diap. matemática nº1

Un Sistema de Ecuaciones Lineales es un conjuntode ecuaciones lineales con incógnitas comunes.

Se pueden representar de esta manera:

a1x+ b1y + c1 =0

a2x+ b2y + c2 =0

Ejemplos de un Sistema de Ecuaciones Lineales

x + 4y = 34

3x - 3y = 24

23x + 63y = 15

27x + 45y = 35

Si a1/a2 es diferente a b1/b2, entonces el sistema

tiene una solución.

Si a1/a2 es igual a b1/b2, pero b1/b2 es diferente

c1/c2, entonces el sistema no tiene solución.

Si a1/a2 es igual a b1/b2, y b1/b2 es igual a c1/c2,

entonces el sistema tiene un número infinito de

soluciones.

Existen varias formas de resolver un Sistema de Ecuaciones, entre ellas están:

Tradicionales (sustitución, igualación, reducción o alguna mezcla de estos).

Método de Gauss-Jordan o solo método Gauss.

Dependiendo de las circunstancias, podemos proceder de las siguientes maneras:

-Sustitución:

Se procede a hallar uno de los términos en función del otro, de preferencia usar el de menor coeficiente, y luego se reemplaza en la siguiente ecuación.

-Igualación:

Derivado de la Sustitución, se procede a

despejar la misma incógnita en las dos

ecuaciones y a continuación se igualan la

parte derecha de ambas ecuaciones.

-Reducción:

Se procede de la siguiente manera:

Mediante productos procuramos que las

ecuaciones tengan una incógnita con el

mismo coeficiente y signo distinto. Lugo

sumamos las ecuaciones y se despejará la

incógnita.

Consiste en un método de eliminación mediante matrices, mediante el cual podemos hallar las incógnitas mediante transformaciones elementales, hasta obtener valores de una sola incógnita donde el valor de cada incógnita será igual al del coeficiente en la misma fila de la matriz.

Ejemplo:

2x + 2y = 8

3x + 4y = 15

c x y

8 2* 2

15 3 4

4 1 1

3 0 1*

1 = x 1 0

3 = y 0 1

1)Hallar cuantas soluciones tiene el siguiente Sistema de ecuaciones:

5x + 3y + 3=0

10x + 6y + 5=0

Solución

5/10 = 3/6

3/6 ≠ 3/5

-El C.S. del sistema es nulo, por lo tanto no presenta ninguna solución

2)Hallar cuantas soluciones tiene el siguiente

Sistema de ecuaciones:

7x + 36y =40

12x - 15y =2

Solución

7/12 ≠ 36/-15

36/-15≠ 40/2

-El C.S. del sistema es único, presenta solo una

solución.

3)Resuelve por igualación:

5x + y =12

7x + y = 22

Solución

(I) … y = 12 – 5x 12 – 5x = 22 – 7y

(II) … y = 22 – 7y 2x = 10

x = 5

5(5) + y = 12

y = -13

Rpta.- x= 5, y = -13

4)Resuelve por reducción:

6x + 8y = 2

4x - 8y = -4

Solución

6x + 8y = 2 6(-0.2) + 8y = 2

4x – 8y = -4 -1.2 + 8y = 2

10x = -2 8y = 3.2

x = -0.2 y = 0.4

Rpta.- x = -0.2, y = 0.4

5)Resuelve por Gauss:

2x + 5y = 19

5x + 4y = 22

Rpta.- x = 2, y = 3

c x y

19 2* 5

22 5 4

19/2 1 5/2

-51/2 0 -17/2*

2 1 0

3 0 1