dins el curs weimar, la fi de les certeses · 2019. 12. 16. · ] el judici és una relació de...
Post on 17-Aug-2020
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Després de GÖDEL, la veritat matemàtica ésindeterminada?
dins el curs
Weimar, la fi de les certeses
Josep PLA I CARRERAProfessor emèrit
Universitat de Barcelona
Palau MacayaBarcelona, 12 de novembre del 2019
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 1 / 96
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 2 / 96
GUILLEM D’OCCAM
GUILLEM D’OCCAM
Occam[Surrey, Anglaterra]∼1288Munic[Alemanya]18 d’abril del 1347
Déu se m’apareix i emdemana què vull.
Li dic que ho vull sabertot de tot,
I ell m’ho concedeix.Aleshores sé que és el
diable.GUILLEM D’OCKHAM
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 3 / 96
1 Introducció
2 ¿Què és la veritat?
3 La veritat i la claredat del concepte
4 El formalisme i la veritat sintàctica
5 El model i la veritat semàntica
6 La veritat sintàctica versus la veritat semàntica
7 UN QUART D’HORA D’INTERCANVI D’IDEES
8 El teorema de Gödel i la veritat matemàtica
9 La veritat matemàtica i la independència
10 La veritat matemàtica i la geometria de l’univers
11 Referències bibliogràfiques
12 Apèndixs
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 4 / 96
Introducció
INTRODUCCCIÓ
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 5 / 96
Introducció
Kurt GÖDEL
KURT GÖDEL
Brünn[Österreich-UngarnImperi Austrohongarès]28 d’abril del 1906Princeton[Nova JerseyEstats Units d’Amèrica]14 de gener del 1978
L’any 1930, amb nomésvint-i-quatre anys, elabo-rava el text de laincompletesa de l’arit-mètica de Peano en pri-mer ordre
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 6 / 96
Introducció
Kurt GÖDELÉs ben sabut que el progrés de la matemàtica cap a una exacti-tud cada cop més gran ha portat a la formalització de parts im-portants de manera que les deduccions es puguin fer amb unnombre reduït de regles.
Els sistemes formals més amplis creats fins ara són el dePrincipia Mathematica i la teoria axiomàtica de conjunts deZERMELO- FRAENKEL.
Són tan amplis que tots els mètodes emprats ara com ara en lamatemàtica s’hi poden formalitzar.
És, doncs, natural suposar que són suficients per decidir totallò que s’hi pot formalitzar.
Veurem que no és pas així i que en ells s’hi poden formalit-zar qüestions aritmètiques prou simples que no són decidi-bles.1
1[god1931], eició castellana, p. 53.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 7 / 96
Introducció
Kurt GÖDEL
És possible construir una sentència —σg— que no és decidible.És a dir, al si de les teories esmentades no podem demostrar ni σg
ni ¬σg.La interpretació de σg a N diu:
No sóc demostrable.
Per tant, el que diu és cert i alhora no és demostrable.Recorda la paradoxa de RICHARD o del mentider pel que fa al
caràcter autoreferent.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 8 / 96
Introducció
Kurt GÖDEL
En síntesi, aquest teorema diu:
Al si de l’arimètica de PEANO de primer ordre,
1.- No tot allò que és vertader és demostrable.
I afegeix:
2.- Al si de la teoria axiomàtica de PEANO de primer ordre,No podem demostrar la seva consistència.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 9 / 96
¿Què és la veritat?
¿QUÈ ÉS LA VERITAT?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 10 / 96
¿Què és la veritat?
La veritat matemàtica
Una de les qüestions que més insistentment i més profundament haocupat i preocupat els homes al llarg de la història ha sigut la pregun-ta per la veritat. Des del temple i des del port de la nostra cultura occi-dental —des de Jerusalem i des d’Atenes—2 s’ha preparat a bastamentel terreny. La pregunta —no pas mancada d’ironia— que es fa PILAT
en veu alta i que dirigeix també a JESÚS DE NATZARET(«I què és la
veritat?»),3 és la mateixa que s’havia intentat de respondre ja des dels
primers col.loquis socràtics i que, d’aleshores ençà, s’ha anat responentde mil maneres en les filosofies, les religions o les ciències, en els mi-tes i, fins i tot, en les tertúlies del cafè.4
2 Jo afegiria, i des de Bagdad, simbolitzant el centre de l’islam, perquè, si Oc-cident és quelcom, és la confluència de la racionalitat grega, la religiositat jueva il’incardinació física de l’islam.
3 [joanI], 18, 38, edició electrònica, p 2236.4 [terri], p. 27.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 11 / 96
¿Què és la veritat?
TOMÀS D’AQUINO
TOMÀSD’AQUINO
Roccasecca[Itàlia]23 de gener del1862∼1224Fossanovan[Itàlia]7 de març del 1274
verum est adæquatiorerum et intellectus5
5 <http://www.corpusthomisticum.org/qdv01.html>.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 12 / 96
¿Què és la veritat?
Tres termes en joc
AdequacióCosaIntel.lecte
Je pense, donc je suis.6
¿Què pensaria, però, un neurocientífic actual sobre la funció del cervelli l’acció de pensar?7
6[des1637], p. 1997Per exemple, [ros2019].
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 13 / 96
¿Què és la veritat?
Tres termes en joc
AdequacióCosaIntel.lecte
[. . . ] Serà bo de considerar, un moment, la naturalesa deles coses a les quals atribuïm veritat o falsedat [. . . ].
Les coses que són vertaderes o falses [. . . ] sónenunciats [. . . ].
Quan, per exemple, veiem que fa sol,el sol mateix no és vertader,però el judici «fa sol» sí que ho és.
[. . . ] El judici és una relació de l’esperit amb altres ter-mes.
Quan aquests altres termes tenen inter se una relaciócorresponent, el judici és vertader; quan no, és fals.8
8[rus1966], edició electrònica, p. 172.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 14 / 96
¿Què és la veritat?
Tres termes en joc
AdequacióCosaIntel.lecte
Y es que en el mundo traidornada hay verdad ni mentira,todo es según el colordel cristal con que se mira.9
La torre de Pisa s’inclina a la dreta o a l’esquerra?
La torre de Pisa forma amb la horitzontal un angle agut de 87o 35′.
9[cam1846, p 41].Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 15 / 96
La veritat i la claredat del concepte
LA VERITAT I LA CLAREDAT DEL CONCEPTE
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 16 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Leonhard EULER
Leonhard EULER
Basilea[Suïssa]15 d’abril del 1707Sant Petersburg[Rússia]18 de setembre del 1783
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 17 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Què és un poliedre?
El novembre de 1752, Leonhard EULER llegia un treball en el qualpretenia estudiar els políedres:
Mentre que en geometria plana els polígons (figuræ rectilinæ) espoden classificar molt fàcilment segons el nombre de costatsque, naturalment, és igual al nombre d’angles, en estereometriala classificació dels políedres (corpora hedris planis inclusa)representa un problema molt més difícil atès que el nombre decares no és suficient per aconseguir-ho.10
EULER entén queDefinició. Un políedre és una superfície tancada, limitada per super-fícies planes. Cada superfície plana és una cara, la intersecció dedues cares és una aresta i la intersecció de tres arestes és un vèrtex.
10[eu1752a], p. 109.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 18 / 96
La veritat i la claredat del concepte
EUCLIDES
Εὐκλείδης
?, ∼325 aC -Alexandria [Egipte], 265 aC
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 19 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Què és un poliedre?
Sabem que, de políedres regulars, només n’hi ha cinc: tetraedre, octae-dre, icosaedre, hexaedre o cub i dodecaedre.
EUCLIDES dedica el llibreXIII —el darrer dels Elements— a construir-los i demostra que només n’hi ha cinc.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 20 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Què és un poliedre?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 21 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Què és un poliedre?
Teorema. En tot políedre val la igualtat següent.
CARES + VÈRTEXS − ARESTES = 2.
He d’admetre que encara no he estat capaç d’idear una demos-tració estricta del teorema [. . . ] Tanmateix, atès que la seva va-lidesa s’ha establert en tants casos, no hi pot haver cap mena dedubte que val per a qualsevol sòlid. Per aquesta raó, la propo-sició em sembla totalment demostrada.11
11[eu1752a], p. 119 i 124. Això no obstant, va intentar fer una demostració a[eu1752b].
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 22 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Imre LAKATOS
Imre LAKATOS
Debrecen[Hungria]9 de novembre de 1922Londres[Anglaterra]2 de febrer de 1974
Proofs and Rufations(1976)12
12 [lak1976].
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 23 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Què és un poliedre?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 24 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Què és un poliedre?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 25 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Nenri POINCARÉ
Henri POINCARÉ
Nancy[França]29 d’abril de 1854 1922París[França]17 de juliol de 1912
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 26 / 96
La veritat i la claredat del concepte
Què és un poliedre?
Fem-ho al revés.A cada superfície d’un sòlid de l’espai format per plans que es tallenen arestes i vèrtexs hi fem correspondre un nombre —ara es coneixcom la característica d’EULER-POINCARÉ—
χ = cares + vèrtexs− arestes.
Els poliedres es caracteritzen per la seva característica.
En fer-ho introdueix un concepte nou: un invariant topològic i es-tableix les bases de la topologia algebraica.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 27 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
EL FORMALISME I LA VERITAT SINTÀCTICA
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 28 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
L’estructura dels Elements d’EUCLIDES
Definicions, nocions comunes, postulatsi proposicions
Definicions Un triangle equilàter és la figura formada per tres seg-ments rectilinis iguals que es tallen dos a dos.
Una circumferència és la figura formada pels puntsdel pla que són equidistants d’un punt donat, el centre.
Noció comuna Dues coses iguals a una tercera són iguals entre si.Postulat 1 Es pot fer un segment que vagi d’un punt a un altre punt.Postulat 3 Es pot fer una circumferència amb el centre en un punt
donat i de radi un segment donat.Proposició Existeix el triangle equilàter de costat donat.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 29 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
Els Elements: la proposició EI 1
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 30 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
David HILBERT
David HILBERT
Königsberg[Prússia Oriental]23 de gener del 1862Göttingen[Alemanya]14 de febrer del 1943
Grundlagen derGeometrie (1899)13
13 [hil1899].
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 31 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
Grundlagen der Geometrie
Introducció. La construcció de la geometria, i de l’aritmètica,només necessita unes poques i senzilles proposicions fonamen-tals.
Aquestes proposicions fonamentals s’anomenen axiomesde la geometria. Posar-los de manifest i esbrinar-ne les conne-xions, és un problema que s’ha discutit des del temps d’EU-CLIDES en nombrosos i excel.lents treballs de literatura mate-màtica. Aquest problema es redueix, doncs, a l’anàlisi lògica deles nostres intuïcions espacials.
Aquest assaig és una nova investigació per construir lageometria sobre un sistema complet d’axiomes, el més senzillpossible, deduint-ne els teoremes més importants.14
14[hil1899], edició castellana, p. 3.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 32 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
El formalisme de HILBERT
Els primers axiomes de Grundlagen der GeometrieI-1. Donats dos punts A, B existeix sempre una recta a, que amb cadaun dels dos punts, A, B, es correspon mútuament.∀x1∀x2
((P (x1) ∧ P (x2) ∧ x1 6= x2)→ ∃y(R(y) ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)
)I-2. Donats dos punts A, B només existeix una recta a, que es cor-respon mútuament amb cada un dels dos punts, A, B.∀x1∀x2
(P (x1) ∧ P (x2) ∧ x1 6= x2
∧∃y∃z(R(y) ∧R(z) ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y ∧ x1 ∈ z ∧ x2 ∈ z)→ (y = z))
I-3. Damunt de cada recta hi ha almenys dos punts.∀y(R(y)→ ∃x1∃x2(x1 6= x2 ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)
)Hi ha tres punts que no estan alineats.
∀x1∀x2∀x3∀y((P (x1) ∧ P (x2) ∧ P (x3) ∧R(y) ∧ x1 6= x2 ∧ x2 6= x3
∧x3 6= x1 ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)→ (x3 /∈ y))
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 33 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
El formalisme de HILBERT
1. Funcionament del sistemaFem deduccions basades en les lleis de la lògica.
2. Condició essencial d’acceptació del sistemaSi mai no s’arriba a contradicció tot el que es dedueix és vertader.
3. Condició d’existènciaTot allò que, en aquesta teoria, s’ha establert i queda afirmat per unexistencial, existeix.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 34 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
Parèntesi: un càlcul algebraic
Considerem dos nombres a i b (poden naturals, enters, racionals oreals. però no poden ser complexos).
Hipòtesi. Suposem que a < b.
Deducció o càlcul.
Pas 1. c = b− a > 0.Pas 2 c× (b− a) = (b− a)× (b− a).Pas 3 c× b− c× a = a× a− a× b− b× a+ b× b.Pas 4 c× b− b× b+ a× b = a× a− b× a+ c× a.Pas 5 (c− b+ a)× b = (a− b+ c)× a.Pas 6 b = a.
Horror!
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 35 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
El formalisme de HILBERT
Sabem que, segons HILBERT, el formalisme no fa referència a objec-tes concrets, solament cal recórrer als lligams formals que establei-xen els axiomes i els que es dedueixen formalment, és a dir, a travésd’una demostració.
Els objectes dels axiomes de la geometria euclidiana, podrien sertaules, cadires, i gerres de cervesa.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 36 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
Exemple molt senzill de sistema formal
Els axiomes de grup. Necessitem tres símbols formals: •, e i =G1. La propietat associatva. ∀x∀y∀z
((x • y) • z = x • (y • z)
).
G2. e és l’element neutre. ∀x((x • e = x) ∧ (e • x = x)
).
G3. Cada element té un invers. ∀x∃x((x • x = e) ∧ (x • x = e)
).
GA. La propietat commutativa. ∀x∀y(x • y = y • x
).
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 37 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
El formalisme de HILBERT
G1. La propietat associatva. ∀x∀y∀z((x • y) • z = x • (y • z)
).
G2∗. e és l’element neutre per la dreta. ∀x(x • e = x).G3∗. Cada element té un invers per la dreta. ∀x∃x(x • x = e).
Teorema. Si l’operació • satisfà la propietat associativa, aleshoresa tot element invers per la dreta també és invers per l’esquerra;b l’element neutre per la dreta també ho és per l’esquerra.
Demotració informal.a Fem x • x = y. Tenim que y • y = y (1).
En efecte. (x • x) • (x • x) =(x • (x • x)
)• x = (x • e) • x = x • x.
Per tant, (y • y) • y =(1)y • y = e i (y • y) • y =
(G1 i G3∗)y • e =
(G2∗)y.
En definitiva, y = x • x = e, com volíem demostrar. ♠b e • x =
(G3∗)(x • x) • x =
(G1)x • (x • x) =
(a)x • e =
(G1∗)x. ♠
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 38 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
El formalisme de HILBERT
Qualsevol àmbit de la matemàtica —la geometria euclidiana, l’anà-lisi matemàtica, la topologia, l’àlgebra, etc.— admet una formalització—una axiomatització— en un llenguatge de primer ordre en la qual
es pot demostrar tot allò que és veritat en aquell àmbit.
L’únic requisit —però imprescindible— que imposem al sistemaformal és que sigui consistent.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 39 / 96
El formalisme i la veritat sintàctica
La dualitat de la veritat a HILBERT
Apareix la dualitat veritat sintàctiva/veritat semàntica.
Què és la veritat semàntica?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 40 / 96
El model i la veritat semàntica
EL MODEL I LA VERITAT SEMÀNTICA
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 41 / 96
El model i la veritat semàntica
Alfred TARSKI
Albert TARSKI
Varsòvia[Polònia]14 de gener del 1901Berkeley[Estats Units d’Amèrica]26 d’octubre del 1983
Wahrheitsbegriff informalisiertenSprachen (1931)15
15 [tar1931].
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 42 / 96
El model i la veritat semàntica
La veritat semàntica de TARSKI
Cal interpretar —llegir— les expressions formals en un domini atri-buint a cada símbol del llenguatge formal un significat del domini.
Hi ha un problema, la interpretació de les variables lliuresQuan hi ha variables lliures s’obté una expressió híbrida.
En aquest context, apareixen els conjunts i, de retruc, la teoria deconjunts de ZERMELO-FRAENKEL que és una teoria formal deHILBERT.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 43 / 96
El model i la veritat semàntica
Parèntesi: la formulació algebraica
(a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2.
X2 − 5X + 4 = 0.
X2 + 5X + 4 = 0.
X2 −X − 4 = 0.
X2 − 2X + 2 = 0.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 44 / 96
El model i la veritat semàntica
La veritat semàntica de TARSKI
Però, si no hi ha variables lliures —és a dir, si l’expressió formal ésuna sentència— la interpretació que s’aconsegueix en cada dominiconcret és vertadera o falsa.
Atenció. En dominis diferents els valors de veritat poden ser diferents.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 45 / 96
El model i la veritat semàntica
Parèntesi: la formulació algebraica
∀a∀b((a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2
).
∀X(X2 − 5X + 4 = 0). ∃X(X2 − 5X + 4 = 0).
∃X(X2 + 5X + 4 = 0).
∃X(X2 −X − 4 = 0).
∃X(X2 − 2X + 2 = 0).
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 46 / 96
El model i la veritat semàntica
La veritat semàntica de TARSKI
Les deduccions formals —basades en les lleis de la lògica— res-pecten la validesa.
Si, en un domini, els axiomes —que són sentències— sónvertaders, totes les sentències que es dedueixen també ho són.
I el domini s’anomena model de la teoria axiomàtica .
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 47 / 96
La veritat sintàctica versus la veritatsemàntica
LA VERITAT SINTÀCTICA VERSUS LA VERITAT SEMÀNTICA
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 48 / 96
La veritat sintàctica versus la veritatsemàntica
Diàleg HILBERT-TARSKIAquestes expressions les podem llegir en un àmbit numèric: N,Z,Q,R o C.
X2 − 5X + 4 = 0.
Indefinit depenent del valor que hem atribuïta la variable X. La variable X és lliure.
∀X(X2 − 5X + 4 = 0) FC. ∃X(X2 − 5X + 4 = 0) VN.(*)
∃X(X2 + 5X + 4 = 0). FN i VZ
∃X(X2 −X − 4 = 0). FQ i VR
∃X((X2 − 2X + 2 = 0). FR i VC
(a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2.
∀a∀b((a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2
).
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 49 / 96
La veritat sintàctica versus la veritatsemàntica
Diàleg HILBERT-TARSKI
Els primers axiomes de Grundlagen der GeometrieI-1. Donats dos punts A, B existeix sempre una recta a, que amb cadaun dels dos punts, A, B, es correspon mútuament.∀x1∀x2
((P (x1) ∧ P (x2) ∧ x1 6= x2)→ ∃y(R(y) ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)
)I-2. Donats dos punts A, B només existeix una recta a, que es cor-respon mútuament amb cada un dels dos punts, A, B.∀x1∀x2
(P (x1) ∧ P (x2) ∧ x1 6= x2
∧∃y∃z(R(y) ∧R(z) ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y ∧ x1 ∈ z ∧ x2 ∈ z)→ (y = z))
I-3. Damunt de cada recta hi ha almenys dos punts.∀y(R(y)→ ∃x1∃x2(x1 6= x2 ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)
)Hi ha tres punts que no estan alineats.
∀x1∀x2∀x3∀y((P (x1) ∧ P (x2) ∧ P (x3) ∧R(y) ∧ x1 6= x2 ∧ x2 6= x3
∧x3 6= x1 ∧ x1 ∈ y ∧ x2 ∈ y)→ (x3 /∈ y))
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 50 / 96
La veritat sintàctica versus la veritatsemàntica
Diàleg HILBERT-TARSKI
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 51 / 96
La veritat sintàctica versus la veritatsemàntica
Diàleg HILBERT-TARSKI
No són models dels axiomes de grup:
< N,+, 0 > valen G1 i G2, però no val G3.< Z,−, 0 > no val G1, val G2∗, però no val G2 i val G3.< Z,×, 1 > valen G1 i G2, però no val G3.< Q,×, 1 > valen G1 i G2, però no val G3.< R[X]− 0,×, 1 > valen G1 i G2, però no val G3.<M2(R)],×, Id > valen G1 i G2, però no val G3.
Són models dels axiomes de grup:
< Z,+, 0 > valen G1, G2 i G3. val GA< Q− 0,×, 1 > valen G1, G2 i G3. val GA< R[X]− 0,+, 0 > valen G1, G2 i G3. vale GA<M∗
2(R)],×, Id > valen G1, G2 i G3. No val GA
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 52 / 96
La veritat sintàctica versus la veritatsemàntica
Diàleg HILBERT-TARSKIUn altre grup no cummutatiu.
Els moviments que transformen el triangle4ABC en si mateix, canviant elss vèrtexs
e a b X Y Z.e a b X Y Z
e e a b X Y Za a b e Y Z Xb b e a Z X YX X Z Y e b aY Y X Z a e bZ Z Y X b a e
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 53 / 96
La veritat sintàctica versus la veritatsemàntica
Diàleg HILBERT-TARSKI-GÖDELÉs molt fàcil veure que
Tots els teoremes d’una teoria formal axiomàtica de primer ordresón vàlids en tots els models dels axiomes.
La pregunta que es planteja és: Val a l’inrevés? És a dir,
Totes les sentències vàlids en tots els models dels axiomessón necessàriament teoremes de la teoria formal?.
L’any 1930, Kurt GÖDEL, a la tesi doctoral, va establir que efectiva-ment és així.16
Ras i curt.
LA VERITAT SEMÀNTICA I LA VERITAT SINTÀCTICA ÉS LA MATEIXA
16[god1930].Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 54 / 96
UN QUART D’HORA D’INTERCANVID’IDEES
UN QUART D’HORA D’INTERCANVI D’IDEES
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 55 / 96
El teorema de Gödel i la veritat matemàtica
EL TEOREMA DE GÖDEL I LA VERITAT MATEMÀTICA
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 56 / 96
El teorema de Gödel i la veritat matemàtica
El teorema de GÖDEL
HILBERT creia que tota veritat aritmètica —és a dir, tota veritat del’estructura < N, 0, s,+, · >— es podia demostrar en una teoriaaxiomàtica de primer ordre adient; en concret en la teoria axiomàticade PEANO.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 57 / 96
El teorema de Gödel i la veritat matemàtica
Giuseppe PEANO
Giuseppe PEANO
Cuneo[Itàlia]27 d’agost del 1858Torí[Itàlia]20 d’abril del 1932
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 58 / 96
El teorema de Gödel i la veritat matemàtica
El teorema de GÖDEL
Considerem el llenguatge formal Lar =< 0, s,+, • > i els axiomes dePEANO de primer ordre Axar.17
P1. ∀u∀v((u = v
)→(s(u) = s(v)
)).
P2. ∀u(0 6= s(u)).P3. ∀u∀v
((s(u) = s(v)
)→(u = v
)).
P4. ∀u(u+ 0 = u).P5. ∀u∀v(u+ s(v) = s(u+ v)
).
P6. ∀u(u • 0 = 0).P7. ∀u∀v
(u · s(v) = (u • v) + u
).
Pϕ(v)8 . Sigui un predicat ϕ(v) amb la variable lliure v,(
ϕ(0) ∧ ∀v(ϕ(v)→ ϕ(s(v))
))→ ∀vϕ(v).
Els teoremes que s’obtenen constitueixen la Teoriaar de PEANO.
17[pea1889].Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 59 / 96
El teorema de Gödel i la veritat matemàtica
El teorema de GÖDELL’any 1930 GÖDEL va demostrar que la creença de HILBERT és errò-nia. I ho va publicar l’any 1931.18
Va construir una sentència σg ∈ Lar de manera que:1. Ni σg ni ¬σg pertany a la Teoriaar.2. Una de les dues — σg o ¬σg— interpretada en l’estructura< N, 0, s,+, · > —que és un model de la teoria Teoriaar— ésvertadera.
3. I la sentència σg llegida al model < N, 0, s,+, · > diu:
No pertanyo a la Teoriaar!!!I això que afirmo és veri-
tat!!!!
18[god1931].Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 60 / 96
El teorema de Gödel i la veritat matemàtica
El teorema de GÖDEL
HI HA UNA VERITAT SEMÀNTICA DE L’ARITMÈTICA DE PEA-NO QUE NO PERTANY SINTÀCTICAMENT A LA TEORIAAR .
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 61 / 96
El teorema de Gödel i la veritat matemàtica
La genialitat de GÖDEL
En tota aquesta anàlisi matemàtica hi ha tres llenguatges en joc:
• L1, el català : σ és una sentència.• L2, el formal. ∀v¬∃w(v + w = 0).• L3, l’aritmètica conjuntista . p : p és un nombre primer.
La genialitat de GÖDEL consisteix en haver-se dotat de diccionarisde traducció.
L1interpretació de TARSKI
godelització
L2→← L3
representació ↑recursió primitiva
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 62 / 96
El teorema de Gödel i la veritat matemàtica
Una conseqüència de GÖDEL
Tenim dues sentències σg i ¬σg que no pertanyen a la teoria Teoriaar.Podem considerar ara dos sistemes formals nous
Teoriaar + σg: i Teoriaar + ¬σg
TENEN SENTIT AQUESTS NOUS SISTEMES AXIOMÀTICS?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 63 / 96
La veritat matemàtica i la independència
LA VERITAT MATEMÀTICA I LA INDEPENDÈNCIA
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 64 / 96
La veritat matemàtica i la independència
Paul COHEN
Paul COHEN
Long Branch[Nova Jsersey, Estats Unitsd’Amèrica]2 d’abril del 1934Standford[Califòrnia, Estats Unitsd’Amèrica]23 de març del 2007
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 65 / 96
La veritat matemàtica i la independència
Tornem al diàleg HILBERT-TARSKI
Per a HILBERT allò que justifica la validesa del sistema formal és laseva consistència.
Per a TARSKI. Un sistema formal és consistent si, i només si, té unmodel.
Tenim que
les dues teories formalsG1 + G2 + G3 + GA i G1 + G2 + G3 +¬GA
són consistentsperquè totes dues tenen un model
Nota. Els models són conjunts i allò que és cert o fals queda determi-nat pel sistema formal de conjunts i, de retruc, caiem dins una novateoria formal que és incompleta.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 66 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
LA VERITAT MATEMÀTICA I LA GEOMETRIA DE L’UNIVERS
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 67 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
La veritat geomètrica i l’univers
Com sabem que la geometria euclidiana formalitzada per HILBERT ésconsistent?
Cal que tingui un model. Serveix la geometria cartesiana que esrepresenta al si de R× R.
Per saber que és veritat o no a R, hem de construir la teoria axio-màtica que ho justifiqui.
I, per això, és necessari axiomatitzar els nombre naturals el méssimple dels conjunts infinits possibles amb una certa estructura numè-rica. I això és el que fa la teoria axiomàtica de PEANO.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 68 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Les geometries euclidiana i no euclidiana
Tornem als orígens, és a dir, als cin asiomes o postulats d’Euclides.
Postulat 1 Es pot fer un segment que vagi d’un punt a un altre punt.Postulat 2 Tots segment es prolongar un segment per qualsevol dels
dos extrems.Postulat 3 Es pot fer una circumferència amb el centre en un punt
donat i de radi un segment donat.Postulat 4 Tots els angles rectes són iguals.Postulat 5 Per un punt exterior a una recta podem tirar-li una paral-
lela i només una.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 69 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Les geometries euclidiana i no euclidiana
La negació del postulat 5 porta a dues possibilitats excloents.
Postulat 5a Per un punt exterior a una recta podem tirar-li més d’unaparal.lela.
Postulat 5b Per un punt exterior a una recta no podem tirar-li capparal.lela.
Una reflexió sobre la negació.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 70 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Les geometries euclidiana i no euclidiana
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 71 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Les geometries euclidiana i no euclidiana
Pati de casa Esfera Euclidiana
Hi ha infinites No hi ha cap Hi ha una paral-paral ·leles paral ·lela lela i només una
A+ B + C < 180o A+ B + C > 180o A+ B + C = 180o
Les rectes són:
infinites i finites i infinites iil·limitades il·limitades il·limitades
Té torsió Té torsió No té torsió
La distància que cal introduir al pati de casa és complicada.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 72 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Les geometries euclidiana i no euclidiana
Ω és la raóentre la densitat observada de l’univers i la densitat
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 73 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Les geometries euclidiana i no euclidiana
Quin del tres postulats és el vertader?
Des del punt de vista formal, la resposta és equivalent a laresposta a la pregunta:
Quina de les tres geometries és consistent?
o bé
Quina de les tres geometries admet un model?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 74 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Paul BELTRAMI
Paul BELTRAMI
Cremona[Imperi Austria]16 de novembre de 1835Roma[Regne d’Itàlia]18 de febrer de 190
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 75 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Bernhard RIEMANN
Bernhard RIEMANN
Jamein[Regne de Hannover]17 de setembre del 1826Verbania[Regne d’Itàlia]20 de juliol del 1866
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 76 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Les geometries euclidiana i no euclidian
La resposta és sorprenent:Si una d’elles —per exemple l’euclidiana— admet un model les
altres dues també.Per tant, si la geometria euclidiana és una bona geometria, les
dues no-euclidianes, també
Per quina decidir-se, doncs?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 77 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Les geometries euclidiana i no euclidian
Potser la resposta cal buscar-la fora de la matemàtica, a l’univers.
¿Quina és la geometria de l’univers globalment?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 78 / 96
La veritat matemàtica i la geometria del’univers
Les geometries euclidiana i no euclidianLa qüestió és:
¿Sabem com és la geometria de l’Univers?
Hi ha una constant —la densitat mitjana de l’Univers—
ρ0 = 9, 9× 10−27 Kgs/m3 i Ω0 = ρρ0
.
Sabem el següent:
Si la densitat ρ compleix:ρ Tipus de geometria Futur> ρ0 Esfèrica Col·lapse= ρ0 Euclidiana Expansió suau< ρ0 Pati de casa Expansió forta
Ara com ara no sabem quin és el valor real de ρ.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 79 / 96
Referències bibliogràfiques
Referències bibliogràfiques
[aut1961] AUTORS BÍBLICS. La Bíblia. Monjos de Montserrat. Editorial Casal i Vall. Andorra, 1961. Enlínia a <biblia montserrat>.
[cam1846] CAMPOAMOR, Ramón. Obras completas de don Ramón de Campoamor. Montaner ySimón. Barcelona, 1888. Vegeu <campoamor:1846>.
[des1637] DESCARTES, René. Discourse de la méthode. Leiden, 1637. En línia a<descartes:1637>. Traduc- ció catalana de Pere Lluís FONT, Discurs del mètode. Edicions 62.Barcelona, 1996.
[eu1752a] EULER, Leonhard. «Elementa Doctrinæ Solidorum». Novi Commentarii AcademiæScientiarum Petropolitanæ (1752/53), 4, 109-140, editat l’any 1758, a Opera Omnia, 26,69-93. Vegeu euler1:1752.
[eu1752b] ———. «Demonstratio nonnullarum insignium propietatum quibus solida hedris planis inclusasunt prædita». Novi Commentarii Academiæ Scientiarum Petropolitanæ (1752/53), 4, 140–160,editat l’any 1758, a Opera Omnia, 26, 94-108. Vegeu euler2:1752.
[god1930] GÖDEL, Kurt. «Die Vollständigkeit der Axiome des logischenFunktionenkalküls». Monatshefte für Mathe- matik und Physik (1930), 37, p. 349-360. Traduccióncastellana de Jesús Mosterín: Kurt Gödel. Obras completas. Alianza Uni- versidad. Madrid: 1981
[god1931] ———. «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandterSystem». Monatshefte für Mathe- matik und Physik (1931), 38, p . 173-198. Traducción castellanade Jesús Mosterín: Kurt Gödel. Obras completas. Alianza Uni- versidad. Madrid: 1981 . .
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 80 / 96
Referències bibliogràfiques
Referències bibliogràfiques[hil1899] HILBERT, David. Grundlagen der Geometrie. Leipzig, 1899. Vegeu traducció castellana de
Francisco Cebrián, Fundamentos de la Geometría, p 1-135. Consejo Superior de InvestigacionesCien- tíficas. Madrid, 1966.
[joanI] JOAN. «Evangeli segons Joan». [aut1961], edició electrònica, p. 2194-2242.
[lak1976] LAKATOS, Imre. Proofs and Refutations-The Logic of the Mathematical Discovery. CambridgeUniversity Press. Cambridge, 1976. Traducció castellana de Carlos Solís, Pruebas y refutaciones.Alianza Editorial. Madrid, 1978.
[pea1889] PEANO, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Torí: Bocca. Última edi1905. Traducció castellana de Julián Velarde Lombraña, Los principios de la aritmética. PeñtalfaEdiciones. Oviedo, 1979. En línia a https://eudml.org/doc/203509.
[ros2019] ROSARIO, David del. El libro que tu cerebro no quiere leer. Madrid: Urano.
[rus1966] RUSSELL, Bertand. PPhilosophical Essays. Allen & Unwin Ltd. Londres, 1966. Vegeurussell:1966. Traducció castellana de Juan Ramón Capella, Ensayos Filosóficos. Alianza Editorial.Madrid, 1968.
[tar1931] Tarski, Alfred. «Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Spra- chen». Studia philosophica(1936), 1, p 261-405. Vegeu Logique, Sémantique, métamathematique, p 157-299. Armand Colin:París, 1976.
[terri] TERRICABRES, Josep-Maria. «Sobre el concepte de veritat». Actes del Segon Congrés Català deLògica Matemàtica. Barcelona, 15 i 16 de gener de 1983. Edició conjunta de la Universitat deBarcelona i la Politècnica de Catalunya. Barcelona.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 81 / 96
Apèndixs
APÈNDIXS
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 82 / 96
Apèndixs
LA VERITAT I LA INTUÏCIÓ
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 83 / 96
Apèndixs
GOTTLOB FREGE
Gottlob FregeWismar[Mecklemburg-Schwerin]8 de novembre del 1848Bad Kleinen[Imperi Alemany]26 de juliol del 1925
Die Grundlagen der Arith-metik: Eine logisch-mathe-matische Untersuchung überden Begriff der Zahl (1884)
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 84 / 96
Apèndixs
La paradoxa de RussellLa idea de FREGE és molt simple i realment molt intuïtiva.
D’entrada, ningú no en dubtaria.
La manera més clara de definir un conjunt —sigui finit oinfinit— és com a estensió d’un predicat.
Propietat P (x) Conjunt Cx és un ésser humà que viu i tre-balla a Catalunya.
Els catalans i les catalanes
x és un nombre natural que no-més es pot dividir exactamentper ell mateix i per la unitat
Els nombres primers
x polígons regulars construïblesamb regle i compàs
Polígons regulars amb un nombrede costats de la forma 2n p1× · · · ×pk on p1, . . . , pk són nombres pri-mers de Fermat diferents.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 85 / 96
Apèndixs
BERTRAND RUSSELL
Bertrand RussellTrellech[Regne Unitn]18 de maig del 1872Penrhyndeudraeth[Regne Unit]2 de de febrer del 1970
Carta adreçada a FREGE
(1902)
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 86 / 96
Apèndixs
La paradoxa de RussellFREGE —li diu— la teva intuïció no és admissible perquè porta acontradiccióNomés cal que considerem —al si dels conjunts— el predicat:P (x): x és un conjunt que no és pertany a si mateix, és a dir, x /∈ x.Si tens raó —li diu— aquesta propietat defineix un conjunt.Diem-liR.Cal preguntar-se: R ∈ R oR /∈ R?• SiR ∈ R, aleshores tenim que P (R) —que és la propietat que de-
fineix el conjuntR— i, per tant,R /∈ R. Impossible.• SiR /∈ R, aleshores tenim que ¬P (R) —per tant no satisfà x /∈ x—
i, per tant,R ∈ R. Impossible.
És a dir, la col.leccióR no és un conjunt.Aquesta paradoxa és un torpede a la línia de flotació de la teoria
intuïtiva de conjunts de CANTOR que tot just acaba de néixer.Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 87 / 96
Apèndixs
LA SUBTILESA DEL LLENGUATGE
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 88 / 96
Apèndixs
JULES RICHARD
Jules RichaedBlet[Françan]17 d’agost del 1862Châteauroux[França]14 d’octubre del 1956
Les principes desMathématiques et leproblème des ensembles(1905)
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 89 / 96
Apèndixs
La paradoxa de RichardConsiderem totes les frases aritmètiques relatives als nombres naturalsi ordenem-les pel nombre de lletres i les que tenen el mateix nombrede lletres alfabèticament i enumerem-les.Tenim, per exemple,
1. n és senar.2. n és parell.3. n és primer.4. n és compost.5. n és perfecte....
Diem que un nombre natural n és richardià si n no satisfà lapropietat que enumera i no-richardià en cas contrari.
Per exemple, en l’enumeració anterior, els nombres1, 2, 3, 4 són no-richardians i el 5 és richardià.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 90 / 96
Apèndixs
La paradoxa de Richard
Considerem la propietat aritmètica:n és richardià.
Li correspon un nombre natural r a la llista anterior. És a dir,r. n és richardià.
La pregunta és: el nombre natural r és richardià o no-richardià?.Si r és richardià no se li aplica la propietat que enumera, ser
richardià. Per tant, és no.richardià. Impossible.Si r és no-richardià se li aplica la propietat que enumera, ser
richardià. Per tant, és richardià. Impossible.
Quin és el problema que s’ha plantejat?
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 91 / 96
Apèndixs
La teoria axiomàtica de conjuntsAxioma d’extensionalitat. ∀X∀Y
((X = Y )↔ ∀x(x ∈ X ↔ x ∈ Y )
)Dos conjunts són iguals si, només si, tenen els mateixos elements.Axioma de especificació. ∀X∃Y ∀y
(y ∈ Y ↔ (y ∈ X ∧ f(y)
), per a cada
f(v) ∈ Pred(Lcon).Per a cada conjunt X i cada propietat textcolorBrownf(y), existeix unconjunt Y —que s’expressa
x ∈ X : f(x)
—, format pels elements de X
que satisfan la propietat f(y). És superflu.Axioma del parell. ∀u∀v∃Z∀x
(x ∈ Z ↔ (x = u ∨ x = v)
).
Donats dos conjunts x i y, existeix un conjunt —x, y— que els té com aúnics elements.Axioma del conjunt buit. ∃Z∀x(x 6∈ Z).Hi ha un conjunt que no té cap element. Es designa ∅. És superflu.Axioma de la unió. ∀X∃Z∀x
(x ∈ Z ↔ ∃v(v ∈ X ∧ x ∈ v)
).
Hi ha un conjunt Z que conté els elements x dels elements v deX . L’escriurem
⋃X o, més clarament,
⋃v∈X
v o aun⋃v : v ∈ X.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 92 / 96
Apèndixs
La teoria axiomàtica de conjunts
Axioma de les parts. ∀X∃Z∀x(x ∈ Z ↔ (x ⊆ X)
).
Hi ha un conjunto Z que conté tots els seus subconjunts. Es designa P(X).Axioma del infinit. ∃X
(∅ ∈ X ∧ ∀x(x ∈ X → x+ ∈ X)
).
Hi ha un conjunt 〉 que conté el conjunt i amb cada conjunt x que contétambé conté el segünet x ∪ x.Axioma de reemplaçament. Si F es una classe funcional,∀X∃Y
(Y = F < X >
).
Si X és un conjunt i F un funcional, F<X>és un conjunt.Axioma de regularitat. ∀X(X 6=)→ ∃x(x ∩X = ∅)Hi ha un conjunt no buit disjunt amb cada un dels seus elements.Axioma de l’elecció. Per a tot conjunt no buit X hi ha una funciód’elecció f : X → ⋃
X ∧ ∀x ∈ X(x 6= ∅ ∧ f(x) ∈ x) .Hipòtesi general del continu. Per a cada parella de conjunts infints X iY amb X ⊂ Y ⊂ P(X) tenim que X ∼ Y o X ∼ P(Y ).
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 93 / 96
Apèndixs
Els tres llenguatges
Seguint Gödel, podem dirTeorema d’incompletesa de Gödel. Si la teoria de Peano deprimer ordre Tar és consistent, hi ha una sentència σG delllenguatge aritmètic Lar:=
⟨0, s, (+, ·),=
⟩indecidible. És a
dir, ni σG, ni ¬σG no són demostrables en la teoria Tar.
Heus ací un enunciat en català ampliat amb certs signes per po-der-nos referir de forma abreujada i clara tant a la teoria formal dePeano de primer ordre com a la sentència gödeliana indecidible.
Heus ací el llenguatge natural.
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 94 / 96
Apèndixs
Els tres diccionaris
llenguatge formalσ :=∀v1
(v1 + s(0) ≡ s(v1)
)G
C
B
D
G
llenguatge conjuntista A−→ llenguatge natural←−
D
∀x ∈ N(x+ s(0) = x+ 1
)σ és un axioma de Tar
A←−: TraslladantB: La representabilitat
C
: InterpretacióD
i −→D
: LlegintG
iG
: Gödelització
1 := s(0), 2 := s(s(0)
), . . . , n := s
(n)· · ·s
((s(s(0)
)))· · ·
)Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 95 / 96
Apèndixs
Els tres diccionarisllenguatge formal
τ :=∀v1∀v2(v1 + v2 ≡ v2 + v1
)σ1, σ2, . . . , σn, ϕ(f)
σ12, σ2, . . . , σn `ar ϕ(f)
`ar Dem(
m,n)
llenguatge conjuntista llenguatge natural∀x∀y ∈ N
(x+ y = y + x
)|=N Sent
(v)
[[q ]], τ és un Lar-sentènciaq ∈ Sent = q = g
(Sent(v)
)=q = g
(Sent(v)
)∈ N
τ és un Tar-teoremaσ1, . . . , σn és una
< m,n >∈ Dem |=N Dem(u, v)
[[m,n ]], Tar-demostració de ϕ(f)f = g
(ϕ(v)
)m = g(σ1, . . . , σn)
G(u) := ∀v¬Dem(v, u) i n = g(ϕ(f)
)σG := ∀v¬Dem(v,g) g = g
(G(u)
)Teor(u) := ∃vDem(v, u)
Consist(Tar) :=¬Teor(0 6= 0)6`ar σG i 6`ar ¬σG
`ar Consist(Tar)→σG
Josep Pla i Carrera Gödel i la veritat matemàtica 96 / 96
top related