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Determinante como una forma polilineal alternante

Egor Maximenko

ESFM del IPN

4 de enero de 2013

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 1 / 29

Contenido

1 Definicion del determinante (repaso)

2 Formas polilineales y alternas

3 Determinante es una forma n-lineal alternante

4 Expresion de formas n-lineales alternantes a traves del determinante

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Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.

Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.

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Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .

Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.

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Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).

Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.

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Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.

Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.

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Plan

Repasar la definicion del determinante y propiedades basicas.Definir formas n-lineales alternantes sobre un espacio vectorial V .Mostrar que la funcion determinante de la matrizes una forma n-lineal alternante de sus renglones(tambien de sus columnas).Demostrar que cada forma n-lineal alternante se puede expresara traves de la funcion determinante.Demostrar que la funcion determinante de la matrizes la unica forma n-lineal alternante de los renglonesque toma el valor 1 en la matriz identidad.

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Requisitos

Permutaciones.Signo de una permutacion.Funciones antisimetricas.Definicion del determinante a traves de permutaciones.

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Contenido

1 Definicion del determinante (repaso)

2 Formas polilineales y alternas

3 Determinante es una forma n-lineal alternante

4 Expresion de formas n-lineales alternantes a traves del determinante

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Definicion del determinante (repaso)

DefinicionSea F un campo y sea A =

[ai ,j]ni ,j=1 ∈Mn(F),

es decir, A es una matriz n × n con entradas en F.

El determinante de A se define mediante la siguiente formula:

det(A) =∑ϕ∈Sn

sgn(ϕ)n∏

i=1ai ,ϕ(i)

=∑ϕ∈Sn

sgn(ϕ) a1,ϕ(1) · · · an,ϕ(n).

Aquı la suma es sobre todas las permutaciones del conjunto {1, . . . , n}y por consecuencia contiene n! sumandos.

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Propiedades basicas del determinante (repaso)

Usando la definicion es facil demostrar las siguientes propiedades:

Determinante de la matriz transpuestadet(A>) = det(A).

Determinante de una matriz triangular superiorSea A ∈Mn(F), ai ,j = 0 siempre que i > j . Entonces

det(A) =n∏

i=1Ai ,i .

Determinante de la matriz identidaddet(In) = 1.

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Propiedades basicas del determinante (repaso)

Usando la definicion es facil demostrar las siguientes propiedades:

Determinante de la matriz transpuestadet(A>) = det(A).

Determinante de una matriz triangular superiorSea A ∈Mn(F), ai ,j = 0 siempre que i > j . Entonces

det(A) =n∏

i=1Ai ,i .

Determinante de la matriz identidaddet(In) = 1.

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Propiedades basicas del determinante (repaso)

Usando la definicion es facil demostrar las siguientes propiedades:

Determinante de la matriz transpuestadet(A>) = det(A).

Determinante de una matriz triangular superiorSea A ∈Mn(F), ai ,j = 0 siempre que i > j . Entonces

det(A) =n∏

i=1Ai ,i .

Determinante de la matriz identidaddet(In) = 1.

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Propiedades basicas del determinante (repaso)

Usando la definicion es facil demostrar las siguientes propiedades:

Determinante de la matriz transpuestadet(A>) = det(A).

Determinante de una matriz triangular superiorSea A ∈Mn(F), ai ,j = 0 siempre que i > j . Entonces

det(A) =n∏

i=1Ai ,i .

Determinante de la matriz identidaddet(In) = 1.

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Contenido

1 Definicion del determinante (repaso)

2 Formas polilineales y alternas

3 Determinante es una forma n-lineal alternante

4 Expresion de formas n-lineales alternantes a traves del determinante

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Formas lineales o funcionales lineales

Definicion (forma lineal o funcional lineal)Sea V un espacio vectorial sobre un campo F.Una funcion f : V → F se llama forma lineal sobre Vsi esta funcion es lineal, es decir, aditiva y homogenea:

f (λb + µc) = λ f (b) + µ f (c).

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Formas bilineales

Definicion (forma bilineal)Sea V un espacio vectorial sobre un campo F.Una funcion f : V 2 → F se llama forma bilineal sobre Vsi esta funcion es lineal respecto a cada uno de sus dos argumentos,es decir, si para todos a1, a2, b, c ∈ V y todos λ, µ ∈ Fse cumplen las igualdades:

f (λb + µc, a2) = λ f (b, a2) + µ f (c, a2);

f (a1, λb + µc) = λ f (a1, b) + µ f (a1, c).

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Formas trelineales

Definicion (forma trilineal)Sea V un espacio vectorial sobre un campo F.Una funcion f : V 3 → F se llama forma trilineal sobre Vsi esta funcion es lineal respecto a cada uno de sus tres argumentos,es decir, para todos a1, a2, a3, b, c ∈ V y todos λ, µ ∈ Fse cumplen las igualdades:

f (λb + µc, a2, a3) = λ f (b, a2, a3) + µ f (c, a2, a3);

f (a1, λb + µc, a3) = λ f (a1, b, a3) + µ f (a1, c, a3);

f (a1, a2, λb + µc) = λ f (a1, a2, b) + µ f (a1, a2, c).

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Formas polilineales (multilineales)

Definicion (forma k-lineal)Sea V un espacio vectorial sobre un campo F.Una funcion f : V k → F se llama forma k-lineal sobre V ,si esta funcion es lineal respecto a cada uno de sus k argumentos,es decir, si para todo ındice i ∈ {1, . . . , k},todos vectores a1, . . . , ai−1, b, c, ai+1, . . . , an ∈ Vy todos escalares λ, µ ∈ F se cumple la igualdad:

f (a1, . . . , ai−1, λb + µc︸ ︷︷ ︸i-esimo

argumento

, ai+1, . . . , an) = λ f (a1, . . . , ai−1, b, ai+1, . . . , an)

+ µ f (a1, . . . , ai−1, c, ai+1, . . . , an).

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Ejemplo de una forma 4-lineal sobre F

EjemploConsideremos F como espacio vectorial de dimension 1.La siguiente funcion f es una forma 4-lineal sobre F:

f (α1, α2, α3, α4) = α1α2α3α4.

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Funciones alternantes

Definicion (funcion alternantes)Una funcion f : V n → F se llama alternantesi se anula siempre que algunos de sus n argumentos coinciden:

si ai = aj para algunos i y j con 1 ≤ i < j ≤ n,entonces f (a1, . . . , an) = 0.

Ejemplo (producto de todas las diferencias posibles)La siguiente funcion f : F3 → F es alternante:

f (α1, α2, α3) = (α2 − α1)(α3 − α1)(α3 − α2).

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Funciones alternantes

Definicion (funcion alternantes)Una funcion f : V n → F se llama alternantesi se anula siempre que algunos de sus n argumentos coinciden:

si ai = aj para algunos i y j con 1 ≤ i < j ≤ n,entonces f (a1, . . . , an) = 0.

Ejemplo (producto de todas las diferencias posibles)La siguiente funcion f : F3 → F es alternante:

f (α1, α2, α3) = (α2 − α1)(α3 − α1)(α3 − α2).

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Funciones antisimetricas (repaso)

Definicion (funcion antisimetrica)Una funcion f : V n → F se llama antisimetricasi para todo par de ındices (i , j), donde 1 ≤ i < j ≤ n,y para todos a1, . . . , an ∈ V se cumple la siguiente propiedad:

f (a1, . . . , ai−1, ai , ai+1, . . . , aj−1, aj , aj+1, . . . , an) =

= −f (a1, . . . , ai−1, aj , ai+1, . . . , aj−1, ai , aj+1, . . . , an).

Estudiando permutaciones hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema (permutaciones y funciones antisimetricas)Sea f : V n → F una funcion antisimetrica y sea ϕ ∈ Sn. Entonces

f (aϕ(1), . . . , aϕ(n)) = sgn(ϕ) f (a1, . . . , an).

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Funciones antisimetricas (repaso)

Definicion (funcion antisimetrica)Una funcion f : V n → F se llama antisimetricasi para todo par de ındices (i , j), donde 1 ≤ i < j ≤ n,y para todos a1, . . . , an ∈ V se cumple la siguiente propiedad:

f (a1, . . . , ai−1, ai , ai+1, . . . , aj−1, aj , aj+1, . . . , an) =

= −f (a1, . . . , ai−1, aj , ai+1, . . . , aj−1, ai , aj+1, . . . , an).

Estudiando permutaciones hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema (permutaciones y funciones antisimetricas)Sea f : V n → F una funcion antisimetrica y sea ϕ ∈ Sn. Entonces

f (aϕ(1), . . . , aϕ(n)) = sgn(ϕ) f (a1, . . . , an).

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Funciones antisimetricas (repaso)

Definicion (funcion antisimetrica)Una funcion f : V n → F se llama antisimetricasi para todo par de ındices (i , j), donde 1 ≤ i < j ≤ n,y para todos a1, . . . , an ∈ V se cumple la siguiente propiedad:

f (a1, . . . , ai−1, ai , ai+1, . . . , aj−1, aj , aj+1, . . . , an) =

= −f (a1, . . . , ai−1, aj , ai+1, . . . , aj−1, ai , aj+1, . . . , an).

Estudiando permutaciones hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema (permutaciones y funciones antisimetricas)Sea f : V n → F una funcion antisimetrica y sea ϕ ∈ Sn. Entonces

f (aϕ(1), . . . , aϕ(n)) = sgn(ϕ) f (a1, . . . , an).

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Formas n-lineales alternantes son antisimetricasTeoremaSea f : V n → F una forma n-lineal alternante sobre V .Entonces f es antisimetrica.

Demostracion.Sean i , j ∈ {1, . . . , n}, i < j . Fijamos los argumentes ak ∈ V , k 6= i , k 6= j ,y consideremos la funcion g : V 2 → F:

g(b, c) := f (a1, . . . , ai−1, b , ai+1, . . . , aj−1, c , aj+1, . . . , an).

Sabemos que g es 2-lineal y alternante.Demostremos que g es antisimetrica.

g(b + c, b + c) = g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).

Como g es alternante, g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).

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Formas n-lineales alternantes son antisimetricasTeoremaSea f : V n → F una forma n-lineal alternante sobre V .Entonces f es antisimetrica.

Demostracion.Sean i , j ∈ {1, . . . , n}, i < j . Fijamos los argumentes ak ∈ V , k 6= i , k 6= j ,y consideremos la funcion g : V 2 → F:

g(b, c) := f (a1, . . . , ai−1, b , ai+1, . . . , aj−1, c , aj+1, . . . , an).

Sabemos que g es 2-lineal y alternante.Demostremos que g es antisimetrica.

g(b + c, b + c) = g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).

Como g es alternante, g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).

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Formas n-lineales alternantes son antisimetricasTeoremaSea f : V n → F una forma n-lineal alternante sobre V .Entonces f es antisimetrica.

Demostracion.Sean i , j ∈ {1, . . . , n}, i < j . Fijamos los argumentes ak ∈ V , k 6= i , k 6= j ,y consideremos la funcion g : V 2 → F:

g(b, c) := f (a1, . . . , ai−1, b , ai+1, . . . , aj−1, c , aj+1, . . . , an).

Sabemos que g es 2-lineal y alternante.Demostremos que g es antisimetrica.

g(b + c, b + c) = g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).

Como g es alternante, g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).

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Formas n-lineales alternantes son antisimetricasTeoremaSea f : V n → F una forma n-lineal alternante sobre V .Entonces f es antisimetrica.

Demostracion.Sean i , j ∈ {1, . . . , n}, i < j . Fijamos los argumentes ak ∈ V , k 6= i , k 6= j ,y consideremos la funcion g : V 2 → F:

g(b, c) := f (a1, . . . , ai−1, b , ai+1, . . . , aj−1, c , aj+1, . . . , an).

Sabemos que g es 2-lineal y alternante.Demostremos que g es antisimetrica.

g(b + c, b + c) =

g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).

Como g es alternante, g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).

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Formas n-lineales alternantes son antisimetricasTeoremaSea f : V n → F una forma n-lineal alternante sobre V .Entonces f es antisimetrica.

Demostracion.Sean i , j ∈ {1, . . . , n}, i < j . Fijamos los argumentes ak ∈ V , k 6= i , k 6= j ,y consideremos la funcion g : V 2 → F:

g(b, c) := f (a1, . . . , ai−1, b , ai+1, . . . , aj−1, c , aj+1, . . . , an).

Sabemos que g es 2-lineal y alternante.Demostremos que g es antisimetrica.

g(b + c, b + c) = g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).

Como g es alternante, g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).

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Formas n-lineales alternantes son antisimetricasTeoremaSea f : V n → F una forma n-lineal alternante sobre V .Entonces f es antisimetrica.

Demostracion.Sean i , j ∈ {1, . . . , n}, i < j . Fijamos los argumentes ak ∈ V , k 6= i , k 6= j ,y consideremos la funcion g : V 2 → F:

g(b, c) := f (a1, . . . , ai−1, b , ai+1, . . . , aj−1, c , aj+1, . . . , an).

Sabemos que g es 2-lineal y alternante.Demostremos que g es antisimetrica.

g(b + c, b + c) = g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).

Como g es alternante,

g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).

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Formas n-lineales alternantes son antisimetricasTeoremaSea f : V n → F una forma n-lineal alternante sobre V .Entonces f es antisimetrica.

Demostracion.Sean i , j ∈ {1, . . . , n}, i < j . Fijamos los argumentes ak ∈ V , k 6= i , k 6= j ,y consideremos la funcion g : V 2 → F:

g(b, c) := f (a1, . . . , ai−1, b , ai+1, . . . , aj−1, c , aj+1, . . . , an).

Sabemos que g es 2-lineal y alternante.Demostremos que g es antisimetrica.

g(b + c, b + c) = g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).

Como g es alternante, g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.

Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).

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Formas n-lineales alternantes son antisimetricasTeoremaSea f : V n → F una forma n-lineal alternante sobre V .Entonces f es antisimetrica.

Demostracion.Sean i , j ∈ {1, . . . , n}, i < j . Fijamos los argumentes ak ∈ V , k 6= i , k 6= j ,y consideremos la funcion g : V 2 → F:

g(b, c) := f (a1, . . . , ai−1, b , ai+1, . . . , aj−1, c , aj+1, . . . , an).

Sabemos que g es 2-lineal y alternante.Demostremos que g es antisimetrica.

g(b + c, b + c) = g(b, b) + g(b, c) + g(c, b) + g(c, c).

Como g es alternante, g(b + c, b + c) = 0, g(b, b) = 0, g(c, c) = 0.Obtenemos que 0 = g(b, c) + g(c, b), i.e. g(c, b) = −g(b, c).

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Contenido

1 Definicion del determinante (repaso)

2 Formas polilineales y alternas

3 Determinante es una forma n-lineal alternante

4 Expresion de formas n-lineales alternantes a traves del determinante

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Determinante es una forma n-lineal de los renglonesNotacion (determinante como funcion de los renglones)A veces es comodo considerar la funcion determinantecomo una funcion de n argumentos vectoriales:para a1, . . . , an ∈ Fn, donde ai =

[ai ,j]nj=1,

Det(a1, . . . , an) := det

a1. . .an

= det

a1,1 . . . a1,n... . . . ...

an,1 . . . an,n

.

Teorema (determinante es una forma n-lineal de los renglones)

Det(a1, . . . , ak−1, λb + µc, ak+1, . . . , an) =

= λ Det(a1, . . . , ak−1, b, ak+1, . . . , an)

+ µ Det(a1, . . . , ak−1, c, ak+1, . . . , an).

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Determinante es una forma n-lineal de los renglonesNotacion (determinante como funcion de los renglones)A veces es comodo considerar la funcion determinantecomo una funcion de n argumentos vectoriales:para a1, . . . , an ∈ Fn, donde ai =

[ai ,j]nj=1,

Det(a1, . . . , an) := det

a1. . .an

= det

a1,1 . . . a1,n... . . . ...

an,1 . . . an,n

.

Teorema (determinante es una forma n-lineal de los renglones)

Det(a1, . . . , ak−1, λb + µc, ak+1, . . . , an) =

= λ Det(a1, . . . , ak−1, b, ak+1, . . . , an)

+ µ Det(a1, . . . , ak−1, c, ak+1, . . . , an).

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Determinante es una funcion n-lineal de los renglonesDemostracion.Dada una permutacion ϕ ∈ Sn, el sumando correspondiente es

sgn(ϕ) ·k−1∏i=1

ai ,ϕ(i) · (λbϕ(k) + µcϕ(k)) ·n∏

i=k+1ai ,ϕ(i).

Usando las propiedades de las operaciones en el campo F,podemos escribir esta expresion en la forma:

λ sgn(ϕ) ·k−1∏i=1

ai ,ϕ(i) · bϕ(k) ·n∏

i=k+1ai ,ϕ(i)

+µ sgn(ϕ) ·k−1∏i=1

ai ,ϕ(i) · cϕ(k) ·n∏

i=k+1ai ,ϕ(i).

Sumando sobre todas ϕ ∈ Sn obtenemos el resultado del teorema.

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Determinante es una funcion alternante de los renglones

Teorema (determinante es una funcion alternante de los renglones)Si dos renglones de una matriz son iguales,entonces su determinante es igual a cero.

De manera mas formal:

Sea n ≥ 2, sea A =[ai ,j]ni ,j=1 ∈Mn(F) y sean p, q ∈ {1, . . . , n}, p < q.

Supongamos que el p-esimo renglon de A coincide con el q-esimo:

ap,j = aq,j ∀j ∈ {1, . . . , n}.

Entonces det(A) = 0.

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Determinante es una funcion alterna de los renglones

Demostracion para un caso particular (n = 3, p = 1, q = 3)

A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 21 / 29

Determinante es una funcion alterna de los renglones

Demostracion para un caso particular (n = 3, p = 1, q = 3)

A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

1. Escribamos todas permutaciones pares .

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 21 / 29

Determinante es una funcion alterna de los renglones

Demostracion para un caso particular (n = 3, p = 1, q = 3)

A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

2. Cada permutacion par ϕ confrontamos con la permutacion impar ϕτ1,3que se obtiene de ϕ al transponer ϕ(1) y ϕ(3).

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 21 / 29

Determinante es una funcion alterna de los renglones

Demostracion para un caso particular (n = 3, p = 1, q = 3)

A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

3. De esta manera obtenemos todas permutaciones impares.

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 21 / 29

Determinante es una funcion alterna de los renglones

Demostracion para un caso particular (n = 3, p = 1, q = 3)

A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

4. A cada permutacion corresponde un sumando del determinante.

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 21 / 29

Determinante es una funcion alterna de los renglones

Demostracion para un caso particular (n = 3, p = 1, q = 3)

A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

5. Usamos la condicion que el primer renglon de A es igual al segundo:a1,1 = a3,1, a3,3 = a1,3 etc.

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 21 / 29

Determinante es una funcion alterna de los renglones

Demostracion para un caso particular (n = 3, p = 1, q = 3)

A3 :

(1 2 31 2 3

) (1 2 32 3 1

) (1 2 33 1 2

)

A3τ1,3 :

(1 2 33 2 1

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

+a1,1a2,2a3,3 +a1,2a2,3a3,1 +a1,3a2,1a3,2

−a1,3a2,2a3,1 −a1,1a2,3a3,2 −a1,2a2,1a3,3

6. Vemos que los sumandos del determinante se eliminan por pares,ası que el determinante es igual a cero.

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 21 / 29

Determinante es una funcion alternante de los renglonesLema para la demostracion general

Para demostrar este teorema usaremos la siguiente afirmacionque hemos probado estudiando permutaciones.Recordemos que An := {ϕ ∈ Sn : sgn(ϕ) = 1}.

LemaSea n ≥ 2 y sea ψ ∈ Sn \ An una permutacion impar fija.Entonces el mapeo Λ: An → Sn \ An, definido medianta la regla

Λ(ϕ) = ϕψ,

es una biyeccion del conjunto An sobre Sn \ An.

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 22 / 29

Determinante es una funcion alternante de los renglonesLema para la demostracion general

Para demostrar este teorema usaremos la siguiente afirmacionque hemos probado estudiando permutaciones.Recordemos que An := {ϕ ∈ Sn : sgn(ϕ) = 1}.

LemaSea n ≥ 2 y sea ψ ∈ Sn \ An una permutacion impar fija.Entonces el mapeo Λ: An → Sn \ An, definido medianta la regla

Λ(ϕ) = ϕψ,

es una biyeccion del conjunto An sobre Sn \ An.

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 22 / 29

Determinante es una funcion alternante de sus filasDemostracion del teorema.En la definicion del determinante dividamos la suma en dos partes:

det(A) =∑ϕ∈An

n∏i=1

ai ,ϕ(i) −∑

χ∈Sn\An

n∏i=1

ai ,χ(i).

Usando el lema, en la segunda suma hagamos el cambio χ = ϕτp,q.Apartemos el p-esimo y q-esimo factor, saquemos multiplos comunes:

det(A) =∑ϕ∈An

ap,ϕ(p)aq,ϕ(q)∏

1≤i≤ni 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i) −∑ϕ∈An

ap,ϕ(q)aq,ϕ(p)∏

1≤i≤ni 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i)

=∑ϕ∈An

(ap,ϕ(p)aq,ϕ(q) − ap,ϕ(q)aq,ϕ(p)

) ∏1≤i≤n

i 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i) = 0.

En el ultimo paso se usa que ap,j = aq,j para todo j .

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 23 / 29

Determinante es una funcion alternante de sus filasDemostracion del teorema.En la definicion del determinante dividamos la suma en dos partes:

det(A) =∑ϕ∈An

n∏i=1

ai ,ϕ(i) −∑

χ∈Sn\An

n∏i=1

ai ,χ(i).

Usando el lema, en la segunda suma hagamos el cambio χ = ϕτp,q.Apartemos el p-esimo y q-esimo factor, saquemos multiplos comunes:

det(A) =∑ϕ∈An

ap,ϕ(p)aq,ϕ(q)∏

1≤i≤ni 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i) −∑ϕ∈An

ap,ϕ(q)aq,ϕ(p)∏

1≤i≤ni 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i)

=∑ϕ∈An

(ap,ϕ(p)aq,ϕ(q) − ap,ϕ(q)aq,ϕ(p)

) ∏1≤i≤n

i 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i) = 0.

En el ultimo paso se usa que ap,j = aq,j para todo j .

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 23 / 29

Determinante es una funcion alternante de sus filasDemostracion del teorema.En la definicion del determinante dividamos la suma en dos partes:

det(A) =∑ϕ∈An

n∏i=1

ai ,ϕ(i) −∑

χ∈Sn\An

n∏i=1

ai ,χ(i).

Usando el lema, en la segunda suma hagamos el cambio χ = ϕτp,q.Apartemos el p-esimo y q-esimo factor, saquemos multiplos comunes:

det(A) =∑ϕ∈An

ap,ϕ(p)aq,ϕ(q)∏

1≤i≤ni 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i) −∑ϕ∈An

ap,ϕ(q)aq,ϕ(p)∏

1≤i≤ni 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i)

=∑ϕ∈An

(ap,ϕ(p)aq,ϕ(q) − ap,ϕ(q)aq,ϕ(p)

) ∏1≤i≤n

i 6=p,i 6=q

ai ,ϕ(i) = 0.

En el ultimo paso se usa que ap,j = aq,j para todo j .

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 23 / 29

Contenido

1 Definicion del determinante (repaso)

2 Formas polilineales y alternas

3 Determinante es una forma n-lineal alternante

4 Expresion de formas n-lineales alternantes a traves del determinante

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 24 / 29

Expresion de una forma n-lineal alternante arbitrariaa traves del determinante

TeoremaSea V un espacio vectorial sobre F con una base B = (b1, . . . , bn)y sea f : V n → F una forma n-lineal alternante.Entonces para todos a1, . . . , an ∈ V se cumple la igualdad

f (a1, . . . , an) = det(C) f (b1, . . . , bn),

donde C es la matriz formada de las columnas de coordenadas de losvectores a1, . . . , an respecto la base B:

C =[(a1)B, . . . , (an)B

].

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 25 / 29

Demostracion para n = 2

Supongamos que

a1 = c1,1b1 + c2,1b2; a1 = c1,2b1 + c2,2b2.

Entonces

f (a1, a2) = f (c1,1b1 + c2,1b2, c1,2b1 + c2,2b2)

= c1,1c1,2 f (b1, b1) + c1,1c2,2 f (b1, b2)

+ c2,1c1,2 f (b2, b1) + c2,1c2,2 f (b2, b2)

= (c1,1c2,2 − c2,1c1,2) f (b1, b2)

=

∣∣∣∣∣ c1,1 c1,2c2,1 c2,2

∣∣∣∣∣ f (b1, b2).

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 26 / 29

Expresion de una forma n-lineal alternante arbitrariaa traves del determinanteDemostracion (inicio)Paso I. Primero aplicamos la hipotesis que f es polilineal:

f (a1, . . . , an) =∑

(i1,...,in)∈{1,...,n}n

ci1,1 · · · cin,nf (bi1 , . . . , bin ).

Paso II. Como f es alternante, f (bi1 , bi2 , . . . , bin ) = 0 siempre y cuandoalgunos de los ındices i1, . . . , in coinciden.

Por eso solo se queda la suma sobre todas las tuplas (i1, . . . , in) tales quelos ındices i1, . . . , in son distintos por pares, es decir, forman unapermutacion:

f (a1, . . . , an) =∑ϕ∈Sn

cϕ(1),1 · · · cϕ(n),n f (bϕ(1), . . . , bϕ(n)).

. . .

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 27 / 29

Expresion de una forma n-lineal alternante arbitrariaa traves del determinanteDemostracion (inicio)Paso I. Primero aplicamos la hipotesis que f es polilineal:

f (a1, . . . , an) =∑

(i1,...,in)∈{1,...,n}n

ci1,1 · · · cin,nf (bi1 , . . . , bin ).

Paso II. Como f es alternante, f (bi1 , bi2 , . . . , bin ) = 0 siempre y cuandoalgunos de los ındices i1, . . . , in coinciden.

Por eso solo se queda la suma sobre todas las tuplas (i1, . . . , in) tales quelos ındices i1, . . . , in son distintos por pares, es decir, forman unapermutacion:

f (a1, . . . , an) =∑ϕ∈Sn

cϕ(1),1 · · · cϕ(n),n f (bϕ(1), . . . , bϕ(n)).

. . .Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 27 / 29

Expresion de una forma n-lineal alternante arbitrariaa traves del determinante

Demostracion (fin).

f (a1, . . . , an) =∑ϕ∈Sn

cϕ(1),1 · · · cϕ(n),n f (bϕ(1), . . . , bϕ(n)).

Paso III. Como f es alternante, f es antisimetrica, y

f (bϕ(1), . . . , bϕ(n)) = sgn(ϕ)f (b1, . . . , bn).

Por eso

f (a1, . . . , an) = f (b1, . . . , bn)∑ϕ∈Sn

sgn(ϕ) cϕ(1),1 · · · cϕ(n),n

= det(C>)f (b1, . . . , bn) = det(C)f (b1, . . . , bn).

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 28 / 29

Expresion de una forma n-lineal alternante arbitrariaa traves del determinante

CorolarioSea D : Mn(F)→ F una funcion polilineal por renglonesy alternante por renglones. Entonces

D(A) = det(A)D(In) ∀A ∈Mn(F).

CorolarioLa funcion determinante es la unica funcion Mn(F)→ F que cumple lassiguientes tres propiedades al mismo tiempo:

1 es polilineal por renglones;2 es alternante por renglones;3 toma valor 1 en la matriz identidad In.

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 29 / 29

Expresion de una forma n-lineal alternante arbitrariaa traves del determinante

CorolarioSea D : Mn(F)→ F una funcion polilineal por renglonesy alternante por renglones. Entonces

D(A) = det(A)D(In) ∀A ∈Mn(F).

CorolarioLa funcion determinante es la unica funcion Mn(F)→ F que cumple lassiguientes tres propiedades al mismo tiempo:

1 es polilineal por renglones;2 es alternante por renglones;3 toma valor 1 en la matriz identidad In.

Egor Maximenko (ESFM del IPN) Det como una forma n-lineal alternante 4 de enero de 2013 29 / 29