deducción de la fórmula general de la cuadrática

Deduccin de la Frmula General de la CuadrticaSe acuerdan de la famosa solucin de la cuadrtica?Esta:

si se relaciona la ecuacin de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las races del mismo (a su vez races de una funcin cuadrtica), entonces podemos resolver la ecuacin algebraicamente y de esta forma obtener la frmula de dicha ecuacin. Para esta frmula hay varias soluciones, est la de Cardano Viete y la de cambio de variable, pero nosotros nos vamos a ir por la solucin ms usada.Sea dada la ecuacin:

Ahora la explicacin:Al resolver ecuaciones de segundo grado de la forma

completando el cuadrado realizamos lo siguiente:a) Sumar ca cada lado de la ecuacin:

Creo que no necesito explicar el porqu de la resta de c, O, s? Por si acaso, aqu va:

y queda:

b)Dividir cada ladoaDonde

Para garantizar que searealmenteuna ecuacin polinmica de segundo grado. Comoaes distinto de cero, entonces s podemos dividir entreacada trmino de la ecuacin:

Se anulan lasa:

Y queda:

c)

Se observa que hay un trinomio cuadrado perfecto incompleto, falta el tercer miembro. Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se tomaen cuenta la regla que "el cuadrado del primero ms el doble producto del primero por el segundo ms el segundo al cuadrado",

Qu le falta a cada lado para ser equivalente?, entonces sera:

Ahora este se pone aambos lados, as:

Los trminos son equivalentes:

d))Para que sea ms fcil podemos hacer por separado las operaciones de ambos lados, o operar primero una parte e ir bajando su resultado a medida se va resolviendo el otro lado, o puede hacerlo simultneamente.En este caso, sumar las fracciones de ladoderechode laecuacin tomando como MCD4a2

Factorizamos el ladoizquierdo:

Hacemos la operacin con fracciones en el miembroderechoy queda esto:

e)Simplificar y extraer la raz de ambos miembros (Uy!)

f)Despejamos la incgnita que buscamos, que esx:

Y nos queda:

Vaya!!!

Consideraciones:Sib24aces mayor que cero, hay dos solucionesSib24aces igual a cero hay una solucinSib24aces menor que cero, no hay solucin (nmeros imaginarios)