del problema del c䐀rculo de gauss al flujo geod䐀sico...

Del problema del cırculo de Gauss al flujogeodesico (1)

Pierre PyCNRS, Universite de Strasbourg, UNAM

Diciembre 2015

Pierre Py CNRS, Universite de Strasbourg, UNAM Del problema del cırculo de Gauss al flujo geodesico (1)

Del problema del cırculo de Gauss al flujo geodesico

Pierre Py CNRS, Universite de Strasbourg, UNAM Del problema del cırculo de Gauss al flujo geodesico (1)

Introduccion

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Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z

2, u2 + v2 ≤ r2},

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Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z

2, u2 + v2 ≤ r2},N(r) es el numero de puntos en el plano R

2, con coordenadasenteras y cuya norma Euclidiana es menor o igual a r .

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Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z

2, u2 + v2 ≤ r2},N(r) es el numero de puntos en el plano R

2, con coordenadasenteras y cuya norma Euclidiana es menor o igual a r .

El tema del curso es estudiar la funcion r 7→ N(r) y sucomportamiento cuando r tiende a infinito,

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Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z

2, u2 + v2 ≤ r2},N(r) es el numero de puntos en el plano R

2, con coordenadasenteras y cuya norma Euclidiana es menor o igual a r .

El tema del curso es estudiar la funcion r 7→ N(r) y sucomportamiento cuando r tiende a infinito, ası como estudiargeneralizaciones de este problema cuando Z

2, R2 y la normaEuclidiana los sustituimos por otros objetos geometricos mascomplicados.

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Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z

2, u2 + v2 ≤ r2},N(r) es el numero de puntos en el plano R

2, con coordenadasenteras y cuya norma Euclidiana es menor o igual a r .

El tema del curso es estudiar la funcion r 7→ N(r) y sucomportamiento cuando r tiende a infinito, ası como estudiargeneralizaciones de este problema cuando Z

2, R2 y la normaEuclidiana los sustituimos por otros objetos geometricos mascomplicados.

Veremos relaciones con teorıa de grupos, sistemas dinamicos,geometrıa.

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Introduccion

Si x es un numero real, sea [x ] el mayor entero tal que [x ] ≤ x .

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Introduccion

Si x es un numero real, sea [x ] el mayor entero tal que [x ] ≤ x . Sepuede escribir :

N(r) = #{(u, v) ∈ Z2, u2 + v2 ≤ r2}

= #{(u, v) ∈ Z2, u2 + v2 ≤ [r2]}

= N(√

[r2]).

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Introduccion

Si x es un numero real, sea [x ] el mayor entero tal que [x ] ≤ x . Sepuede escribir :

N(r) = #{(u, v) ∈ Z2, u2 + v2 ≤ r2}

= #{(u, v) ∈ Z2, u2 + v2 ≤ [r2]}

= N(√

[r2]).

Es suficiente estudiar los valores de N(r) cuando r es la raızcuadrada de un entero.

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Introduccion

N(0) = 0,

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Introduccion

N(0) = 0,

N(1) = 5,

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Introduccion

N(0) = 0,

N(1) = 5,

N(√2) = 5 + 4 = 9,

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Introduccion

N(0) = 0,

N(1) = 5,

N(√2) = 5 + 4 = 9,

N(√3) = 9 + 0,

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Introduccion

N(0) = 0,

N(1) = 5,

N(√2) = 5 + 4 = 9,

N(√3) = 9 + 0,

N(√4) = 13,

...

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc bc

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Introduccion

Aquı podemos discutir un poco una relacion con teorıa denumeros.

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Introduccion

Aquı podemos discutir un poco una relacion con teorıa denumeros. Sea τ(n) el numero de soluciones de u2 + v2 = n, donde

(u, v) ∈ Z2.

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Introduccion

Aquı podemos discutir un poco una relacion con teorıa denumeros. Sea τ(n) el numero de soluciones de u2 + v2 = n, donde

(u, v) ∈ Z2. Existen valores de n tal que τ(n) sea cero. Acabamos

de ver que τ(3) = 0.

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Introduccion

Aquı podemos discutir un poco una relacion con teorıa denumeros. Sea τ(n) el numero de soluciones de u2 + v2 = n, donde

(u, v) ∈ Z2. Existen valores de n tal que τ(n) sea cero. Acabamos

de ver que τ(3) = 0.

Regresaremos a este asunto mas tarde,

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Introduccion

Aquı podemos discutir un poco una relacion con teorıa denumeros. Sea τ(n) el numero de soluciones de u2 + v2 = n, donde

(u, v) ∈ Z2. Existen valores de n tal que τ(n) sea cero. Acabamos

de ver que τ(3) = 0.

Regresaremos a este asunto mas tarde, por ahora nada masobservamos que :

N(r) =∑

0≤m≤[r2]

τ(m).

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La estimacion de Gauss

El comportamiento de la funccion r 7→ N(r) ya fue estudiado porGauss (Disquisitiones arithmeticae, 1802). Vamos a ver la primeraestimacion de Gauss.

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La estimacion de Gauss

El comportamiento de la funccion r 7→ N(r) ya fue estudiado porGauss (Disquisitiones arithmeticae, 1802). Vamos a ver la primeraestimacion de Gauss.

SeaΛ(r) = {p ∈ Z

2, ||p|| ≤ r .}Ası que N(r) = #Λ(r).

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La estimacion de Gauss

El comportamiento de la funccion r 7→ N(r) ya fue estudiado porGauss (Disquisitiones arithmeticae, 1802). Vamos a ver la primeraestimacion de Gauss.

SeaΛ(r) = {p ∈ Z

2, ||p|| ≤ r .}Ası que N(r) = #Λ(r). Si p ∈ Z

2, sea C (p) el cuadrado de lado 1en el plano cuyo vertice “inferior a la izquierda” es p.

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La estimacion de Gauss

El comportamiento de la funccion r 7→ N(r) ya fue estudiado porGauss (Disquisitiones arithmeticae, 1802). Vamos a ver la primeraestimacion de Gauss.

SeaΛ(r) = {p ∈ Z

2, ||p|| ≤ r .}Ası que N(r) = #Λ(r). Si p ∈ Z

2, sea C (p) el cuadrado de lado 1en el plano cuyo vertice “inferior a la izquierda” es p. En dibujo :

bc

p

C(p)

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La estimacion de Gauss

bc

p

En formula :

C (p) = {(x , y) ∈ R2(x , y)− p ∈ [0, 1] × [0, 1]}

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La estimacion de Gauss

Como cada cuadrado C (p) tiene area 1, podemos escribir

N(r) = Area

⋃

p∈Λ(r)

C (p)

.

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La estimacion de Gauss

Si p ∈ Λ(r), el cuadrado C (p) esta contenido en el disco de radior +

√2 centrado en la origen,

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La estimacion de Gauss

Si p ∈ Λ(r), el cuadrado C (p) esta contenido en el disco de radior +

√2 centrado en la origen, porque cualquier punto (x , y) de

C (p) se escribe como(x , y) = p + q

donde q esta en [0, 1]2. Entonces

||(x , y)|| ≤ ||p||+ ||q||

≤ r +√2.

Esto demuestra que N(r) ≤ π(r +√2)2.

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De manera similar podemos ver que los cuadrados

(C (p))p∈Λ(r)

cubren el disco de radio r −√2.

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De manera similar podemos ver que los cuadrados

(C (p))p∈Λ(r)

cubren el disco de radio r −√2. Entonces la area de la union de

estos cuadrados es al menos π(r −√2)2.

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De manera similar podemos ver que los cuadrados

(C (p))p∈Λ(r)

cubren el disco de radio r −√2. Entonces la area de la union de

estos cuadrados es al menos π(r −√2)2. Todo esto demuestra :

π(r −√2)2 ≤ N(r) ≤ π(r +

√2)2

si r ≥√2.

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De esto deducimos :N(r)

πr2→ 1

cuando r → +∞.

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De esto deducimos :N(r)

πr2→ 1

cuando r → +∞.

Entonces a partir de ahora escribimos N(r) = πr2 + E (r) dondeE (r) es el error. El punto es dar una estimacion del error E (r).

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La estimacion de Gauss

La estimacion anterior nos da :

|E (r)| ≤ 2π(1 +√2r) ≤ 2π(1 +

√2)r .

(suponemos r ≥√2)

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La estimacion de Gauss

La estimacion anterior nos da :

|E (r)| ≤ 2π(1 +√2r) ≤ 2π(1 +

√2)r .

(suponemos r ≥√2) Entonces tenemos :

E (r) = O(r)

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :

1 α = 23 (Sierpinski, 1906)

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :

1 α = 23 (Sierpinski, 1906)

2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :

1 α = 23 (Sierpinski, 1906)

2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :

1 α = 23 (Sierpinski, 1906)

2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :

1 α = 23 (Sierpinski, 1906)

2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)

5 α = 2437 (Chen, 1963)

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :

1 α = 23 (Sierpinski, 1906)

2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)

5 α = 2437 (Chen, 1963)

6 α = 70108 + ε (Kolesnik, 1982)

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :

1 α = 23 (Sierpinski, 1906)

2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)

5 α = 2437 (Chen, 1963)

6 α = 70108 + ε (Kolesnik, 1982)

7 α = 1422 + ε (Iwaniec y Mozzochi, 1988)

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La estimacion de Gauss

Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?

Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :

1 α = 23 (Sierpinski, 1906)

2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)

5 α = 2437 (Chen, 1963)

6 α = 70108 + ε (Kolesnik, 1982)

7 α = 1422 + ε (Iwaniec y Mozzochi, 1988)

8 α = 4673 + ε (Huxley, 1993)

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La estimacion de Gauss

Se conjetura que el error E (r) es O(r12+ε) para cualquier ε > 0.

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La estimacion de Gauss

Se conjetura que el error E (r) es O(r12+ε) para cualquier ε > 0.

Esto es relacionado con muchos problemas importantes de teorıade numeros.

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La estimacion de Gauss

Se conjetura que el error E (r) es O(r12+ε) para cualquier ε > 0.

Esto es relacionado con muchos problemas importantes de teorıade numeros. Las mejores estimaciones fueron obtenidas por Huxley.

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La estimacion de Gauss

Teorema

(Fermat) Un entero m es suma de dos cuadrados enteros si y solosi cualquier factor primo de m que es congurente a 3 modulo 4tiene un exponente par en m.

30 = 2× 3× 5 no es suma de dos cuadrados porque 3 aparece conexponente impar.

Tambien hay una formula que da el numero de soluciones τ(m) dem = u2 + v2 en Z

2 (que no enunciaremos).

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La estimacion de Gauss

Acabamos de ver que N(r)r2

= π + O(1r). Si r =

√m, tenemos

tambien N(√m) =

∑mj=0 τ(j).

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La estimacion de Gauss

Acabamos de ver que N(r)r2

= π + O(1r). Si r =

√m, tenemos

tambien N(√m) =

∑mj=0 τ(j). Obtenemos :

1

m

m∑

j=0

τ(j) → π

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La estimacion de Gauss

Acabamos de ver que N(r)r2

= π + O(1r). Si r =

√m, tenemos

tambien N(√m) =

∑mj=0 τ(j). Obtenemos :

1

m

m∑

j=0

τ(j) → π

Se puede decir que “en promedio” el numero de soluciones dem = u2 + v2 es π.

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Perspectivas

Sea (X , d) un espacio metrico y Isom(X , d) su grupo deisometrıas.

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Perspectivas

Sea (X , d) un espacio metrico y Isom(X , d) su grupo deisometrıas.Es decir, Isom(X , d) es el grupo de todas las aplicaciones

f : X → X ,

biyectivas, y tales que d(f (x), f (y)) = d(x , y).

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Perspectivas

Sea (X , d) un espacio metrico y Isom(X , d) su grupo deisometrıas.Es decir, Isom(X , d) es el grupo de todas las aplicaciones

f : X → X ,

biyectivas, y tales que d(f (x), f (y)) = d(x , y).

Ejemplo 1 (X , d) = (R, | · |) : Isom(X , d) = {x 7→ ±x + t, t ∈ R},es isomorfo como grupo a R⋊ Z/2Z.

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Perspectivas

Sea (X , d) un espacio metrico y Isom(X , d) su grupo deisometrıas.Es decir, Isom(X , d) es el grupo de todas las aplicaciones

f : X → X ,

biyectivas, y tales que d(f (x), f (y)) = d(x , y).

Ejemplo 1 (X , d) = (R, | · |) : Isom(X , d) = {x 7→ ±x + t, t ∈ R},es isomorfo como grupo a R⋊ Z/2Z.Ejemplo 2 (X , d) = (R2, || · ||) :Isom(X , d) = {v 7→ A(v) + u}A∈O(2),u∈R2 , es isomorfo como

grupo a R2⋊O(2).

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Perspectivas

Vamos a estudiar subgrupos particulares de Isom(X , d).

Definicion

Un subgrupo Γ < Isom(X , d) es discreto si para todo puntox ∈ X, y para todo numero real C ≥ 0,

{γ ∈ Γ, d(γ(x), x) ≤ C}

es un conjunto finito.

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Perspectivas

Vamos a estudiar subgrupos particulares de Isom(X , d).

Definicion

Un subgrupo Γ < Isom(X , d) es discreto si para todo puntox ∈ X, y para todo numero real C ≥ 0,

{γ ∈ Γ, d(γ(x), x) ≤ C}

es un conjunto finito.

Comentarios

1 Es suficiente averiguar esta condicion para un punto particularx0 y para todo C ≥ 0.

2 En muchos casos se puede definir una topologıa sobre elgrupo Isom(X , d) de manera que un subgrupo Γ sea discretoen el sentido de esta definicion si y solo si es discreto con latopologıa inducida por Isom(X , d).

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Perspectivas

Ejemplos de subgrupos discretos.

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Perspectivas

Ejemplos de subgrupos discretos.

El grupo Z2 < Isom(R2) actuando por traslaciones, es discreto.

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Perspectivas

Ejemplos de subgrupos discretos.

El grupo Z2 < Isom(R2) actuando por traslaciones, es discreto. A

v ∈ Z2 asociamos la isometrıa fv : x 7→ x + v .

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Perspectivas

Ejemplos de subgrupos discretos.

El grupo Z2 < Isom(R2) actuando por traslaciones, es discreto. A

v ∈ Z2 asociamos la isometrıa fv : x 7→ x + v .

d(fv (x), x) = ||x + v − x || = ||v ||.

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Perspectivas

Ejemplos de subgrupos discretos.

El grupo Z2 < Isom(R2) actuando por traslaciones, es discreto. A

v ∈ Z2 asociamos la isometrıa fv : x 7→ x + v .

d(fv (x), x) = ||x + v − x || = ||v ||.

Veremos otros ejemplos de subgrupos discretos en la proximaplatica.

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Perspectivas

Ahora si Γ < Isom(X , d) es discreto, y si fijamos un “origen” x0 enX , sea

N(r) = #{γ ∈ Γ, d(γ(x0), x0) ≤ r}.

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Perspectivas

Ahora si Γ < Isom(X , d) es discreto, y si fijamos un “origen” x0 enX , sea

N(r) = #{γ ∈ Γ, d(γ(x0), x0) ≤ r}.Este numero es finito dado que Γ es discreto.

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Perspectivas

Ahora si Γ < Isom(X , d) es discreto, y si fijamos un “origen” x0 enX , sea

N(r) = #{γ ∈ Γ, d(γ(x0), x0) ≤ r}.Este numero es finito dado que Γ es discreto. Si X = R

2, Γ = Z2,

este numero no depende de x0, regresamos a la situacion anterior.

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Perspectivas

Ahora si Γ < Isom(X , d) es discreto, y si fijamos un “origen” x0 enX , sea

N(r) = #{γ ∈ Γ, d(γ(x0), x0) ≤ r}.Este numero es finito dado que Γ es discreto. Si X = R

2, Γ = Z2,

este numero no depende de x0, regresamos a la situacion anterior.

¿Que se puede decir de la funcion r 7→ N(r) ?

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Perspectivas

Ahora si Γ < Isom(X , d) es discreto, y si fijamos un “origen” x0 enX , sea

N(r) = #{γ ∈ Γ, d(γ(x0), x0) ≤ r}.Este numero es finito dado que Γ es discreto. Si X = R

2, Γ = Z2,

este numero no depende de x0, regresamos a la situacion anterior.

¿Que se puede decir de la funcion r 7→ N(r) ?

Dependiendo del contexto, de que espacio X se considera, esteproblema esta relacionado con muchas partes de las matematicas.

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Perspectivas

Analogo del problema del cırculo en Rd . Estudiar

N(r) = #{v ∈ Zd , ||v || ≤ r}. Se sabe que

N(r) = vol(B(r)) + O(rd−2) si d ≥ 5.

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Perspectivas

Analogo del problema del cırculo en Rd . Estudiar

N(r) = #{v ∈ Zd , ||v || ≤ r}. Se sabe que

N(r) = vol(B(r)) + O(rd−2) si d ≥ 5. (El teorema deLagrange dice que todo entero es suma de cuatro cuadrados,ayuda...)

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Perspectivas

Analogo del problema del cırculo en Rd . Estudiar

N(r) = #{v ∈ Zd , ||v || ≤ r}. Se sabe que

N(r) = vol(B(r)) + O(rd−2) si d ≥ 5. (El teorema deLagrange dice que todo entero es suma de cuatro cuadrados,ayuda...)

Otro ejemplo : N(r) = #{(x , y , z) ∈ Z3, ||(x , y , z)|| ≤

r , x2 + y2 − z2 = −1, z > 0}. Se relaciona con geometrıahiperbolica de dimension 3.

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Perspectivas

Analogo del problema del cırculo en Rd . Estudiar

N(r) = #{v ∈ Zd , ||v || ≤ r}. Se sabe que

N(r) = vol(B(r)) + O(rd−2) si d ≥ 5. (El teorema deLagrange dice que todo entero es suma de cuatro cuadrados,ayuda...)

Otro ejemplo : N(r) = #{(x , y , z) ∈ Z3, ||(x , y , z)|| ≤

r , x2 + y2 − z2 = −1, z > 0}. Se relaciona con geometrıahiperbolica de dimension 3.

En lo que sigue, vamos a estudiar este tipo de problema cuando elespacio X es el plano hiperbolico, que introduciremos en lasiguiente platica.

Pierre Py CNRS, Universite de Strasbourg, UNAM Del problema del cırculo de Gauss al flujo geodesico (1)