derivacion polar
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Microsoft Word - Cap 3 La derivada
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DERIVACIN POLAR
Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares, para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuaciones paramtricas.x r cos()
Si tenemos r
f y como y r sen ()
Al reemplazar queda
x y
f () cos()f ()sen ()
Entonces
dydy d
f ()senf () cos
dxdx d
f () cos
f ()sen
Para encontrar la ecuacin de la recta tangente:
y
r f
Fig. 3.13
r0 ,0
r0y0
0x0x
Considere que la ecuacin cartesiana de una recta, definida por un punto y su pendiente, es de la forma:
Entonces:
y y0
m( x x0 )
120
121
x0
f
cos
y0 0
f
sendy000
m dy d dxdxd
0
f ()senf () cos0000
f () cosf ()sen0000
EjemploEncuentre la ecuacin de la recta tangente a r f () 4 sen 3en 04
SOLUCIN:Observa la grfica:
Fig. 3.14
x0 f (0 ) cos( 0 ) f ( 4 ) cos( 4 )
y0 f (0 ) sen( 0 ) f ( 4 ) sen( 4 )
En este caso
4 sen 3 cos44
y4 sen 3
sen
2 2
44 2 2
4 2 2x0 2
4 2 2y0 2
Para la pendiente, tenemos: f () 12 cos 3
Entonces:
m f (0 )sen0 f (0 ) cos0f (0 ) cos0 f (0 )sen012 cos 3 sen 4sen3 cos 4444
12 cos 3 cos 4sen3 sen
4444
2 2
2 2
12 2 2
4 2 2
2 2
2 2
12 2 2
4 2 2
6 26 2m 12
Por lo tanto, la ecuacin de la recta tangente estara dada por:
y y 0
m ( x x 0 ) 1
y 2 2 ( x 2)
Ejercicios propuestos 3.81. Hallar la ecuacin de la recta tangente a r 4 cos 3
en 0 4
2. Hallar la ecuacin de la recta tangente a r 4 sen 3
en 0 6
3. Hallar la ecuacin de la recta tangente a r
2 sen 3
en 0 6
4. Hallar la ecuacin de la recta tangente a r 3 4sen 3
en 0 3
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