3.22)
De la ecuación de continuidad y para una sola corriente, el flujo másico por unidad de
área permanece constante, diferenciando se tiene
cdρ+ρdc=0
Despejando dc y sustituyendo en la ecuación (3.22), el gradiente de presión queda como:
2cdρ-dp=ρcdc=ρc - =-c dρ
ρ
c representa la velocidad del fluido con respecto al observador; el proceso de compresión
isoentrópico se expresa como p=cteργ, que al diferenciar y sustituir en la ecuación de la
velocidad del fluido, se obtiene la velocidad de la onda elástica u onda sónica, conda.
a
onda
s
dp γpc = = = γpv= γR T
dρ ρ (3.23)
La relación entre la velocidad del fluido y la velocidad del sonido, define al Número de
Mach (M), que caracteriza a la propiedad elástica del fluido (densidad), calificando a los
fluidos de acuerdo al valor que tome (ver Tabla 3.2).
Tabla 3.2 Tipo de flujo de acuerdo al número de Mach.
Número de Mach Tipo de Flujo Número de Mach Tipo de Flujo
= 0 Incompresible > 1,< 5 Supersónico
< 1 Subsónico = 1 Transónico
> 5 Hipersónico
Si el proceso de difusión ocurre en un difusor subsónico, el número de Mach a la salida
del impulsor debe ser menor a 1, al igual que a la entrada, ya que si la velocidad relativa
del fluido alcanza la velocidad del sonido en el fluido, éste causará pérdidas de presión
excesivas por ondas de choque. El número de Mach a la entrada del impulsor es:
11
1
cM =
kRT
(3.24)
El número de Mach a la salida del impulsor está dado por la siguiente expresión:
Análisis de Fluidos compresibles
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
80
3.11 PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO
Para el caso de las turbomaquinas que manejan fluidos compresibles con grandes cambios
en su velocidad, resultado de los cambios de presión, causados por un proceso de
expansión o compresión, se requiere tener un estado de referencia, con el cual se
determinan las propiedades termodinámicas del fluido en movimiento, para cualquier
punto del fluido. Asimismo, es conveniente combinar los términos de energía implicados,
entalpía, energía cinética y potencial, que dan como resultado al concepto de entalpía de
estancamiento, cuando los cambios de altura son despreciables y la velocidad c0=0 [12].
20
1h =h+ c
2 (3.25)
A la entalpía de estancamiento se le considera como el valor de la entalpía resultante,
cuando la altura y la velocidad inicial son reducidas a cero, a través de una desaceleración
isoentrópica, siendo constante en un proceso de flujo estable, en donde no hay trabajo
suministrado ni transferencia de calor. Los estados de estancamiento se muestran en un
diagrama h-s (ver Figura 3.7), donde el punto 1 representa el estado real o estático de un
fluido con entalpía h1, presión p1 y entropía s1, y la velocidad del fluido es c1. El punto 01s
representa el estado de estancamiento, debido a una desaceleración reversible de una
partícula que es llevada al reposo (c0=0) y considerando la contribución de la energía
potencial [12].
Figura 3.7 Relación entre el estado estático y el estado de estancamiento.
El estado de estancamiento una vez establecido, fija a dos propiedades termodinámicas
independientes, presión y temperatura de estancamiento, con éstas se determinan las
propiedades restantes e identificar por completo al estado termodinámico del fluido
(postulado de estado).
1
01s
p1
h1
p01
h0
Enta
lpía
Entropía
Propiedades de Estancamiento
2
1s
1c
2
1gz
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
81
En el Diagrama de Mollier de la Figura 3.8 se muestra un proceso de compresión desde el
estado 1 hasta el estado 2, también se representa al proceso de compresión ideal [13].
En la misma Figura 3.8 se muestra que el trabajo por unidad de masa real es el cambio de
entalpía de estancamiento entre los estados 02 y 01, donde le corresponden a las isobaras
p02 y p01, respectivamente; el trabajo ideal por unidad de masa, es el cambio de entalpía de
estancamiento entre las mismas isobaras correspondientes con un Δs=0. La energía
cinética para el proceso ideal no es igual al del proceso real, debido a que c2>c2s, sin
embargo, en la práctica es usual que se ignore que existe una diferencia entre tales
velocidades, por tanto, se considera que c2=c2s.
Figura 3.8 Diagrama T-s con estados de estancamiento para una compresión.
Si el fluido se comporta como un gas ideal, la entalpía se expresa como h=CpT, que al
sustituir en la ecuación (3.25) y al dividir ambos lados de la ecuación por Cp, se tiene a la
temperatura de estancamiento: 2
0
p
cT =T+
2C (3.26)
T es la temperatura estática, al termino c2/(2Cp) se le llama temperatura dinámica. Ahora,
si se divide a la ecuación (3.26) entre la temperatura T, se obtiene la relación de
temperaturas.
s2
1
2s
02s
01
2
02
s1
p02
p2
p01
p1
Enta
lpía
Entropía
2
2
1c
2s
2
1
1c
2
2
2
1c
2
Propiedades de Estancamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
82
2
0
p
T c=1+
T 2C T
Si el calor específico se expresa como Cp=γ Ra /(γ-1), entonces
2
0γ 1 cT
=1+T 2γR Ta
(3.27a)
De la definición del número de Mach, ecuación. (3.24), al ser sustituida en la ecuación
(3.27a); entonces, la relación entre la temperatura de estancamiento y la temperatura
estática se expresa en función del número de Mach, como:
20γ 1T
=1+ MT 2
(3.27b)
Para determinar la relación que existe entre la presión de estancamiento y la presión
estática, al aplicar la ecuación de Gibbs para un proceso isoentrópico, queda que
Tds 0 dh vdp
De la ecuación del gas ideal, al sustituir el volumen específico por su igual, se tiene que
p
dpC dT vdp R T
pa
Integrando entre los estados extremos del proceso, resulta que
0 0 0
p
T R p pγ 1ln = ln = ln
T C p γ p
a
Por las propiedades de los logaritmos, finalmente se obtiene que a la relación de presiones γ
γ 10 0p T
p T
(3.28)
O bien, en función del número de Mach como:
γ
γ 120
γ 1p= 1+ M
p 2
(3.29)
Realizando el mismo procedimiento para la relación de densidades, se obtiene
11
γ 1γ 120 0
γ 1ρ T= = 1+ M
ρ T 2
(3.30)
Ejemplo 3.1
A través de un ducto horizontal fluye aire a una velocidad de 130 m/s, la temperatura es
Propiedades de Estancamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
83
de 20 °C y la presión p1=0.78 bar. Calcular la temperatura y presión de estancamiento
correspondiente, y el número de Mach.
Solución:
Siendo T1=293.15 K y c1=130 m/s; entonces, la temperatura de estancamiento T01 vale:
22
101 1
p
130cT =T + 293.15 301.566 K=28.416 °C
2C 2 1004
La presión de estancamiento p01, queda que
γ 1.4
γ-1 1.4 101
01 1
1
T 301.566p p 0.78 0.861 bar
T 293.15
El número de Mach para el flujo de aire a tales condiciones, tiene un valor de
01
1
1
T 2 301.566 2M 1 1 0.378
T γ 1 293.15 1.4 1
O bien, al aplicar la ecuación (3.24), se obtiene que
1
1
1
130cM = = =0.378
γR T 1.4 287.7 293.15a
3.12 DISEÑO ÓPTIMO DE LA ENTRADA DE UN COMPRESOR CENTRÍFUGO
Hay que resaltar que, si el número de Mach se incrementa por arriba de la unidad,
principalmente en la cara convexa de la parte de la curva del impulsor, se pueden originar
ondas de choque y por consecuencia pérdidas de presión (ver Figura 3.9), por ello, es muy
importante controlar el número de Mach a la entrada del ojo de admisión [10].
Figura 3.9 Pérdidas de presión a la entrada del impulsor.
Zona en que comienza
la onda de choque
c1
Diseño óptimo de la entrada en un compresor centrífugo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
84
En la realidad, cuando las dimensiones del compresor se encuentran determinadas, se
requiere conocer el flujo máximo que debe ingresar por el ojo de admisión, de manera que
se evite tener un número de Mach mayor a la unidad. Por lo tanto, se obtiene la expresión
del flujo máximo permitido ( mmáx ) en función de la densidad, de la velocidad y del área
del ojo de admisión.
2
2 2 2 121 1 pun 1 1 1 punpun
rm=ρ c π r r =ρ c πr C ;donde C=1
r
De la definición de la velocidad periférica, la expresión anterior se puede reescribir como:
2
1 1 punm=ρ c π U ω C (3.31)
Del triángulo de velocidades para la punta del ojo de admisión (ver Figura 3.10b), se
tienen las siguientes relaciones trigonométricas:
1 1 1 pun 1 1c =WSen β ; U =WCos β
1 1 1 pun 1 1c =WCos α ; U =WSen α
Figura 3.10 Representación del área transversal del ojo de admisión.
Al sustituir en la ecuación (3.31) las expresiones para las velocidades c1 y Upun en
términos de la velocidad relativa W1, se tiene que
3 2 3 21 11 1 1 1 1 1
ρ πC ρ πCm= W Sen β Cos β = W Cos α Sen α
ω ω (3.32)
El Número de Mach relativo está en función de la velocidad relativa W1, y de la velocidad
de la onda; se escribe como sigue
1r,1
onda,1
WM =
c (3.33)
Eje del Rotor
A1
Raíz del ojo
Punta del ojo D1 Dpun
Diseño óptimo de la entrada en un compresor centrífugo
a) b)
c1=cR 1β
W1
U1
1
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
85
Y el número de Mach absoluto en términos del número de Mach relativo es:
1 r,1 1 r,1 1M =M Cos α =M Sen β (3.34)
Al sustituir la densidad de la ecuación (3.30) en la ecuación (3.32), y a la velocidad
relativa de la ecuación (3.33), la expresión del flujo másico queda como:
1
γ 1 3 3 20r,1 onda,1 1 1
0 1
TπCm= M c Cos α Sen α
ρ ω T
(3.35)
De la ecuación de los gases ideales, la densidad de estancamiento es ρ0=p0/RaT0, que al
sustituirla junto con la relación de temperaturas de la ecuación (3.27) en la ecuación
(3.35), se tiene que
3 3 2
r,1 onda,1 1 10
1
0 γ-12
1
M c Cos α Sen αR T πCm=
ρ ωγ-1
1+ M2
a (3.36)
Siendo y de acuerdo a la siguiente relación entre la velocidad del
sonido de estancamiento y la local (estática), para un flujo isoentrópico es:
1
2onda,0 2
1
onda,1
c γ-1= 1+ M
c 2
(3.37)
Al sustituir en la ecuación (3.36), se tiene que
3 3 2
r,1 onda,0 1 10
1 3+
0 γ-1 22 2
r,1 1
M c Cos α Sen αR T πCm=
ρ ωγ-1
1+ M Cos α2
a
(3.38)
La ecuación (3.38) puede ser reescrita en una forma más útil para determinar el valor
óptimo del flujo másico o la velocidad angular en función del número de Mach relativo o
el ángulo de ataque o de álabe, ya que las propiedades de estancamiento pueden ser
determinadas al especificar las propiedades k, Ra, p1 y T1.
3
a a
3 2r,1 1 10
1 3+
γ-1 20 0 2 2r,1 1
M Cos α Sen αmp ω=
CR T π kR T γ-11+ M Cos α
2
(3.39)
Como ejemplo ilustrativo de la ecuación (3.39), se obtiene gráficamente el valor óptimo
del ángulo de álabe para tener un máximo global de la siguiente función:
Diseño inicial de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
86
f
3 2r,1 1 1
r,1 4
2 2r,1 1
M Sen β Cos βM =
11+ M Sen β
5
En la Figura 3.11 se muestra el valor óptimo del ángulo de álabe de la función anterior,
para 4 valores distintos del número de Mach relativo, siendo β1,opt=30°, la recta que une a
los puntos óptimos es una recta vertical; además, se observa que β1,opt es un óptimo global,
debido a que es el punto máximo para cada una de las curvas cóncavas [13].
Figura 3.11 Ángulo de álabe máximo para la función f(Mr,1).
3.13 DIFUSORES
Un difusor está diseñado para reducir la velocidad del flujo y teóricamente incrementar la
presión del fluido. Todas las turbomaquinas y muchos otros sistemas de flujo incorporan
un difusor, por ejemplo: en una cámara de combustión, donde la combustión es más
eficiente si la velocidad del aire que entra a ésta es lo más baja posible. En turbomaquinas
para flujos subsónicos (M<1), el difusor es un ducto divergente en la dirección del flujo,
un difusor básico es un ducto geométrico, como se muestra en la Figura 3.12.
En el proceso de difusión, se llevan a cabo varios fenómenos, uno de ellos es la tendencia
natural del aire (capas límite) de separarse de las paredes a lo largo del ducto divergente,
si la velocidad de la difusión es muy rápida, invirtiendo su dirección y flujo en sentido
contrario a la dirección del gradiente de presión (ver Figura 3.13), formando remolinos,
Mr,1=0.9
Mr,1=0.8
Mr,1=0.7
Mr,1=0.6
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 15 30 45 60 75 90
f(M
r,1)
Ángulo de álabe [°]
Difusores
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
87
que durante la desaceleración del aire causa la disminución de la presión máxima a
obtener.
Figura 3.12 Geometrías de difusores subsónico, a) Bidimensional, b) Cónico y c) Anular.
Figura 3.13 Difusión del flujo.
El resultado de una difusión rápida son las grandes pérdidas en la presión de
estancamiento, por el contrario, si la difusión es muy lenta, el fluido se expone a una
duración excesiva en la pared y las pérdidas del fluido por fricción son predominantes.
Al expresar mediante un modelo matemático a las pérdidas de presión, se encuentra una
velocidad óptima y un ángulo óptimo, con los cuales se minimicen las pérdidas de
presión, el ángulo de abertura, con el cual se da la óptima recuperación de presión, tanto
Flujo
r2
θ
L
K
2 3
3r
2 1
2A 1
A KTan
A r
2
3r
2 2
A 1A K
TanA r
a) b)
c)
L
K
2 3
θ
θ
Flujo r2
1 2
Difusores
K
L0
θi θ0
rt2
∆r2
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
88
en difusores bidimensionales como en cónicos, que de acuerdo a la literatura el ángulo
optimo es alrededor de 2θ ≈ 7 grados [14].
El funcionamiento real de un difusor se puede expresar de distintas formas, entre ellas
Como la relación entre el cambio de entalpía isoentrópico y el cambio de entalpía real.
Como la relación entre el coeficiente de presión ideal y el aumento del coeficiente de
presión real.
Para un proceso de difusión adiabático de flujo estable, se tiene h03=h02, entonces
2 2
3 2 2 3
1h h = c c
2 (3.40)
Para un proceso de difusión isoentrópico, se tiene que
2 2
3s 2 2 3s
1h h = c c
2 (3.41)
Por tanto, la eficiencia del difusor o también llamada eficacia del difusor se define como:
2 2
2 3s3s 2
D 2 23 2 2 3
c ch hη = =
h h c c
(3.42)
Considerando que la velocidad del flujo de fluido sea muy lento, o considerando que la
densidad permanece constante, entonces, el cambio de entalpía isoentrópico es:
3 2
3s 2
p ph h =
ρ
Al retomar la ecuación que define a la eficiencia del difusor, se puede reescribir como:
3s 2 3 2
D 2 23 2 2 3
h h 2 p pη = =
h h ρ c c
(3.43)
La eficiencia del difusor se puede expresar en términos de las presiones de la siguiente
manera:
3s 2 3s 2
D
3s 33 2 3s 2 3s 3
3s 2
h h h h 1η = = =
h hh h h h h h1
h h
Al término (h3s-h3), se puede expresar como:
3 2 02 032 2
3 3s 3 2 3s 2 2 3
p p p p1h h = h h h h = c c =
2 ρ ρ
Eficiencia del Difusor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
89
Entonces, la expresión de la eficiencia del difusor en términos de las presiones resulta ser:
D
02 03
3 2
1η =
p p1+
p p
(3.44)
La eficiencia del difusor se puede expresar de distinta manera; si el coeficiente de
aumento de presión que convierte en igualdad a la proporción v(p3-p2)α(c22)/2 es igual a
3 2 2
p 1 2
1
p p 1K = ;donde q = ρc
q 2
(3.45)
Haciendo un balance de energía a un difusor, y considerando al fluido de trabajo como
incompresible, además se consideran las pérdidas totales de presión, Δp0.
2 23 022 3
p Δpp 1 1+ c = + c +
ρ 2 ρ 2 ρ
Al pasar al término p2/ρ al segundo miembro, y dividiendo a ambos miembros de la
ecuación por el término de la energía cinética del estado 2, se tiene que
23 2 3 0
2 2 2
2 2 2
p p c 2Δp1 2 + +
ρc c ρc
Al reagrupar términos, se define al coeficiente de aumento de presión ideal como:
0pi p
1
ΔpK =K
q (3.46)
Al usar la definición de la ecuación (3.46), se reescribe a la eficiencia del difusor (referido
a la eficiencia del difusor por Sovran and Klomp (1967)) como:
p
D
pi
Kη =
K (3.47)
La segunda forma en que se puede mostrar la eficacia del difusor, es en términos del
factor de recuperación de presión total, p03/p02, por tanto, al reescribir a la ecuación de la
eficiencia del difusor como:
3s
3s 2 2
D
3 2 3
2
T1
T T Tη = =
T T T1
T
(3.48)
Para poder expresar a la eficiencia del difusor en términos del factor de recuperación de
Expresión análoga para la eficiencia del difusor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
90
presión total, se representa al proceso de difusión en un diagrama de Mollier (ver Figura
3.14) como el cambio del estado 2 al estado 3 con su respectivos cambios en la presión y
velocidad que van de p2 y c2 a p3 y c3 [15].
Hay que notar que la presión de estancamiento, p02, es mayor a las presiones estáticas (p2
y p3), como consecuencia de que la energía cinética que posee el fluido al ingreso del
difusor es la máxima para todo el proceso.
Figura 3.14 Diagrama de Mollier para el proceso de difusión en un difusor subsónico.
De la ecuación (3.28), se tiene que la relación para las temperaturas entre el estado
estático y el estado de estancamiento correspondiente, son [16]: γ-1
γ02 02
2 2
T p=
T p
(3.49)
γ-1
γ03 03
3 3
T p=
T p
(3.50)
2
3s
02
'03 3
03
p02
p1
p03
p3
Enta
lpía
Entropía
Expresión análoga para la eficiencia del difusor
2
2
1c
2
2
3
1c
2
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
91
De la ecuación de la eficiencia del difusor, se toma al cociente T3/T2, que será sustituida
por su igual, entonces, despejando T2 de la ecuación (3.49) y T3 de la ecuación (3.50), al
ser sustituidas en el cociente, se tiene que γ 1
γ02 γ 1γ 1
γγ23 03 03 02 3
γ 1
2 02 02 2 03γ03
3
p
pT T T p p=
T T T p pp
p
Como la temperatura de estancamiento T02=T03, la expresión anterior se reduce a γ 1γ 1
γγ3 02 3
2 2 03
T p p
T p p
(3.51)
Sustituyendo la ecuación (3.51) en la ecuación de la eficiencia del difusor, resulta que γ-1
γ3
2
D γ-1
γ02 3
03 2
p1
pη =
p p1
p p
(3.52)
La Figura 3.15 muestra que la eficiencia del difusor aumenta conforme aumenta el factor
de recuperación de presión total, p03/p02, al igual que lo hace en cuando aumenta la
relación de presiones en el dispositivo.
Figura 3.15 Variación de la eficiencia del difusor con respecto a πdif y el factor p03/p02.
0.50
0.65
0.80
p03/p02=0.95
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Efic
ien
cia
[--
]
πdif [--]
Diagrama de Mollier para un escalonamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
92
CASO PRÁCTICO 3.2
En un compresor centrífugo de una sola etapa, entra aire a una temperatura de
estancamiento de 288 K y una presión de estancamiento de 1.01 bar. El impulsor tiene 17
álabes radiales, sin álabes guía a la entrada [10]. Con los siguientes datos:
-Velocidad periférica en la punta del impulsor U2=475 m/s
-Velocidad absoluta a la entrada del impulsor c1=150 m/s
-Velocidad absoluta a la salida del difusor c3=90 m/s
-Profundidad del acanalado a la salida del impulsor d=6.5 mm
-Flujo másico (de aire) m 2.5 kg/s
-Factor de potencia de entrada ψ 1.04
-Eficiencia mecánica mecη 0.96
-Eficiencia del difusor difη 0.82
-Eficiencia isoentrópica de compresión SICη 0.84
Determinar:
1.-La potencia del eje.
2.-Presión estática y de estancamiento a la salida del difusor.
3.-Velocidad radial, número de Mach absoluto y presión estática y de estancamiento a la
salida del impulsor, asumiendo un GR=0.5.
4.-Eficiencia del difusor y velocidad de giro.
Solución 1.-La potencia del eje.
La eficiencia mecánica (ηméc) se define como:
mec
Trabajo tranferido al fluido de trabajoη =
Trabajo suministrado al eje (3.53)
Por tanto, la potencia del eje (Τeje) es:
ceje
cη
Para el trabajo por unidad de masa se requiere conocer del factor de deslizamiento (σ),
que con el número de álabes y con la ecuación dada por Stanitz para álabes radiales, se
obtiene la siguiente relación:
Caso Práctico 3.2-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
93
π 0.63ς=1
n (3.54)
Sustituyendo valores, se tiene que
0.883
π 0.63ς=1
17 Considerando que no hay prerrotación (cu1=0), el trabajo real que hay que suministrar de
acuerdo a la ecuación (3.6) es:
2
1.04 0.883 475 2c 2
kJτ =ψςU 207.331
kg
La potencia requerida para el proceso de compresión es:
2.5 2c 2=mψςU 207.331=518.327 kW
Entonces, la potencia del eje es:
539.920.96
ceje
mec
Τ 518.327= 4 kW
η
2.-Presión estática y de estancamiento a la salida del difusor.
Al calcular la relación de presiones total, se obtiene la presión p03, y posteriormente a
través de la relación de temperaturas para un proceso de compresión isoentrópico se
obtiene a la presión estática, p3.
2 1.4 11.04 4755.207
1004 288
1 1.42 X
SIC 203i
01 p 01
η ψςU 0.84 0.883pπ = = +1 +1
p C T
Por lo tanto, la presión de estancamiento a la salida del compresor es:
5.207 5.259 03 01 ip =p π 1.01 bar
Con la temperatura equivalente del trabajo
222
03 01
p
ψςU 1.04 0.883 475T T = = =206.501 K
C 1004
La temperatura de estancamiento a la salida del difusor es:
22
03 01
p
ψςUT =T + =288+206.505=494.505 K=221.135 °C
C
De la ecuación (3.26), se obtiene la temperatura estática a la salida del difusor.
Caso Práctico 3.2-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
94
223
3 03
p
90cT =T =494.505 =490.471 K=217.321 °C
2C 2 1004
Despejando de la ecuación (3.50) a la presión estática (p3), se tiene que
1.4
1.4
5.259 5.110494
γ
γ 1 13
3 03
03
T 490.471p =p = bar
T .505
3.-Velocidad radial, número de Mach absoluto y presión estática y de estancamiento a la
salida del impulsor, asumiendo un GR=0.5.
Conociendo la temperatura T03s, a través de la ecuación (3.26), se calcula c2, sin embargo,
se requiere de la temperatura T2, que se obtiene de la definición del Grado de Reacción.
2 1
3 1
T TGR
T T (3.55)
La diferencia de temperaturas (T3-T1) se tiene
1
2 23
3 1 03 01
p p
c cT T T T
2C 2C
reagrupando términos y sustituyendo valores, se tiene
2 2150 90
206.505 2131004
2 21 3
3 1 03 01
p
c cT T = T T .676 K
2C 2
La diferencia de temperaturas entre la entrada y la salida de impulsor es:
2 0.5 213 106.838 1 3 1T T =GR T T .676 K
si
12 2
2
1 01
p
cT T =T T
2C
despejando a T2, y sustituyendo valores queda que
2
2
150106.838
1004
T = 288 383.633 K=110.483 °C2
Como la entalpía de estancamiento h02=h03, entonces, se cumple la siguiente igualdad
02 03 2
22
p
cT =T T
2C
Caso Práctico 3.2-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
95
quedando que
1004 471.838 2 p 03 2
mc = 2C T T 2 494.505 383.633
s
De la definición del número de Mach dada en la ecuación (3.24), se tiene que
2
471.8381.20
1.4 287.7 383.633a
2
2
cM
γR T
Empleando nuevamente al triángulo de velocidades mostrado en la Figura (1.16b) para un
compresor centrífugo, la velocidad radial a la salida del impulsor es:
215. 2 2 2 2
R2 2 2
mc = c ςU 471.838 0.883 475 601
s
Para la presión estática p3, de la definición de la eficiencia del difusor
2
3s 2D
3
T Tη
T T (3.56)
desarrollando al numerador
2
γ 1
γ3
2
2
D
3
pT 1
p
η =T T
Por lo tanto, despejando al cociente p3/p2 se llega a la siguiente expresión
2
2
1
γ
γ 1D 33
2
η T Tp
p T
despejando p3, y sustituyendo valores
1.4
1.4 10.825.110 1 2
3
490.471 383.633p .487 bar
383.633
De la relación de temperaturas para una compresión isoentrópica, la presión de
estancamiento a la salida del impulsor es:
1.4 1.4
1.4 1.4
02 2
2
4942.487 6.048
383.633
1 102T .505
p =p = barT
4.-Eficiencia del difusor y velocidad de giro.
Caso Práctico 3.2-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
96
Al igual que la expresión para la eficiencia del difusor, la expresión análoga pero ahora
para el impulsor, en términos de la temperatura T0 y presión p0 de estancamiento es:
1.402
01
01
6.048
1.01
0.931
γ 11.4 1
γ
01
imp
03
pT 1 288 1
p
η =T T 206.501
De la definición para la velocidad periférica U2, la velocidad de giro (N) se expresa como:
2
2
60UN=
πD
de la ecuación de los gases ideales, se obtiene la densidad
52.487 102.25
287.7 383.633a
2
2 32
p kgρ = 3
R T m
de la ecuación de continuidad, al despejar a D2 y sustituyendo valores, queda que
2.25 215.
2
2 R2
m 2.5D 0.252 m
ρ c πd 3 601 π 0.0065
Lo que da una velocidad de giro (N) de:
475
0.252 2
2
6060.0UN= 36,000 rpm
πD π
CASO PRÁCTICO 3.3
Los compresores centrífugos son usados en situaciones, en donde los requerimientos de
flujo son bajos o moderados, y las relaciones de presiones son altas, para la misma área
frontal, las turbomaquinas centrífugas operan con un flujo másico menor a las de las
turbomaquinas axiales, por que el área frontal al flujo es una fracción del área frontal
total. Siendo las máquinas centrífugas las más empleadas, en este caso práctico se hace un
diseño previo de un compresor centrífugo de una sola etapa. La representación
esquemática de las partes esenciales del compresor al igual y la nomenclatura a manejar
se muestra en la Figura 3.16.
Para el diseño de este compresor centrífugo de una sola etapa, se dan como base los datos
siguientes [17]:
-Factor de potencia de entrada ψ 1.04
Factor de deslizamiento 0.9
Velocidad de rotación N=290 rev/s
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
97
Diámetro total del impulsor D2=0.5 m
Diámetro de la punta del ojo Dpunta=0.3 m
Diámetro de raíz del ojo D1=0.15 m
Flujo másico (de aire) m 9.0 kg/s
Temperatura de estancamiento a la entrada T01=295 K
Presión de estancamiento a la entrada p01=1.1 bar
Eficiencia isoentrópica de compresión SICη 0.78
Figura 3.16 Representación esquemática de un compresor centrífugo de una sola etapa.
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
98
Determinar: a) Relación de presiones del compresor y la potencia requerida para el
proceso de compresión, suponiendo que la velocidad del aire a la entrada del compresor
sea axial, b) El ángulo de álabe de entrada de los álabes del impulsor en la raíz y en la
punta de los radios del ojo de admisión, suponiendo que la velocidad de entrada es axial y
constante a lo largo del anillo del ojo, y c) La profundidad axial de los canales del
impulsor en la periferia del impulsor.
Solución:
a) Relación de presiones del compresor y la potencia requerida para el proceso de
compresión, suponiendo que la velocidad del aire a la entrada sea axial.
Con base a los datos proporcionados para el diseño del compresor y conociendo la
velocidad de giro (N), al igual que el diámetro total del impulsor (D2), la velocidad
periférica a la salida del impulsor vale:
2 2
mU =πND = π 290 0.5 =455.531
s La eficiencia isoentrópica de compresión (ηsic) es la relación entre el trabajo de
compresión ideal y el trabajo de compresión real
22
SIC 22
ςUη =
ψςU (3.57)
en donde
22 p 02 01ψςU =C T T
Como no hay trabajo suministrado ni un flujo de calor a través del dispositivo del difusor,
entonces, la entalpía de estancamiento para el proceso de difusión permanece constante,
debido a que sólo ocurre una transformación de energía cinética a energía de presión, es
decir, h03=h02, por lo tanto, la temperatura de estancamiento T02 es igual a la temperatura
T03, que al reescribir a la expresión anterior, queda que
22 p 03 01ψςU =C T T
Para el trabajo de compresión ideal, se tiene que
1
γ 1
γ2 032 p 01
01
pςU =C T
p
(3.58)
Sustituyendo la ecuación (3.58) en la ecuación de la eficiencia isoentrópica de compresión
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
99
(ηSIC), queda que
1
γ 1
γ03
p 01
01
SIC 22
pC T
p
η =ψςU
Despejando al término (p03/p01) de la ecuación anterior, y sustituyendo los valores
respectivos, se tiene entonces una relación de presión para el compresor de:
2 1.4 10.78 0.9 455.5314.246
1004 295
1 1.42 X
SIC 203i
01 p 01
η ψςU 1.04pπ = = +1 +1
p C T
La potencia real que hay que suministrar al compresor, se obtiene de multiplicar al trabajo
de compresión real por el flujo másico.
22
2Τ=m ψςU = 9.0 1.04 0.9 455.531 =1,748 kW
O bien, en HP
2 1.0
Τ= 9.0 1.04 0.9 455.531 =2,343 kHP0.746
b) El ángulo de álabe de entrada de los álabes del impulsor en la raíz y la punta de los
radios del ojo de admisión.
De los triángulos de velocidades representativos del ojo de admisión y de la salida del
impulsor (ver Figura 3.17) para un compresor centrífugo [1], se encuentra que el ángulo
de álabe en la raíz y la punta del ojo de admisión son respectivamente:
1
-1 -111 punta
1 punta
c cβ =Tan ; β =Tan
U U
Figura 3.17 Triángulos de velocidades para un compresor centrífugo a) En la raíz del ojo de
admisión, b) En la punta del ojo de admisión y c) A la salida del impulsor.
a) b) c)
1β
c1
=
cR
1U
1W 1α puntaβ
c1
puntaU
puntaW puntaα 2β
cm2= cR2
2α
2U
u2c
2c 2W
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
100
Donde la velocidad periférica en la raíz del ojo de admisión es:
1 1
mU =πND = π 290 0.15 =136.659
s y en la punta
punta punta
mU =πND = π 290 0.3 =273.319
s
Como se desconoce la velocidad absoluta a la que entra el flujo de fluido al ojo de
admisión, y teniendo en cuenta que se tienen sólo a las propiedades de estancamiento
presión y temperatura, entonces, de la ecuación de continuidad ( =ρ1A1c1), se puede
obtener c1, sin embargo, la densidad estática a la entrada del compresor es desconocida,
pero, para el caso de turbocompresores, la densidad es función de la velocidad absoluta
(c) a la que se mueve el flujo de fluido [12], es decir:
fρ= c
Entonces, se aplica un método iterativo, en el cual, se toma como primera aproximación
de la densidad estática, a la que está dada por las propiedades termodinámicas de
estancamiento del estado 01, para que al final del método iterativo (convergencia en los
valores de ρ, c, T y p) el valor de c1, corresponda a la velocidad absoluta a la que entra
realmente el flujo de fluido al compresor.
Es normal diseñar para una velocidad axial de 150 m/s, este valor proporciona un buen
compromiso entre un flujo elevado por unidad de superficie frontal y las pérdidas por
fricción reducidas en el dispositivo de admisión.
*Primera Iteración
De la ecuación de los gases ideales, la densidad es:
51.1 101
287.7 295a
01
1,1 301
p kgρ = = .296
R T m
Para la velocidad c, de la ecuación de continuidad se tiene que
3.1415 1,1 2 2 2 2
1,1 1 1,1 pun 1
4 9m 4m mc = = = =130.984
ρ A sρ π D D 1.296 0.3 0.15
De la definición de la temperatura de estancamiento para el estado 01, la temperatura
estática T1 es:
221,1
1,1 01
p
130.984cT =T =295 =286.456 K
2C 2 1004
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
101
Como la entalpía de estancamiento representa la entalpía de un fluido, cuando es llevado
al reposo isoentrópicamente, entonces, la presión p1 para la primera iteración se despeja
de la relación de temperaturas para un proceso de compresión isoentrópico, definida entre
la presión estática p1 y la presión de estancamiento p01, es decir
γ 1.4γ 1 1.4 1
1,11,1 01
01
T 286.456p =p = 1.1 =0.992 bar
T 295
Ahora, al repetir el mismo procedimiento iterativo hasta que c1,i=c1,i+1, para i=1, 2, 3, .., n,
en la Tabla 3.3 se muestra el valor de las variables ρ, c, T y p para 8 iteraciones, apreciando
que los valores convergen a partir de la sexta iteración.
Tabla 3.3 Valores de la densidad, velocidad, temperatura y presión para cada iteración.
Iteración (i) ρ1,i (kg/m3) c1,i (m/s) T1,i (K) p1,i (bar)
1 1.296 130.984 286.456 0.992
2 1.204 140.971 285.103 0.976
3 1.190 142.649 284.866 0.973
4 1.188 142.946 284.824 0.973
5 1.187 142.999 284.816 0.973
6 1.187 143.008 284.815 0.973
7 1.187 143.010 284.815 0.973
8 1.187 143.010 284.815 0.973
Con un valor de la velocidad absoluta que ha convergido a 143.010 m/s y, retomando las
expresiones anteriormente establecidas para los ángulos de álabe en la raíz y punta del ojo
de admisión, se tienen respectivamente:
-1 -111
1
c 143.010β =Tan Tan 46.30
U 136.659
-1 -11punta
punta
c 143.010β =Tan =Tan =27.62°
U 273.319
Con c1 ya conocida, se fija la velocidad relativa W1 a la que entra el flujo de fluido al
compresor, por lo tanto, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de velocidades de
la Figura 3.17a, se tiene que
143.010 136.659
2 2 2 2
1 1 1
mW = c + U + 197.807
s
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
102
Dando un ángulo de ataque α1 a la raíz del ojo de admisión de
-1 -111
1
U 136.659α =Tan Tan 43.70
c 143.010
Con respecto a la Figura 3.17b, la velocidad relativa en la punta del ojo de admisión es:
143.010 273.319 22 2 2
punta 1 punta
mW = c + U + 308.472
s Con un ángulo de ataque
punta-1 -1
punta
1
U 273.319α =Tan Tan 62.38
c 143.010
Implícitamente se ha estado considerando una velocidad angular (ω) constante
-1ω=2πN=2π 290.0 =1822.124 s
El gasto volumétrico a la entrada del ojo de admisión
3
2 2 2
1 1 punta 1 1
π π mG=A c = D D c 0.3 0.15 143.010 7.580
4 4 s
Para determinar cuál es la curvatura de los álabes del inductor, sólo basta con hacer la
comparación correspondiente entre β1 y βpunta, si se considera una velocidad angular en
dirección horaria y siendo βpunta< β1, se concluye que se trata de álabes curveados hacia
atrás. En la Figura 3.18 se han trazado a escala y en forma compacta a los dos primeros
triángulos de velocidades, correspondientes sólo al ojo de admisión, mostrando que la
magnitud del vector de la velocidad relativa aumenta cuando aumenta la velocidad
periférica, como consecuencia de un aumento en el radio, aun cuando se mantiene
constante la velocidad a la que entra el flujo de fluido al compresor.
Figura 3.18 Triángulos de velocidades sin prerrotación para el ojo de admisión.
El valor de las propiedades termodinámicas del estado 1, se calculan con un método;
Escala: 50.0 m/s = 1.0 cm.
c 1=
142.9
β1=46.3° βpun=27.6°
° Wpun=308.4 W1=197.8
U1=136.6 Upun=273.3
α1=43.7°
αpun=62.3°
rpun
r1 ω
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
103
Aunque el procedimiento del método iterativo asegure la convergencia de los valores, se
prosigue a encontrar expresiones con las cuales se determinen tales propiedades, sin hacer
uso de tal método.
El número de Mach definido como la relación entre la velocidad relativa (c) y la velocidad
sónica (conda) es:
11
1,onda
cM =
c (3.24)
Y velocidad sónica como:
a1,onda 1c = γR T
La ecuación de continuidad en términos del número de Mach es:
1 1 1 1 1,ondam=ρ A c =ρ AM c
o bien
a1 1 1m=ρ A M γR T (3.59)
De la ecuación de estado del gas ideal, se tiene que la densidad es igual a
a
11
1
pρ =
R T
que al sustituir en la ecuación (3.59), queda
a
a a
1 1 11 1
1 1
p p AMm= AM γR T = γ
R T R T
La expresión anterior se puede escribir como sigue:
a 11
1
m R T=M γ
p A (3.60)
La relación entre la temperatura de estancamiento y la temperatura estática se expresa en
función del número de Mach como:
2011
1
γ 1T=1+ M
T 2
(3.27)
Mientras que, la relación de presiones es:
γ
γ 1201
1
1
γ 1p= 1+ M
p 2
(3.28)
Sustituyendo la temperatura y la presión estática en la ecuación (3.60), se obtiene
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
104
a
γ
γ 12
01 1
1
201 1
γ 1m R T 1+ M
2=M γ
γ 1p A 1+ M
2
factorizando
1
2a
γ γ+1
γ 1 2 γ 101 2 2
1 1 1 1
01
m R T γ 1 γ 1=M γ 1+ M M γ 1+ M
p A 2 2 (3.61)
La ecuación (3.61) es útil, sí se establece un número de Mach máximo y se requiere
conocer alguna de las variables del primer miembro de la ecuación (3.61), fijando el resto
de las variables. Para aprovechar al máximo la información que pueda dar esta ecuación,
se hace lo siguiente: si el calor específico se define como:
a
p
γRC =
γ 1 despejando al índice adiabático
1
ap
γ=R
1C
sustituyendo en la ecuación (3.61), queda que
1
aa
a
γ+1
2 γ 1p
p01 211
01
p
C
C Rm R T M1 M
p A 2R1
C
reagrupando términos [14], se obtiene la siguiente expresión
a
a
a
γ+1
2 γ 1
201 1 1
p01
p
m R T M M1
Cp A R1 2 1
C R
(3.62)
Con un valor del índice adiabático de 1.4, se tiene que la relación entre el calor específico
y la constante particular del aire es:
3.51 1.4 1a
pC γ 1.4
R γ
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
105
De acuerdo a las características proporcionadas por el problema
a a
01 01
2 201 01 punta 1
m R T 4m R T
p A p π D D (3.63)
Sustituyendo los valores correspondientes
5
9 287.7 2950.45
1.1 10
a
01
2 2 2 201 punta 1
44m R T
p π D D π 0.3 0.15
De esta manera, es posible determinar el número de Mach absoluto a la entrada del ojo de
admisión, aun sin conocer la velocidad c1 para un Cp/Ra constante, esto se muestra en la
Figura 3.19, en donde se puede observar que, en el estado 1le corresponde un valor del
número de Mach de 0.422.
Figura 3.19 Número de Mach de acuerdo a las características del compresor.
Ahora, se determina el valor de la velocidad absoluta, c1, la presión estática y la
temperatura estática. Para la presión estática se tiene la siguiente expresión:
a
011
2 41 1
m R Tp =
γ 1A γ M + M
2
(3.64)
O bien, de la siguiente expresión:
γ γ
γ 1 γ 122
1 01 1
γ 1 1.4 1p =p 1+ M 1.1 1+ 0.422 0.973 bar
2 2
La temperatura estática vale:
(Cp/Ra)=3.5
Estado 1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Número de Mach
a 01
01
m R T
p A
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
106
1 1
22
1 01 1
γ 1 1.4 1T T 1+ M 295 1+ 0.422 284.815 K
2 2
Por consiguiente, la densidad del fluido a la entrada del compresor
50.973 101.1
287.7 284.815a
1
1 31
p kgρ = 87
R T m
Al despejar a la velocidad absoluta c1 de la ecuación (3.24), y sustituyendo a la
temperatura estática en términos de la temperatura de estancamiento, se tiene que
a
011 1
21
γR Tc =M
γ 11+ M
2
(3.65)
sustituyendo valores
287.7 295.0
1.40.422
a
011 1
221
1.4γR T mc =M 0.422 =143.010
sγ 1 11+ M 1+
2 2
Nótese que los valores obtenidos para la ρ1, p1, T1 y c1 son iguales a las que se obtuvieron
a través del método iterativo, por otra parte, las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.65) están en
función del número de Mach; la Figura 1.20 muestra el comportamiento de éstas,
marcando los valores respectivos para un número de Mach de 0.422, además, se observa
que cuando aumenta M1 también lo hace la velocidad absoluta, sin embargo disminuye la
presión estática, la temperatura estática y la densidad estática.
Figura 3.20 Variación de la presión, temperatura y velocidad en función de M1.
0
55
110
165
220
275
330
0.5
0.7
0.8
1.0
1.1
1.3
1.4
0 0.25 0.5 0.75 1
M1
p(b
ar);ρ
(kgm
3)
T(°C
); c
(m
/s)
c1
p ρ1
T1c
T
ρ
p1
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
107
c) La profundidad axial de los canales del impulsor en la periferia del impulsor.
Debe procurarse, que la variación de la velocidad del flujo a través del canal, sea lo más
uniforme posible, evitando que se produzcan desaceleraciones locales en la cara posterior
del álabe, que pueden entrañar una separación de flujo. Alcanzar este objetivo sólo puede
comprobarse mediante pruebas con la máquina, ya que los resultados teóricos obtenidos,
no son lo suficientemente realistas, como para poderlos utilizar directamente en el diseño,
por lo tanto, para estimar dicha profundidad de los canales (d2) (ver Figura 3.21), debe
hacerse mediante algunas suposiciones basadas en la experiencia práctica de los
diseñadores, en la recopilación y análisis cualitativos de los resultados.
Figura 3.21 a) Representación del acanalado axial en la periferia a la salida del impulsor y
b) Área perpendicular a la dirección de la velocidad radial cR2.
Para ello, se plantean las siguientes suposiciones [17]:
Según los proyectistas, el valor que se espera de la velocidad radial a la salida del
impulsor es aproximadamente igual a la velocidad axial con la que entra al
compresor el flujo de fluido, es decir
R2 a1c c
Debido a que la densidad a la salida del impulsor determina el área por la que fluirá
el flujo de fluido en dirección a la entrada del difusor, es necesario considerar un
valor de densidad lo más real posible, para evitar un mal diseño, que cause
inestabilidad en el compresor durante la rotación, por lo tanto, se consideran las
pérdidas en el rotor y en el difusor.
La ecuación de continuidad a la salida del impulsor es:
2 2 R2m=ρ A c
a) b)
ω
2πr2
2
2 R2
mA =
ρ c
D2
cR2
cR2 cR2
cR2
cR2
cR2
cR2
cR2
d2
2 c1=ca1
c R2=
c a1
D2
d2
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
108
y de acuerdo a la primera suposición planteada, para este inciso del problema, que la
componente radial cR2 es igual a la componente axial a la entrada del compresor (ver
Figura 3.17a), como la dirección de la velocidad del flujo del fluido a la entrada del
compresor es totalmente axial, se tiene
R2 a1 1c c c
El área normal al flujo del fluido a la salida del compresor (ver Figura 3.19b) es:
2 2 2A 2πr d
Entonces, el ancho del acanalado es:
2
2 R2 2
md =
ρ c πD (3.66)
La densidad del fluido a la salida del impulsor es:
22
2
pρ =
R Ta
(3.67)
La temperatura estática del fluido en el estado dos vale:
2 2
2 22 02 03
p p
c cT =T T
2C 2C (3.68)
Es importante resaltar que la temperatura estática dada por la ecuación (3.68), no
corresponde a la temperatura ideal al final del proceso de compresión (T2s) del impulsor,
si fuese el caso en que se considera a la temperatura T2s en lugar de T2, aun cuando la
variación sea mínima, entonces, con el mismo incremento de la temperatura dinámica,
daría como resultado una temperatura mayor a la temperatura de estancamiento T02s, pero
menor a T02, debido a la divergencia de las isobaras correspondientes, además de que la
presión de estancamiento sería mayor a p02.
Por lo tanto, se concluye, que efectivamente la temperatura estática de la ecuación (3.68)
es la temperatura real del fluido al final del proceso de compresión en el impulsor.
Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por c2, cu2 y cm2 del
triángulo de velocidades a la salida del impulsor, mostrado en la Figura 3.17c, la
velocidad absoluta c2 es:
2 2
2 R2 u2c = c + c
si la velocidad tangencial cu2 es:
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
109
0.9 455.531 409.978 u2 2
mc = U
s
entonces
409.978 434. 2 2 2 2
2 1 2
mc = c + U 143.010 + 205
s
Ahora, para el triángulo de velocidades formado por (U2-cu2), W2 y cm2 mostrado en la
Figura 3.17c, la velocidad relativa W2 es:
455.531 150. 2 22 2
2 R2 2
mW = c + U 1-ς 143.01 + 1-0.9 09
s El ángulo de álabe que se forma entre el vector de la velocidad relativa W2, y el vector de
la velocidad radial cR2 es:
2 72.33455.531
-1 -1R2
2
c 143.01β =Tan Tan
U 1 ς 1 0.9
Con un ángulo de ataque
2-1 -1
2
R2
U 1 σ 455.531 1 0.9α =Tan Tan 17.66
c 143.01
Los triángulos de velocidades para el ojo de admisión, al igual que el de la salida del
impulsor, se han trazado a escala con sus ángulos de álabe y de ataque, respectivos, en la
Figura 3.22.
Figura 3.22 Triángulos de velocidades para el compresor del caso práctico 3.3.
Escala: 100.0 m/s = 1.5 cm.
α2=17.6°
Salida del Difusor
c R2=
14
3.0
β2=72.3°
Raíz del ojo de admisión
Salida del Impulsor
Punta del ojo de admisión
c2=434.2
cu2=409.9
W2=150.0
U2=455.5
Wpun=308.4
W1=197.8
U1=136.6
Upun=273.3
c 1=
143.0
c 1
=143.0
β1=46.3°
βpun=27.6
°
αpun=62.3°
α1=43.7°
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
110
La misma Figura 3.22 muestra que la velocidad absoluta máxima alcanzada por el flujo
del fluido es a la salida del impulsor, justificando el porque es la parte del compresor en la
que se debe tener cuidado con el número de Mach, cuando ya se tiene un tipo de difusor
en específico, y de esta manera, evitar pérdidas de presión mayores.
El incremento de temperatura (temperatura dinámica) que se produce cuando se lleva al
flujo del fluido del estado estático al estado de estancamiento es:
22
2
p
434.205c93.891 K
2C 2 1004T
La temperatura equivalente del trabajo es:
222
03 01
p
ψςU 1.04 0.9 455.531T T = = =193.454 K
C 1004
Entonces, la temperatura de estancamiento a la salida del compresor vale:
22
03 01
p
ψςUT =T =295+193.454=488.454 K=215.304 °C
C
Sustituyendo en la ecuación (3.68) la temperatura de estancamiento T03, y la contribución
de la temperatura dinámica para llegar al estado de estancamiento 02, se tiene que
2T =488.454 93.891 394.563 K=121.413 °C
Con respecto a la segunda suposición, las pérdidas totales son
Pérdidas Totales = Pérdidas en el Impulsor + Pérdidas en el Difusor
Con la finalidad de poder obtener las presiones restantes, y poder bosquejar el diagrama
de Mollier idealizado, se deben considerar las pérdidas en los dispositivos. En una hoja de
cálculo de Excel, se realizaron corridas para determinar las pérdidas en el impulsor y en el
difusor, con base a estos resultados se encuentra la siguiente expresión:
Pérdidas Totales 0.65 Impulsor 0.35 Difusor
La pérdida en el impulsor se expresa en términos de la eficiencia isoentrópica de
compresión (ηSIC) como:
SICPérdidas en el Impulsor 0.65 1 η (3.69)
Para el caso del compresor en estudio, se tiene que
Pérdidas en el Impulsor 0.65 1 0.78 0.143
La eficiencia efectiva se define como:
efeη 1 Pérdidas en el dispositivo (3.70)
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
111
O bien, como la relación entre los trabajos de compresión ideal y real
1
γ 1
γ02
p 01
01
efec,imp 22
pC T
p
η =ψςU
(3.71)
La eficiencia efectiva para el proceso de compresión que va desde p01 hasta p02 es:
efe,impη 1 0.143 0.857
Las pérdidas para el difusor son:
Pérdidas en el Difusor 0.35 1 ηSIC
para una ηSIC dada
Pérdidas en el Difusor 0.35 1 0.78 0.077
Entonces, la eficiencia efectiva del difusor vale
efe,difη 1 0.077 0.923
La relación de presiones del impulsor, (p02/p01), se obtiene de la ecuación (3.71),
obteniendo un valor de
1.4 10.8574.763
295
1 1.42 X
efe,imp 202imp
01 p 01
η ψςU 193.454pπ = = +1 +1
p C T
La presión de estancamiento para el estado de estancamiento 02 resulta ser:
4.763 1.1 5.239 02 imp 01p π p bar
La temperatura de estancamiento T02 vale
22
02 03 01
p
ψςUT =T =T =488.454 K=215.304 °C
C
De la relación de temperaturas para un proceso isoentrópico de compresión, la presión
estática p2 vale
γ 1.4
γ 1 1.4-102
2 02
2
T 488.454p p = 5.239 2.482 bar
T 394.563
La densidad del fluido de trabajo en el estado dos es:
5
22 3
2
p (2.482×10 ) kgρ = = =2.186
R T (287.7) 394.563 ma
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
112
El ancho del acanalado se obtiene de la ecuación (3.66), y vale:
2
9d = 0.018 m=1.832 cm
2.186 143.01 π 0.5
La Figura 3.23 muestra una representación gráfica del Diagrama de Mollier de un
compresor de un solo escalonamiento, observando de que la entalpía de estancamiento en
el difusor es constante, es decir: h03=h02, también, para todo el proceso de compresión que
va desde la entrada el impulsor hasta la salida del difusor, el valor del índice politrópico n
es considerado como constante.
Figura 3.23 Diagrama de Mollier representativo para un compresor centrífugo.
Estado 01
La densidad de estancamiento vale:
p1
p01
p2
p02
p03
01
2s
03s
´03
02s
02p3
1
2
03
3
´3
3sEnta
lpía
Entropía
2
2
1c
2
2
3
1c
2
2
1
1c
2
Impulsor
Difusor
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
113
5
0101 3
01
p (1.1×10 ) kgρ = = =1.296
R T (287.7) 295 ma
Estado 2s
La temperatura del fluido a la salida del impulsor es:
γ 1 1.4 1
γ 1.42
2s 1
1
p 2.482T =T = 284.815 372.216 K=99.066 °C
p 0.973
La densidad del aire en el estado dos, para un proceso de compresión isoentrópico es
5
22
10
287.7s
a
32s
2.482p kgρ = = =2.318
R T 372.216 m
Estado 02
La densidad de estancamiento del aire a la salida del impulsor es:
5
0202 3
02
p (5.239 ×10 ) kgρ = = =3.728
R T (287.7) 488.454 ma
Estado 02s
La temperatura de estancamiento para un proceso de compresión isoentrópico vale:
γ 1 1.4 1
γ 1.402
02s 2s
2
p 5.239T =T = 372.216 460.79 K=187.64 °C
p 2.604
La densidad de estancamiento a la salida de la compresión isoentrópica del impulsor vale:
5
0202s 3
02s
p (5.239 ×10 ) kgρ = = =3.952
R T (287.7) 460.79 ma
El triángulo de velocidades para la salida del impulsor, que se ha mostrado en la Figura
3.22, corresponde al estado final del proceso de compresión politrópico para el impulsor,
en donde, el cambio de entalpía del proceso de compresión politrópico es mayor que el
del proceso isoentrópico, como consecuencia de la fricción del flujo de fluido al paso por
la máquina, o gráficamente, sería por la divergencia de las isobaras implicadas.
Considerando al proceso de compresión como isoentrópico y siendo la misma presión de
estancamiento p02 que se desea obtener, aun cuando la temperatura se reduce, la velocidad
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
114
absoluta con la que sale el flujo del fluido, c2s es menor a c2.
Para esta velocidad isoentrópica c2s, la temperatura de estancamiento para el estado 2s, es:
2
2s02s 2s
p
cT =T +
2C
despejando a c2s, y sustituyendo valores
2 p 02s 2
mc = 2C T T 2 1004 460.79 372.216 421.73
ss s
Al comparar a la velocidad absoluta c2s con la velocidad absoluta c2, se tiene que
2s 2
m m421.73 c < c 434.205
s s
Hay una diferencia del 2.873 %, si se considera a la velocidad c2s en lugar de c2.
Esta diferencia de la velocidad c2 con c2s se refleja en la componente radial (cR2), ya que la
velocidad tangencial cu2 está en función del factor de deslizamiento (σ), por lo tanto, del
triángulo de velocidades mostrado en la Figura 3.17c, la velocidad radial cR2s vale:
2 421.73 0.9 455.531 98.864s 2 2 2 2
R2s 2
mc = c U
s
Haciendo la comparación, se encuentra que la velocidad radial isoentrópica es menor que
la velocidad radial real.
R2s R2
m m98.864 c < c 143.01
s s
La velocidad relativa isoentrópica se define vectorialmente como:
2s 2s 2W =c U
Entonces, con la velocidad absoluta c2 menor, y con una velocidad periférica constante, la
velocidad relativa disminuye, y vale
1 98.864 455.531 1 0.9 108.854 2 22 2
2s R2s 2
mW = c U
s
La profundidad axial del acanalado se obtiene nuevamente de la ecuación de continuidad
2s
2s R2s 2
m (9)d = 0.025 m=2.5 cm
ρ c πD 2.318 98.864 π 0.5
Comparando las profundidades axiales del acanalado, se encuentra que el d2s es mayor
que d2.
2 2s0.018 m=d < d =0.025 m
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
115
El área normal al flujo al final de la compresión isoentrópica es:
2
2s
2s R2s
m 9A = =0.039 m
ρ c 2.318 98.864
También el área A2s es mayor que el área A2. 2 2
2s 20.039 m =A >A =0.029 m
Al comparar las áreas, se toma sentido del por qué al considerar una velocidad absoluta c2
idealizada, modifica las dimensiones del diseño del compresor, dando un error del
36.46%, es decir, que el área real a la salida del impulsor debe ser menor que el del
proceso de compresión idealizado, esto es como consecuencia de que la temperatura real a
la salida del impulsor es mayor que la isoentrópica, por ende, se tiene una densidad
menor, que al hacer el producto con la velocidad radial (también disminuida) se obtiene
un valor menor, entonces, el área transversal para un proceso isoentrópico con flujo
másico constante, es mayor que la real, pero no sólo se ven modificadas las dimensiones
de la profundidad axial, sino que también tiene que ver con el número de álabes, como se
muestra más adelante.
La comparación para los gastos volumétricos es:
3 3
2s 2
m m3.883 =G < G =4.116
s s
Una disminución de la velocidad radial a la salida del impulsor, da como consecuencia
una reducción del ángulo de álabe correspondiente, donde β2s es:
2
98.86465.26
455.531s
-1 -1R2s
2
cβ =Tan Tan
U 1 ς 1 0.9
comparando los ángulos de álabe
2 265.26 72.33s β < β
comparando los ángulos de ataque
24.74 17.67 2s 2α > α
En la Figura 3.24 se muestra al triángulo de velocidades para el proceso de compresión
isoentrópico, donde se ha sobrepuesto al triángulo de velocidades para el proceso
politrópico, observando como una disminución de la velocidad absoluta c2, reduce a la
velocidad radial de cR2 a cR2s, y como consecuencia hay una disminución en la velocidad
relativa (W), al igual que el ángulo de álabe (β), aunque hay un incremento en el ángulo
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
116
de ataque (α) formado entre las velocidades radial y relativa.
Figura 3.24 Triángulo de velocidades a la salida del impulsor (isoentrópico y politrópico).
Estado 03
Conocida la relación de presiones total del compresor, la presión de estancamiento es:
03 01 ip =p π =1.1 4.246 =4.67 bar
La densidad de estancamiento a la salida del difusor es:
5
0303 3
03
p (4.670×10 ) kgρ = = =3.323
R T (287.7) 488.454 ma
Estado ´03
Para un proceso de compresión isoentrópico, la temperatura de estancamiento a la salida
del compresor es:
γ 1 1.4 1
γ 1.403
03 2
2
p 4.670T´ =T = 394.551 =472.664 K = 199.513 °C
p 2.482
La densidad de estancamiento a la salida del compresor para un proceso de compresión
isoentrópico es:
5
0303
10
287.7a
303
4.670p kgρ´ = = =3.434
R T´ 472.664 m
Estado 03s
Para un proceso de compresión isoentrópico, la temperatura de estancamiento a la salida
del compresor es:
Escala: 100.0 m/s = 2.5 cm.
c R2s=
98
.8
Salida del Impulsor
W2s=108.5 α2=17.6
°
α2s=24.7° c R
2=
14
3
β2=72.3°
c2=434.2
cu2=409.9
W2=150
U2=455.5
β2s=65.2
°
c2s=421.7
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
117
γ 1
1.4 1γ03 1.4
03s 01
01
pT =T = 295.0 4.246 =445.894 K = 172.744 °C
p
con una densidad de
5
0303
10
287.7s
a
303s
4.670p kgρ = = =3.640
R T 445.894 m
Estado 3
Corresponde a la salida del difusor, que es después de haber pasado por la sección sin
álabes y con álabes, entonces, para este estado se desconoce cualquier propiedad
termodinámica, sin embargo, de las siguientes relaciones de temperaturas n 1
n3 3
1 1
T p=
T p
(3.72)
γ 1
γ03 03
3 3
T p=
T p
(3.73)
Al aplicarles logaritmo natural a ambas ecuaciones, se tiene que
33 1
1
pn 1ln T ln T ln
n p
(3.74)
033 03
3
pγ 1ln T ln T ln
γ p
(3.75)
El sistema de ecuaciones algebraico no lineal que se forma de las ecuaciones (3.74) y
(3.75), no tiene una solución viable algebraicamente, además de no ser obvio cuál es el
valor aproximado de la presión estática p3 que se está buscando, esto conduce a aplicar un
método de prueba y error, en donde se busca un valor de p3, que al ser sustituida en las
expresiones (3.76) y (3.77) de un mismo valor para la temperatura T3. n 1
n3
3 1
1
pT =T
p
(3.76)
033 γ 1
γ03
3
TT
p
p
(3.77)
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
118
La metodología que se aplica, para obtener el valor de la temperatura estática real a la
salida del difusor (T3), en cuando se ha propuesto un valor para p3 incorrecto, es el
siguiente:
1. Se propone un valor inicial para la presión p3,i, que debe estar acotada entre la
presiones p03 y p2, se recomienda que p3 sea el promedio, por ejemplo: para la
primer iteración, se tendría:
1 03,i-13,i
p +pp =
2
2. Se sustituye a p3,i en las ecuaciones (3.76) y (3.77), si resultan iguales, entonces, el
valor que se ha propuesto para p3, es la presión del flujo del fluido a la salida del
difusor, por el contrario, si n 1
n3 03
1 γ 1
1 γ03
3
p TT
pp
p
entonces, p3 se debe incrementar, teniendo cuidado que p3 sea menor a p03, o bien, sí n 1
n3 03
1 γ 1
1 γ03
3
p TT
pp
p
entonces, p3 debe reducirse, teniendo cuidado que p3 sea mayor a p2, este
procedimiento se reitera hasta que se tenga n 1
n3 03
1 γ 1
1 γ03
3
p TT
pp
p
Cada una de las variables que se requiere para aplicar la metodología anterior, se conocen
con excepción del índice politrópico, n, para el proceso de compresión que va del estado 1
al estado 3, para dar solución a este problema, se aplica logaritmo natural a ambos
miembros de la ecuación de la relación politrópica, entre las temperaturas T2 y T1.
2 21ln ln 1 1
T pn=
T n p
Al despejar al índice politrópico de la expresión anterior, se obtiene
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
119
2
2
1
ln
1
ln
1
1
nT
T
p
p
(3.78)
Sustituyendo los valores respectivos para T y p, se tiene un valor para n igual a
11.533
ln
1
ln0.973
n394.563
284.815
2.482
Con un valor del índice politrópico n=1.533 para el proceso de compresión del estado 1 al
estado 2, o bien, del estado 1 al estado 3, se puede aplicar la metodología planteada para
encontrar p3.
Primera iteración
Se toma como un primer valor inicial de p3 al promedio de las presiones p1 y p03, es decir:
1 033,1
p +p 0.973+4.67p = = =2.821 bar
2 2
sustituyendo en las ecuaciones (3.52) y (3.53)
n 1 1.533 1
n 1.5333,1
1
1
p 2.821T 295 412.558 K
p 0.973
03
γ 1 1.4 1
γ 1.403
3,1
T 488.454422.953
4.67p
2.821p
como
n 1
n3,1 03
1 γ 1
1 γ03
3,1
p TT
pp
p
Se debe aumenta a p3, siendo ahora la cota inferior igual a p3,1 y la cota superior igual a p03
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
120
Segunda iteración
03 03,13,2
p +p 2.821+4.67p = = =3.746 bar
2 2
dando un valor para las ecuaciones (3.52) y (3.53)
n 1 1.533 1
n 1.5333,2
1
1
p 3.746T 295 455.312 K
p 0.973
03
γ 1 1.4 1
γ 1.403
3
T 488.454458.623 K
4.67p
3.746p
Con un p3,2>p3,1, debe aumentarse p3, siendo ahora la cota inferior igual a p3,2 y la cota
superior igual a p03 que permanece fija, esto es coherente porque p03 es la presión de
estancamiento que se encuentra separada de p3 por una distancia igual a la contribución de
la energía cinética, con respecto a la velocidad absoluta c3.
Para la tercera iteración, se realiza el mismo procedimiento, mostrando en la Tabla 3.4 el
valor de la presión estática p3 para cada una de las iteraciones, al igual que los valores de
la temperatura T3 de las ecuaciones (3.76) y (3.77), con lo cual se hace la comparación
respectiva de T3 y concluir si se requiere aumentar o disminuir a p3, para poder hacer
converger a p3; p3 converge en la cuarta iteración, tomando un valor de p3=4.208 bar, y
que efectivamente es mayor a p2, como consecuencia de la transformación de la energía
cinética a energía de presión.
Tabla 3.4 Valores para la presión estática p3 en cada una de las iteraciones (Caso 3.3).
Iteración (i) p3,i-1 (bar) T3 (K) ecuación (3.52) T3 (K) ecuación (3.53)
1 2.821 412.558 422.953
2 3.746 455.312 458.623
3 4.208 474.123 474.125
4 4.208 474.123 474.125
5 4.208 474.123 474.125
6 4.208 474.123 474.125
Estado 3
El valor de la temperatura estática T3 que arroja el método iterativo es:
3T =474.126 K=200.976 °C
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
121
La densidad estática del aire a la salida del difusor vale
287.7a
5
33 3
3
4.208 10p kgρ = = =3.085
R T 474.126 m
Estado ´3
Para un proceso de compresión isoentrópico, la temperatura de estancamiento a la salida
del difusor es:
γ 1 1.4 1
γ 1.43
3 2
2
p 4.208T´ =T = 394.563 =458.798 K =185.65 °C
p 2.482
La densidad estática a la salida del difusor es:
5
33
10
287.7a
33
4.208p kgρ´ = = =3.188
R T´ 458.798 m
Estado 3s
Para un proceso de compresión isoentrópico, la temperatura a la salida del compresor es
γ 1 1.4 1
γ 1.43
3s 1
1
p 4.208T =T = 284.815 =432.816 K =159.666 °C
p 0.973
La densidad a la salida del compresor
5
33
10
287.7s
a
33s
4.208p kgρ = = =3.379
R T 432.816 m
Estado 3,int
Los difusores de las máquinas centrífugas pueden o no tener álabes (ver Figura 3.25).
Además de convertir la energía cinética a un incremento de presión, también recogen al
fluido para ser guiado a la siguiente etapa o al sistema de tuberías.
La parte común para cualquier tipo de difusor es la cámara espiral, en donde el área
transversal al flujo de fluido se incrementa a lo largo de la periferia del impulsor; como el
flujo en estos dispositivos es muy complejo y los efectos viscosos dominan al flujo, es
conveniente hacer análisis más simples, para obtener el desempeño total del difusor, por
esto se emplean las ecuaciones de continuidad unidimensional y de movimiento, que se
pueden usar, para obtener la relación de presión estática.
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
122
a) Voluta simple b) Difusor con álabes c) Difusor sin álabes
Figura 3.25 Difusores usados en compresores centrífugos.
El tipo de difusor que se emplea en este caso práctico es con álabes (ver Figura 3.16); para
ello se anexan los siguientes datos al compresor del caso tratado.
Anchura media del espaciado sin álabes Δresp= 0.05 m
Radio medio aproximado de la garganta del difusor r3,med=0.33 m
Número de álabes del difusor ndif= 12 álabes
Al igual que en el impulsor, se hace la suposición de que la pérdida de carga
suplementaria, que se produce en la corta distancia, que separa a la sección de salida del
rodete de la garganta del difusor (entre r2 y r3) es pequeña, y por lo tanto, se puede
considerar que antes de la garganta, se ha tenido el 35 % de la pérdida total.
Las ecuaciones básicas (para flujo no viscoso unidimensional) que gobiernan el flujo en
un difusor sin álabes son:
urc Cte
(3.79)
Rc 2πrh Cte
(3.80)
donde h es la anchura del ducto, y es constante para el problema tratado.
Con un espaciado sin álabes Δresp= 0.05 m, entonces
3,int 2 espr r + r 0.25 0.05 0.3 m
Por conservación de momento angular, se tiene que
u2 2 u3,int 2 espc r c r + r
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
123
entonces
2
u3,int u2
2 esp
r 0.25 mc c 409.978 341.648
0.3 sr + r
La componente radial de la velocidad absoluta c3,int, se obtiene al aplicar la ecuación
(3.80), en donde d2=d3,int=d, entonces
2
R3,int R2
2 esp
r 0.25 mc c 143.010 119.175
0.3 sr + r
La magnitud de la velocidad absoluta c3,int vale
3,int 119.175 361.837 2 2 2 2
u3,int R3,int
mc = c + c 341.648 +
s
A través del espaciado sin álabes, la disminución de la velocidad absoluta es
2
434. 361.837100 100 16.66
434.
2 3,int
3,int
2
c c 205c (%) %
c 205
Considerando el un aumento en el radio, la velocidad periférica vale
3,int 3,int
mU =πND = π 290 0.5+2 0.05 =546.637
s
Una disminución de la velocidad absoluta del flujo de fluido para un proceso de difusión,
en donde la temperatura de estancamiento se mantiene constante durante todo el proceso,
implica los siguientes cambios:
Una disminución de la presión de estancamiento.
Un incremento en la presión estática.
Un incremento en la temperatura estática.
Una disminución de entalpía entre el estado estático y el estado de estancamiento.
El Δh entre el estado estático 3,int y la isoentálpica h02, está dado de la siguiente manera
2
3,int
03 3,int
ch h =
2 (3.81)
sustituyendo valores
2
361.837 03 3,int
kJh h = 65.463
2 kg
La temperatura en cualquier punto de la periferia a la entrada de la sección del difusor con
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
124
álabes, se obtiene al expresar al Δh de la ecuación (3.80) en términos de las temperaturas,
resultando que
2
488.4541.004
3,int
3,int 03
p
c 65.463T =T 423.252 K=150.102 °C
2 C
p3,int se despeja de la relación de temperaturas para una compresión isoentrópica.
γ 1.4
γ 1 1.4 13,int
3,int 2
2
T 423.252p =p = 2.482 =3.037 bar
T 394.563
La densidad es igual a
5
3,int
3,int
10
287.7a
33,int
3.037p kgρ = = =2.494
R T 432.816 m
El área de la sección transversal del flujo en la dirección radial es:
0.3 0.018 23,int 2 esp 2A =2π r + r d =2π =0.035 m
Sí cR3,int=119.175 m/s, el ángulo del borde de ataque de los álabes del difusor para que la
incidencia sea nula debe ser:
119.17519.23
R3,int-1 -13,int
u3,int
cθ =Tan Tan
c 341.648
Estado 3,int(s)
El valor de la temperatura estática es:
γ 1 1.4 1
γ 1.43,int
3,int(s) 1
1
p 3.037T =T = 284.815 =394.299 K =121.149 °C
p 0.973
Y la densidad es:
5
3,int
3
10
287.7a
,int(s) 3
3,int(s)
3.037p kgρ = = =2.677
R T 394.299 m
Estado 3,med
La ubicación de este estado para r=r3,med, se dirige a la salida del difusor con álabes, donde
el flujo de fluido es dirigido al siguiente escalonamiento o sistema de tuberías a través de
la voluta del difusor, o simplemente a la zona de descarga. Por conservación del momento
angular, se tiene que
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
125
2
u3,med u2
3,med
r 0.25 mc c 409.978 310.589
0.33 sr
Enseguida, se prosigue con un método de prueba y error, donde la metodología es la
siguiente:
Se propone un valor para la velocidad cR3,med (siendo cR3,med<cR3,int).
La densidad es despejada de la ecuación de continuidad para un área A3,med fija.
Se obtiene la temperatura estática T3,med, de la definición de la temperatura de
estancamiento.
De la ecuación de estado del gas ideal se obtiene a p3,med.
La p3,med se obtiene de la relación de temperaturas para un proceso de compresión
politrópico, y así realizar la comparación.
La presión p3,med que se está buscando, es cuando, se tiene para los dos puntos
anteriores, un valor igual para la presión p3,med, de no ser así, se propone otro valor
hasta que converjan a un mismo valor.
Primera Iteración
El área de la sección transversal a la salida de los álabes del difusor se encuentra definida
a través de la siguiente expresión.
0.33 0.018 23,med 3,med 2A =2π r d =2π =0.037 m
La componente de la velocidad radial se puede determinar por prueba y error. Se inicia la
iteración partiendo de que el valor de cR3,med<cR3,int, suponiendo un valor de
cR3,med(1)=109.175 m/s, entonces, de la ecuación de continuidad
0 .3,med(1) 3
R3,med(1) 3,med
m 9 kgρ = =2.228
c A 1 9 175 0.037 m
La temperatura dinámica
2 22 2 2310.589
1004T
3,med(1) u3,med R3,med(1)
p p
c c c 109.17553.977 K
2 C 2 C 2
La temperatura estática para el estado estático es:
2
488.454 3,med(1)
3,med(1) 03
p
cT =T 53.977 434.478 K=161.328 °C
2 C
con una presión estática de
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
126
5
2.170 287.72.17
1 10a
3,med(1) 3,med(1) 3,med(1)
434.478p =ρ R T 0 bar
Ahora, para una relación politrópica, se tiene
1.533
1.533
2
2.482394.563
n
n 1 13,med(1)
3,med(1) 2
T 434.478p =p 3.274 bar
T
La presión dada por la ecuación de estado del gas ideal debe aumentar, ya que está por
debajo de la presión obtenida por la relación de compresión politrópica, de modo que,
para que converjan a un mismo valor, se debe disminuir la velocidad radial, los resultados
para la densidad, temperatura y presión se muestran en la Tabla 3.5.
Tabla 3.5 Valores de la densidad, temperatura y presión para distintos valores de cR3,med.
Iteración (i) cR3med(i)
(m/s) ρ3,med(i)
(kg/m3)
T3,med(i)
(K) p3,med(i) (Ecuación
de estado) (bar) p3,med(i) (Compresión
Politrópicas) (bar)
1 109.175 2.170 434.478 2.712 3.274
2 105.175 2.252 434.905 2.818 3.283
3 101.175 2.341 435.316 2.932 3.292
4 97.175 2.438 435.711 3.056 3.301
5 93.175 2.542 436.090 3.190 3.309
6 91.000 2.603 436.289 3.267 3.313
7 89.700 2.641 436.406 3.316 3.316
Estado 3,med(s)
El valor de la temperatura para una compresión isoentrópica es:
γ 1 1.4 1
γ 1.43,med
3,med(s) 1
1
p 3.316T =T = 284.815 =404.126 K =200.976 °C
p 0.973
La densidad es igual a
5
3
10
287.7
3,med
,med(s) 3a 3,med(s)
3.316p kgρ = = =2.850
R T 404.326 m
En la Tabla 3.6 se muestran los valores de la temperatura, presión, densidad y del
volumen específico para cada uno de los estados estáticos y de estancamiento, en los tres
puntos esenciales del compresor, es decir, a la entrada del ojo de admisión, a la salida del
impulsor y a la salida del compresor.
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
127
Tabla 3.6 Valores para las propiedades estáticas y de estancamiento a la entrada y salida del
impulsor, al igual que a la salida del difusor.
Estado Temperatura
(°C) Presión
(bar) Densidad
(kg/m3)
Volumen
específico (m3/kg)
1 11.665 0.973 1.187 0.842
01 21.850 1.100 1.296 0.772
2 121.413 2.482 2.186 0.457
2s 99.066 2.482 2.318 0.431
3,int 150.102 3.037 2.494 0.401
3,int(s) 121.149 3.037 2.677 0.374
3,med 163.256 3.316 2.641 0.379
3,med(s) 131.176 3.316 2.850 0.351
3 200.976 4.208 3.085 0.324
´3 185.650 4.208 3.188 0.314
3s 159.666 4.208 3.379 0.296
03 215.304 4.670 3.323 0.301
´03 199.514 4.670 3.434 0.291
03s 172.744 4.670 3.640 0.275
02 215.304 5.239 3.728 0.268
02s 187.640 5.239 3.952 0.253
La velocidad absoluta vale
2 2 2 2
3,med R3,med u3,med
mc = c + c 89.7 310.589 323.283
s
La dirección del flujo es:
89.716.1
R3,med-1 -13,med
u3,med
cθ =Tan Tan
c 310.589
El área de flujo en la dirección de la velocidad resultante, es decir, el área total de la
garganta de los conductos del difusor vale
0.01 2T,med 3,med 3,medA =A Sen θ 0.037Sen 16.1 m
Como hay 12 álabes en el difusor, la anchura de la garganta en cada uno de los ductos de
una profundidad de 0.018 m es:
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
128
0.04
0.018
T,med
2
A 0.01Anchura= = 7 m
12 d 12
La velocidad absoluta c3 del flujo de fluido a la salida del difusor, se obtiene de la
definición de la temperatura de estancamiento T03, definida con la ecuación (3.26), la
temperatura dinámica con la cual se alcanza el estado de estancamiento a la salida del
compresor es: 2
303 3
p
c=T T 488.454 474.126 14.328 K
2C
Despejando la velocidad absoluta c3 de la temperatura dinámica a la salida del compresor
y sustituyendo valores, resulta que
3 p 03 3
mc = 2C T T 2 1004 488.454 474.126 169.62
s
Conociendo las 5 presiones estáticas, las 3 presiones de estancamiento y las temperaturas
locales, es posible trazar el diagrama de Mollier (ver Figura 3.26), observando que las
presiones p02 y p03 están por arriba de las presiones p2 y p3, debido a la energía cinética
que posee el flujo de fluido en esos puntos en específico, en donde
1 3 3,med 3,int 2s 2c c c c < c < c
La temperatura de estancamiento se mantiene constante para el proceso ,del estado 02 al
estado 03, aun cuando la temperatura estática para el estado 3 sea mayor a la del estado 2,
por lo tanto, los saltos entálpicos para alcanzar los estados de estancamiento respectivos
son:
Del estado 1 al estado 01
22
1
1 1 kJc = 143.01 10.226
2 2 kg
Del estado 2s al estado 02s
22
2
1 1 kJc = 421.73 88.928
2 2 kgs
Del estado 2 al estado 02
22
2
1 1 kJc = 434.205 94.267
2 2 kg
Del estado 3int a la isoentálpica h02
22
3,int
1 1 kJc = 361.837 65.463
2 2 kg
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
129
Del estado 3med a la isoentálpica h02
22
3,med
1 1 kJc = 323.283 52.256
2 2 kg
Del estado 3 al estado 03
22
3
1 1 kJc = 169.62 14.385
2 2 kg
Figura 3.26 Diagrama de Mollier para el compresor de un escalonamiento del Caso 3.3.
p1
p01
p2
p02
p03
01
2s
03s
´0302s
02
p3
1
2
03
3
´3
3s
p3,med
p3,int
3,int
3,m
ed
3,int(s)
3,med(s)
260
310
360
410
460
510
560
5.57 5.67 5.77 5.87
Enta
lpía
[kJ
/kg]
Entropía [kJ/kgK]
2
1
1c =10.22
2
2
2
1c =94.26
2
2
3
1c =14.38
2
2
2
1c =88.92
2s
Imp
uls
or
Dif
uso
r
2
3med
1c =52.2
2
2
3,int
1c =65.4
2
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
130
En el diagrama T-s de la Figura 3.27 se han trazado las isotermas para cada uno de los
estados implicados, al igual que se marcan los incrementos de temperatura (temperatura
dinámica y temperaturas equivalentes al trabajo) cuando se lleva al flujo al reposo de
forma isoentrópica.
Figura 3.27 Diagrama de Mollier para el compresor del caso 3.3.
p1
p01
p2
p02
p03
01
2s
03s
´0302s
02
p3
1
2
03
3
´3
3s
Impulsor Difusor
p3,int
p3,med
3,int
3,m
ed
3,int(s)
3,med(s)
260
310
360
410
460
510
560
5.57 5.67 5.77 5.87
Tem
pe
ratu
ra [
K]
Entropía [kJ/kgK]
2
2
p
c=93.89
2C
2
2
p
c=88.92
2C
s
2
2
p
ψσU=193.45
C
2
1
p
c=10.18
2C
2
3
p
c=14.32
2C
2
3,med
p
c=52.0
2C
2
3,int
p
c=65.2
2C
Imp
uls
or
Dif
uso
r
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
131
El cambio de entropía para este compresor centrífugo de un solo escalonamiento, resulta
ser el mismo, si se toma como referencia a las propiedades de estancamiento o a las
propiedades estáticas.
3 33 1 p
1 1
T p 474.126 4.208 kJs s C ln R ln 1.004 ln 0.2877 ln 0.09
T p 284.815 0.973 kgKa
Del cambio de entropía total, el correspondiente al impulsor es:
2 22 1 p
1 1
T p 394.563 2.482 kJs s C ln R ln 1.004 ln 0.2877 ln 0.058
T p 284.815 0.973 kgKa
Para el proceso de difusión en la sección sin álabes
3,int 3,int
3,int 2 p
2 2
T p 423.252 3.037 kJs s C ln R ln 1.004 ln 0.2877 ln 0.012
T p 394.563 2.482 kgKa
En la sección con álabes
3,med 3,med
3,med 3,int p
3,int 3,int
T p 436.406 3.316 kJs s C ln R ln 1.004 ln 0.2877 ln 0.005
T p 423.252 3.037 kgKa
En la voluta del difusor
3 33 3,med p
3,med 3,med
T p 474.126 4.208 kJs s C ln R ln 1.004 ln 0.2877 ln 0.015
T p 436.406 3.316 kgKa
Para cada uno de los dispositivos del compresor, se tienen las siguientes relaciones de
presiones con respecto a las presiones estáticas.
Para el impulsor
2imp
1
p 2.482π = = =2.552
p 0.973
Para la sección del difusor sin álabes
3,int
dif,1
2
p 3.037π = = =1.224
p 2.482
Para la sección del difusor con álabes
3,med
dif,2
3,int
p 3.316π = = =1.092
p 3.037
Para la voluta del difusor
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
132
3dif,3
3,med
p 4.208π = = =1.269
p 3.316
Por tanto, la relación de presiones total para el difusor es
3,int 3,med 3 3dif dif,1 dif,2 dif,3
2 3,int 3,med 2
p p p p 4.208π =π π π 1.695
p p p p 2.482
La relación de presiones para el compresor tratado de un solo escalonamiento es:
3imp dif
1
p 4.208π=π π = = =4.326
p 0.973
De los resultados obtenidos, el aumento de presión debido a la acción centrífuga en el
impulsor es:
impulsor 2 1p =p p 2.482 0.973 1.509 bar
Mientras que, para el dispositivo en general del difusor
3 2 difusorΔp =p p 4.208 2.482 1.726 bar
El salto de presión total para el compresor centrífugo
3 1 compresorΔp =p p 4.208 0.973 3.235 bar
La clasificación de este compresor debe ser un compresor de reacción, es decir, que se
debe tener un 0< GR <1, ya que se tiene un gradiente de presión entre la entrada y la
salida de la turbomaquina, por lo tanto, de la definición del Grado de Reacción, para un
compresor centrífugo en función de los saltos de presión es:
2 1
3 1
p p 2.482 0.973GR= 0.467
p p 4.208 0.973
La curvatura de los álabes ya ha sido definida por los ángulos de la raíz y de la punta del
ojo de admisión (álabes curveados hacia atrás, para una velocidad angular en dirección
horaria); al retomar la teoría de la sección 3.2, es posible establecer ya un diseño
representativo del inductor e impulsor en dos dimensiones, que según la ecuación dada
por Stodola, el número de álabes acoplados al impulsor y que están distribuidos
geométricamente a lo largo de la periferia del compresor y para el caso del proceso de
compresión real, se tiene que
30
1 1 0.9
2π Sen β π Sen 72.332n= álabes
Para el proceso de compresión isoentrópico
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
133
29
1 1 0.9
2ss
π Sen β π Sen 65.261n = álabes
Debido a que son conocidas las principales características dimensionales del impulsor (D1,
Dpunta, D2 y n), es posible realizar la digitalización 3D del impulsor para después llevar a
cabo una simulación computacional de flujo en el compresor centrífugo. Sin embargo, se
requiere primero de una metodología para la construcción del modelo CAD3D del
impulsor (metodología de ingeniería inversa, por ejemplo), para posteriormente, con un
modelamiento tridimensional del flujo y un programa comercial de CFD, se realice la
simulación. Para la construcción del modelo virtual del impulsor mediante software
CAD3D, deben obtenerse tomografías para conocer el borde de ataque del álabe para la
trayectoria del flujo desde la entrada del ojo de admisión hasta la entrada del difusor, y
poder trazar la proyección de la superficie meridional, obteniendo un conjunto de líneas
primitivas sobre parte de la superficie de curvatura del álabe (Figura 3.18) [25].
Figura 3.28 Conjunto de líneas primitivas sobre parte de la superficie de curvatura del álabe
del impulsor [25].
Continuando con los cálculos, el número de Mach a la entrada del compresor es igual ha:
01
1
1
T 2 295.0 2M 1 1 0.423
T γ 1 284.815 1.4 1
O bien, al aplicar la ecuación (3.24), se obtiene que
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
134
1
1
1
143cM = = =0.423
γR T 1.4 287.7 284.815a
También, se da el número de Mach máximo a la entrada del ojo de admisión, que está
dado a partir de la velocidad relativa Wpunta, por lo tanto, el número de Mach máximo
(número de Mach relativo, Mr1,punta) a la entrada es igual a:
punta
r1,punta
1
W 308.472M = = =0.911
γR T 1.4 287.7 284.815a
Aunque este valor no se puede juzgar como satisfactorio, ni aun siendo el máximo que
pudiera darse en la práctica, si se considera que se trata de un compresor que forma parte
de un motor de aviación, que precise trabajar a una altura de 11,000.0 m, donde la
temperatura atmosférica es de sólo unos 217 K, se debe calcular el número de Mach en
estas condiciones.
Para la entrada, el efecto dinámico debido a la velocidad de avance del aparato produce un
aumento de la temperatura, el descenso de la temperatura atmosférica no tendrá tanta
influencia como cabría suponer.
Si se toman 90 m/s como la velocidad mínima previsible a gran altura, se tiene que el
equivalente de la temperatura de la velocidad de avance es:
22
avan
p
90c= =4.034 K
2C 2 1004T
La temperatura de estancamiento es igual a 2
avan01 1
p
cT T =217+4.034=221.034 K
2C
Con una velocidad axial a la entrada del compresor de 143.01 m/s, la temperatura estática
a las condiciones dadas para una altura de 11,000 m resulta ser:
22
11 01
p
143.01cT T =221.034 =210.849 K
2C 2 1004
El número de Mach que se tiene a una cierta altura, se puede expresar en términos del
número de Mach, que se tiene al nivel de la tierra, mediante la siguiente expresión: 0.5
tier tier11,alt 1,tier 1,tier
1 altalt
γRaT TcM =M =M
c TγR Ta
(3.82)
sustituyendo valores
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
135
0.5
1,alt
284.815M = 0.911 1.059
210.849
Evidentemente, este valor es demasiado grande, por lo que se introduce una prerrotación
de 30 grados (ver Figura 3.11, repetida), que es el ángulo óptimo para cualquier número
de Mach relativo, la velocidad absoluta a la entrada es ahora ligeramente mayor, de
manera que, la temperatura estática en dicho punto es ligeramente inferior.
Figura 3.11 Ángulo de álabe máximo para la función f(Mr,1) (repetida).
Habrá que determinar el nuevo valor de la velocidad axial siguiendo un proceso de tanteo
(se vuelve al caso estático original a nivel del mar).
Primera Iteración
Probando con ca1=150 m/s, de la definición de la temperatura de estancamiento, la
temperatura estática T1 es:
a
221,1
1,1 01 2 2p
150cT =T =295.0 =280.060 K
2 Cos 30 C 2 Cos 30 1004
De la relación de temperaturas para un proceso de compresión isoentrópico, la presión
estática p1 está dada como:
γ 1.4γ-1 1.4-1
1,11,1 01
01
T 280.060p =p = 1.1 =0.917 bar
T 295.0
La densidad del aire
Mr,1=0.9
Mr,1=0.8
Mr,1=0.7
Mr,1=0.6
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 20 40 60 80
f(M
r,1)
Ángulo de álabe [°]
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
136
50.917 101
287.7a
1,11,1 3
1,1
p kgρ = = .138
R T 280.06 m
Por consecuente, la comprobación se efectúa con la ecuación de continuidad.
a
1,1 2 2 2 21,1 1 1,1 pun 1
4 9m 4m mc = = = =149.158
ρ A sρ π D D 1.138 π 0.3 0.15
Por consiguiente, al repetir el mismo procedimiento iterativo hasta que ca1,i=ca1,i+1, para
i=1, 2, 3, .., n, en la Tabla 3.7 se muestra el valor al que convergen las variables ρ, c, T y p,
para este caso es en la séptima iteración.
Tabla 3.7 Valores de la densidad, velocidad, temperatura y presión para cada iteración.
Iteración
(n=10)
Temperatura
(K)
Presión
(bar)
Densidad
(kg/m3)
Velocidad ca
(m/s)
1 280.060 0.917 1.138 149.158
2 280.227 0.919 1.140 148.935
3 280.271 0.919 1.140 148.877
4 280.283 0.920 1.140 148.862
5 280.286 0.920 1.140 148.858
6 280.286 0.920 1.140 148.856
7 280.287 0.920 1.140 148.856
La velocidad absoluta resultante
148.856a 1
1 2 2
c mc = 171.885
sCos 30 Cos 30
La velocidad tangencial a la entrada
30 148.856 30a u1 1
mc =c Tan Tan 85.942
s
Para la velocidad relativa máxima
1 148.856a 22 2 2
,máx 1 punta u1
mW = c + U c + 273.319 85.942 239.308
s
Por lo tanto, cuando T01=295 K, el número de Mach máximo a la entrada es:
1,máx
r1,tier,máx
1
WM =
γR Ta
(3.83)
sustituyendo valores
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
137
r1,tier,máx
239.308M = 0.712
1.4 287.7 280.287
Por otro lado, el número de Mach máximo en la altura
1,máx
r1,alt,máx
1
WM =
γR Ta
(3.84)
por lo tanto
0.5
r1,alt,máx
280.287M = 0.712 0.821
210.849
En condiciones de altura, este valor se incrementa a poco más de 0.8, concluyendo que
una prerrotación de 30 grados es adecuada.
Para ver qué efecto produce esta prerrotación en la relación de presiones, se toma el caso
más desfavorable, y se supone que la prerrotación es constante en toda la sección de
entrada del impulsor [12]; la velocidad periférica de la sección de entrada del inductor en
el radio medio del ojo de admisión está dada como:
1 punta
media
U +UU =
2
(3.85)
Sustituyendo los valores correspondientes
media
136.659+273.319 mU = 204.989
2 s
El aumento real de temperatura se expresa como sigue:
2
real 2 u1 media
p
ψΔT = σU c U
C
(3.86)
entonces, al sustituir
2
real
1.04ΔT = 0.9 455.531 85.942 204.989 175.205 K
1004.0
La ecuación para la relación de presiones se reescribe como sigue
1
X03 sic real
01 01
p η T= +1
p T
(3.87)
Entonces la relación de presiones real para el compresor es igual a:
3.5
0.783.790
03
01
175.205p= +1
p 295
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
138
Esta relación de presiones se puede comparar con el valor de 4.246 obtenida sin
prerrotación. En algunas ocasiones, es ventajoso emplear álabes guías regulables en la
entrada, con objeto de mejorar el comportamiento en condiciones fuera del punto de
diseño.
Antes de pasar a analizar el efecto de tener velocidades altas del aire en el difusor, se
analiza la magnitud de los números de Mach en esta parte del compresor, por ende,
merece especial consideración su propio análisis, sin perder de vista que, el principal
objetivo es tener un incremento de presión constante, donde puede ser a expensas de
reducir su energía cinética.
Primero se calcula el número de Mach, tanto a la entrada como a la salida del difusor,
enseguida se establece el tipo de régimen de fluido, con el que se está trabajando en tales
puntos (ver Tabla 3.2) [3], posteriormente, se hace un gráfico, en el cual se muestra la
variación de las propiedades del fluido y la disminución de la velocidad del flujo de fluido
a largo del ducto, a medida que se aumenta la presión y se mantiene constante el flujo de
fluido; todo esto para fijar el tipo o tipos de dispositivos (ver Figura 3.29) que se emplean
para la forma de la voluta del difusor.
p disminuye
T disminuye
ρ disminuye
c aumenta
M disminuye
p aumenta
T aumenta
ρ aumenta
c disminuye
M disminuye
Tobera subsónica Difusor subsónico
a) Flujo subsónico
p disminuye
T disminuye
ρ disminuye
c aumenta
M aumenta
p aumenta
T aumenta
ρ aumenta
c disminuye
M disminuye
Tobera supersónica Difusor supersónico
b) Flujo supersónico
Figura 3.29 Efectos del cambio de área de paso sobre las propiedades de flujo en toberas y
difusores subsónicos y supersónicos.
A la entrada de la primera sección del difusor, se tiene un número de Mach igual a
M<1 M<1
M>1 M>1
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
139
02
2
2
T 2 488.454 2M 1 1 1.090
T γ 1 394.563 1.4 1
Considerando ahora el borde de ataque de los álabes del difusor
02
3,int
3,int
T 2 488.454 2M 1 1 0.878
T γ 1 423.252 1.4 1
En el diseño que se está considerando, el número de Mach vale 1.09 en la sección de la
salida del impulsor y 0.878 en el borde de ataque de los álabes del difusor. Se ha
demostrado que, siempre que la componente radial de la velocidad sea subsónica, se
puede trabajar en la sección de salida del impulsor con número de Mach mayores a la
unidad, sin que se produsca una pérdida de eficiencia, pues en el espacio sin álabes puede
haber una difusión supersónica sin formación de ondas de choque, si se realiza con
movimiento de torbellino manteniéndose constante el momento angular.
De todas formas, el número de Mach en el punto 3,int resulta un tanto grande, por lo que,
probablemente sería aconsejable aumentar la anchura radial del espacio sin álabes, o bien,
la profundidad del difusor, para así reducir la velocidad en este punto [17].
No es deseable que los números de Mach en los bordes de ataque de los álabes del difusor
sean altos, no sólo por el peligro de pérdidas de choque, sino también por que implican
grandes velocidades del aire, así como presiones comparativamente altas en los puntos de
estancamiento, situados en los bordes de ataque de los álabes y en los que el aire se ve
frenado localmente hasta el reposo.
Ello da lugar a una variación de la presión estática en toda la circunferencia que se
transmite hacia atrás en dirección radial a través del espacio sin álabes, hasta la sección de
salida del impulsor.
Aunque, para entonces, dicha variación se habrá reducido considerablemente, puede muy
bien ser aún lo suficientemente importante como para excitar a los álabes del impulsor y
ocasionar un fallo mecánico ante la aparición de grietas de fatiga, debidas a la vibración.
Esto sucede cuando la frecuencia de excitación, que depende de la velocidad de giro y del
número relativo de álabes en el impulsor y el difusor, sea del mismo orden de magnitud
que una de las frecuencias naturales de los álabes del impulsor. Para aminorar este
peligro, se procura que el número de álabes del impulsor sea un múltiplo entero del
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
140
número de álabes del difusor, una práctica habitual es adoptar un número primo para los
álabes del impulsor y uno par para los del difusor.
La razón de que haya un espacio desprovisto de álabes resulta ahora evidente: si los
bordes de ataque de los álabes del difusor estuvieran demasiado cerca de la salida del
impulsor, donde los números de Mach son muy altos, aumentaría considerablemente el
peligro de pérdidas de choque, así como el de una variación circular excesiva de la
presión estática.
Para la salida del difusor con álabes, se tiene un número de Mach
03
3,med
3,med
T 2 488.454 2M 1 1 0.772
T γ 1 436.406 1.4 1
A la salida del difusor
03
3
3
T 2 488.454 2M 1 1 0.389
T γ 1 474.126 1.4 1
Con un incremento de presión y una disminución de la velocidad absoluta, se trata
entonces, con un flujo subsónico, que requiere para el proceso de difusión a un difusor
subsónico, esto por ser el número de Mach menor a la unidad.
Con las propiedades estáticas T3,med y p3,med conocidas, se obtiene a la temperatura estática
T a lo largo del ducto divergente del difusor. n 1
n
3,med
3,med
pT=T
p
En donde, p está acotada entre p3.med y p3, dando como resultado un incremento de la
temperatura T, desde T3,med hasta T3, sustituyendo en la siguiente expresión
p 03c= 2C T T
se obtiene la velocidad absoluta, estando acotada entre c3,med y c3.
La densidad se expresa como:
a
pρ=
R T
El número de Mach se obtiene con la siguiente expresión
cM=
kRT
(3.24)
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
141
La Figura 3.30 muestra como la temperatura, la presión y la densidad (propiedades
estáticas) aumentan de forma curvilínea, sin embargo, el número de Mach y la velocidad
absoluta decrecen, debido al proceso de difusión.
Considerando que el número de Mach está entre 0.772 y 0.389, la Figura muestra que el
difusor no cuenta con una garganta intermedia, es decir, que entre el salto de presión, el
número de Mach se encuentra sólo por debajo de la unidad; si fuese el caso en que el
número de Mach cambiase de un número mayor a un número menor pasando por la
unidad, entonces, el punto en donde M=1.0 se le conoce como garganta, y es donde entra
el concepto de los dispositivos llamados toberas convergentes-divergentes.
Figura 3.30 Variación de las propiedades del fluido y de la velocidad absoluta del fluido a lo
largo del ducto divergente.
De acuerdo a la Figura 3.30, el área del ducto divergente debe irse incrementando a lo
largo de la periferia del impulsor, para así satisfacer la ecuación de continuidad, cuando el
flujo másico de cada acanalado formado por dos álabes y la carcasa del difusor se anexa al
flujo másico previo por otro acanalado, para que al final de la periferia el flujo másico sea
igual al flujo másico que entra al compresor, tal y como se muestra en la Figura 3.31.
Cada uno de los cálculos, se han realizado para un flujo másico constante de 9 kg/s, lo que
define cada una de las velocidades absolutas del flujo de fluido y las propiedades
termodinámicas (temperatura, presión y densidad).
T
c
A
ρ
M
0.3
0.8
1.3
1.8
2.3
2.8
3.3
50
110
170
230
290
350
410
470
3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1
T [K
] ; c
[m
/s]
; A
[cm
2 ]
Presión [bar]
ρ [kg/m
3] ; M [--]
Proceso de Difusión
p3 p3,med
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
142
Con las propiedades de estancamiento ya fijas a la entrada del compresor, entonces, un
cambio en el flujo másico da como consecuencia un diseño del compresor distinto al
tratado hasta este momento, debido a un cambio en la densidad del flujo del fluido
relacionado con la temperatura y presión a través de la ecuación de estado del gas ideal.
Figura 3.31 Representación esquemática de la variación del área transversal de la
voluta de un difusor.
La Figura 3.32 muestra como al incrementarse el flujo másico a la entrada del compresor
aumenta la velocidad absoluta para cada uno de los estados estáticos (1,2 y 3), siendo en
la velocidad c1 donde se tiene un cambio mayor en comparación con la velocidad c3 y c2.
La velocidad c2 es mayor que el resto de las velocidades para cualquier flujo másico.
cR3,med acanm
m
acanm
Ad1
r3,med
Difusor
r3,med
Ad2
Ad12
cu3,med
cu3,med
c3
A3
d1 Separación creciente
hasta una distancia
igual a d1
acanm
r3,med r3,med
cu3,med
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
143
Figura 3.32 Variación de las velocidades absolutas en función del flujo másico.
La Figura 3.33 muestra como las presiones estáticas disminuyen cuando aumenta el flujo
másico, con ello, el salto de presión para el impulsor (p2-p1) y difusor (p3-p2) disminuye,
aunque la relación de presiones total (p3/p1) aumenta.
Figura 3.33 Variación de las presiones estáticas en función del flujo másico.
La relación de presiones de estancamiento (p03/p01) se mantiene constante, por lo tanto,
con un incremento del flujo másico, da como consecuencia un aumento en la energía
cinética del fluido, entonces, la temperatura dinámica aumenta, que al restárselo a la
temperatura de estancamiento correspondiente, se tiene que la temperatura estática para
cada uno de los estados disminuye tal y como se muestra en la Figura 3.34.
c1
c2
c3
1
2
3
50
150
250
350
450
5 7 9 11 13
Ve
loci
dad
ab
solu
ta (
m/s
)
Flujo másico (kg/s)
p1
p2
p3
1
2
3
0
1
2
3
4
5
5 7 9 11 13
Pre
sió
n (
bar
)
Flujo másico (kg/s)
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 3-
144
Figura 3.34 Variación de las temperaturas estáticas en función del flujo másico.
Con un incremento de la temperatura, la densidad disminuye para una presión constante,
pero como la presión también disminuye cuando aumenta el flujo másico, entonces, el
resultado del cálculo es que la densidad igual disminuye tal como se muestra en la Figura
3.35.
Figura 3.35 Variación de las densidades estáticas en función del flujo másico.
T1
T2
T3
1
2
3
250
300
350
400
450
500
5 7 9 11 13
Tem
pe
ratu
ra (
K)
Flujo másico (kg/s)
ρ1
ρ2
ρ3
1
2
3
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
5 7 9 11 13
De
nsi
dad
(kg
/m3 )
Flujo másico (kg/s)
Caso Práctico 3.3-Diseño de un Compresor
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
145
CAPÍTULO 4 TURBOMAQUINAS DE FLUJO RADIAL
4.1 APLICACIONES DE LAS TURBOMAQUINARIAS
Con la teoría presentada en los tres capítulos anteriores, se ha comprendido que las
turbomaquinarias se clasifican de acuerdo al tipo de trayectoria que lleva el flujo de fluido
(ver Figura 4.1), donde cada una de éstas tiene una aplicación diferente [4], como las que
se muestran en la Tabla 4.1 [14].
Axial MixtoRadial
Extendido Incluido
Compresores y Bombas
Axial Radial
Extendido Incluido
Turbinas
Mixto
Clasificación
Figura 4.1 Clasificación de la Turbomaquinas en función del tipo de
trayectoria del flujo de fluido.
Tabla 4.1 Aplicación de la turbomaquinaria.
Aplicación Ejemplo
Vehículos espaciales
Compresores y Turbinas son usados en turbinas de gas de
potencia, naves aéreas de propulsión, helicópteros, vehículos
espaciales sin tripulación, portaaviones V/STOL, misiles, etc.
Vehículos marinos Usados en plantas de potencia de submarinos, barcos de
plataforma naval, barcos de propela, entre otros.
Vehículos de tierra En turbinas de gas de automóvil, en donde es usada una turbina
de gas radial y un compresor centrífugo.
En energía
Se utilizan en plantas hidráulicas (Turbina Francis), en plantas
de potencia de gas (ver Figura 4.2), de vapor, nuclear y de
carbón, entre otras.
Industrial Procesamientos químicos, compresión de fluidos, purificación
de agua, equipos de refrigeración, etc.
Aplicaciones de las Turbomaquinas
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
146
Otras Bombas que son usadas en dispositivos para asistir al corazón,
convertidores del torque automotriz, soportes hidráulicos, etc..
Figura 4.2 Turbina de Gas para generación de energía.
El diseño de una turbina se vuelve tan complejo, a medida que, se requieren plantear
ecuaciones que precisen la variación de las propiedades del fluido para una posición y
tiempo en específico, como en la mayoría de las aplicaciones se usan turbomaquinarias de
flujo radial, enseguida se establecen las ventajas que se tienen en comparación con las de
flujo axial y viceversa [1].
Ventajas de los compresores centrífugos sobre los axiales
Mayor seguridad en la operación, debido a la robustez.
Se requiere de un menor número de escalonamientos para la misma relación de
presiones total.
Presentan mayor facilidad para alojar a los interrefrigeradores.
Mayor estabilidad de funcionamiento.
Alcanzan presiones de trabajo más altas, de hasta 400 bar, mientras que para los
axiales de hasta 50 bar.
La curva de eficiencia es más plana, por ser más sensibles a los efectos de
incidencia del fluido sobre los álabes en el trabajo o carga parcial y sobrecarga.
Ventajas de los compresores axiales sobre los centrífugos
Ventajas Centrífugos -Axiales
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
147
Mejor eficiencia en condiciones de diseño.
Para la misma potencia, el axial es de menor tamaño y peso, aumentando la
velocidad de giro. Esta ventaja es muy importante en ciertos servicios, sobre todo
en las Turbinas de Gas de aviación, donde tienen excelente aplicación.
Permiten manejar un mayor flujo másico de fluido, lo que significa una ventaja en
la aplicación de motores de Turbinas de Gas, ya que se pueden obtener mayores
potencias en estas máquinas.
4.2 FACTOR DE COMPRESIBLIDAD
Determinar las propiedades del fluido, puede ser tan idealizado, a modo de tener una gran
simplicidad en los cálculos, sin embargo, en la mayoría de los procesos, es primordial que
se determinen con la mayor precisión posible, esto a través de los modelos matemáticos
existentes. Para el caso de procesos de compresión, la ecuación de estado del gas ideal se
reescribe como:
apv=ZR T
(4.1)
En donde Z es el factor de compresibilidad, con el cual es posible modelar el
comportamiento real para cualquier gas, aun cuando estén cercanos a la región de
saturación y del punto crítico, ya que es en donde se tiene una desviación del
comportamiento de un gas ideal, que es en función del propio gas, la presión y la
temperatura a la cual opera [5].
El factor de compresibilidad se puede expresar también como:
actual
ideal
VZ=
V
(4.2)
Para poder determinar el valor de Z, se hace uso de la carta de compresibilidad
generalizada (Anexo B2), la cual es un ajuste de datos experimentales y se da en función
de la presión reducida (pr) y de la temperatura reducida (Tr), definidas como:
r
cr
pp =
p
(4.3)
y similarmente
r
cr
TT =
T
(4.4)
donde pcr y Tcr son presión crítica y temperatura crítica, respectivamente.
4.3 RELACIÓN ENTRE LA EFICIENCIA POLITRÓPICA Y LA EFICIENCIA
Factor de Compresibilidad
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
148
ISOENTRÓPICA DE COMPRESIÓN
Para facilitar la deducción de la eficiencia politrópica, se reescribe a la ecuación del
trabajo de compresión politrópico deducida en el capítulo 2 [5].
a
n 1
n2
p 1
1
pnτ R T 1
n 1 p (2.13)
Considerando al factor de compresibilidad (Z), y sin especificar aun al fluido de trabajo,
se tiene que
n 1
n2
p 1
1
pnτ ZRT 1
n 1 p (4.5)
Si el trabajo de compresión real que hay que suministrar al compresor se expresa en
términos de la relación de presiones como:
n 1
n2
p 1
1
pτ ZC T 1
p (4.6)
Siendo el calor específico definido como Cp=γR/(γ-1), entonces
n 1
n2
1
1
pγτ ZRT -1
γ 1 p (4.7)
Por tanto, la eficiencia politrópica es definida como:
p
PIC
τη =
τ
(4.8)
Debido a que en un proceso termodinámico se define a la eficiencia como la relación entre
el trabajo de compresión de salida y el trabajo de entrada, entonces, el trabajo de
compresión politrópico corresponde al trabajo de salida. Ahora, sustituyendo la ecuación
(4.5) y (4.7) en la ecuación de la eficiencia politrópica, se obtiene
n 1
n2
1
1
PIC n 1
n2
1
1
pnZRT 1
n 1 p
η =
pγZRT 1
γ 1 p
Eficiencia Politrópica de Compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
149
simplificando
PIC
n γ 1η =
n 1 γ o bien
PIC
n γη
n 1 γ 1
(4.9)
La eficiencia politrópica es independiente del estado termodinámico que experimenta el
gas en el proceso de compresión, o bien, que el valor del índice politrópico n está en
función del índice adiabático y de la eficiencia politrópica [18].
Por otro lado, para una compresión isoentrópica, se tiene que el trabajo de entrada debe
ser el mismo que para el caso de una compresión politrópica, es decir:
p s
PIC SIC
τ ττ
η η
(4.10)
En el capítulo 3 se ha hecho uso de la eficiencia isoentrópica de compresión (ηSIC), sin
embargo, la deducción para tal definición se ha dejado hasta esta sección para poder
mostrar la relación que existe con la eficiencia politrópica, por lo tanto, despejando a ηSIC
de la ecuación (4.10), se obtiene que
sSIC PIC
p
τη η
τ
(4.11)
sustituyendo a τs y τp por sus expresiones respectivas, resulta
γ 1
γ2
1
1
SIC PICn 1
n2
1
1
pγZRT -1
γ 1 p
η η
pnZRT -1
n 1 p
sustituyendo la ecuación (4.9) en la ecuación anterior
γ 1
γ2
1
SIC PICn 1
n2
PIC
1
pγ-1
γ 1 p
η η
pγη -1
γ 1 p
Eficiencia Isoentrópica de Compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
150
simplificando
γ 1
γ2
1
SIC n 1
n2
1
p1
p
η
p1
p
(4.12)
Una de las ventajas que se tiene al considerar al proceso politrópico, radica en que no es
necesario conocer el valor de n si se conoce a ηPIC, esto se puede corroborar al sustituir la
ecuación (4.9) en la ecuación (4.12) y así la eficiencia isoentrópica de compresión queda
en términos de la relación de presiones, del índice adiabático y del índice politrópico, tal y
como se muestra enseguida.
PIC
γ 1
γ2
1
SIC γ 1
γ η2
1
p1
p
η
p1
p
(4.13)
Para el valor de la eficiencia politrópica se requiere introducir el concepto del Politrope,
que es la relación que existe entre el trabajo de compresión vdp y el trabajo de compresión
real (expresado en términos del salto entálpico), siendo una constante para un proceso de
compresión (ηPIC), o bien, para un proceso de expansión (ηPIT). De la Primera Ley de la
Termodinámica expresada en forma diferencial [18]:
uδq+δτ=d
(4.14)
donde
u d dh vdp pdv
y
δτ pdv
Por lo tanto, la expresión (4.14) se puede expresar también como:
δq=dh vdp
(4.15)
Considerando al proceso de compresión como adiabático (donde δq=0), al cociente
vdp=Cte
dh
(4.16)
que es una constante, se le define como eficiencia politrópica de compresión, tomando
Eficiencia Isoentrópica de Compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
151
valores menores a la unidad debido a que vdp<dh.
PIC
vdpη
dh
(4.17)
Mientras que, para un proceso de expansión, se tiene que
PIT
dhη
vdp
(4.18)
A partir de la ecuación (4.17), es posible llegar a la misma expresión para la eficiencia
politrópica de la ecuación (4.9), de la ecuación de estado del gas ideal se sustituye al
volumen específico (v), al igual que se sustituye a dh en función de la temperatura para un
Cp constante, resulta
PIC p
dpRT η C dT
p
integrando
2 2
PIC p 1 1
p TRln ln
η C p T
aplicando exponencial a ambos miembros de la ecuación, resulta
PIC p
R
η C2 2
1 1
T p
T p
Como se trata de una relación de temperaturas para un proceso de compresión politrópico,
entonces debe cumplirse que
PIC p
R n 1=
η C n
Con la relación Cp=Rγ/(γ-1); entonces, se llega a la misma expresión de la ecuación (4.9).
PIC
n γη
n 1 γ 1
(4.9)
Haciendo referencia al diagrama de Mollier mostrado a la Figura 4.3 y considerando a una
compresión infinitesimal, donde Cp es constante [21], entonces
1
1
s
PIC
T+dT
dh´s Tη =
T+dTdh
T
(4.19)
Eficiencia Isoentrópica de Compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
152
Figura 4.3 Diagrama de Mollier representativo para la obtención de la eficiencia politrópica
La ecuación que rige al comportamiento de un gas en un proceso politrópico es de la
forma pvn=Cte, que al sustituir en la ecuación (4.10), resulta
1
1
γ 1
γ
PIC n 1
n
p+dp
pη =
p+dp
p
(4.20)
Al expandir las expresiones dentro de los paréntesis de la ecuación (4.20)
γ 1
γp+dp
p
y
n 1
np+dp
p
y despreciando los términos de orden superior, se obtiene
1 1
γ 1
γdp γ 1 dp
p γ p
de igual manera
1 1
n 1
ndp n 1 dp
p n p
p1Δhs
p2
1
2
p+dp
p
dh
´s
2s
dh
s dh
Δh
Enta
lpía
Entropía
Eficiencia Isoentrópica de Compresión
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
153
entonces
1 1
1 1
PIC
γ 1 dp
γ pη =
n 1 dp
n p
(4.21)
Simplificando términos de la ecuación (4.21), se obtiene nuevamente con un tercer
procedimiento, que la eficiencia politrópica se expresa en términos del índice politrópico
y adiabático como:
PIC
n γη
n 1 γ 1
(4.9)
Bosquejando a ηSIC en función de la relación de presiones (p2/p1), y tomando como fluido
de trabajo al aire (γ=1.4), ηSIC disminuye cuando aumenta la relación de presiones, tal y
como se muestra en la Figura 2.4. De igual forma, para diferentes valores de la eficiencia
politrópica se tiene que ηSIC (ver Figura 4.4) también disminuye a medida que aumenta la
relación de presiones para un valor de γ fijo [6].
Figura 4.4 Eficiencia isoentrópica de compresión contra relación de presiones para
distintos valores de ηPIC.
La eficiencia isoentrópica, es por tanto, la más importante medida del comportamiento de
la máquina, esto debido a que determina el trabajo suministrado o generado de una
máquina, sin embargo, como sólo considera a los estados inicial y final para el proceso,
entonces, esto no le permite ser usada para poder estimar las características de los
compresores, caso contrario a la eficiencia politrópica que si considera a la trayectoria en
el proceso de compresión y por tanto, da más veracidad al cálculo de la potencia requerida
ηPIC=0.7
ηPIC=0.75
ηPIC=0.8
ηPIC=0.85
ηPIC=0.9
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ηSI
C[-
-]
Relación de presiones [--]
Comportamiento de Eficiencias
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
154
sin ser una función de la relación de presiones, lo que permite concluir que esta eficiencia
politrópica es mayor que la eficiencia isoentrópica para un proceso de compresión, es
decir: ηPIC > ηSIC para cualquier relación de presiones. En la Figura 4.5 se muestra como la
razón de cambio para ηSIC aumenta a medida que se incrementa la relación de presiones
para una eficiencia politrópica constante, además de que ambas tienden a la unidad para
cualquier relación de presiones (p2/p1).
Figura 4.5 Eficiencia isoentrópica en función de la eficiencia politrópica para distintos
valores de p2/p1.
Considerar al proceso politrópico tiene otra ventaja, y es que la suma de los trabajos de
compresión politrópicos que hay que suministrar para cada uno de los estados de
compresión es igual al trabajo de compresión total que hay que suministrar para todo el
proceso (considerando sólo al estado inicial y al estado final), caso contrario al del trabajo
de compresión isoentrópico.
4.4 CÁLCULO DE LAS PROPIEDADES DEL GAS
Para la generación de energía, las plantas de potencia son una gran alternativa, debido a
que el oxidante empleado para la reacción química exotérmica (combustión) es adquirido
de forma gratuita (aire), por ello, sus propiedades han sido ya definidas y analizadas
exhaustivamente, sin embargo, el poder conocer a las propiedades del gas no siempre
resulta ser una tarea fácil y menos si en el último de los casos no se encuentra dato alguno
en la literatura, por ello, se requiere tener un método con el cual se facilite deducir tales
propiedades.
Entonces, como primer paso se requiere conocer la composición de la mezcla, la cual
puede ser de dos forma, ya sea a través de un análisis molar (con respecto al número de
π=6.0 π=10.0
π=2.0
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.7 0.8 0.9 1
ηSI
C[-
-]
ηPIC [--]
Cálculo de las Propiedades del Gas
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
155
moles), con el cual se determina la fracción molar o volumen (x), que es la relación entre
el número de moles de un componente y el número de moles de la mezcla, además de que
la suma de todas las fracciones mol debe ser igual a la unidad [3].
ii
mez
Nx =
N
(4.22)
O bien, a través de un análisis gravimétrico (con respecto a la masa de cada componente),
con el cual se determina la fracción masa (y), que es la relación entre la masa de un
componente y la masa de la mezcla, de igual manera se tiene que la suma de todas las
fracciones masa debe ser igual a la unidad [3].
ii
mez
my =
m
(4.23)
Por consiguiente, la masa molar aparente o promedio de la mezcla (Mmez) se puede
expresar en términos de la fracción volumen (o mol) como:
x
i i imez
mez i i
mez mez mez
m N MmM = = = = M
N N N
(4.24)
Por ende, la constante particular de la mezcla se puede expresar como:
umez
mez
RR =
M
(4.25)
Puesto que la fracción masa y la fracción volumen determinan las mismas propiedades de
la mezcla, es de suponerse que exista una relación entre ambas, tal y como se muestra a
continuación.
i i i ii i
mez mez mez mez
m N M My = = =x
m N M M
(4.26)
Así, cada componente de la mezcla de gases no reactiva contribuye al calor específico de
la mezcla, es decir:
p,mez i p,iC = x C
(4.27)
Similarmente, para la presión crítica de la mezcla
cr,mez i cr,ip = x p
(4.28)
en cuando a la temperatura crítica de la mezcla
cr,mez i cr,iT = x T
(4.29)
Ya entendido lo anterior, se prosigue a plantear el procedimiento con el cual se facilite la
obtención de las propiedades de la mezcla [5].
Cálculo de las Propiedades del Gas
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
156
1. Enlistar cada uno de los componentes de la mezcla con su respectiva fracción
volumen (o molar).
2. Enlistar para cada componente de la mezcla su peso molecular, su presión crítica y
temperatura crítica.
3. De igual manera, enlistar los calores específicos a presión constante (Cp,i) basados
en la temperatura a la cual la mezcla es medida.
4. Calcular y enlistar la contribución de cada gas a la masa molecular de la mezcla.
5. Calcular y enlistar la contribución de cada gas a la presión crítica, temperatura
crítica y calor específico de la mezcla.
6. Obtener la masa molecular de la mezcla mediante la suma de las contribuciones de
cada componente, calculadas en el paso 4.
7. Análogamente, sumar las contribuciones individuales de cada gas para obtener el
calor específico de la mezcla, y así poder conseguir el valor del índice adiabático
del gas a través de la siguiente relación:
p,mez
mez
p,mez u
Cγ =
C R
(4.30)
8. Similarmente, obtener la presión crítica y temperatura crítica de la mezcla
haciendo uso de las ecuaciones establecidas en la sección 4.2.
r
cr
pp =
p
(4.3)
r
cr
TT =
T
(4.4)
9. Finalmente, de la carta de compresibilidad generalizada (Anexo B2), obtener el
factor de compresibilidad para una pr y Tr en específico.
Si el flujo másico o molar de cada uno de los componentes de la mezcla es dado;
entonces, es indispensable para el cálculo de las propiedades de la mezcla que tales flujos
sean convertidos en fracciones mol, por lo tanto, para el caso de conocer los flujos mol
i
i
i
Nx =
N
(4.31)
Por el contrario, si se conocieran los flujos másicos, entonces se tendría que
ii
ii
i
mx =
mM
M
(4.32)
Cálculo de las Propiedades del Gas
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
157
4.5 FRACCIÓN MOL DE VAPOR DE AGUA EN UNA MEZCLA
En el aire atmosférico se encuentra una cierta cantidad de agua (en fase gaseosa), debido a
que a determinada presión atmosférica, la temperatura del medio ambiente es mayor a la
temperatura de saturación, o bien, a determinada temperatura, la presión parcial del vapor
de agua está por debajo de la presión de saturación [5].
Si se requiere conocer las propiedades de una mezcla en la que se tiene vapor de agua,
sabiendo que cada gas contribuye a la presión total de la mezcla basada en su fracción
mol, entonces, se puede establecer que la fracción mol de cada componente es igual a la
relación entre la presión parcial del componente y la presión total de la mezcla, la cual se
obtiene con la ecuación de estado del gas ideal, es decir
i mez mez i u mez mez i
mez mez u mez mez mez
p T ,V N R T / V N= =
p N R T / V N
de manera tal que
ii
mez
px =
p
(4.33)
Considerando una mezcla de dos componentes, aire seco y vapor de agua; entonces, el
flujo másico total se puede expresar [19] como:
v v vtot gs gs
gs gs gs
m N Mm =m 1+ m 1+
m N M
o bien
v v meztot gs mez
gs mez gs mez
M p p 1m =m 1+ N
M p p N
por lo tanto
v vtot gs
gs gs
M pm =m 1+
M p
(4.34)
4.6 ÍNDICE DE LA VELOCIDAD DEL SONIDO
Se define como índice de la velocidad del sonido (θ) a la relación que hay entre la
velocidad del sonido en el aire a un temperatura de 27 °C y la velocidad del sonido en la
mezcla (gas) a las condiciones a las que entra al compresor [19].
Fracción Mol de vapor de agua en una mezcla
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
158
1 ,onda,27°C
1mez,onda
cθ=
c
a
(4.35)
si ondac = γZRT , se obtiene que
mez
mez mez mez mez mez mez mez
1.4 1.0 287.7 273.15 27 Mγ Z R Tθ=
γ Z R T 8314 γ Z T
a a a a
mez
mez mez mez
14.54 Mθ=
γ Z T
(4.36)
Este índice sirve para poder realizar una comparación de la estabilidad equivalente del
compresor, tendiendo como referencia al aire (a una T=27 °C), ya que si ambos gases
(aire y mezcla) operan a la misma velocidad del sonido, entonces, debe tenerse en ambos
un mismo desempeño.
A fin de obtener la carga politrópica máxima en función de θ, al producto del índice de la
velocidad del sonido con la velocidad periférica a la salida del impulsor, define a la
velocidad periférica equivalente (U2e) para el aire, es decir:
2e 2U =θU
(4.37)
Para bosquejar a τp,máx=f (θ), se retoma a la ecuación en que se tiene a τp como una función
de la velocidad periférica, y en la que se tiene involucrado el coeficiente de presión (μ).
2
p,máx 2τ =μ U
(4.38)
Como ejemplo ilustrativo de cómo se hace uso de las últimas tres ecuaciones, considérese
un coeficiente de presión de μ=1.075, para un cierto gas, que experimenta una acción
centrífuga, debido a la rotación del impulsor que tiene una velocidad periférica U2= 183
m/s, y un índice θ=1.3; con los datos considerados, se determina la velocidad periférica,
en la que el aire tiene estabilidad durante la rotación, dando un valor de
2e
mU = 183 1.3 =237.9
s
Por tanto, esta velocidad U2e de 237.9 m/s debe permanecer constante, ahora, despejando
a U2 de la ecuación (4.37), y sustituyendo en la ecuación (4.38), se tiene que la carga
politrópica máxima se expresa como:
2
2ep,máx
Uτ =μ
θ
(4.39)
Índice de la Velocidad del Sonido
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
159
Por consiguiente, la Figura 4.6 muestra como la carga politrópica máxima (para un solo
escalonamiento) disminuye en forma curveada cuando se incrementa el valor de θ, esto se
debe a que se mantienen constantes la velocidad equivalente U2e y el coeficiente de
presión (μ).
Figura 4.6 Carga politrópica máxima para una sola etapa en función de θ.
4.7 MÉTODO “N” PARA ESTIMAR EL TAMAÑO DEL COMPRESOR
Para obtener una primera estimación del tamaño del compresor, es indispensable
considerar al proceso politrópico, lo cual implica de antemano usar el valor del índice
politrópico en la mayoría de los cálculos, siendo esta la razón del porqué es llamado
Método N [19], es recomendable usar este método en caso de no tener disponible al
diagrama de Mollier correspondiente; enseguida, se plantea el procedimiento del Método
N para que, el compresor de una o varias etapas (ver Figura 4.7) se pueda definir
completamente.
1.- Determinar las propiedades de la mezcla, como son:
- Masa molecular de la mezcla
- Temperatura crítica
- Presión crítica
- Calor específico a presión constante
2.- Suponiendo que la mezcla tiene una desviación del comportamiento de un gas
ideal, determinar el factor de compresibilidad auxiliándose de la carta de
compresibilidad generalizada (Anexo B2).
Límite para impulsores de elasticidad limitada
8.0
13.0
18.0
23.0
28.0
33.0
38.0
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Car
ga m
áxim
a p
olit
róp
ica
po
re
tap
a [k
J/kg
]
Índice de la velocidad del sonido [--]
mez
mez mez mez
14.54 Mθ=
γ Z T
Carga Politrópica Máxima
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
160
Figura 4.7 Corte horizontal de un compresor centrífugo de múltiples-etapas.
3.- Determinar el gasto volumétrico a la entrada del compresor
1 1 1G =m v
(4.40)
4.- Mediante el uso de Tablas de datos de Carcasas típicas para compresores
centrífugos (Anexo B3), seleccionar el tipo de carcasa requerida de acuerdo al
flujo volumétrico utilizado, y de esta manera poder conocer los siguientes datos:
- Carga politrópica nominal
- Eficiencia politrópica nominal
- Velocidad de giro nominal
- Diámetro nominal del impulsor
5.- Determinar la relación de presiones para el proceso de compresión total.
6.- Calcular el valor de la temperatura al final del proceso de compresión (o al final
de un escalonamiento) a través de la relación de temperaturas para un proceso
politrópico, en donde, el valor de n se obtiene haciendo uso de la ecuación (4.9).
7.- Determinar el factor de compresibilidad promedio, el cual está definido como:
Método N
Cubierta
Entrada del flujo de fluido
Salida del flujo de fluido
Diafragma Canal de la
Voluta
Rotor de 7 Impulsores
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
161
1 2prom
Z +ZZ =
2
(4.41)
donde
Z1= Factor de compresibilidad a la entrada del compresor.
Z2= Factor de compresibilidad a la salida del compresor.
8.- Determinar el valor promedio de γ para la mezcla, la cual está dada por la
siguiente relación.
1 2prom
γ +γγ =
2
(4.42)
donde
γ1= Calculado a las condiciones iníciales
γ2= Se obtiene con la ecuación (4.30), en donde el calor específico a presión
constante se calcula a la temperatura de salida del compresor.
9.- Con la ecuación (4.9) determinar el valor promedio de n/(n-1) en función del
valor promedio de γ, calculado en el punto 6.
10.- Determinar el trabajo de compresión politrópico.
11.- Determinar el número de etapas (impulsores) requeridos en el compresor
mediante los siguientes tres pasos.
a) Determinar el valor del índice de la velocidad del sonido (θ).
mez
mez mez mez
14.54 Mθ=
γ Z T
(4.36)
Note que los valores de γ y Z a la entrada son usados para calcular θ, esto es
porque el máximo valor para θ se encuentra a la entrada, por lo tanto, el primer
impulsor del cuerpo del compresor requiere la máxima carga politrópica por
etapa.
b) Para un coeficiente de presión conocido al igual que U2e, se determina la carga
politrópica máxima por etapa (considerando el límite para τp), o de igual manera,
hacer uso del diagrama de la Figura 4.5.
c) Determinar el número de etapas a partir de la siguiente ecuación.
Método N
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
162
p
p,máx
τNo. etapas=
τ
etapa
(4.43)
En caso de tener decimales, redondear al siguiente número entero de etapas.
12.- Conociendo la velocidad de giro nominal y la carga politrópica nominal, se
determina la velocidad de giro requerida de acuerdo a la siguiente ecuación.
p
nom
p,nom
τN=N
τ ×No. etapas
(4.44)
13.- Determinar la potencia de eje requerida para el proceso de compresión.
a) Calcular la potencia suministrada, haciendo uso de la siguiente expresión.
p
mez
p
mττ =
η
(4.45)
b) Calcular las pérdidas mecánicas de la mezclacon el uso de la Tabla 4.2
(Aproximación de pérdidas mecánicas como un porcentaje de la potencia
requerida para el gas [22]) para una potencia conocida.
Tabla 4.2 Aproximación de pérdidas mecánicas como un porcentaje de la
potencia requerida para el gas.
Potencia requerida para el gas (kW) Pérdidas Mecánicas, Permec (%)
0 - 2,500 3.0
2,500 - 5,000 2.5
5,000 - 7,500 2.0
7,500 + 1.5
c) Determinar la potencia de eje, tal y como se plantea enseguida.
p,tot mez mecτ τ 1+Per
(4.46)
14.- Determinar la temperatura a la salida del impulsor mediante el uso de la
relación de temperaturas para un proceso de compresión politrópico. n 1
n2
2 1
1
pT =T
p
(4.47)
Método N
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
163
CASI PRÁCTICO 4.1
Considere una mezcla constituida por dos componentes, cuya composición molar es 78.1
% de N2 y 21.9 % de O2, con una presión p1=0.973 bar, una temperatura T1=11.665 °C y
un flujo másico de 9 kg/s. El objetivo es comprimir el gas hasta una presión de 2.482 bar,
entonces, determinar el tamaño de la carcasa del compresor, número de etapas, velocidad
de giro, potencia requerida y temperatura de descarga.
Solución: Se emplea el Método N para solucionar el problema planteado por el enunciado
del problema, y dar un diseño preliminar del compresor.
1.- Propiedades de la mezcla.
Fracción mol
2 2N Ox =0.781 ; x =0.219
Masa molecular aparente de la mezcla
2 2 2 2mez N N O O
kgM =x M +x M =0.781 28.02 +0.219 32 28.892
kmol
Presiones reducidas
2 2
2 22 2
1 1r,N r,O
N Ocr crN O
p p0.973 0.973p = = =0.028 ; p = = =0.019
p 33.49 p 50.81
Temperaturas reducidas
2 2
2 22 2
1 1r,N r,O
N Ocr crN O
T T284.815 284.815T = = =1.832 ; T = = =2.26
T 126 T 155
Calor específico a presión constante
0.912 2 2 2p,mez N p,N O p,O
kJC =x C +x C =0.781 1.031 +0.219 =1.004
kgK
2.- Factor de compresibilidad de la mezcla.
Se requiere del cálculo de la presión reducida y temperatura reducida de la mezcla.
2 2 2 2r,mez N r,N O r,Op =x p +x p =0.781 0.028 +0.219 0.019 0.021
2.1682 2 2 2r,mez N r,N O r,OT =x T +x T =0.781 1.832 +0.219 2.26
Caso Práctico 4.1 - Método N
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
164
De la carta de compresibilidad generalizada (Anexo B2), se tiene que el factor de
compresibilidad es de 1.0, esto indica que el comportamiento de la mezcla puede ser
modelado a través de la ecuación de estado del gas ideal (pv=RT).
3.- Gasto volumétrico
5
284.8159 1
0.973 10
mez 1 u 11 1 1 1
1 mez 1
8314.0R T R TG =m v =m Z m Z
p M p 28.892
27291.8613 3
1
m mG =7.581 =
s hr
4.- Tipo de carcasa requerida
Para un gasto volumétrico de 27291.8611G = m3/hr, el tipo de carcasa más competente es
del Tipo A, de la cual se tienen los siguientes datos nominales.
p,nom p nom 2,nom
kJ τ =30 , η =0.76, N =11000 rpm, d =406 mm
kg
5.- Relación de presiones para el proceso de compresión.
2.5512
1
p 2.482=
p 0.973
6.- Calcular la temperatura al final del proceso de compresión.
De la relación que existe entre el calor específico y el índice adiabático, se tiene que
1 11.4
1128.892 1004
mez
u
mez p,mez
γ =R 8314
M C
Con la eficiencia politrópica nominal, y haciendo uso de la ecuación (4.9), se tiene un
valor para el índice politrópico de
1.4 0.761.602
1.4 1 11 1
mez p
mez p
γ ηn=
0.76γ η
La relación n/(n-1), vale
1.6022.66
1 1.602 1
n=
n
Caso Práctico 4.1 - Método N
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
165
7.- Factor de compresibilidad promedio
De acuerdo a los cálculos mostrados en la Tabla 4.3, el factor de compresibilidad a la
salida del compresor para una T2=404.999 K y p2=2.482 bar es de 1.0.
Tabla 4.3 Valor para la presión reducida y temperatura reducida a la salida del compresor.
Componente pcr,i (bar) Tcr,i (K) pr,i (-) Tr,i (-) pr2,mez (-) Tr2,mez (-)
N2 50.81 126 0.049 3.215 0.054 3.083
O2 33.99 155 0.073 2.614
Por consiguiente, el factor de compresibilidad promedio es Zprom=1.0
8.- Valor promedio de γ
Por simplicidad en los cálculos se ha estado considerando un Cp constante para cualquier
proceso de compresión, esto implica que el valor para el índice adiabático de la mezcla a
la salida del compresor sea igual que el de la entrada, es decir
2 1.42
1mez 1
γ +γγ γ
9.- Valor promedio para la relación n/(n-1) con γprom
Con un valor constante del índice adiabático (γ), entonces n/(n-1)=2.66=Cte.
10.- Valor para la carga politrópica
Sustituyendo valores en la ecuación (4.5), se obtiene
92.02
1
2.660p
8314.0 kJτ = 2.658 1.0 284.815 2.551 1
28.892 kg
11.- Determinar el número de etapas (impulsores) requeridos en el compresor
Para las condiciones dadas, se tiene un valor para el índice de la velocidad del sonido de
mez
mez mez mez
14.54 M 14.54 28.892θ= 1.026
γ Z T 1.4 1.0 284.815
De acuerdo a la Figura 4.4, para un valor de θ =1.026, se tiene que la carga politrópica
máxima es de τp,máx=36 kJ/kg, por consiguiente
p
p,máx
τ 92.02No. etapas= =2.56 3 etapas
τ 36etapa
Caso Práctico 4.1 - Método N
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
166
12.- La velocidad de giro será igual a
p
nom
p,nom
τ 92.02N=N 11000 11121.254 rpm
τ ×No. etapas 30×3
13.- La potencia de eje requerida para el proceso de compresión.
La potencia requerida para el gas es:
p
mez
p
mτ 9 92τ = = 1,089.416 kW
η 0.76
De la Tabla 4.2, las pérdidas mecánicas son del 3.0 %, por lo tanto, la potencia real
suministrada al eje es:
p,tot mez mecτ τ 1+Per 1,089.416 1+0.03 =1122,098 kW
14.- La temperatura al final del proceso de compresión es:
n 1
1n2 2.66
2 1
1
pT =T = 284.815 2.551 =404.999 K
p
4.8 ENFRIAMIENTO INTERMEDIO
Como el trabajo de compresión es directamente proporcional a la temperatura absoluta a
la que entra el flujo de fluido al compresor, es común, que en tales procesos, donde se
tienen temperaturas de descarga muy altas, debido a grandes relaciones de presiones, se
emplee enfriamiento intermedio cuando se divide al proceso de compresión en dos o más
etapas (ver Figura 4.8) [24].
Figura 4.8 Sección de un compresor centrífugo con enfriamiento a la entrada.
Enfriamiento Intermedio
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
167
Para este tipo de compresores, el diseño óptimo se obtiene cuando la temperatura de
entrada en cada una de las secciones o cuerpos del compresor es igual a la de la entrada
inicial al compresor. En la Figura 4.9 se observa el diagrama de flujo de un compresor con
interenfriamiento a la salida de cada una de las etapas del compresor.
Figura 4.9 Diagrama de Flujo para un proceso de compresión de tres etapas con
Interenfriamiento a la salida de cada una de las etapas.
Para usar el Método N y establecer un diseño preliminar del compresor, sólo se requiere
anexar al procedimiento general del método los siguientes pasos:
Enfriamiento Intermedio
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
168
1.- Estimar la relación de presión por sección con enfriamiento intermedio.
1
zi,optπ = π
(2.43)
donde:
π=relación de presiones total para el proceso de compresión.
z=número de escalonamientos
2.- Estimar la temperatura de descarga en cada una de las etapas, incorporando las
caídas de presión que se originan en el intercambiador de calor, al igual que las
asociadas a las tuberías por rozamiento o por accesorios (Nótese que cuando las
caídas de presión son consideradas, la relación de presiones total ya no es igual).
3.- Verificar que las temperaturas de descarga sean menor a la temperatura límite
establecida para el proceso, de no ser así, es recomendable incorporar una etapa
más al proceso hasta satisfacer los requerimientos de temperatura máxima.
4.- Por prueba y error, modificar la relación de presiones para el interenfriamiento
y así obtener temperaturas de descarga que se encuentren alrededor de 5 °C de
diferencia de la otra (a la anterior etapa).
CASO PRÁCTICO 4.2
Considérese como fluido de trabajo al aire seco, que entra al compresor a una p1=1 bar y
una T1= 34 °C. El objetivo es comprimir 68000 kg/hr hasta una presión de 7 bar. Se
considera que la temperatura máxima de descarga sea de 190 °C, y que la caída de presión
en el intercambiador de calor sea del 2.0 % respecto la presión de salida, además de que el
aire retorna al compresor a una temperatura de 38 °C. Determinar el tamaño de la carcasa
del compresor, número de etapas requeridas, velocidad de giro, potencia requerida y
temperatura de descarga.
Solución: Al ser el fluido de trabajo aire seco, los cálculos para los dos primeros pasos del
Método N serán igual al del ejemplo 4.1, por lo tanto, se tiene que γ1=1.4 y Z1=1.0.
3.- Gasto volumétrico
5
34 273.159 1 60,103.195
1.0 10
3 3u 1
1 1 1
mez 1
8,314R T m mG =m v m Z =16.695 =
M p s hr28.892
Caso Práctico 4.2 - Método N con Interenfriamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
169
4.- Tipo de carcasa requerida
Con un gasto volumétrico de 60,103.1951G = m3/hr, el tipo de carcasa que más se adecua
es del Tipo D, con los siguientes datos nominales.
p,nom p nom 2,nom
kJ τ =30 , η =0.77, N =4,900 rpm, d =914 mm
kg
5.- Relación de presiones para el proceso de compresión.
712
1
p 7=
p
6.- Calcular la temperatura al final de cada etapa del proceso de compresión.
Con una eficiencia politrópica del 77 %, el valor del índice politrópico (n) es igual a
1.4 0.771.59
1.4 1 11 1
mez p
mez p
γ ηn=
0.77γ η
Por consiguiente, para la relación n/(n-1), se tiene que
1.592.695
1 1.59 1
n=
n
Para este caso práctico, se supone que la temperatura máxima permisible a la salida de
cualquier etapa del proceso de compresión sea de 190 °C; de esta manera, al considerar
una sola etapa, se tiene una temperatura de descarga igual a
n 1
1n2 2.695
2 1
1
pT =T = 34 273.15 7 =632.311 K=359.161 °C
p
Como la temperatura de descarga excede a la temperatura que se ha propuesto como
máxima, se debe seccionar el proceso de compresión, hasta satisfacer la condición de la
temperatura; para el caso de 2 etapas, se tiene que
4 72.646
1 2
1
1 1
p pπ = =
p p
con una temperatura de descarga
n 1
1n2 2.695
2 1
1
pT =T = 34 273.15 2.646 =440.697 K=167.547 °C
p
La caída de presión en el intercambiador de calor (ic) se expresa como:
Caso Práctico 4.2 - Método N con Interenfriamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
170
ic 3 2Δp = p p
(4.48)
La presión a la salida de la primera sección es:
2.646 1 1 0.02 2.699 2 i 1 per,icp π p 1+p bar
y la presión a la entrada de la segunda sección
2
3
2.6992.646
1 0.02
per,ic
pp bar
1+p
entonces
ic 3 2Δp = p p 2.646 2.699 0.053 bar
Con base a los datos anteriores, la relación de presiones para la primera y segunda sección
son, respectivamente:
4
3
2.699 72.699 2.646
1 2.646 2
1 2
1
p pπ = = ; π = =
p p
Siguiendo el aire un comportamiento idealizado a lo largo del proceso de compresión,
para los pasos 7, 8 y 9 se tiene que
prom 1 mez 1 promZ =Z =1 ; γ =γ =1.4 ; n =n=1.59
10.- Cargas politrópicas por sección
2.699
1
2.658p,1
8,314 kJτ = 2.658 1 284.815 1 106.09
28.892 kg
2.646
1
2.658p,2
8,314 kJτ = 2.658 1 38+273.15 1 104.891
28.892 kg
11.- Determinar el número de etapas (impulsores) requeridos en el compresor
Para las condiciones dadas, se tiene un valor para el índice de la velocidad del sonido de
mez
mez mez mez
14.54 M 14.54 28.892θ= 0.988
γ Z T 1.4 1 307.15
Con base a la Figura 4.4, para un valor de θ =0.988 se tiene que la carga politrópica
máxima es de τp,máx=36 kJ/kg, por consiguiente
p,1
1 Sección
p,máx por etapa
τ 106.09No. etapas = =2.947 3 etapas
36τ
Caso Práctico 4.2 - Método N con Interenfriamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
171
p,2
2 Sección
p,máx por etapa
τ 104.891No. etapas = =2.914 3 etapas
36τ
12.- La velocidad de giro esigual a la máxima que se tenga para cualquiera de las dos
etapas, éstas son:
p,1
1 nom
p,nom 1 Sección
τ 106.09N =N 4,900 5,320.01 rpm
τ ×No. etapas 30.0×3
p,2
2 nom
p,nom 2 Sección
τ 104.891N =N 4,900 5,289.861 rpm
τ ×No. etapas 30×3
Por tanto, la velocidad de giro a la que operarán ambas secciones es de 5320.010 rpm.
13.- La potencia de eje requerida para el proceso de compresión.
La potencia requerida para cada una de las secciones es:
p,1
p,1
p
m τ 18.889 106.09τ = 2,602.501 kW
η 0.77
p,2
p,2
p
m τ 18.889 104.891τ = 2,573.087 kW
η 0.77
por consiguiente
mez p,1 p,2τ =τ +τ 2602.501 2573.087 5175.588 kW
De la Tabla 4.2, las pérdidas mecánicas son del 2.5%, por lo tanto, la potencia
suministrada al eje es:
tot mez mecτ τ 1+Per 5175.588 1+0.025 =5304.978 kW
14.- La temperatura de descarga para cada una de las secciones.
Para la primera sección:
n 1 1
n 2.6952 1 1T =T π = 307.15 2.699 =443.948 K
Para la segunda sección:
n 1 1
n 2.6954 3 1T =T π = 311.15 2.646 =446.437 K
Caso Práctico 4.2 - Método N con Interenfriamiento
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
172
El calor que se retira del fluido de trabajo a la salida de la primera sección del proceso de
compresión, con el uso de servicios auxiliares de enfriamiento (agua, por ejemplo) en el
equipo de intercambio de calor es de
18.889 1.005 311.15 443.948 2519.689 elim p,mez 3 2q =mC T T kW
En la Figura 4.10 se muestra una representación esquemática del compresor del CCaso
Práctico 4.2 con interenfriamiento, marcando cada una de las entradas y salidas de las dos
secciones del proceso, al igual que las propiedades de interés como lo son la presión,
temperatura y volumen específico.
Figura 4.10 Representación esquemática de un solo compresor con interenfriamiento.
4.9 TREN DE COMPRESOR MULTI-CUERPOS
El Tren de Compresor Multi-Cuerpos (ver Figura 4.11) es un conjunto de cuerpos de
compresores, cada uno constituido por múltiples etapas acoplados al rotor, los cuales
pueden tener distintos tipos de carcasa, dependiendo de las dimensiones de los impulsores
empleados [19].
Estos trenes de compresores multi-cuerpos son utilizados, cuando la carga politrópica
requerida para el proceso de compresión es tan grande, que el número de etapas necesarias
en un sólo cuerpo de compresor también lo son, por lo tanto, se emplean varios cuerpos a
manera de minimizar la carga a suministrar.
Como la temperatura de descarga de cada cuerpo es la temperatura de entrada al siguiente
cuerpo, es por ello, que se utiliza enfriamiento intermedio, para así evitar sobrepasar la
temperatura límite, al mismo tiempo que se requiere suministrar menor carga, sin
embargo, la presión se incrementa, lo que ocasiona que el volumen específico disminuya
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
1
1
3
1
T =307.15 K
p =1.0 bar
mv =0.884 kg
4
4
3
4
T =446.437 K
p =7.0 bar
mv =0.184 kg
3
3
3
3
T =311.15 K
p =2.646 bar
mv =0.338 kg
2
2
3
2
T =443.948 K
p =2.699 bar
mv =0.473 kg
limq 2519.689 kWe
Carcasa D
4 3 2 1
Imp
ulso
r
Imp
ulso
r
Imp
ulso
r Im
pu
lso
r
Imp
uls
or
Imp
uls
or
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
173
Figura 4.11 Tren de Compresor multi-cuerpos con Interenfriamiento (Cortesía Siemens).
y probablemente se requieran compresores de menor tamaño, que el de las primeras
etapas, y que operan a velocidades más altas a fin de proporcionar un servicio óptimo.
Cuando dos o más cuerpos del compresor están conectados entre sí, con la intención de
utilizar un mismo controlador, normalmente no es conveniente incorporar un engranaje
entre ellos, ya que esto complica el sistema dinámico del rotor.
Aunque claro, los engranajes también se suman a los requisitos de mantenimiento y se
consideran normalmente de entre todos los componentes del tren como los más débiles o
propensos a fallas mecánicas.
En función del controlador seleccionado, por ejemplo: un tren de compresor de tres
cuerpos posiblemente podría requerir de tres engranajes si cada compresor gira a su
velocidad de giro óptima, pero para fines prácticos, debe de considerarse sólo a la
velocidad de giro de uno de los engranajes, con el cual se establezca como el límite
práctico para el resto de los engranajes.
La complicación en la selección del compresor, comienza cuando deben de considerarse
distintos compresores, cada uno de ellos probablemente de distinto tamaño, por ejemplo:
si se tiene en un inicio a un compresor del Tipo D que opera normalmente a 4900 rpm, y
el cual va a ser conectado directamente a un compresor Tipo B que opera a 7700 rpm,
entonces, suponiendo que la carga requerida por el compresor tipo B sea de 129 kJ/kg,
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
174
cuya carga máxima por etapa es de 30 kJ/kg, entonces, se deberán tener 5 impulsores
(129/30), para así satisfacer el servicio requerido, sin embargo, si se desea conectar
directamente al compresor tipo D, el cual tiene una velocidad de giro de 4,900 rpm, es
necesario hacer uso de la ley del ventilador (ecuación 4.49), con la cual se calcula la carga
con la que operan los impulsores del tipo B, sin sobrepasar las 4,900 rpm. 2
Bp,B p,A
nom,A
Nτ =τ
N
(4.49)
sustituyendo valores, se obtiene
2
p,B
4,900 kJτ = 30 12.148
7,700 kg
Como la carga por impulsor para el compresor tipo B ha disminuido de 30 a 12.148 kJ/kg,
es de esperarse que aumente el número de impulsores para ser suministrado los 129 kJ/kg
requeridos por el proceso, por lo tanto, se tiene que el número de etapas para el compresor
tipo B es igual a
tot
p,B
τ 129No. etapas= 10.618 11 etapas
τ 12.148
Por otro lado, la velocidad impuesta por el compresor de carcasa más grande ha reducido
considerablemente la potencia del de menor tamaño, lo que conlleva a hacer uso de un
mayor número de etapas para una potencia en específico. Una de las soluciones a este
problema, es considerar a un compresor de doble flujo para el primer cuerpo (que es en
donde se tiene aun baja presión), ya que es con este tipo de compresores, con el cual el
flujo se divide en partes iguales entre las dos boquillas de entrada, localizadas en los
extremos del compresor, las boquillas de descarga, se encuentran localizadas en el centro
del cuerpo del compresor. El arreglo de doble flujo, esencialmente duplica la capacidad
del compresor, a expensas de aproximadamente una mitad de la producción potencial de
la carga politrópica. La ventaja de este tipo de arreglo es un compresor con carcasa de
menor tamaño, y por lo tanto, los cuerpos del compresor al final del proceso de
compresión podrían operar a mayores velocidades de giro.
CASO PRÁCTICO 4.3
Se requieren comprimir 52.919 kg/s de un gas que entra al compresor a una presión de
1.103 bar y que debe salir a 35.508 bar. La corriente de gas es preenfriado y secado antes
de entrar al tren del compresor. Los intercambiadores de calor usados para el
preenfriamiento y el interenfriamiento usan agua como medio de enfriamiento, cada inter-
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
175
cambiador es capaz de enfriar al gas hasta 37.777 °C con una caída de presión del 2.0 %.
Los requerimientos del proceso exigen un servicio de limpieza externo al compresor antes
de que el gas entre a la última sección del tren del compresor. La caída de presión
estimada para la sección de limpieza del gas asociada al intercambiador de calor (para el
interenfriamiento), tuberías y accesorios es de 1.034 bar.
Determinar el número de secciones del compresor, el número de cuerpos del tren del
compresor, tamaños de las carcasas del compresor, número de etapas para cada sección,
velocidad rotacional de la cadena (asumiendo la impulsión directa, es decir, sin
engranajes), la potencia total requerida y la temperatura de descarga para cada una de las
secciones.
Solución: Considérese lo siguiente:
1.- Asumir que el peso molecular del gas es constante para todo el proceso (30.0
kg/kmol).
2.- Asumir que el valor promedio del índice adiabático (γ) sea constante para todas
las secciones del compresor e igual a 1.17.
3.- Una hipótesis sobre la compresibilidad promedio se hace después de determinar
el número de secciones requeridas en el compresor. Sin embargo, por simplicidad,
el valor promedio de Z se utiliza para calcular el flujo de entrada de dicha
sección. Este enfoque no es ciertamente del todo correcto, pero sirve como una
buena primera aproximación para establecer el perfil de presiones, tras lo cual, el
análisis del gas puede ser reevaluado para su posterior selección del compresor.
Primero se determina la relación de presiones para cada una de las secciones del
compresor (según sea el caso), que sobrepase la temperatura límite de descarga
establecida. Debido a que es necesario el valor del índice politrópico, considérese como
una primera aproximación a ηPIC=0.77, por consiguiente
PIC
n 1 γ 1 1.17 1= = 0.189
n γ η 1.17 0.77
La relación de presiones total (π) para el proceso de compresión es:
obj
1
p 35.508π= = 32.188
p 1.103
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
176
En la Tabla 4.4 se muestra el valor de la temperatura de descarga del compresor de una
sección, dos secciones, tres secciones y cuatro secciones, respectivamente.
Tabla 4.4 Valor de la temperatura de descarga en función del número de secciones.
No. Secciones
(i)
T1
(°C) Relación de Presiones
(πi) n 1
n
Temperatura de
Descarga (°C)
1 37.777 32.188 0.189 325.481
2 37.777 5.673 0.189 158.279
3 37.777 3.181
0.189 113.655
4 37.777 2.382 0.189 93.105
Si la temperatura límite de descarga es de 190 °C, al ser dividido el compresor en dos o
más secciones, esta restricción no se viola, sin embargo, si se opta por la opción de dos
secciones, la carga que hay que suministrar es mayor, al igual que el número de
impulsores requeridos, lo que propicia a hacer uso de una sección más, por esta razón, y
para evitar hacer el doble de cálculos para esta parte, se pasa directamente a la opción de
dividir al compresor en tres secciones, teniendo una temperatura de descarga de 113.655
°C y una relación de presiones por sección de 3.181.
Con un tren de compresor de tres secciones y con un requerimiento de limpieza del fluido
de trabajo antes de la última sección del proceso, según lo establecido en el problema, se
recomienda que el servicio de limpieza sea externo al compresor, y de esta manera evitar
contaminar al gas limpio con el gas sucio, aunque esto genera una caída de presión
relativamente grande a través del equipo.
Entonces, al ser externo el servicio de limpieza, es posible instalar un intercambiador de
calor precedente a éste, y así satisfacer la condición para la temperatura de descarga en
cada sección, tal y como se muestra en la Figura 4.12, en donde se tiene en un primer
cuerpo a las dos primeras secciones del proceso y en un cuerpo independiente a la sección
procedente al servicio de limpieza (sin tomar en cuenta aun el número de impulsores
empleados).
Desconociendo el tipo de compresores que se emplean, debe conocerse la relación de
presiones por sección, en donde se contemplen las caídas de presión, para que
posteriormente se calcule la carga requerida y el número de impulsores requeridos.
La presión a la salida de la primera sección es:
3.181 1.103 1 0.02 3.579i 2 1 per,icp π p 1+p bar
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
177
Figura 4.12 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-Secciones.
La presión a la entrada de la segunda sección es:
2
3
3.5793.509
1 0.02
per,ic
pp bar
1+p
Para la presión a la salida de la segunda sección debe de considerarse la caída de presión,
tanto del intercambiador de calor como del equipo de limpieza, por consiguiente
4 3.509 3.181 1.034 12.196i 3 3p p π Δp bar
La presión a la entrada del segundo cuerpo del tren del compresor es de:
5 4 12.196 1.103 11.162 3p p Δp bar
Con el dato de las presiones y temperaturas conocidas en cada uno de los estados de
entrada, el factor de compresibilidad promedio puede ser estimado con la carta de
compresibilidad (Anexo B2). Por ejemplo: para el estado 1, se traza una vertical para una
T=37.77 °C y un fluido de peso molecular constante de 30 kg/kmol, se tiene que Z es
igual a 0.99. El resto de los parámetros son mostrados en la Tabla 4.5, con los cuales se
calcula el trabajo por unidad de masa para cada una de las secciones.
n 1
n2
p 1
1
pnτ ZRT 1
n 1 p (4.5)
, p,1 p,2 p,3
kJ kJ kJτ 112.429 τ 116.780 , τ 96.951
kg kg kg
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Primera y Segunda Sección Tercera Sección
1 4 2 3 6
Sección de Limpieza
5
1
1
1
T
p
v
6
6
6
T
p
v
3
3
3
T
p
v
2
2
2
T
p
v
4
4
4
T
p
v
5
5
5
T
p
v
1Δp 2Δp 3Δp
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
178
Tabla 4.5 Estimación de los parámetros para el Tren de Compresor de Tres-Secciones.
Sección 1 2 3
Presión de entrada [bar] 1.103 3.509 11.163
Presión de salida [bar] 3.579 12.197 35.508
Temperatura de entrada [K] 310.927 310.927 310.927
Índice adiabático [-] 1.17 1.170 1.170
Índice Politrópico [-] 1.233 1.233 1.233
Factor de Compresibilidad [-] 0.99 0.965 0.87
Peso Molecular [kg/kmol] 30.000 30.000 30.000
Relación de presión [-] 3.245 3.476 3.181
Recordemos la discusión anterior en donde un compresor tipo B es conectado
directamente a uno tipo D, en donde la carga se redujo para el compresor tipo B en un
40.49 % (12.148/30), y el cual no debe ser sobrepasado, ahora, bajo la condición de que
en un sólo compresor pueden tenerse acoplados como límite a sólo nueve impulsores, la
carga máxima que podría ser suministrada a una compresor es:
(9) 0.404 30máx
kJτ =109.323
kg
Esta carga es excedida por cualquiera de las dos primeras secciones, indicando que debe
ser empleados un mayor número de secciones, lo que hace viable considerar a un
compresor de 4 secciones.
Entonces, con un compresor de 4 secciones, el último cuerpo es aun viable de tener su
sección previa de limpieza sin ser modificada, por lo tanto, esto deja a tres secciones, que
es en donde, debe de realizarse las modificaciones adecuadas, pero como tres secciones es
demasiado para un sólo cuerpo, debe ser utilizado un Tren de compresor de tres cuerpos,
lo que hace factible que pueda utilizarse ya a un compresor de doble flujo que debe ser
seguido por un compresor con interenfriamiento. Esta última propuesta permitiría
aprovechar la velocidad de manejo de mejor adaptación que ofrece el arreglo de doble
flujo. El Tren de compresor de tres cuerpos en donde se tienen cuatros secciones, tres
intercambiadores de calor y un servicio de limpieza, son mostrados en la Figura 4.13 con
la nueva nomenclatura a manejar.
Ahora, restableciendo las presiones estáticas de acuerdo a la Figura 4.13, se tiene entonces
que la relación de presiones por sección es igual a:
4 4iπ = π 32.188 2.382
A la salida del primer cuerpo del tren de compresor, se tiene una presión de
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
179
Figura 4.13 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres-Cuerpos.
2 1 i mecp =p π 1 Per 1.103 2.382 1 0.02 =2.68 bar
a la entrada del segundo cuerpo
2
3
mec
p 2.68p = =2.628 bar
1 Per 1 0.02
en la sección media del segundo cuerpo
4 3 i mecp =p π 1 Per 2.628 2.382 1 0.02 =6.384 bar
4
5
mec
p 6.384p = =6.259 bar
1 Per 1 0.02
a la salida del segundo cuerpo
6 5 i 3p =p π Δp 6.259 2.382 1.034=15.942 bar
a la entrada del tercer cuerpo
7 6 3p =p Δp 15.942 1.034 14.907 bar
De esta manera, se pueden calcular el resto de los parámetros para el tren de compresor de
cuatro secciones, resultando valores que son mostrados en la Tabla 4.6.
Como el número de cuerpos para el tren ya están definidos, esto permite calcular las
cargas requeridas en cada uno de ellos, y así poder establecer el número de etapas
necesarias, al igual que el tipo de carcasa. Estos cálculos se realizarán por cuerpo, ya que
el gasto volumétrico se reduce al paso por los cuerpos.
Primer Cuerpo
Primer Cuerpo Tercer Cuerpo
4 8
Sección de
Limpieza
7
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
6 5 1 1
Segundo Cuerpo
2 3
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
180
Tabla 4.6 Estimación de los Parámetros del Tren de compresor de Cuatro-Secciones.
Sección 1 2 3 4
Presión de entrada [bar] 1.103 2.628 6.259 14.907
Presión de salida [bar] 2.680 6.384 15.942 35.508
Temperatura de entrada [K] 310.927 310.927 310.927 310.927
Índice adiabático [-] 1.17 1.170 1.170 1.170
Índice Politrópico [-] 1.233 1.233 1.233 1.233
Factor de Compresibilidad [-] 0.99 0.98 0.95 0.87
Peso Molecular [kg/kmol] 30.00 30.00 30.00 30.00
Relación de presión [-] 2.430 2.430 2.547 2.382
La primera sección, recuérdese que para simplificar, el valor promedio para el factor de
compresibilidad se toma igual al de la entrada, por consiguiente
3
1 u 11 5
mez 1
0.99 8,314 310.927 3,600Z R T mG =m = 52.919 =147318.904
M p hr30 1.103 10
Dado que la selección es el de un compresor de doble flujo para el primer cuerpo, un
tamaño de carcasa puede ser seleccionado para la mitad del flujo volumétrico
(14,7318.904/2 m3/hr), siendo el compresor de carcasa tipo D el que más se adecua a los
requerimientos, se tiene entonces, los siguientes datos nominales:
p,nom p nom 2,nom
kJ τ =30 , η =0.77, N =4,900 rpm, d =914 mm
kg
Con una ηPIC=0.77, el valor que toma el índice politrópico es:
1.17 0.771.233
1.17 1 11 1
mez p
mez p
γ ηn=
0.77γ η
La carga politrópica que habría que suministrar a la primera sección es:
5.2995.299 0.99 310.927 2.43 82.438
30 1000
1
p,1
8,314 kJτ = 1
kg
De la relación de temperaturas para una compresión politrópica
n 1 1
n 5.2992 1 1T =T π = 310.927 2.43 =367.626 K
Con un valor del índice de la velocidad del sonido
mez
mez mez mez
14.54 M 14.54 30θ= 1.1
γ Z T 1.17 0.99 310.927
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
181
Con base a la Figura 4.4, la carga máxima politrópica es de τp,máx=36 kJ/kg, dando un
número de etapas igual a
p,1
1 Sección
p,máx por etapa
τ 82.438No. etapas = =2.29 3 etapas
36τ
La velocidad de giro a la cual opera el tren del compresor, se fija por la primera sección
del compresor, la cual se obtiene a partir de la siguiente relación:
p,1
1 nom
p,nom 1 Sección
τ 82.438N =N 4,900 4,689.637 rpm
τ ×No. etapas 30×3
Segundo Cuerpo (Segunda Sección)
A la entrada de esta sección, el factor de compresibilidad ha disminuido al igual que la
temperatura de la mezcla, pasando de una temperatura T2 a una temperatura T3=T1, como
consecuencia del calor eliminado en el primer intercambiador de calor. Como la caída de
presión en el intercambiador de calor no es proporcional al cambio de la temperatura,
entonces, el gasto volumétrico ha disminuido, siendo ahora igual a:
3u 32 Sección
2 Sección 5mez 3
Z R T 0.98 8,314 310.927 3,600 mG =m = 52.919 =61,224.825
M p hr30 2.628 10
Nuevamente, la carcasa que más se adecua a este gasto volumétrico es el del compresor
tipo D, y el cual tiene una eficiencia politrópica del 77 %.
La carga politrópica suministrada a la segunda sección es:
5.2995.299 0.98 310.927 2.430 81.606
30 1000
1
p,2
8,314 kJτ = 1
kg
De la relación de temperaturas para una compresión politrópica
n 1 1
n 5.2994 3 2T =T π = 310.927 2.43 =367.626 K
Conocida la velocidad de giro del tren del compresor, la cual fue fijada por la primera
sección, es posible determinar el número de etapas para esta sección, a partir de la
ecuación (4.44), por lo tanto, el número de etapas es:
2 2
p,2nom
2 Sección
p,nom
τN 4,900 81.606No. etapas = = =2.97 3 etapas
N τ 4689.637 30
En este caso, la temperatura T3=T1, por ende, el valor del índice de la velocidad del sonido
para esta sección es igual al de la primera sección.
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
182
Segundo Cuerpo (Tercera Sección)
Esta tercera sección al igual que la segunda sección se encuentra en el segundo cuerpo del
tren del compresor, lo que indica que la carcasa para esta tercera sección deber ser del tipo
D, sin importar en esta ocasión el gasto volumétrico por razones ya mencionadas. Por otro
lado, la carga politrópica requerida para esta tercera sección es:
5.2995.299 0.95 310.927 2.547 83.703
30 1000
1
p,3
8,314 kJτ = 1
kg
De la relación de temperaturas para una compresión politrópica
n 1 1
n 5.2996 5 3T =T π = 310.927 2.547 =370.92 K
Nótese que N será nuevamente igual al de la primera sección, por lo tanto
22
p,3nom
3 Sección
p,nom
τN 4,900 83.703No. etapas = = =3.046 3 etapas
N τ 4,689.637 30
Cuarta Sección
El gasto volumétrico a la entrada de la cuarta sección, o bien, a la entrada del tercer
cuerpo que se encuentra después del servicio de limpieza es:
3u 72 Sección
4 Sección 5mez 7
Z R T 0.86 8,314 310.927 3,600 mG =m = 52.919 =9,470.138
M p hr30 14.907 10
Para este gasto volumétrico el compresor debe ser del tipo A, sin embargo, debe de
tomarse en cuenta que, con una velocidad de giro de 4,689.637 rpm se fija a la vez el
máximo gasto volumétrico que estaría entrando en esta cuarta sección.
3
máx 4 Sección A
4,689.637 mG = 12,000=5,115.968
11,000 hr
donde el 11,000 es la velocidad de giro nominal y el valor de 12,000, corresponde al gasto
volumétrico máximo para el compresor de carcasa tipo A.
Se puede apreciar que el gasto volumétrico máximo para la velocidad de giro máxima está
por debajo de los 9,470.138 m3/hr, que estarán entrando al compresor del tercer cuerpo, es
decir, que el compresor tipo A no satisface los requerimientos del proceso, por
consiguiente, se evalua al de tipo B para las mismas condiciones. Entonces
3
máx 4 Sección B
4,689.637 mG = 31,000=18,880.359
7,700 hr
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
183
3
min 4 Sección B
4,689.637 mG = 10,000=6,090.438
7,700 hr
Se puede apreciar que el gasto volumétrico que entra al tercer cuerpo está dentro del rango
del compresor tipo B, teniendo los siguientes datos nominales:
p,nom p nom 2,nom
kJ τ =30 , η =0.76, N =7,700 rpm, d =584 mm
kg
Ahora, con una ηPIC=0.76, el valor que toma el índice politrópico es:
1.17 0.761.236
1.17 1 11 1
mez p
mez p
γ ηn=
0.76γ η
La carga politrópica suministrada a la cuarta sección es:
5.2315.299 0.87 310.927 2.382 70.772
30 1000
1
p,4
8,314 kJτ = 1
kg
De la relación de temperaturas para una compresión politrópica
n 1 1
n 5.2318 7 4T =T π = 310.927 2.382 =367.045 K
El número de etapas para esta sección deben ser:
22
p,3nom
4 Sección
p,nom
τN 7,700 69.959No. etapas = = =6.287 7 etapas
N τ 4,689.637 30
La potencia total requerida para el tren del compresor debe ser la suma de cada uno de los
cuerpos, o bien, de todas las secciones, tal y como se muestra enseguida:
p,1
p,1
p,1
m τ 52.919 82.438τ = 5,665.663 kW
η 0.77
p,2
p,2
p,2
m τ 52.919 81.606τ = 5,608.434 kW
η 0.77
p,3
p,3
p,3
m τ 52.919 83.703τ = 5,752.6 kW
η 0.77
p,4
p,4
p,4
m τ 52.919 70.772τ = 4,927.89 kW
η 0.76
por consiguiente
mez p,1 p,2 p,3 p,4τ =τ +τ +τ +τ 5665.663 5608.434 5752.6 4927.89
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
Salazar Franco Filiberto -Capítulo 4-
184
mezτ =21897.943 kW
Las pérdidas mecánicas para cada uno de los cuerpos del compresor está en función de la
potencia requerida en tal cuerpo, que al sumarlas todas, da una potencia total para el tren
del compresor igual a
tot p,1 mec,1 p,2 mec,2 p,3 mec,3τ τ 1+Per τ 1+Per τ 1+Per
Para el tercer cuerpo, se tienen pérdidas mecánicas del 2.0 %, ya que se encuentra más
próximo a ese intervalo de acuerdo a la Tabla 4.2, por lo tanto
totτ 5665.663 1+0.02 5608.434 5752.6 1+0.015 4927.89 1+0.02
totτ 22336.872 kW=29954.233 hp
Los resultados para una primera aproximación del tren del compresor de tres cuerpos se
muestran en la Tabla 4.7, en el cual se han ignorado totalmente el uso de los difusores,
dispositivos esenciales para incrementar la presión, y que deben de ser contemplados en el
diseño del compresor final.
Tabla 4.7 Resumen de la variables para el compresor del Caso Práctico 4.3.
Sección 1 2 3 4
Flujo másico [kg/s] 52.919 52.919 52.919 52.919
Presión de entrada [bar] 1.103 2.628 6.259 14.907
Presión de salida [bar] 2.680 6.384 15.942 35.508
Temperatura de entrada [K] 310.927 310.927 310.927 310.927
Temperatura de descarga [K] 367.626 367.626 370.920 367.045
Densidad a la entrada [kg/m3] 1.293 3.112 7.646 19.886
Densidad a la salida [kg/m3] 2.657 6.394 16.325 40.123
Índice adiabático [-] 1.17 1.170 1.170 1.170
Índice Politrópico [-] 1.233 1.233 1.233 1.236
Factor de Compresibilidad [-] 0.99 0.98 0.95 0.87
Gasto Volumétrico [m3/hr] 147318.904 61224.825 --- 9580.256
Carga Politrópica [kJ/kg] 82.438 81.606 83.703 70.772
Peso Molecular [kg/kmol] 30.00 30.00 30.00 30.00
Relación de presiones [-] 2.430 2.430 2.547 2.382
Número de etapas [-] 3 3 3 7
Velocidad de Giro [rpm]: 4689.6
Potencia requerida [kW]: 22336.872
Número de cuerpos del compresor: 3
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
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185
El Tren del Compresor de Tres cuerpos se muestra en la Figura 4.13, donde se resalta que
la velocidad de giro del compresor es la que se ha establecido por el primer cuerpo. Por
otro lado, la Figura 4.14 muestra el diagrama T-s correspondiente.
Figura 4.14 Representación esquemática del Tren de Compresor de Tres- Cuerpos con
enfriamiento intermedio y sección de limpieza.
Figura 4.15 Diagrama T-s para el tren de compresores de tres cuerpos.
300
310
320
330
340
350
360
370
380
6.1 6.3 6.5 6.7 6.9 7.1
T(°C
)
Entropía (kJ/kgK)
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
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186
El cuerpo dos (carcasa tipo D) requiere de interenfriamiento para reducir la temperatura
del fluido. El gasto volumétrico de la sección tres es diferente al de la sección dos, sin
embargo, la carcasa debe ser del tipo D, por estar en el mismo cuerpo de la sección dos.
La potencia total requerida por el Tren de Compresores es de 22,336.87 kW; en el cálculo
se han considerado las pérdidas mecánicas y caídas de presión de la sección de limpieza y
de los intercambiadores de calor.
Tren de Compresor Multi-Cuerpo
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187
CONCLUSIONES
La ecuación de Euler de la Transferencia de la Energía es una de las ecuaciones
fundamentales para el diseño de compresores radiales, axiales o mixtos, es una de las
bases esenciales para el método basado en la dinámica de gases. Esta ecuación resulta ser
de gran utilidad cuando se realiza el diseño de un compresor, que al ser expresada en
términos de las componentes energéticas, es posible clasificar a la máquina en función del
grado de reacción, e implícitamente relacionarla con la curvatura de los álabes del
impulsor, ya que es, esta curvatura la que determina la proporción de la energía estática o
dinámica que se transfiere al fluido. Por otro lado, si el compresor se encuentra ya en
operación, es más factible utilizar primero las ecuaciones termodinámicas, debido a que el
valor de los parámetros o variables podrán ser obtenidos de mediciones directas, por
consiguiente, implícitamente serían ya contempladas las pérdidas por recalentamiento
causadas por fricción, por alguno de los mecanismos de degradación.
Debido a la complejidad de poder describir el comportamiento aerodinámico del fluido
durante la compresión, principalmente para el dispositivo del difusor, es necesario realizar
algunas consideraciones basadas en la experiencia de diseñadores, como consecuencia de
la escasa disponibilidad de obtener datos de prueba en la literatura, que permitan
desarrollar las ecuaciones que describan tal comportamiento.
La diferencia entre ambos métodos radica principalmente en que, sólo con el método de la
dinámica de gases es posible ajustar las dimensiones del impulsor, número y curvatura de
los álabes tanto del impulsor como del difusor, para las condiciones del proceso de
compresión, dándole una mayor confiabilidad a sus resultados obtenidos, y extendiendo
su aplicabilidad. Para diseñar los compresores empleados en la aeronáutica, el método de
la dinámica de gases es el más adecuado, por la precisión que se tiene en sus cálculos, al
considerar las recomendaciones de diseñadores basados en su experiencia. El
deslizamiento del fluido por la acción centrífuga del compresor, las pérdidas por ondas de
choque, las temperaturas y presiones de estancamiento, donde estas últimas son mayores a
las estáticas, siendo de suma importancia para la manufactura de los álabes. Aun cuando
el diseño del compresor implique más de un escalonamiento, la eficiencia que debe
ocuparse en los cálculos es la tecnológica. Al realizar la comparación entre el valor de las
estimaciones para el número de álabes del impulsor, referidos al triángulo de velocidades
real e isoentrópico, se obtiene un error relativo del 3.33%, dando la posibilidad de
considerar que la diferencia entre las velocidades absolutas (o alguna de sus componente)
reales e isoentrópicas sea despreciable, siendo de gran utilidad para reducir el número de
cálculos necesarios para obtener el valor de alguna de las variables desconocidas.
Conclusiones
Universidad Autónoma Metropolitana
188
La limitante de este método es la falta de disponibilidad de ecuaciones que describan la
trayectoria aerodinámica del fluido, lo que hace necesario recurrir a las consideraciones
propuestas por diseñadores, sin embargo, se hace un problema cuando varía la aplicación
del compresor. Esta limitante dio como consecuencia que se impidiera realizar el
Diagrama de Mollier real, ya que los dibujados en este documento han sido resultado de
una modificación en las pérdidas totales (Caso Práctico 3.3).
Por otro lado, para el Método N se requiere sólo de la disponibilidad de los datos
nominales del impulsor seleccionado, es decir, de la carga politrópica, del diámetro del
impulsor, de la eficiencia politrópica y del número de revoluciones, donde la eficiencia
politrópica además de ser una variable de diseño y pudiendo ser distinta para cada
impulsor, también es mayor a la isoentrópica de compresión. La ventaja de este método,
es la rapidez, con la cual se tiene una perspectiva del diseño preliminar del compresor
real, es posible diseñar un compresor desde una etapa, hasta un tren de compresores con
interenfriamiento y con secciones de limpieza, garantizando la relación de presiones, que
es optimizada, a fin de minimizar la potencia suministrada al compresor. Otra de las
grandes ventajas que tiene este método, es que puede ser empleada cualquier mezcla, lo
que explica el uso del factor de compresibilidad, para calcular el gasto volumétrico a la
entrada de las secciones, y posteriormente ser calculado y poder seleccionar la carcasa que
más se adecue. No obstante, la limitante de esta metodología es que no se toma en cuenta
los dispositivos de los difusores, los cuales, son esenciales para permitir la interconexión
entre etapas, es decir, se ignora el proceso de difusión.
Por tanto, a partir de las dos metodologías presentadas en este documento, se recomienda
reestructurar a una sola metodología que extienda las ventajas de diseño, al mismo tiempo
que se reducen las limitantes y se mejora la precisión y exactitud de los cálculos.
Conclusiones
Universidad Autónoma Metropolitana
191
ANEXOS
ANEXO A -FACTORES DE CONVERSIÓN
Dimensión Métrico
Área 1 m2 = 104 cm2 = 106 mm2 = 10-6 km2
Densidad 1 g/cm3= 1 kg/L= 1000 kg/m3
Energía, calor, trabajo,
energía interna, entalpía
1 kJ= 1000 J= 1000 Nm= 1 kPam3
1 kJ/kg= 1000 m2/s2
1 kWh= 3600kJ
1 cal= 4.184 J
Fuerza 1 N= 1 kgm/s2= 105 dina
1 kgf= 9.80665 N
Flujo de calor 1 W/cm2= 104 W/m2
Longitud 1 m= 100 cm= 1000 mm= 106 μm
1 km= 1000 m
Masa 1 kg= 1000 g
1 tonelada métrica= 1000 kg
Potencia, velocidad de transferencia
de calor
1 W= 1 J/s
1 kW= 1000 W= 1.341 hp
1 hp= 745.7 W
Presión 1 Pa= 1 N/m2
1 kPa= 103 Pa= 10-3 MPa
1 atm= 101.325 kPa= 1.01325 bars
= 760 mmHg (a 0°C)= 1.03323 kgf/cm2
1 mmHg= 0.1333 kPa
Calor específico 1 kJ/kg°C= 1 kJ/kgK= 1 J/g°C
Volumen específico 1 m3/kg= 1000 L/kg= 1000 cm3/g
Temperatura T(K)= T(°C)+273.15
ΔT(K)= ΔT(°C)
Velocidad 1 m/s= 3.6 km/h
Volumen 1 m3= 1000 L= 106 cm3 (cc)
Flujo volumétrico 1 m3/s= 60000 L/min= 106 cm3/s
Anexos
Universidad Autónoma Metropolitana
192
ANEXO B.1
TEOREMA DE BUCKINGHAM O TEOREMA DE Π
El enunciado del teorema pi dice así:
1. Toda ecuación 1 2, ,..., 0nf x x x que sea una ley representativa de un fenómeno físico
con n variables y/o parámetros, las cuales a su vez involucran h magnitudes físicas
fundamentales, se puede expresar una nueva relación funcional, dada como
1 2, ,..., 0mF , donde πi son los monomios independientes de dimensión nula o
monomios πi, que pueden formarse con las magnitudes consideradas en la ley física.
2. El número de estos monomios es m =n−h, donde h es el rango de la matriz formada
con los exponentes dimensionales de las magnitudes, con relación a una base dada.
Es importante aclarar que el teorema no aporta ninguna información acerca de la relación
funcional f o F, es decir, que si no se conoce la ecuación que gobierna el fenómeno,
mediante la aplicación del teorema no se puede determinar. El teorema sólo muestra, que
grupos adimensionales se pueden formar a partir de las variables dimensionales
originales. La metodología para encontrar estos πi (grupos adimensionales) se puede
detallar así:
Seleccionar h de las variables dimensionales originales, que se llaman variables
núcleo. Entre las h variables deben estar contenidas las h magnitudes físicas
fundamentales y no se debe poder formar un grupo adimensional al realizar un
producto de potencias entre ellas.
Cada grupo adimensional πi se forma como un producto de potencias entre las h
variables núcleo y una (y sólo una) de las restantes m variables físicas no usadas.
Como el producto de potencias de todas las variables del grupo debe resultar en una
cantidad sin dimensiones, las potencias incógnitas a la que está elevada cada
variable dimensional se determinan resolviendo un sistema algebraico, planteado
con la condición que la suma de potencias de cada magnitud física debe ser nula.
Como ejemplo ilustrativo del Teorema de Π, se demostrará la relación f =f (Re, r ), que
es el factor de fricción en función de la rugosidad relativa y del número de Reynolds
referente a la viscosidad, y es sin duda el grupo adimensional más conocido de la
mecánica de fluidos. Considérese al tubo recto de sección cilíndrica de la Figura B-1, el
cual muestra las variables físicas del fenómeno para determinar la siguiente función
Anexos
Universidad Autónoma Metropolitana
193
, , , , 0p
f cl
Teniendo 6 variables y 3 magnitudes físicas (masa, longitud y tiempo), entonces, se
pueden encontrar m=3 parámetros o grupos adimensionales. Al aplicar la metodología
para encontrar los πi, se presenta enseguida las unidades respectivas de cada variable.
Figura B-1 Tubo recto de sección cilíndrica.
-3 0 0 -1 0 0 ρ [=] ML T ; c [=] M LT ; D [=] M LT
-2 -2 0 0 -1 -1Δp[=] ML T ; [=] M LT ; μ [=] ML T
l
Se forman a los tres grupos adimensionales con 3 variables núcleos que contengan a las 3
magnitudes físicas, para el caso tratado serían (ρ,c,D), quedando que
1 1 1 1 1 1d e f d e f-3 0 0 -1 0 0 -1 -1
1π =ρ c D μ=[ML T ] [M LT ] [M LT ] [ML T ]
2 2 2 2 2 2d e f d e f-3 0 0 -1 0 0 -2 -2
2
Δpπ =ρ c D =[ML T ] [M LT ] [M LT ] [ML T ]
l
3 3 3 3 3 3d e f d e f-3 0 0 -1 0 0 0 0
3π =ρ c D =[ML T ] [M LT ] [M LT ] [ML T ]
Si el producto de los exponentes debe ser igual a cero, se puede plantear un sistema de
ecuaciones algebraico homogéneo para cada grupo adimensional, para el primero de ellos
(π1 , se tiene que
d1 e1 f1 μ
M 1 0 0 1 = 0
L -3 1 1 -1 = 0
T 0 -1 0 -1 = 0
La solución del sistema de ecuaciones algebraico homogéneo para el primer grupo
adimensional (π1) es (d1, e1, f1) = (-1, -1, -1), de este modo
p2
l
c l
D p1
ρ , μ
Anexos
Universidad Autónoma Metropolitana
194
1 1 1d e f 1 1 1
1
1π =ρ c D μ=ρ c D μ=
Re
Donde, Re es el número de Reynolds, tomando valores menores a 2300 para flujo laminar
y mayores para flujo turbulento para el caso particular de tuberías cilíndricas.
La solución del sistema de ecuaciones algebraico homogéneo para el segundo grupo
adimensional (π2) es (d2, e2, f2) = (-1, -2, 1), de este modo
2 2 2d e f -1 -2 1
2 2
Δp Δp D Δpπ =ρ c D =ρ c D =
l l ρc l
La solución del sistema de ecuaciones algebraico homogéneo para el tercer grupo
adimensional (π3) es (d3, e3, f3) = (0, 0, -1), de este modo
3 3 3d e f 0 0 -1
3π =ρ c D =ρ c D =D
Donde /D , es conocido como rugosidad relativa y se denota como r . De acuerdo al
segundo punto del Teorema Π de Buckingham, la nueva relación funcional que expresa al
mismo fenómeno físico con un menor número de parámetros es:
1 2 3 2
1 D ΔpF π , π , π =F , , 0
Re ρc lr
Si ha esta última expresión, se reduce a una de menor número de variables, así como paso
de Δp,c,ρ,μ, =0
lf
a 1 2 3F π ,π ,π =0 , se tiene que
12
D ΔpF Re,
ρc lr
Al despejar Δp de la expresión anterior y multiplicar a toda la ecuación por ρg, queda que
2
1
Δp c lF Re,
ρ g Dr
g
Al multiplicar por (2/2) del lado derecho, resulta
2
1
Δp c l2F Re,
ρ 2g Dr
g
El término Δp/ρg indica, que la caída de presión se produce debido a la pérdida viscosa
por fricción, aunque, tal término se puede obtener de igual manera a través de un balance
de energía limitado entre los extremos del tubo cilíndrico. Mediante el análisis
dimensional se logró comprender que 12F Re, r es el factor de fricción, denotado como
f=f (Re,r ) y está dado en función de la rugosidad y del comportamiento del flujo
(laminar o turbulento).
Anexos
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195
B.2 CARTA DE COMPRESIBILIDAD GENERALIZADA
Figura 2.1 Comparación de factores Z para varios gases.
Figura 2.2Carta de compresibilidad para altos y bajos valores de la presión reducida.
Anexos
Universidad Autónoma Metropolitana
196
Figura 2.3 Carta de compresibilidad para bajos valores de la presión reducida.
B.3 DATOS DE CARCASA TÍPICOS PARA COMPRESORES CENTRÍFUGOS
Tipo 3G (m /h) p,nomτ (kJ/kg) p,nomη (-) nomN (rpm) 2,nomd (m)
A 1700-12000 30.0 0.76 11000 0.406
B 10000-31000 30.0 0.76 7700 0.584
C 22000-53000 30.0 0.77 5900 0.762
D 39000-75000 30.0 0.77 4900 0.914
E 56000-110000 30.0 0.78 4000 1.120
F 82000-170000 30.0 0.78 3300 1.370
Anexos
Universidad Autónoma Metropolitana
197
REFERENCIAS
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Investigador, UAM-I, (2010).
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Investigador, UAM-I, (2010).
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Referencias
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Chilena, Vol. 15, No. 3, (2007).
Referencias
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