derivadas y aplicaciones

DERIVADA DE FUNCION COMPUESTA Y FUNCION IMPLÍCITA

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

y=( ln √ x2+1−x)−¿

y=¿

dydx

=12

¿

dydx

=12

¿

dydx

=¿

dydx

=2 ( x−1 )−(x+1)

(x2+1 ) ( x+1 )(x−1)

dydx

= 2

(x2+1 )

2.- y=√a2+ x2−a ln a+√a2+x2x

dydx

= x

√a2+x2−( ax

a+√a2+x2)( x2

√a2+x2−(a+√a2+x2)

x2)

dydx

= x

√a2+x2+ a2

x √a2+x2

dydx

= x

√a2+x2+ a2

x √a2+x2

dydx

= x2+a2

x √a2+x2

dydx

=√a2+x2x

3) y=arctan( 2 x1−x2 )

dydx

=

1

1+( 4 x2

(1−x2 )2 )∗2 (1−x2)−2 x (−2 x )

(1−x2 )2

dydx

=

(1−x2 )2

1+2 x2+x4∗2+2x2

(1−x2 )2

dydx

= 2+2 x2

1+2 x2+ x4

dydx

=2 (x2+1 )(x2+1 )2

dydx

= 2

x2+1

4) y=√(a2+x2¿)+ (a ) arcsin xa

¿

dydx

= 1

2√ (a2+x2 )(2 x )+(a ) 1

√1−( xa )2 ( 1a )

dydx

=( x )

√(a2+ x2 )+ 1

√1−( xa )2

y=[ ln (1+x √2+x2 )−( ln (1−x √2+ x2 )) ]+2arctan x √21−x2

dydx

=[ 1

1+ x√2+x2(√2+2x )]−[ 1

1−x√2+x2(−√2+2 x )]+ 2∗11+¿¿

dydx

=( √2+2 x1+x √2+x2

+ √2−2 x1−x √2+x2 )+ 2

1+( 2 x2

1−x 4 )( √2−x2√2+2x2√2

(1−x )4 )dydx

=¿

dydx

= 2√21−x (2+x2)

+2√2(1−x2+2x2)

1+(2x2)

dydx

= 2√22+x2−2 x−x3

+2√2(1−x2+2x2)

1+2x2

Calcular la derivada de las siguientes funciones implícitas:

1) x2+ y2=r2

2 x+2 y=0

2 x+2 yy ´=0

y=−2 x2 y

2)x2

a2+ y

2

b2=1

2x

a2+ 2 yb2y '=0

y '=−b2 xa2 y

3) √ x+√ y=√a

x12+ y

12=a

( 12 )

√ y=√a−√ x

y= (√a−√ x )2

√ y=√a−√ x

y=(a12+x 12)2

y '=2(a12+ x

12 )( −12 (√x )

)

y '=−2¿¿

y '=1−√ ax

1− y'= 1

√1−x2− 1

√1− y2

− y '+ 1∗y '

√1− y2= 1

√1−x2−1

y ' ( 1

√1− y2−1)= 1

√1−x2−1

y '=

1

√1−x2−1

1

√1− y2−1

5) y=1+xe y

( y−1 )=xe y

ln ( y−1)=ln (xe y)

ln ( y−1 )=ln x+ln (e y )

1y−1

y '=1x+ y '

y ' ( 2− yy−1 )=1xy '= y−1

x (2− y )

TASA DE CAMBIO

1) Esta semana en una fábrica de muebles de oficina se produjeron 50 escritorios y la cantidad producida aumenta a razón de 2 unidades por semana. Si c ( x )=0.08 x3−x2+10 x+48 es el costo de producción de unidades, calcule la rapidez actual con la que el costo de producción aumenta.Seax=numerode mueblesdxdc

=2unidades por semana

dcdt

=rapidezactual enla queel costo aumenta

c ( x )=0.08 x3−x2+10 x+48

dcdt

=0.24 x2 dxdt

−2x dxdt

+10 dxdt

dcdt

=(0.24∗502∗2 )−(2∗50∗2 )+ (10∗2 )

dcdt

=1020unidades

2) Una compañía de transporte, con una tarifa de 20 dólares, transporta 800 pasajeros al día. Al considerar un aumento de la tarifa, la compañía determinó que perderá 80 pasajeros por cada 5 dólares de aumento en estas condiciones. ¿Cuál debe ser el aumento para que el ingreso sea máximo?

(800−80 x ) (20+5 x )=0

16000+4000x−1600x−400 x2=0

16000+2400 x−400x2=0

2400+800 x=0

2400800

=x

x=3

APLICACION DE LAS DERIVADAS A LAS CIENCIAS

dvdt

=

dpdt

∗db

dt

600=170∗dbdt

dbdt

=600170

=3.53cm3

2.

dvdt

=3π m3

min

r=2.5m

h=10m

r2.5

= h10

r=14h

v=13π r2h

v=13π ( 14 h)

2

h

v= 148π h3

dvdt

= 148π (3h2 )( dhdt )

dhdt

=3 π (48)π (3)(64)

=34mmin

3.

f (h )2+ (h−10 )2=102

f (h )=√100− (h−10 )2

f (h )=√100−h2+20h−100f (h )=√20h−h2

v=π r2h

r=f (h ) ;h=dh

dvdh

=π (20h−h2 )

dvdt

=π (20h−h2)( dhdt )dhdt

= 4π ( (20∗5 )−25 )

dhdt

=0.051 mmin

GRAFICA DE FUNCIONES

1) x3−3 x2−x+3

OPTIMIZACION

1.

2.

3. Los agricultores pueden obtener US$2 por arroba de papa el 1° de Julio; posteriormente el precio cae 2 centavos por arroba cada día. El 1° de Julio, un agricultor tiene 80 arrobas de papa en el campo y estima que la cosecha está aumentando a una tasa de 1 arroba por día. ¿Cuando debería cosechar la papa para maximizar la producción?

(80+1 (x)) (200−2 x )=0

16000−160x+200 x−2 x2=0

16000+40x−2x2=0

40−4 x=0

404

=x x=10

lado: $ 3/m2

base: $ 4/m2

Máximo volumen $48

volumen=x2 y

costo=4 x2+3(4 xy )

costo=4 x2+12 xy=48

4 x2+12 xy-48=0

dvdc

=8 x+12 y

8 x+12 y=0

8 x=−12 y

x=1.5cm

y= 48x

= 481.5

=32cm

Las dimensiones de la caja de máximo volumen son 1.5 y 32 cm.