dimensión de un espacio y subespacios vectoriales

Escuela Politécnica Nacional

Álgebra Lineal 1

Dimensión de un Espacio y

Subespacio Vectorial

Grupo N°06

Sean (V, k, +, ·) un espacio vectorial y S V⊆

S es base de V si:

Cumple con 2 de las 3 condiciones:

BASE

PASOS PARA HALLAR UNA BASE

Hallar el conjunto generador

Probar que es L.I.

TEOREMA 11

Sean (V, K , +, · ) un espacio vectorial, dim V = n, S V

, entonces

Si es linealmente independiente, es una base de V

Donde n es el número de vectores de S

Ejemplo:

Demostrar que S es una base de W:

1. Comprobar si S es LI

2. Dim () = 3 → N° de vectores de S = 3

Dim () = N° de vectores de S

Si ˄ Dim () = N° de vectores de S

∴ 𝑺 𝒆𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑾

TEOREMA 12

, entonces

Sean (V, K , +, · ) un espacio vectorial, dim V=n, S V

Si es generador de V, entonces es una base de V

Donde n es el número de vectores de S

Ejemplo (anterior):

Demostrar que S es una base de W:

1. Comprobar si <S> =W

2. Dim () = 3 → N° de vectores de S = 3

Dim () = N° de vectores de S

Si ˄ Dim () = N° de vectores de S

∴ 𝑺 𝒆𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑾

Completación de bases(Teorema de la base incompleta)

Si ⊂ S, con k<n, es un conjunto linealmente independiente

Sean (V, K , +, · ) un espacio vectorial, dim V=n

Entonces existen vectores ,…,∈ S, tales que

es base de S

Dimensión de un Espacio Vectorial

Dimensión de un Subespacio Vectorial

Dim(W) = Dim(V) – N° restricciones

Dim(V) = n

donde N° de vectores de la base

Ejemplo:• Hallar el conjunto generador

Notamos que el N° de vectores de s no es igual a Dim ()

1. Tenemos la base S pero podemos observar que para que se cumpla que sea base de R3 tienen que haber tres vectores en la base, por lo que aumentamos un vector a la base S que no cumpla la restricción y lo ponemos seguido a los que ya teníamos.

El vectorno cumple que y= x+z

2. Ahora tenemos que es de dimensión tres por lo tanto tenemos la primera condición para que sea base de R3.

Dim (S’)=3

3. Ahora demostramos si es LI para completar una base de 3.