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Divisibilidad en los números naturales
1. Múltiplos y divisores de un número
2. Propiedades de múltiplos y divisores
3. Criterios de divisibilidad
4. Números primos y números compuestos
5. Descomposición factorial
6. Máximo común divisor
7. Mínimo común múltiplo
UNIDAD 03
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
© GELV
1. Múltiplos y divisores de un número
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
Un número natural a se dice que es múltiplo del número natural b si podemos obtener a como
resultado de multiplicar b por un número natural k.
a = b · k
Un número natural a se dice que es divisor del número natural b si b es divisible entre a, es decir,
b se puede dividir entre a y la división es exacta.
7 = {7, 14, 21,…}
Notación matemática: múltiplos de un número
Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a
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2. Propiedades de múltiplos y divisores
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- Los múltiplos de un número son infinitos:
= 5, 10, 15, 20, 25, ...
5
- Los divisores de un número no son infinitos, son finitos:
D (12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
- El conjunto de múltiplos de 1 es:
1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
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2. Propiedades de múltiplos y divisores
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1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
- El cero es múltiplo de todos los números naturales:
- Los divisores de un número pueden formar parejas cuyo producto es ese mismo número:
D (15) = 1, 3, 5, 15 1 · 15 = 3 · 5 = 15
- Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo:
a = a · 1
a · 0 = 0
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2. Propiedades de múltiplos y divisores
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
NUMEROS PERFECTOS: son los números cuyos divisores, exceptuando el propio número, suman exactamente su valor.
6 = 1+ 2 + 3
28 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
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3. Criterios de divisibilidad
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
Un número es divisible entre 2
Si acaba en cifra par
Un número es divisible entre 3
Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3
Un número es divisible entre 5
Si acaba en 0 ó en 5
Un número es divisible entre 11
Si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan
lugar par es cero o múltiplo de 11
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3. Criterios de divisibilidad
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
Un número es divisible entre 6
Si es divisible entre 2 y 3 a la vez
Un número es divisible entre 9
Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9
Un número es divisible entre 4
Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 4 ó si son 00
Un número es divisible entre 25
Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 25 ó
si son 00
Un número es divisible entre 4
Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 4 ó si son 00
Un número es divisible entre 6
Si es divisible entre 2 y 3 a la vez
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3. Criterios de divisibilidad
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
Un número es divisible entre 7
Si la diferencia entre el número quitándole la cifra de unidades y el doble de la cifra de unidades es múltiplo
de 7 ó 0
343 34 – 2·3 = 28 múltiplo de 7.
105 10 – 2·5 = 0 múltiplo de 7.
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4. Números primos y compuestos
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Un número es primo si solo admite como divisores a él mismo y la unidad
Por ejemplo: 1, 2, 3, 13, 53,...
Para un número primo a solo es posible una descomposición en factores:
a = a · 1
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4. Números primos y compuestos
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1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
Un número es compuesto si admite otros divisores distintos de sí mismo y de la unidad.
D (18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Dos números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es el uno.
D (8) = 1, 2, 4, 8, D (15) = 1, 3, 5, 15
8 y 15 son primos entre sí porque el único divisor común es el 1.
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4. Números primos y compuestos
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1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
CRIBA DE ERATOSTENES
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5. Descomposición factorial
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180 5 36 3 12 3 4 2 2 2 1
Cualquier número se puede descomponer en el producto de sus factores primos (todos ellos números
primos).
180 = 22 · 32 · 5 · 1
Divisores
Cocientes
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D (220) = {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284
5. Descomposición factorial
D (284) = {1,2,4,71,142} 1+2+4+71+142 = 220
NUMEROS AMIGOS: son parejas de números en los que la suma de los divisores de uno de ellos da como resultado el otro y recíprocamente.
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6. Máximo común divisor
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de los divisores comunes. Si descomponemos los números en factores primos, multiplicamos los factores comunes elevados al
menor exponente
m.c.d. (90, 84) = 2 · 3 = 6
90 = 2· 32 · 5
84 = 22 · 3 · 7
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6. Máximo común divisor
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
Otra manera de calcular el máximo común divisor (m.c.d.)
m.c.d. (72, 80, 200) = 23 = 8
72 80 200 2
36 40 100 2
18 20 50 2
9 10 25 No hay más
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7. Mínimo común múltiplo
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de los múltiplos comunes. Si
descomponemos los números en factores primos, se multiplican todos los factores comunes y no comunes
elevados al mayor exponente
m.c.m. (90,84) = 22 · 32 · 5 · 7 = 1.260
90 = 2· 32 · 5
84 = 22 · 3 · 7
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DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
Otra manera de calcular el mínimo común múltiplo (m.c.d.)
m.c.d. (45, 70, 50) = 2 · 32 · 52 · 7= 3150
45 70 50 5
9 14 10 2
- 7 5 5
- - 1 7
- 1 3
3 3
1
7. Mínimo común múltiplo
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