derivadas logarítmicas, exponenciales y regla de la...
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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
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CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez
Derivadaslogarítmicas,exponencialesyregladelacadena
por Sandra Elvia Pérez
Las funciones logarítmicas y exponenciales se aplican con frecuencia en problemas de crecimiento
de poblaciones, ya sea de personas, bacterias, microorganismos en general, pruebas de carbono
14, temperatura, circuitos eléctricos y varios más.
Una función es exponencial o logarítmica si la variable independiente x aparece dentro de algún
logaritmo o como exponente. Las figuras 1 y 2 muestran la gráfica de las funciones logarítmica y
exponencial.
Funciones logarítmicas Función exponencial
( )xy log= , ( )xy ln= xay = , xey =
Figura 1. Gráfica de funciones logarítmicas
Figura 2. Gráfica de función exponencial
Para calcular la derivada de las funciones logarítmica y exponencial, se aplican teoremas
específicos. La siguiente lista de fórmulas, muestra los teoremas que se utilizan en el cálculo de las
derivadas de esta sección.
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CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez
FormulariodeDerivadasdeFuncionesLogarítmicayExponencial
C representa cualquier constante Las literales u, v, w, representan cualquier función uʼ, vʼ, wʼ, representan la derivada de u, v, w.
1. ( )uuu
dxd ′
=ln
2. ( )au
uudxd
a lnlog
′=
3. ( ) ( )aauadxd uu ln′=
4. ( ) uu euedxd ′=
Figura 3. Formulario de Derivadas de Funciones exponenciales y logarítmicas realizado con base en la nomenclatura de Leibnitz y de Lagrange.
Te recomiendo visites la sección Para aprender más, en donde encontrarás enlaces sobre el origen
de los logaritmos, datos históricos, los personajes que desarrollaron estas teorías, el número e,
entre otros temas de interés.
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CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez
Para no saturarte de fórmulas, cuando se necesite alguna ley de los logaritmos o ley de los
exponentes, ésta se incluirá en el ejemplo específico.
Leyesdeloslogaritmos
( ) BABA logloglog +=⋅
BABA logloglog −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
( ) AnA n loglog =
( ) An
An log1log =
Figura 4. Formulario de Leyes de los logaritmos (Allen, 2004).
Ejemplo 1
Determina la derivada de la función ( )xy 9ln=
Usando la fórmula
( )uuu
dxd ′
=ln
Tienes:
( )[ ]xx
xdxdu
xu
1999ln
99
==
=′=
Por lo que la derivada queda:
x
y 1=′
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Ejemplo 2
Determina la derivada de la función ( )23ln xy =
Usando la fórmula
( )uuu
dxd ′
=ln
Tienes:
( )[ ]xx
xxdxd
xuxu
2363ln
63
22
2
==
=′=
Por lo que la derivada queda:
x
y 2=′
Ejemplo 3
Determina la derivada de la función ( )13ln 2 −= xy
Usando la fórmula
( )uuu
dxd ′
=ln
Tienes:
( )[ ]13
613ln
613
22
2
−=−
=′−=
xxx
dxd
xuxu
Por lo que la derivada queda
13
62−
=′xxy
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Ejemplo 4
Determina la derivada de la función ( )xxy ln=
En este ejemplo usa la fórmula del producto
( ) uvvuuvdxd ′+′=
En combinación con la fórmula ( )uuu
dxd ′
=ln , tienes:
1=′=
uxu
( )
xv
xv1ln
=′
=
( )[ ] ( )( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )xxxdxd
xxxxx
dxd
xx
xxxdxd
ln1ln
lnln
1ln1ln
+=
+=
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
Por lo que la derivada queda:
( )xy ln1+=′
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Ejemplo 5
Determina la derivada de la función ( )( )[ ]53ln 2 −+= xxy
En este ejemplo usa la ley número 1 de las leyes de los logaritmos para
transformar la expresión anterior.
( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( ) ( )5ln3ln53ln
lnlnln22 −++=−+
+=xxxx
BAAB
Una vez transformada la función original con la ayuda de la ley del producto de
logaritmos, utiliza la fórmula ( )uuu
dxd ′
=ln y tienes lo siguiente:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]5ln3ln5ln3ln 22 −++=−++ xdxdx
dxdxx
dxd
( )[ ]313ln
13
+=+
=′+=
xx
dxdu
xu
( )[ ]5
25ln
25
22
2
−=−
=′−=
xxx
dxd
xuxu
( ) ( )[ ]5
2315ln3ln 2
2
−+
+=−++
xx
xxx
dxd
Por lo que la derivada queda:
52
31
2 −+
+=′
xx
xy
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Ejemplo 6
Determina la derivada de la función 3ln −= xy
Para facilitar el cálculo de esta derivada recurre nuevamente a las leyes de los
logaritmos. Específicamente a:
An
An ln1ln =
Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en
( )3ln21
3ln
−=
−=
xy
xy
Derivando:
( ) ( )3ln213ln
21 −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ − x
dxdx
dxd
( )313ln
13
−=−
=′−=
xx
dxdu
xu
Por lo tanto,
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−=′
31
21x
y
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Ejemplo 7
Determina la derivada de la función ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=xx
xy631ln 4
2
Para facilitar el cálculo de esta derivada, recurre nuevamente a las leyes de los
logaritmos. Específicamente a:
BABA lnlnln −=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en:
( ) ( )xxxy
xxBxA
xxxy
63ln1ln
63;1
631ln
42
42
4
2
−−+=
−=+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
Derivando:
( ) ( )[ ] ( ) ( )xxdxdx
dxdxxx
dxd 63ln1ln63ln1ln 4242 −−+=−−+
( )1
21ln
21
22
2
+=+
=′+=
xxx
dxd
xuxu
( )xx
xxxdxd
xuxxu
6361263ln
61263
4
34
3
4
−−=−
−=′−=
Por lo tanto,
xxx
xxy
63612
12
4
3
2 −−−
+=′
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Ejemplo 8
Determina la derivada de la función ( )63log2 −= xy
Basándose en la siguiente fórmula:
auuu
dxd
a lnlog
′=
Tienes:
( ) 2ln633
363
2
−=′
=′−=
=
xy
uxu
a
Ejemplo 9
Determina la derivada de la función xy 75=
Usando el teorema
( ) ( )aauadxd uu ln′=
Queda:
( ) 5ln57
77
5
7 xy
uxu
a
=′
=′=
=
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Ejemplo 10
Determina la derivada de la función ( )32−= xey
Empleando el teorema
( ) uu euedxd ′=
Obtienes:
( )3
2
2
2
23
−⋅=′
=′−=
xexy
xuxu
Ejemplo 11
Determina la derivada de la función xx eey 25 −−=
Y tienes:
xx
xx
eeyeey
uu
xuxu
25
25
25)2(5
25
25
−
−
+=′−−=′
−=′=′
−==
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Regladelacadena
Una de las fórmulas de derivación más utilizadas es la siguiente:
( ) unuudxd nn ′⋅= −1
A este teorema, con frecuencia se le denomina regla de la cadena. Los siguientes ejemplos
muestran cómo esta regla, en combinación con el resto de fórmulas permite la obtención de
múltiples derivadas.
Ejemplo 1
Calcula la derivada de 4
22⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−+=xxy .
Solución
Identifica 22
−+=xxu , entonces ( ) ( )
( ) ( )22 24
222
−−=
−+−−=′
xxxxu . Aplicando la fórmula tienes:
( )3
2
3
2216
24
224
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−+−=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−+=′
xxy
xxxy
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Ejemplo 2
Calcula la derivada de ( )xseny 4= .
Solución
En trigonometría, este tipo de expresión es equivalente a ( )[ ]4xseny = .
De esta última expresión, identifica ( )xsenu = , entonces ( )xu cos=′ . Aplicando la fórmula tienes,
( )[ ] ( )( ) ( )xxseny
xxseny
cos4
cos43
3
=′
=′
En el caso de las funciones trigonométricas, se acostumbra ordenarlas como sigue: seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante.
Ejemplo 3
Calcula la derivada de ( )( ) 5432 −−− xxx .
Solución En este ejercicio, debes aplicar la fórmula del producto y la regla de la cadena; tienes:
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Sustituyendo en la fórmula del producto queda:
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )( )( ) ( )5464
3
54364
31
4311225
311124352
xxxxxy
xxxxxy
−+
−
−−−=′
−+−−−−=′ −−
Este último ejemplo, se puede complicar si no se identifica de manera correcta las fórmulas a
utilizar, o si no se sustituye de manera adecuada.
Ejemplo 4
Calcula la derivada de ( )xseney =
Solución
Identificando ( )xsenu = , tienes que ( )xu cos=′ . Aplicando la fórmula ( ) ueedxd uu ′⋅= obtienes:
( ) ( )xey xsen cos=′
En estos ejemplos, se pone de manifiesto que la aplicación de las fórmulas y el orden en el que se apliquen depende de la función a derivar en particular. Con la práctica serás capaz de encontrar la derivada de funciones cada vez más complejas.
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Referencias
Allen, R. (2004). Álgebra intermedia (6a. ed.; V. H. Ibarra, Trad.). México: Pearson Educación.
Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.
Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6a. ed.; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.
Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw Hill.
Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (3a. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: International Thomson Editores.
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