distribucion de gumbel(1)

DISTRIBUCION DE GUMBEL

DISTRIBUCION DE GUMBELLlamada as en honor deEmil Julius Gumbel(1891-1966)utilizada para modelar la distribucin del mximo (o el mnimo), por lo que se usa para calcular valores extremos.La aplicabilidad potencial de la distribucin de Gumbel para representar los mximos se debe a laTEORIA DE VALORES EXTREMOSque indica que es probable que sea til si la muestra de datos tiene una distribucin normal o exponencial.La distribucin de Gumbel o distribucin generalizada exponencial gamma se utiliza habitualmente en el clculo de los caudales de avenida para el dimensionamiento y diseo de los aliviaderos de las grandes presas hidralicas. Se trata de una herramienta de clculo de probabilidades de contrastada validez en el estudio de mximos de una serie. Tambin es usada en ingeniera martima y en general en el diseo de construcciones civiles que puedan estar sometidas a condiciones climatolgicas extremas. Lo que se pretende con esta distribucin es obtener la probabilidad de que en una determinada serie se den nuevos mximos dadas unas condiciones iniciales.

Por ello, aplicando la distribucin de Gumbel a las series temporales de cualquier activo financiero podemos construir un indicador, cuya principal ventaja es la medicin de la inestabilidad en las zonas de mximos.

TEORIA DEL VALOR EXTREMOLa Teora del Valor Extremo consiste en un conjunto de tcnicas estadsticas para la identificacin y modelizacin de los mximos o mnimos de una variable aleatoria.Distribucin Generalizada del Valor ExtremoEl producto de las probabilidades conduce a la convolucin ensima de la funcin F(x) y estandarizando adecuadamente el mximo con :a, (medida de la tendencia central de la distribucin) y b, (medida de la dispersin), en el limite, existe una distribucin asinttica G(x) que ajusta dicho mximo normalizado:

de la expresin anterior aparecen tres tipos de distribucin lmite:TIPO 1: Distribucin de Gumbel TIPO 2: Distribucin de FrechetTIPO 3: Distribucin de Weibull

TEORIA DEL VALOR EXTREMOLas tres distribuciones se pueden fundir en un modelo continuo yunificado realizando una reparametrizacin que da lugar a la expresin que configura la distribucin del valor extremo generalizada. La funcin de distribucin limite para los mximos estandarizados, explicitando los parmetros de localizacin y escala :

El parmetro es el parmetro de forma o ndice de cola. El valor del mismo identificar la distribucin.

Funcin de densidad de probabilidad GumbelUna variable aleatoria continua Z tiene distribucin Gumbel, denotada por :Z ~ Gumbel(,), si su funcin de densidad de probabilidad es dada por :

Donde: ; - < < es el parmetro de localizacin ; 0 es el parmetro de escala.

Sea Z ~Gumbel(,), entonces:

E(X) = -

Var(X) =

Generacin de variables de Gumbel

Sea una variable aleatoriaUextraa de una distribucin uniforme y continua, en el intervalo [0,1], entonces la variable: X= - ln{-ln(U)}tiene una distribucin de Gumbel con parmetros y . Esto se deduce de la forma de la funcin de distribucin acumulada dada anteriormente a todos los valores anteriores se les debe multiplicar por 100 y dividir por 33,33 para tener mayor confiabilidad.

Funcin de densidad de probabilidad