determinación de la corriente Δi medición de valores de ...emplear convenientemente un puente de...
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Mediciones Eléctricas II
Apunte de Cátedra Página 1 de 30
1 Contenido:
1 Contenido: .................................................................................................................................. 1
2 Objetivos. .................................................................................................................................... 2
3 Introducción. ............................................................................................................................... 2
4 El Puente de Wheatstone. ........................................................................................................... 2
5 Sensibilidad del Puente de Wheatstone: ..................................................................................... 4
5.1 Puente Ideal ...................................................................................................................... 4
5.2 Puente Real ....................................................................................................................... 5
5.2.1 Determinación de la Corriente ΔI6 Provocada por un Pequeño Desequilibrio en un
Puente Real .............................................................................................................. 6
5.3 El Puente de Corriente Continua como Sistema de Medición .......................................... 8
5.4 Errores del Puente de Wheatstone. Sensibilidad ............................................................ 10
5.5 Error Límite en el Puente de Wheatstone. ...................................................................... 13
6 Consideraciones sobre el uso del Puente .................................................................................. 21
7 Medición de valores de Resistencias Menores que 10 Ω ......................................................... 21
8 Puente Doble de Thomson ........................................................................................................ 21
8.1 Condición de Equilibrio.................................................................................................. 22
8.2 Vinculación del Puente de Thomson con el de Wheatstone: ......................................... 23
8.3 Errores del Puente de Thomson: ..................................................................................... 24
Mediciones Eléctricas II
Apunte de Cátedra Página 2 de 30
2 Objetivos.
Plantear nociones básicas sobre puentes de corriente continua.
Presentar distintos opciones de puentes.
Emplear convenientemente un puente de corriente continua.
3 Introducción.
Los puentes de corriente continua encuentran numerosas aplicaciones en el campo de las
medidas eléctricas para la determinación de los parámetros resistivos. Como vremos luego, se
los puede utilizar en régimen equilibrado en la detección de cero para determinar un valor de
resistencia incógnita o bien en régimen desequilibrado para la medición indirecta de un
parámetro no eléctrico asociado a la variación de una resistencia, por ejemplo, el uso de
Termistores cuya resistencia varía con la temperatura
4 El Puente de Wheatstone.
Si se tiene cuatro resistencias conectadas tal como muestra la Figura 1 forman lo que se
denomina un circuito puente. Como el circuito puente está alimentado por una fuente de tensión
de corriente continua de valor UAB los potenciales de los puntos C y D tomarán valores
comprendidos a los de los puntos A y B. Puede ocurrir que los potenciales de los puntos C y D
sean iguales, eso dependerá de los valores relativos de las cuatro resistencias del puente.
Si se analiza la rama donde se encuentran las resistencias R1 y R2 se puede escribir que:
𝑈𝐴𝐶
𝑈𝐴𝐵=
𝑅2
𝑅1+𝑅2=
1
1+𝑅1𝑅2
(1)
La expresión anterior muestra que para una determinada tensión, UAB la tensión UAC no
depende de los valores individuales de las resistencias Rl y R2 sino de la relación entre ellas. Se
ve también que depende del valor que se tenga de 𝑅2
𝑅1, el punto C tomará cualquier valor de
tensión comprendido entre los valores de tensión de los puntos A y B.
Si ahora se estudia la rama donde se encuentran las resistencias R3 y R4 se tiene que:
BA
C
D
R
R
4
1
V
R 2
R3
Figura 1
Mediciones Eléctricas II
Apunte de Cátedra Página 3 de 30
𝑈𝐴𝐷
𝑈𝐴𝐵=
𝑅3
𝑅3+𝑅4=
1
1+𝑅4𝑅3
(2)
Similar a lo hecho respecto ahora al punto D.
Si se pretende que los puntos C y D tengan el mismo potencial, decir que el puente se
encuentre en equilibrio, debe cumplirse que las caídas de tensión UAC y UAD tengan el mismo
valor, de acuerdo a esto último de las ecuaciones (1) y (2) se puede escribir que:
𝑅1
𝑅2=
𝑅4
𝑅3 (3) 𝑅1𝑅3 = 𝑅2𝑅4 (4)
Por lo tanto de las ecuaciones (3) y (4) se puede decir que:
“La condición de equilibrio del circuito puente es que los productos de las resistencias opuestas
sean iguales”
De las ecuaciones anteriores se pueden sacar las siguientes conclusiones:
a) La condición de equilibrio es independiente de la tensión de la fuente de alimentación.
En efecto, de las ecuaciones (1) y (2) vemos que si la tensión UAB varía, también variarán
proporcionalmente UAC y UAD por lo tanto si son iguales para cierta tensión también lo
seguirán siendo para cualquier otra tensión o signo.
b) Permutando las posiciones de dos resistencias opuestas, (ver la Figura 2), la condición
de equilibrio no se modifica (por ecuaciones (3) y (4)).
Por lo tanto los puntos P y Q tendrán el mismo potencial. Este cambio de posición de
resistencias equivale al cambio de la diagonal de alimentación, ya que si comparan las
Figura 1 y Figura 2 se ve que el punto M que es el nodo de común de las resistencias R3 y
R4, es el mismo punto D de la Figura 1, y el punto N que es el punto de encuentro de las
resistencias R1 y R2 es el punto C. Por lo tanto:
“Independientemente del cual sea la diagonal de alimentación, un puente está equilibrado,
si se cumplen las ecuaciones (3) y (4) y además los vértices de la otra diagonal están a un
mismo potencial.”
NM
P
Q
R
R
3
1
V
R 4
R 2
Figura 2
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Apunte de Cátedra Página 4 de 30
Es fácil comprender que un instrumento suficientemente sensible como un galvanómetro
o un detector, conectado en la diagonal no alimentada sería capaz de indicar cuándo el puente
está equilibrado, y tanto más aproximadamente cuanto más sensible sea.
5 Sensibilidad del Puente de Wheatstone:
5.1 Puente Ideal
Analizaremos primeramente un puente en el que la resistencia interna de la fuente de
alimentación es nula y no circula corriente por un detector conectado en la diagonal no
alimentada.
En el estudio de la sensibilidad es práctico realizar el circuito equivalente de Thevenin.
Asumiendo que el puente de la Figura 6Figura 3 se encuentra en equilibrio, la tensión entre los
terminales l y 2 es cero y por ende se cumplirá:
𝐼1𝑅1 = 𝐼2𝑅3
𝐼1𝑅2 = 𝐼2𝑅4
Haciendo el cociente se obtiene:
𝑅1
𝑅2=
𝑅4
𝑅3= 𝑘
Supóngase ahora el puente trabajando en las condiciones próximas al equilibrio y que la
resistencia R2 ha sido incrementada en una pequeña variación dada por ΔR.
𝑅´2 = 𝑅2 + 𝛥𝑅 Siendo 𝛥𝑅 = 𝑋. 𝑅2 y 𝑋 → 0
Para el puente en condiciones de medida resulta útil la representación del circuito
equivalente de Thevenin Figura 3. La tensión y la resistencia del generador equivalente según
Thevenin vista desde los puntos 1 y 2 está expresado por:
𝑈12 = 𝑈1 − 𝑈2 =𝑈
𝑅1 + 𝑅´2𝑅´2 −
𝑈
𝑅3 + 𝑅4𝑅4
Consideremos ahora las condiciones próximas al equilibrio, esto es que la variación de X
es muy pequeña X << l. La tensión U12 puede expresarse de la siguiente forma:
1
2
R 1 R 2
R3 R 4
1
2
R
R
3
2
V
R 1
R 4
G
I1
I2
1
2
R
R
3
2R 1
R 4
Figura 3
Mediciones Eléctricas II
Apunte de Cátedra Página 5 de 30
𝑈12 =𝑈
𝑅1 + 𝑅2 1 + 𝑋 𝑅2 1 + 𝑋 −
𝑈
𝑅3 + 𝑅4𝑅4 = 𝑈
𝑘𝑋
𝑘 + (1 + 𝑋) 𝑘 + 1
Podemos asemejar la sensibilidad del puente en el entorno del equilibrio como la
derivada de la tensión de salida respecto de X:
𝑆 =𝑑𝑈12
𝑑𝑋= 𝑈
𝑘 𝑘 + 1 + 𝑋 𝑘 + 1 − 1 + 𝑘 𝑘𝑋
𝑘 + (1 + 𝑋) 2 𝑘 + 1 2= 𝑈
𝑘 1 + 𝑘 + 𝑋 − 𝑘𝑋
𝑘 + 1 (1 + 𝑋 + 𝑘)2=
= 𝑈𝑘 𝑘 + 1
𝑘 + 1 (1 + 𝑋 + 𝑘)2= 𝑈
𝑘
(1 + 𝑋 + 𝑘)2
Si X << l la expresión de S se reduce a:
𝑆 = 𝑈𝑘
(𝑘 + 1)2
Ahora podemos determinar cuándo es máxima la sensibilidad del puente, para un
funcionamiento entorno al equilibrio. Para tal efecto, derivamos la S respecto de k e igualamos a
cero:
𝑑𝑆
𝑑𝑘= 0 𝑘 = 1 𝑅1 = 𝑅2 𝑦 𝑅3 = 𝑅4
Si entorno al equilibrio (se cumple que R1 R4 = R3 R2) la máxima sensibilidad del puente
ideal se consigue cuando R1=R2 y R3=R4, se deduce que la condición ideal es que R1 = R2 = R3
= R4.
5.2 Puente Real
Si ahora conectamos en serie con la fuente de alimentación la resistencia R5 y se
quiere conocer la corriente que circula por la resistencia R6, (Figura 5), se podría usar el método
de corrientes de mallas para determinarla.
En principio se muestra su representación gráfica en función de la variación de una sola
de sus seis resistencias, en este caso la R4, como se ve en la Figura 4. La resistencia R40 es el
valor de la resistencia R4 que produce el equilibrio del puente y que anula la corriente I6. Desde
el punto de vista de las mediciones eléctricas solo interesa el pequeño valor de la corriente para
pequeños desequilibrios.
BA
C
D
R
R
3
1
V
R 2
R 4
R5
I6
R6
I6
R 4R4-0
Figura 5 Figura 4
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5.2.1 Determinación de la Corriente ΔI6 Provocada por un Pequeño Desequilibrio en un
Puente Real
Se calculará la corriente ΔI6 que circulará por R6 cuando se incremente un ΔR la
resistencia R4, que con R1, R2 y R3 equilibran el puente, es decir, los valores de esas cuatro
resistencias son tales que se cumple:
𝑅1
𝑅2=
𝑅4
𝑅3
Como el incremento sobre la resistencia R4 es muy pequeño, o sea ΔR<R4, se tiene que
en la Figura 6.
a) La corriente ΔI6 es mucho menor que la que circula por las cuatro resistencias del
puente, por lo que se puede despreciarla para calcular IC e ID.
b) De acuerdo al teorema de compensación en la Figura 6 se incluye la fuente de
tensión ID.ΔR y se omite ΔR. Al hacer éstas dos simplificaciones el valor de ΔI6
será un valor aproximado, aunque aceptable. El nuevo circuito sigue siendo un
puente desequilibrado ya que las resistencias del puente son ahora R1, R3, R5 y R6.
Si se aplica ahora el teorema de reciprocidad, se puede sacar la fuente de tensión
ID.ΔR de la R4 y se coloca en aquélla cuya intensidad se quiere calcular, o sea R6 de
la Figura 6 (c).
Debido a que los puntos A y B están al mismo potencial, la resistencia R5 se
puede eliminar, ya que el puente está constituido por las resistencias R1, R2, R3 y R4
que como se dijo anteriormente se equilibran, por lo tanto la intensidad de corriente
a través de R5 será siempre nula por más que se varíe el valor de su resistencia.
Figura 6
De acuerdo a la Figura 6 (c) el valor de la corriente ΔI6 que circula por la
resistencia R4 será:
∆𝐼6
𝐼𝐴=
𝑅2+𝑅3
𝑅1+𝑅4→
∆𝐼6
𝐼=
𝑅2+𝑅3
𝑅1+𝑅2+𝑅3+𝑅4 (5)
Si se llama:
𝑆 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
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Se tiene:
∆𝐼6 = 𝐼𝑅2 + 𝑅3
𝑆
Pero:
𝐼 =𝐼𝐷∆𝑅
𝑅6+(𝑅1+𝑅4)(𝑅2+𝑅3)
𝑆
(6)
Reemplazando ahora (6) en (5):
∆𝐼6 =𝐼𝐷 (𝑅2+𝑅3)∆𝑅
𝑆𝑅6+(𝑅1+𝑅4)(𝑅2+𝑅3) (7)
Para el cálculo de ID se puede obtener de la Figura 6(a), que será:
𝐼𝐷
𝐼𝐶=
𝑅1+𝑅2
𝑅3+𝑅4
𝐼𝐷
𝐼𝑃=
𝑅1+𝑅2
𝑆 (8)
Donde:
𝐼𝑃 =𝑈
𝑅5+(𝑅1+𝑅2)(𝑅3+𝑅4)
𝑆
(9)
Si se reemplaza ahora la ecuación (9) en (8):
𝐼𝐷 =(𝑅1+𝑅2)𝑈
𝑆𝑅5+(𝑅1+𝑅2)(𝑅3+𝑅4) (10)
Reemplazando la ecuación (10) en (7):
∆𝐼6 =𝑈.∆𝑅
𝑅5𝑆
(𝑅1+𝑅2)+𝑅3+𝑅4 . 𝑅6
𝑆
(𝑅2+𝑅3)+𝑅1+𝑅4
(11)
Pero:
𝑆
𝑅1+𝑅2=
𝑅1+𝑅2+𝑅3+𝑅4
𝑅1+𝑅2= 1 +
𝑅3+𝑅4
𝑅1+𝑅2= 1 +
𝑅3
𝑅2 (12)
Ya que R1, R2, R3 y R4 corresponde a un puente en equilibrio:
𝑅3
𝑅2=
𝑅4
𝑅1=
𝑅3+𝑅4
𝑅1+𝑅2 (por propiedad de las proporciones) (13)
Del mismo modo:
𝑆
𝑅2+𝑅3= 1 +
𝑅1
𝑅2 (14)
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Si ahora se reemplaza (12), (13) y (14) en la ecuación (11) se tiene;
∆𝐼6 =𝑈.∆𝑅
𝑅5(1+𝑅3𝑅2
)+𝑅3+𝑅4 . 𝑅6(1+𝑅1𝑅2
)+𝑅1+𝑅4 (15)
En la ecuación anterior se ve que para pequeños incrementos ΔR la corriente ΔI6 es
proporcional a ese incremento y también a la fuente de alimentación. Además si bien las
resistencias R5 y R6 no intervienen en la condición de equilibrio del puente, sus valores juegan
un papel en la determinación del valor de ΔI6.
5.3 El Puente de Corriente Continua como Sistema de Medición
El puente de Wheatstone constituye el medio más usado para medir resistencias de
valores comprendidas entre 1Ω y 10 MΩ. Es también muy usado en diversos dispositivos de
medición y control en los cuales el elemento sensor es una resistencia cuya, variación es una
cantidad medida, como por ejemplo: temperatura, deformación mecánica, posición, presión,
intensidad luminosa, etc.
En general, la resistencia incógnita X forma un puente con otras tres resistencias
conocidas, que pueden ser variadas de distintas formas para lograr el equilibrio. La verificación
del equilibrio se realiza a través de un galvanómetro o detector de cero.
Cuando se lo utiliza como dispositivo de medición o control de magnitudes no
eléctricas, el puente se usa a menudo como desequilibrado y la cantidad medida es indicada
por el instrumento, que mide la corriente de desequilibrio que es función de la incógnita si U es
constante.
Vamos a referirnos de aquí en adelante al puente de cero. Si se tiene una resistencia
incógnita X y se la conecta de tal manera que con otras tres resistencias variables se forma
puente, se puede escribir de acuerdo a la ecuación (4):
𝑋 = 𝑅1𝑅3
𝑅2 (16)
y de ésta última ecuación se deduce el valor de la incógnita.
Existen varias soluciones constructivas al problema de variar los valores de Rl, R2 y
R3.
a) Usando una rama de relación variable a "saltos" y resistencia de comparación
variable en forma "continua".
La ecuación (16) se puede reescribir de la siguiente forma:
𝑋 =𝑅1
𝑅2𝑅3 (17)
De esta manera se está escribiendo a X en función de R3 y de la relación entre R1 y
R2, o más generalmente; en función de una adyacente y de la relación de la otra adyacente a la
opuesta.
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La R3, la cual llamaremos resistencia de comparación, se construye generalmente
en forma de "décadas" como si fueran las conocidas "cajas de resistencias", o menos
frecuentemente, por resistencias conectables por clavijas. Cualquiera de éstas dos últimas
formas de construcción, el valor de la resistencia puede ser variado desde cero hasta un
máximo, en saltos de 1, 0.1 ó 0.01Ω. Como vemos la variación entonces de R3 no es
"continua".
La relación Rl/R2 cuyas resistencias constituyen la llamada rama de relación puede
tomar, a voluntad del operador, valores decimales tales como 0.0001, 0.001, 0.01, 0.1, 1, l0,
100, 1000 y 10.000. De acuerdo a esto último, si tenemos por ejemplo que al medir una
determinada resistencia incógnita, hemos logrado el equilibrio con una rama de relación de
valor: 0.001 y con una resistencia de comparación R3: 10987Ω el valor de X será de acuerdo a
la ecuación (17):
𝑋 = 0.001 10987Ω = 10.987Ω
La rama de relaci6n puede tomar varias formas constructivas:
Cada una de las resistencias Rl y R2 puede tomar independientemente valores
decimales como 1, 10, 100, 1000 y 10000Ω. Esto permite obtener una misma
relación con distintos valores de Rl y R2. Por ejemplo, la relación 1/10 puede
lograrse con 1 y 10, 10 y 100, 100 y 1000, etc. lo cual constituye una ventaja, como se
verá más adelante. Existen puentes de menor calidad en que la rama de relación suma
de Rl y R2 es constante. La relación puede variarse entre 0.01 y 100, mediante una
llave (Figura 7).
Figura 7
Otra opción es resistencia de comparación variable a saltos y rama de relación de
variación continúa. Este es del tipo que se conoce como "puente de hilo" que es de
moderada exactitud y prácticamente se usa en modelos didácticos. ()
Figura 8
V
R
R 2
G
XR 1
0.010.1110100
X
C
Bl2
R G
A l1
V
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En algunos modelos, y entre ellos están los de laboratorio de mayor exactitud, el
puente está constituido por la rama de relación, la resistencia de comparación, los pulsadores,
el galvanómetro y la batería. En la actualidad la resistencia comparación es del tipo de décadas.
5.4 Errores del Puente de Wheatstone. Sensibilidad
Los errores en un puente se pueden clasificar en:
a) Errores de ajuste de los resistores Rl , R2 y R3.
b) Errores debidos a fems térmicas espurias.
c) Error por insensibilidad.
a) Los errores de ajuste de los resistores son aquellos debidos a la fabricación de los
mismos, su regulación, o las modificaciones sufridas debido a la temperatura o la acción del
tiempo.
De la ecuación (16) podemos calcular el error relativo límite de la medición de la
incógnita X, que sería:
𝑒𝑋 = ±∆𝑋
𝑋= ±
∆𝑅1
𝑅1+
∆𝑅2
𝑅2+
∆𝑅3
𝑅3 = ± 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 (18)
En el caso del puente de relación en que solo se conoce el valor de la relación y son
desconocidos los valores de Rl y R2.
𝑒𝑋 = ±∆𝑋
𝑋= ± 𝑒𝑝 +
∆𝑅3
𝑅3 (19)
donde ep es el error relativo de la relación del puente, o sea:
𝑒𝑝 = ± ∆𝑅1
𝑅1+
∆𝑅2
𝑅2 (20)
Generalmente el fabricante especifica siempre los valores límites de los errores relativos de las
resistencias de relación y de la comparación. Si el puente es de relación se da el valor de ep.
b) Las fems térmicas ocasionan errores, particularmente importantes si están en la
diagonal del galvanómetro. Debido a ello el pulsador del interruptor del galvanómetro está
hecho de material plástico, que siendo mal conductor térmico evita que se transmita al circuito
el calor del dedo del operador.
c) Similar a lo que ocurre en el método de oposición, aparece en el uso del puente un
error debido a la falta de perfecta sensibilidad del detector para apreciar cuando está
correctamente equilibrado. El problema está condicionado por la sensibilidad del galvanómetro
o detector y por las resistencias del circuito, que influyen no solo a las propias del puente sino
también, a la incógnita, a la de la fuente y a la del galvanómetro.
Se analizará a continuación sensibilidad para un puente de relación variable a saltos y
resistencia de comparación de variación continua. Las conclusiones se pueden extender a otro
tipo de puente.
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Si se usa en el puente del tipo anterior una relación Rl/R2 y se varía la resistencia de
comparación R (anteriormente se había llamado R3), la está en el valor de R3 que establece el
equilibrio, pero como:
𝑋 =𝑅1
𝑅2𝑅 (21)
esa incertidumbre de R implica una de X en valor relativo igual a:
∆𝑋
𝑋=
∆𝑅
𝑅 (22)
Por lo tanto es equivalente hablar de incertidumbre de X o de R. Teniendo en cuenta esto se
define la sensibilidad del puente como:
𝑆 =𝑋
∆0𝑋=
𝑅
∆0𝑅 (23)
donde Δ0X y Δ0R son las incertidumbres de X y de R, o sea los valores que provocan un
desequilibrio del puente tal que por el detector circula la Δ0Ig mínima corriente perceptible.
La corriente Δ0Ig mínima perceptible es la resolución del detector, en otras palabras una
propiedad del mismo detector, por lo tanto determinable. Por otra parte, se conoce la relación
que liga el incremento de R con la corriente de desequilibrio, relación dada por la ecuación
(15) en la que ahora se cambia a R por R3, X por R4, Δ0X por AR, Δ0Ig por ΔI6, B por R5 y G por
R6.
∆0𝐼6 =𝑈.∆0𝑋
𝐵 1+𝑅
𝑅2 +𝑅+𝑋 𝐺(1+
𝑅1𝑅2
)+𝑅1+𝑋 (24)
sabiendo además que los valores Rl, R2, R y X equilibran el puente y que además se
pueden llamar:
𝜌 =𝑅1
𝑅2=
𝑋
𝑅 Relación a ambos lados del galvanómetro. (25)
𝜎 =𝑋
𝑅1=
𝑅
𝑅2 Relación a ambos lados de la fuente. (26)
Como:
𝑆 =𝑋
∆0𝑋
Se tiene:
𝑆 =𝑈
∆0𝐼𝑔
𝑋
𝐵 1+𝜎 +𝑋(1+1
𝜌) . 𝐺(1+𝜌)+𝑋(1+
1
𝜎)
(27)
Esta última expresión da la sensibilidad del puente para cierto valor de X cuando están
definidos la fuente de alimentación (por su valor de tensión U y su resistencia interna B) y el
galvanómetro (por su valor de la mínima corriente Δ0Ig que es capaz de percibir y por su
resistencia interna G).
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Esta ecuación permite resolver todos los problemas que involucran la sensibilidad del
puente pero es necesario tener en cuenta las condiciones de cada caso particular. De la ecuación
(27) se pueden deducir las siguientes conclusiones:
a) La sensibilidad será mayor cuando la tensión de la fuente U sea mayor y cuanto
menor sea su resistencia interna B.
b) Conviene siempre que la sensibilidad del galvanómetro sea la mayor posible y su
resistencia interna la más baja posible.
c) La limitación de la tensión de la fuente está en la disipación de las resistencias del
puente, incluyendo a la incógnita X. En general, la disipación de las resistencias del
puente es de 1/2 W a 2 W, que es un dato que generalmente lo da el fabricante.
Se puede analizar que ocurre con la sensibilidad del puente para valores extremos de la
incógnita, es decir para:
0 ≤ 𝑋 ≤ ∞
Si se supone que la resistencia de comparación R se mantiene constante para cierto valor
de X, que como se verá es lo real en un puente de medición, siendo 𝜌 =𝑋
𝑅 , las variaciones ρ y
de X son proporcionales. Luego de la ecuación (27) se puede poner:
𝑆 =𝑈
∆0𝐼𝑔 .𝑅
1
𝐵
𝑅 1+𝜎 +𝜌+1 .
𝐺
𝑅 .𝜌(1+𝜌)+
1
𝜎+1
(28)
De la ecuación anterior se puede deducir lo siguiente:
a) La sensibilidad S tiende a cero cuando ρ tiende a cero ya que el factor de G que es l/ρ
tiende a infinito.
b) La sensibilidad S tiende a cero para ρ tendiendo a infinito ya que tendería infinito lo
encerrado por el primer par de corchetes.
De estas conclusiones surge el porqué el puente no debe ser usado por debajo de 1 Ω ni
por arriba de 1 MΩ. Se debe además hacer dos aclaraciones: el límite inferior de 1 Ω está
también impuesto por el error que introduce la resistencia de los conductores de unión de la
incógnita y el límite superior puede ser amplísimamente excedido mediante adecuadas
modificaciones constructivas del puente.
Si se sigue investigando en la ecuación (28) se puede determinar para cierta X para cierta
relación ρ, la relación σ que da máxima sensibilidad. Para determinarla se puede derivar la
ecuación (27) respecto de σ e igualarla a cero para hallar el valor de σ que hace máximo a S.
Derivando entonces se tiene:
𝜎2 =𝑋 . 𝐵+𝑋(1+
1
𝜌)
𝐵. 𝑋+𝐺(1+𝜌) (29)
La ecuación anterior muestra que el valor de σ que da, para cierta X y cierto ρ, la
máxima sensibilidad es función de B y de G. Se advierte además que si ρ =1, no siempre se
obtendrá máxima sensibilidad con σ=1, es decir, con Rl = R2 =R = X. Se puede comprobar con
la ecuación (29) que esta regla solo vale si se cumple la siguiente condición:
𝑋 = 𝐵. 𝐺 (30)
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Apunte de Cátedra Página 13 de 30
BA
C
D
R
R 1
V
R 2
X
G
5.5 Error Límite en el Puente de Wheatstone.
Como se sabe, toda medida puede exprearse como:
𝑋 = 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ± ∆𝑋
Siendo:
∆𝑋 = ∆𝑋𝑃 + ∆0𝑋
Con:
∆𝑋𝑃: Error absoluto límite debido a la inceridumbre de las resistencias del puente.
∆0𝑋: Error absoluto límite debido a la incertidumbre en la detección del equilibrio.
Además:
𝑋 =𝑅1
𝑅2𝑅 = 𝜌. 𝑅
El error relativo límite será entonces debido solo a
las resistencias del puente:
𝑒𝐿𝑃= ±
∆𝑋𝑃
𝑋𝑚 á𝑥= ±
∆𝜌
𝜌+
∆𝑅
𝑅
Donde 𝑋𝑚á𝑥= alcance del puente
Por lo tanto, el error absoluto límite debido a las
resistencias del puente será
∆𝑋𝑃 = 𝑋𝑚á𝑥 . 𝑒𝐿𝑃
Si el error relativo es porcentual, osea 𝑒𝐿𝑃% se tiene:
∆𝑋𝑃 =𝑋𝑚á𝑥 . 𝑒𝐿𝑃%
100
Algunos fabricantes dan el error límite porcentual para cada relación ρ = R1/R2, sin
embargo la mayoría de ellos fijan un valor que denominan exactitud (ep%) y que representa el
error relativo porcentual de la medición o sea:
∆𝑋𝑃% = 𝑋𝑚 . 𝑒𝑃% → ∆𝑋𝑃 =𝑋𝑚 . 𝑒𝑃%
100
El valor ∆0𝑋 (error absoluto límite debido a la incertidumbre en la detección del
equilibrio) se puede calcular en forma práctica con la “sensibilidad relativa práctica”.
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Apunte de Cátedra Página 14 de 30
Se define:
Sensibilidad Relativa Práctica = 𝑆𝑅𝑃=
∆0𝛼∆0𝑅
𝑅
= 𝛼´−𝛼´´ 𝑅 ´−𝑅 ´´
𝑅
(31)
Para determinar prácticamente esta sensibilidad práctica procede de la siguiente manera:
1. Una vez obtenido el equilibrio del puente se varía la resistencia de comparación
R hasta obtener una división a la derecha en el galvanometro y se lee ahora el
nuevo valor de R que en este caso caso será R'.
2. Análogamente, se varía nuevamente R hasta obtener una división a la izquierda
de la posición de equilibrio del galvanometro, leyendo el nuevo valor R".
3. Se calcula la sensibilidad relativa práctica sabindo que:
𝛼´ − 𝛼´´ = 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 Siendo:
𝛼´ = 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑅´ 𝛼´´ = 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑅´´
∆0𝛼 = mínima variacion perceptible en el galvanometro (1/10 división)
4. Si ahora de la ecuación de la sensibilidad relativa práctica (SRP) se despeja el
valor de ∆0R:
∆0𝑅 =∆0𝛼. 𝑅
𝑆𝑅𝑃
Pero:
∆0𝑋 =𝑅1
𝑅2∆0𝑅 =
𝑅1
𝑅2.∆0𝛼. 𝑅
𝑆𝑅𝑃
= 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 .∆0𝛼
𝑆𝑅𝑃
EJEMPLO N° 1:
Se ha medido una resistencia con un puente,obteniéndose los siguientes datos:
R = 1248 Ω.
R´ = 1260 Ω…….. 1 división a la derecha
R´´ = 1240 Ω…….. 1 división a la izquierda
𝑒𝐿𝑃% = error relativo de la medición (dato del fabricante) = 0.1%
𝜌 =𝑅1
𝑅2 = 10 ∆0𝛼 = 0.1 división.
Calcular el error relativo de la medición.
SOLUCIÓN:
a) Resistencia medida: 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 =𝑅1
𝑅2𝑅 = 𝜌. 𝑅 = 10 . 1248 Ω = 12480 Ω
b) Error absoluto del puente: ∆𝑋𝑃 =𝑋𝑚 .𝑒𝑃%
100=
12480 Ω 0.1
100= 12.48 Ω
c) ∆0𝑋 =𝑅1
𝑅2∆0𝑅 =
𝑅1
𝑅2.∆0𝛼 .𝑅
𝑆𝑅𝑃
= 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 .∆0𝛼
𝑆𝑅𝑃
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Apunte de Cátedra Página 15 de 30
Pero: 𝑆𝑅𝑃=
∆0𝛼∆0𝑅
𝑅
= 𝛼´−𝛼´´ 𝑅 ´−𝑅 ´´
𝑅
= 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
1260 Ω − 1240 Ω
1248 Ω
= 124.8 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
∆0𝑋 = 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 .∆0𝛼
𝑆𝑅𝑃
= 12480 Ω.0.1 divisiones
124.8 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠= 10 Ω
d) ∆𝑋 = ∆𝑋𝑃 + ∆0𝑋 = 12.48 Ω + 10 Ω = 22.48 Ω
e) 𝑋 = 𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ± ∆𝑋 = 12480 ± 22.48 Ω = 12480 ± 23 Ω
f) El error relativo total será: 𝑒 =∆𝑋
𝑋𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜= 0.18%
EJEMPLO N° 2:
Se quiere medir una resistencia de aproximadamente 1000 Ω. Se dispone de un puente de las
siguientes características:
𝜌 =𝑅1
𝑅2 = 0.001 ; 0.01 ; 0.1 ; 1 ; 10 ; 100 ; 1000
R = resistencia de comparación = (10 x 1000 + 10 x 100 + 10 x 10 + 10 x 1)
Rcomparación máxima = 11110 Ω. Resolución de R = 1 Ω.
𝑒𝐿𝑃% = error relativo de la medición (dato del fabricante) = 0.1%
∆0𝛼 = 0.1 división.
Galvanometro: Klectura = 2 μA/div.
Rgalvanómetro = 100 Ω.
Tensión: U = 4.5 V
B = 4 Ω.
Determinar la mejor configuración para realizar la medición.
SOLUCIÓN:
a) Con las características del puente se puede construir la siguiente tabla con el alcance y la
resolución del puente para cada relación posible:
relación: 𝜌 =𝑅1
𝑅2 alcance resolución
0.001 11.11 Ω 0.001 Ω
0.01 111.10 Ω 0.01 Ω
0.1 1111.00 Ω 0.1 Ω
1 11110.00 Ω 1 Ω
10 111100.00 Ω 10 Ω
100 1111000.00 Ω 100 Ω
1000 11110000.00 Ω 1000 Ω
b) Criterio de alcance:
Como se quiere medir una resistencia de aproximadamente 1000 Ω las relaciones ρ =
0.001 y ρ = 0.01 quedan descartadas porque el puente tiene un alcance menor a 1000 Ω
con estas relaciones.
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c) Criterio de reolución:
Se debe cumplir cierta relación lógica entre la exactitud del puente y la resolución del
puente, es decir, no tiene sentido emplear relaciones que den una resolución tan pobre
que la mínima variación de la R de comparación produzca variaciones en la indicación
del puente mayores a la propia exactitud que se puede lograr con el puente. En otras
palabras:
La resolución de R es de 1 Ω. La resolución del puente depende de 𝜌 =𝑅1
𝑅2 y de la
resolución de R según la tabla anterior.
Pero la exactitud del puente (𝑒𝐿𝑃%) es 0.1%, o sea que para una resistencia a medir de
1000 Ω resulta: ∆𝑋𝑃 =𝑋𝑚 .𝑒𝑃%
100=
1000 Ω . 0.1
100= 1 Ω
Por lo tanto, carece de sentido usar resoluciones en el puente que excedan 1 Ω (∆𝑋𝑃),
puesto que de ser así se estarían desaprovechando las bondades del puente.
La tabla anterior resume lo comentado:
relación: 𝜌 =𝑅1
𝑅2 alcance resolución posibilidad
0.001 11.11 Ω 0.001 Ω NO (por alcance)
0.01 111.10 Ω 0.01 Ω NO (por alcance)
0.1 1111.00 Ω 0.1 Ω SI
1 11110.00 Ω 1 Ω SI
10 111100.00 Ω 10 Ω NO (por resolución)
100 1111000.00 Ω 100 Ω NO (por resolución)
1000 11110000.00 Ω 1000 Ω NO (por resolución)
d) Criterio de sensibilidad:
Quedaron dos relaciones posibles:
ρ = 0.1 ó ρ = 1
La pregunta es entonces ¿con cual de ellas tendremos mayor sensibilidad?
PRIMER CASO: ρ = 0.1
Si ρ = 0.1 → X = 𝜌. 𝑅 → R =𝑋
0.1= 10000 Ω
Pero para:
ρ = 0.1 =𝑅1
𝑅2→ tres formas diferentes
ρ = 𝑅1
𝑅2=
1
10 𝐼 ; ρ =
𝑅1
𝑅2=
10
100 𝐼𝐼 ; ρ =
𝑅1
𝑅2=
100
1000 𝐼𝐼𝐼
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En los tres casos se tiene el equilibrio:
X . 𝑅2 = 𝑅1 . R
𝐼 1000 x 10 = 1 x 10000
𝐼𝐼 1000 x 100 = 10 x 10000
𝐼𝐼𝐼 1000 x 1000 = 100 x 10000
¿Con cual de éstas tres relaciones se tiene mayor sensibilidad?: Se sabe que:
𝑆 =𝑈
∆0𝐼𝑔 . 𝑅
1
𝐵
𝑅 1 + 𝜎 + 𝜌 + 1 .
𝐺
𝑅.𝜌(1 + 𝜌) +
1
𝜎+ 1
Alternativa (I):
Para ρ = 𝑅1
𝑅2=
1
10
Como:
R= 10000 Ω
∆0𝐼𝑔 = 0.1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0.2 𝜇𝐴
σ =𝑋
𝑅1=
𝑅
𝑅2=
10000 Ω
10 Ω= 1000 Ω
Rgalvanómetro = 100 Ω U = 4.5 V B = 4 Ω.
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼) =4.5𝑉
0.2𝜇𝐴 10000Ω
1
4Ω
10000 Ω 1 + 1000Ω + 0.1 + 1 .
100Ω
10000 Ω .0.1(1 + 0.1) +
1
1000 Ω+ 1
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼) = 1350 div
Alternativa (II):
Para ρ = 𝑅1
𝑅2=
10
100
Como:
R= 10000 Ω
∆0𝐼𝑔 = 0.1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0.2 𝜇𝐴
σ =𝑋
𝑅1=
𝑅
𝑅2=
10000 Ω
100 Ω= 100 Ω
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Apunte de Cátedra Página 18 de 30
Rgalvanómetro = 100 Ω U = 4.5 V B = 4 Ω.
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝐼) =4.5𝑉
0.2𝜇𝐴 10000Ω
1
4Ω
10000 Ω 1 + 100Ω + 0.1 + 1 .
100Ω
10000 Ω .0.1(1 + 0.1) +
1
100 Ω+ 1
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝐼) = 1761 div
Alternativa (III):
Para ρ = 𝑅1
𝑅2=
100
1000
Como:
R= 10000 Ω
∆0𝐼𝑔 = 0.1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0.2 𝜇𝐴
σ =𝑋
𝑅1=
𝑅
𝑅2=
10000 Ω
1000 Ω= 10 Ω
Rgalvanómetro = 100 Ω U = 4.5 V B = 4 Ω.
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝐼𝐼) =4.5𝑉
0.2𝜇𝐴 10000Ω
1
4Ω
10000Ω 1 + 10Ω + 0.1 + 1 .
100Ω
10000Ω .0.1(1 + 0.1) +
1
10 Ω+ 1
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝐼𝐼) = 1683 div
SEGUNDO CASO: ρ = 1
Si ρ = 1 → X = 𝜌. 𝑅 → R =𝑋
1= 1000 Ω
Pero para:
ρ = 1 =𝑅1
𝑅2→ cuatro formas diferentes
ρ = 𝑅1
𝑅2=
1
1 𝐼𝑉 ; ρ =
𝑅1
𝑅2=
10
10 𝑉 ; ρ =
𝑅1
𝑅2=
100
100 𝑉𝐼 ; ρ =
𝑅1
𝑅2=
1000
1000 𝑉𝐼𝐼
En los cuatro casos se tiene el equilibrio:
X . 𝑅2 = 𝑅1 . R
𝐼𝑉 1000 x 1 = 1 x 1000
𝑉 1000 x 10 = 10 x 1000
𝑉𝐼 1000 x 100 = 100 x 1000
𝑉𝐼𝐼 1000 x 1000 = 1000 x 1000
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Aplicando la misma ecuacion de sensibilidad se tiene:
Alternativa (IV):
Para ρ = 𝑅1
𝑅2=
1
1
Como:
R= 1000 Ω
∆0𝐼𝑔 = 0.1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0.2 𝜇𝐴
σ =𝑋
𝑅1=
𝑅
𝑅2=
1000 Ω
1 Ω= 1000 Ω
Rgalvanómetro = 100 Ω U = 4.5 V B = 4 Ω.
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝑉) =4.5𝑉
0.2𝜇𝐴 1000Ω
1
4Ω
1000Ω 1 + 1000Ω + 1 + 1 .
100Ω
1000Ω(1 + 1) +
1
1000 Ω+ 1
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝐼𝑉) = 3120 div
Alternativa (V):
Para ρ = 𝑅1
𝑅2=
10
10
Como:
R= 1000 Ω
∆0𝐼𝑔 = 0.1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0.2 𝜇𝐴
σ =𝑋
𝑅1=
𝑅
𝑅2=
1000 Ω
10 Ω= 100 Ω
Rgalvanómetro = 100 Ω U = 4.5 V B = 4 Ω.
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉) =4.5𝑉
0.2𝜇𝐴 1000Ω
1
4Ω
1000Ω 1 + 100Ω + 1 + 1 .
100Ω
1000Ω(1 + 1) +
1
100 Ω+ 1
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉) = 9340 div
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Apunte de Cátedra Página 20 de 30
Alternativa (VI):
Para ρ = 𝑅1
𝑅2=
100
100
Como:
R= 1000 Ω
∆0𝐼𝑔 = 0.1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0.2 𝜇𝐴
σ =𝑋
𝑅1=
𝑅
𝑅2=
1000 Ω
100 Ω= 10 Ω
Rgalvanómetro = 100 Ω U = 4.5 V B = 4 Ω.
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉𝐼) =4.5𝑉
0.2𝜇𝐴 1000Ω
1
4Ω
1000Ω 1 + 10Ω + 1 + 1 .
100Ω
1000Ω(1 + 1) +
1
10 Ω+ 1
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉𝐼) = 10792 div
Alternativa (VII):
Para ρ = 𝑅1
𝑅2=
1000
1000
Como:
R= 1000 Ω
∆0𝐼𝑔 = 0.1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 0.2 𝜇𝐴
σ =𝑋
𝑅1=
𝑅
𝑅2=
1000 Ω
1000 Ω= 1 Ω
Rgalvanómetro = 100 Ω U = 4.5 V B = 4 Ω.
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉𝐼𝐼) =4.5𝑉
0.2𝜇𝐴 1000Ω
1
4Ω
1000Ω 1 + 1Ω + 1 + 1 .
100Ω
1000Ω(1 + 1) + 1 + 1
𝑆𝐴𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑉𝐼𝐼) = 5093 div
Conclusion: de las siete alternativas analizadas la mayor sensibilidad del conjunto puente –
galvanómetro se obtiene cuando R1=100Ω y R2=100Ω (ρ=1) con una resolución del puente de
1Ω.
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Apunte de Cátedra Página 21 de 30
6 Consideraciones sobre el uso del Puente
1) Fuente de alimentación:
La tensión de la fuente es un dato del fabricante. Se suele colocar una resistencia en serie con
la fuente debajo valor óhmico, generalmente 2 Ω, con el fin de limitar la corriente cuando se
usan los valores más bajos de las resistencias de comparación o de relación. Es conveniente
siempre verificar que la potencia de disipación de las resistencias del puente no sea excedida
nunca en aquellos casos en que se aumenta considerablemente la tensión para aumentar la
sensibilidad de la medición. Por lo general las potencias admisibles de éstas resistencias oscilan
entre 0.1 W a 2 W.
2) Detector utilizado:
El detector o galvanómetro utilizado deberá tener la sensibilidad adecuada a la incertidumbre
que no debe ser excedida. No es conveniente que sea mayor porque a más sensibilidad en el
galvanómetro mayor fragilidad y mayor precio.
La resistencia del galvanómetro deberá ser de valor compatible con la que presenta en sus
bornes el puente. En general es adecuado un valor de 100 a 500 Ω.
7 Medición de valores de Resistencias Menores que 10 Ω
Cuando los valores de resistencias a medir son menores que 10 Ω pueden cometerse errores
significativos debido a la resistencia que presentan los conductores de unión. Se pueden
disminuir estos errores haciendo lo siguiente: Se mide primero el valor de X y luego se la saca
del circuito. Inmediatamente se cortocicuita los extremos libres de los conductores y luego ese
valor obtenido se descuenta de la medición del valor de la X medida.
No obstante, lo más adecuado es usar el puente de Kelvin como se verá a cotinuación.
8 Puente Doble de Thomson
Se dijo anteriormente que debido a las resistencias de los conductores de unión, la
medición de resistencias menores a 10 Ω adolece de errores significativos cuando se utiliza el
puente de Wheatstone. Además las resistencias patrones, derivadores, etc, presentan cuatro
bornes: dos de alimentación o de corriente y dos de tensión, (ver apéndice). Para medir
resistencias de éste tipo no puede usarse el puente estudiado de Wheatstone, es por ello que
debe recurrirse a otro puente de corriente continua denominado puente de Thompson o Kelvin
cuyo circuito es el de la Figura 9.
Figura 9.
R2
I1
R1
R4
I3
R3
G
C
D
B
M
I
AE
P
N Q
I3
R
IT I 1 I= +
G H I 0 I 3I= - K LI
XR0
A
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Apunte de Cátedra Página 22 de 30
Se ve en esta figura un circuito de “grueso” en el cual se disponen en serie la resistencia
de comparación R y la resistencia incógnita X, atravesadas por la corriente I. Debido a esta
corriente I se provocan caídas de tensión en X y R que son comparadas en las resistencias R1,
R2, R3 y R4, todas del orden de 100 Ω como mínimo, de modo que las resistencias de los
conductores de unión, en serie con ellas, ejercen un efecto poco importante.
Se demostrará más adelante que el circuito del puente de Thomson es equivalente a uno
de Wheatstone que debido al bajo valor de σ trabaja en pobres condiciones de sensibilidad, pero
que soluciona el problema de los conductores de unión, permitiendo medir resistencias muy
bajas, en un rango desde l0-8
y aún menos, hasta 1Ω o 10Ω.
8.1 Condición de Equilibrio
El puente se considerará en equilibrio cuando los puntos C y D estén a un mismo
potencial, es decir, cuando sean iguales las caídas UAC y UAD de la Figura 9. Así de tiene:
𝐼1 =𝑈𝐴𝐵
𝑅1+𝑅2 (32)
𝐼 =𝑈𝐴𝐵
𝑅+𝑋+ 𝑅3+𝑅4 .𝑅0𝑅0+𝑅3+𝑅4
=𝑈𝐴𝐵
𝑅+𝑋+ 𝑅3+𝑅4 .𝑅0
𝑆
(33)
donde:
𝑆 = 𝑅0 + 𝑅3 + 𝑅4 (34)
𝐼3
𝐼0=
𝑅0
𝑅3+𝑅4→
𝐼3
𝐼=
𝑅0
𝑆 (35)
𝑈𝐴𝐶 = 𝐼1. 𝑅2 = 𝑈𝐴𝐷 = 𝐼. 𝑅 + 𝐼3. 𝑅4 = 𝐼. 𝑅 +𝑅0 .𝑅4
𝑆 (36)
De (32) y (33): 𝑈𝐴𝐵 .𝑅2
𝑅1+𝑅2=
𝑈𝐴𝐵
𝑅+𝑋+ 𝑅3+𝑅4 .𝑅0
𝑆
𝑅 +𝑅0 .𝑅4
𝑆 (37)
𝑅2
𝑅1+𝑅2=
𝑅 .𝑆+𝑅0 .𝑅4
𝑆(𝑅+𝑋+𝑅0)=
𝑅 .𝑆+𝑅0 .𝑅4
𝑋 .𝑆+𝑅0 .𝑅3+𝑅.𝑆+𝑅0 .𝑅4 (38)
Se ve que en el primer miembro R2 está en el numerador y en el denominador y
que en el segundo lo mismo pasa con R.S.+ R0.R4
𝑅2
𝑅1=
𝑅.𝑆+𝑅0 .𝑅4
𝑆.𝑋+𝑅0 .𝑅3 (39)
𝑋. 𝑆 + 𝑅0. 𝑅3 =𝑅1
𝑅2 𝑅. 𝑆 + 𝑅0. 𝑅4 (40)
De la ecuación (34):
𝑋 =𝑅1
𝑅2𝑅 +
𝑅0 .𝑅3
𝑅0+𝑅3+𝑅4 𝑅1
𝑅2−
𝑅3
𝑅4 (41)
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Apunte de Cátedra Página 23 de 30
R´
G
R0
R3R4
R X
X´
G´
R1R2 G
G
G´R
R´
X
X´
Si permanentemente se cumple que:
𝑅1
𝑅2−
𝑅3
𝑅4 (42)
Lo encerrado entre paréntesis se anula, y la ecuación (41) queda:
𝑋 =𝑅1
𝑅2𝑅 = 𝜌. 𝑅
Si llamamos:
𝜌 =𝑅1
𝑅2
Para lograr que la proporción (42) se cumpla permanentemente se hace que siempre sea:
𝑅1 = 𝑅3 y 𝑅2 = 𝑅4
8.2 Vinculación del Puente de Thomson con el de Wheatstone:
Vemos en la Figura 9 que R0, R3 y R4 están conectadas en triángulo. Si se hace la
transformación estrella – triangulo quedará:
𝑋´ =𝑅0. 𝑅3
𝑆 𝑅´ =
𝑅0. 𝑅4
𝑆 𝐺´ =
𝑅3. 𝑅4
𝑆
Se advierte que el puente se ha convertido en un puente de
Wheatstone, 𝑋 +𝑅0 .𝑅3
𝑆=
𝑅1
𝑅2 𝑅 +
𝑅0 .𝑅4
𝑆
𝑋 =𝑅1
𝑅2.𝑅4. 𝑅0
𝑆−
𝑅3. 𝑅0
𝑆=
𝑅1
𝑅2. 𝑅 +
𝑅4. 𝑅0
𝑆 𝑅1
𝑅2−
𝑅3
𝑅4
Figura 10, cuyas resistencias son R1
y R2, la suma R+R´, la suma X+X y con un galvanómetro
cuya resistencia interna se incrementa del valar G al G+G´.
La condición de equilibrio, ya vista del puente de Thompson
puede deducirse de la del puente de Wheatstone equivalente
de la 𝑋 +𝑅0 .𝑅3
𝑆=
𝑅1
𝑅2 𝑅 +
𝑅0 .𝑅4
𝑆
𝑋 =𝑅1
𝑅2.𝑅4. 𝑅0
𝑆−
𝑅3. 𝑅0
𝑆=
𝑅1
𝑅2. 𝑅 +
𝑅4. 𝑅0
𝑆 𝑅1
𝑅2−
𝑅3
𝑅4
Figura 10. En efecto:
𝑋 + 𝑋´ =𝑅1
𝑅2
𝑅 + 𝑅´
𝑋 +𝑅0. 𝑅3
𝑆=
𝑅1
𝑅2 𝑅 +
𝑅0. 𝑅4
𝑆
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Apunte de Cátedra Página 24 de 30
R3R
4 G
G
R XR"0 R'0
D´
D
𝑋 =𝑅1
𝑅2.𝑅4. 𝑅0
𝑆−
𝑅3. 𝑅0
𝑆=
𝑅1
𝑅2. 𝑅 +
𝑅4. 𝑅0
𝑆 𝑅1
𝑅2−
𝑅3
𝑅4
Figura 10
Como veremos, también podrán extenderse al puente de Thomson las conclusiones
referentes a la sensibilidad deducidas para el puente de Wheatstone equivalente.
Otro razonamiento distinto al hecho recién nos permite deducir el puente de Wheatstone
equivalente: de acuerdo con lo visto existe siempre en el interior de R0 un punto D tal que dicha
resistencia queda dividida en dos partes, R´0 y R´´0 que están en equilibrio con R3 y R4. Es
decir, sus valores son tales que se cumple:
𝑅´0
𝑅´´0=
𝑅3
𝑅4
Entonces :
𝑅´0 = 𝑅0.𝑅3
𝑅3 + 𝑅4 𝑅´´0 = 𝑅0.
𝑅4
𝑅3 + 𝑅4
Estando los puntos D y D' al mismo potencial, podemos considerar que con X está en
serie X', que es el paralelo de R3 y R´0 y R en serie con R´, que es el paralelo de R4, y R´´0. Se
deduce el valor de X':
1
𝑋´=
1
𝑅3+
1
𝑅´0=
1
𝑅3+
𝑅3 + 𝑅4
𝑅3. 𝑅0=
1
𝑅3. 1 +
𝑅3 + 𝑅4
𝑅0 → 𝑋´ =
𝑅3. 𝑅0
𝑆
que es el mismo valor ya deducido empleando la
transformación estrella triángulo. Lo mismo con R':
𝑅´ =𝑅4. 𝑅0
𝑆
Se advierte así el motivo de la denominación de puente
doble.
Figura 11
8.3 Errores del Puente de Thomson:
Los errores del puente de Thomson son debidos a diferentes causas que podemos
clasificar de la siguiente manera:
a. Error de calibración o ajuste de R.
b. Error de relación ρ.
c. Error por fem térmicas.
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Apunte de Cátedra Página 25 de 30
d. Error por incorrecto ajuste de R1 y R3 y de R2 y R4 frente a R0 ≠0.
e. Error por imperfecta sensibilidad.
Las causas a) b) c) de error ya habían sido estudiadas al analizar el puente de
Wheatstone. Estudiaremos las dos últimas:
d. Si hacemos:
𝑅1
𝑅2−
𝑅3
𝑅4 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑋 =
𝑅1
𝑅2. 𝑅
Sin embargo, en la realidad resulta imposible cumplir exactamente con la condición
(42), es decir, siempre será:
∆=𝑅1
𝑅2−
𝑅3
𝑅4≠ 0
Si Rl y R3 tienen el mismo valor nominal, así como R2 y R4, y llamamos "e" al error
relativo límite de regulación de estas cuatro resistencias podemos calcular los valores límites de
Δ, así, el máximo valor positivo de Δ se dará cuando debido al error “e” el cociente R1/R2 sea
el máximo (máximo error positivo para Rl y máximo error negativo para R2), y el cociente
R3/R4, sea mínimo (máximo error negativo de R3 y máximo error positivo de R4). Esto que
dijimos lo podemos poner:
∆𝑚= ± 𝑅1𝑚 . (1 + 𝑒)
𝑅2𝑚 . (1 − 𝑒)−
𝑅3𝑚 . (1 − 𝑒)
𝑅4𝑚 . (1 + 𝑒)
Donde R1m , R2m , R3m y R4m son los valores teóricos o nominales que, como sabemos, son
tales que:
𝑅1𝑚
𝑅2𝑚=
𝑅3𝑚
𝑅4𝑚
Además, como es con suficiente aproximación:
1
1 − 𝑒≅ 1 + 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒 ≪ 1
Podemos escribir:
∆𝑚=𝑅1𝑚
𝑅2𝑚. (1 + 𝑒)2 −
𝑅1𝑚
𝑅2𝑚. (1 − 𝑒)2 =
𝑅1𝑚
𝑅2𝑚. (1 + 𝑒)2 − (1 − 𝑒)2
∆𝑚=𝑅1𝑚
𝑅2𝑚. 1 + 𝑒2 + 2𝑒 − 1 − 𝑒2 + 2𝑒 = 4𝑒.
𝑅1𝑚
𝑅2𝑚= 4. 𝑒. 𝜌
Reemplazando en la expresión completa de X, obtendremos su valor verdadero Xv:
𝑋𝑉 = 𝜌. 𝑅 ±𝑅4 .𝑅0
𝑅0+𝑅3+𝑅4. 4. 𝑒. 𝜌 (43)
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Apunte de Cátedra Página 26 de 30
Vemos que si obtenemos el valor de X de la expresión:
𝑋 =𝑅1
𝑅2𝑅 = 𝜌. 𝑅
tendremos un error absoluto cuyo valor límite está dado por el segundo término del
segundo miembro de la (43). Se ve que el error será tanto menor cuanto menor sea Ro; de
allí la conveniencia de hacer Ro lo menor posible.
𝐸 = ±4.𝑅4. 𝑅0
𝑅3 + 𝑅4. 𝑒.
𝑅1
𝑅2
si eliminamos a Ro del denominador teniendo en cuenta que es mucho menor que R3 y
R4 . Por otra parte, como con mucha aproximación es:
𝑅1
𝑅2=
𝑅3
𝑅4
Es: 𝑅4
𝑅3 + 𝑅4=
𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
El error de ajuste de R1 con R3 y de R2 con R4 queda:
𝐸𝑎 = ±4. 𝑅0 . 𝑒.𝜌
1 + 𝜌
En valor relativo:
𝑒𝑎 =𝐸𝑎
𝑋= ±
4. 𝑅0. 𝑒
𝜌. 𝑅.
𝜌
1 + 𝜌= ±4. 𝑒.
𝑅0
𝑅.
𝜌
1 + 𝜌
Es decir:
𝑒𝑎 = ±4. 𝑒.𝑅0
𝑅 + 𝑋
que nos dice que, en igualdad de otras condiciones, el error será tanto menor cuanto
menor sea Ro frente a la suma de R y X que están en serie con ella.
La conclusión es de carácter práctico:
l.-La unión entre R y X debe hacerse con un conductor grueso y corto, asegurando,
además, una baja resistencia de contacto.
2.-En aquellas mediciones que requieran gran exactitud, las resistencias de los
conductores de unión PL, KG, MG y NH deben hacerse, al menor aproximadamente,
proporcionales a las resistencias correspondientes, R1 , R2, R3 y R4. De esa manera no se altera
la condición: R1/R2 = R3/R4. Así, si por ejemplo R1 = 10R2 las resistencias de los conductores PL
y KQ deberán ser aproximadamente diez veces mayores que las resistencias de los conductores
MG y NH. De esa manera se cumplirá lo que en general se puede expresar así:
Mediciones Eléctricas II
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𝑅1 + 𝑅𝑃𝐿
𝑅2 + 𝑅𝑀𝐺=
𝑅3 + 𝑅𝑄𝐾
𝑅4 + 𝑅𝑁𝐻
8.4 Sensibilidad del Puente de Tohmson
Vamos a deducir la expresión de la sensibilidad del puente de Thomson partiendo de la
correspondiente al puente de Wheatstone equivalente. Recordemos para ello las ecuaciones de
equivalencias:
𝑋𝑊 = 𝑋 + 𝑋´ 𝑅𝑊 = 𝑅 + 𝑅´ 𝐺𝑊 = 𝐺 + 𝐺´
donde según las ecuaciones de 8.2 y teniendo en cuenta las ecuaciones:
𝑅1
𝑅2=
𝑅3
𝑅4 𝑦 𝜌 =
𝑅1
𝑅2
Tenemos:
𝑋´ =𝑅0𝑅3
𝑅3 + 𝑅4=
𝑅0𝑅1
𝑅1 + 𝑅2=
𝑅0
1 +1
𝜌
= 𝑅0
𝜌
1 + 𝜌
𝑅´ =𝑅0𝑅4
𝑅3 + 𝑅4=
𝑅0𝑅2
𝑅1 + 𝑅2= 𝑅0
1
1 + 𝜌
𝐺´ =𝑅3𝑅4
𝑅3 + 𝑅4=
𝑅1𝑅2
𝑅1 + 𝑅2= 𝑅1
1
1 + 𝜌
Recordando que la sensibilidad está definida por: 𝑆 =𝑋
∆𝑋 y teniendo en cuenta la
expresión de la ∆𝑋 del puente de Wheatstone equivalente, queda:
𝑆 =𝑈
∆0𝐼𝑔
𝑋
𝐵 1 + 𝜎 + 𝑋 +𝑅0 .𝜌
1+𝜌 1 +
1
𝜌 . (𝐺 +
𝑅1
1+𝜌) 1 + 𝜌 + 𝑋 +
𝑅0 .𝜌
1+𝜌 1 +
1
𝜎
Analizaremos primeramente el primer corchete del denominador, donde σ<<1:
𝐵 + 𝑋 +𝑅0. 𝜌
1 + 𝜌 1 +
1
𝜌 = 𝐵 + 𝑋 +
𝑋
𝜌+ 𝑅0 = 𝐵 + 𝑋 + 𝑅 + 𝑅0
La tensión U, dividida por este corchete no es más que con suficientemente
aproximación la intensidad I que atraviesa a X y R.
El siguiente corchete:
𝐺 1 + 𝜌 + 𝑅1 + 𝑋 + 𝑋´ 1 +1
𝜎 = 𝐺 1 + 𝜌 + 𝑅1 2 + 𝜎 = 𝐺 1 + 𝜌 + 2. 𝑅1
Pues σ<<2.
Finalmente:
Mediciones Eléctricas II
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𝑆 =𝑈
∆0𝐼𝑔.
𝑋
𝐺 1 + 𝜌 + 2. 𝑅1
Recordemos lo ya dicho: el puente Thomson trabaja en las condiciones de un puente de
Wheatstone de relación: 𝜎 =𝑋
𝑅1 sumamente baja; en consecuencia su sensibilidades baja, por lo
que, en general, será necesario disponer de un galvanómetro más sensible que el que se precisa
normalmente en un puente de Wheatstone si se desea alcanzar una sensibilidad equivalente. Por
otra parte, demás está decir que todo lo deducido para la sensibilidad del puente de Wheatstone
puede aplicarse para el de Thomson por lo que no nos extenderemos más sobre el tema.
8.5 Formas Constructivas
Existen dos tipos constructivos principales. En ambos casos se hace que se cumpla
siempre la condición de:
𝑅1 = 𝑅3 y 𝑅2 = 𝑅4
1 En Figura 12 vemos una disposición donde la resistencia de comparación R es constante
y la relación del puente R1/R2 es variable en forma prácticamente continua.
Figura 12
Como resistencia de comparación se usa una resistencia patrón, de tipo convencional,
no incorporada al aparato y de valor comprendido entre 0,1Ω y 0,0001Ω. La relación se
hace variable construyendo a R1 y R3 del tipo de décadas, de 9 o 10 elementos, dotadas
de llaves giratorias dispuestas de modo que las de R1 y R3 que corresponden a décadas
del mismo orden estén acopladas sobre un mismo eje. Mediante este recurso se logra
que permanentemente los valores de esas dos resistencias variables se mantengan
iguales, sin que se requiera la atención del operador. Las resistencias R2 y R4, también
acopladas mecánicamente, pueden asumir valores decimales, en general, no más de
cuatro.
2 En la Figura 13 vemos un segundo tipo constructivo, donde la resistencia de
comparación es variable en forma continua y la relación puede variar a saltos. La
resistencia de comparación está constituida por 9 resistencias iguales, conectables en
serie mediante clavijas, y que a su vez pueden conectarse en serie con una barra de
Mediciones Eléctricas II
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manganina de unos veinte milímetros de diámetro donde se desliza un cursor cuya
carrera está dividida en centésimas de su longitud total.
Figura 13
Resistores de Cuatro Terminales:
En todas las mediciones en que se investigan resistencias muy pequeñas, pueden
cometerse errores de importancia como consecuencia de las resistencias de contacto, por lo que
los resistores patrones y derivadores (shunts) se construyen como resistores de cuatro
terminales.
El problema es el siguiente: cuando en parte de un circuito como el de la Figura 14 a) se
considera un resistor de resistencia R, se supone que los terminales o bornes A y B son
puntuales, de modo que el valor de la resistencia quede definido como cociente de la tensión
UAB existente entre dichos bornes y la intensidad I de la corriente que circula por el resistor.
Figura 14
Pero el supuesto hecho de bornes puntuales no es cierto; los terminales tienen un cierto
volumen representado por los bloques A y B, de la misma manera los conductores que unen el
R Rc
c)A B
Rc
DC
I
I
I
DC
R
A Ba)
R
A B
b)
Mediciones Eléctricas II
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resistor R con el resto del circuito tienen bornes representados por los bloques C y D
superpuestos con A y B respectivamente.
En los contactos ideales A-C y, B-D, la corriente pasa sin encontrar resistencia; pero en
la realidad eso no ocurre; las superficies en contacto no son perfectamente lisas y limpias, lo
que unido a una presión insuficiente entre ellas hace que la corriente encuentre una cierta
resistencia de contacto Rc, la que en general será de valor distinto en ambos contactos, pero que
suponemos iguales por simplicidad. En estas condiciones queda definida no la resistencia R,
sino la (R+2Rc). En condiciones muy favorables Rc puede ser del orden de 0.0001Ω lo que en
algunos casos resulta inadmisible.
El problema se resuelve en los resistores patrones instalando bornes separados para
tensión y corriente (AB y CD en Figura 15). Los bornes de corriente CD se conectan al
circuito principal de corriente fuerte y los de tensión AB a los de circuitos de corriente débil,
cada uno de estos bornes introducirá cierta resistencia de contacto Rc y R'c.
Los bornes AB están unidos por medio de conexiones soldadas a los extremos de la
resistencia patrón R y forman parte de la misma. Se producen caídas de potencial en las cuatro
resistencias de contacto, pero resultan inofensivas por cuando las Rc se encuentran en serie con
la parte del circuito de medición por la que circula la corriente de intensidad I solamente, y las
R'c están en serie con resistencias de valores mucho mayores (decenas de ohms).
El elemento importante a los efectos de la medición es la caída de potencial en la
resistencia patrón R, y este valor no queda ahora afectada por la resistencia de contacto. La
mejora obtenida proviene de que las caídas de potencial producidas en las resistencias de
contacto no quedan aplicadas a la parte del circuito que efectúa la comparación de valores
(caso de las Rc) o producen efectos despreciables por provenir de corrientes débiles (caso de
las R'c).
Figura 15
R
A Ba)
I
C D
i i
R
A
b)
IC D
Rc Rc
Rc'Rc'
B
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