curso: tedu220

Curso: TEDU220

Preparado por: Yazluan Más Figueroa

Introducción Estudiaremos el Teorema de Pitágoras para

investigar los triángulos, rectángulos, sus medidas y areas. Tambien evaluaremos el aprendizaje atraves de ejercicios de práctica.

Requisitos que debes saber

El estudiante para poder aprender a utilizar el teorema de pitágoras debe saber:

Sumar, Restar y Multiplicar Sacar la raíz cuadrada Medición de ángulos y clasificarlos Identificar Triángulos y sus lados Clasificar Triángulos y Rectángulos

Indice ¿Quien es Pitágoras? ¿Que es el Teorema

de Pitágoras? ¿Que es un Triángulo

Rectángulo? Hipotenusa La formula Como usar la formula Demostración de

cálculo de áreas

Demostración usando longitudes de segmento

Demostración geométrica mediante superposición de figuras

Comenzar a Prácticar Repaso Videos Evaluación Bibliografía

¿Quien es Pitágoras? Nace en Samos,pero

siendo joven abandona su tierra natal y visita la Mesopotamia y Egipto, donde adquiere grandes conocimientos matemáticos. Según Bertrand Russell, la matemática como argumento deductivo-argumentativo empieza con Pitágoras.

Sus contribuciones 1. Su doctrina consiste en la teoría de los

números #.

2. Creyeron en la esferidad de la tierra y el movimiento alrededor de un fuego central.

3. Explicaron los elipses y las fases lunares.

4. Aplicación de la aritmética y la geometría.

5. Fundo comunidad religiosa, política y científica

Sus contribuciones 6.La relación entre los sonidos y la longitud de la

cuerda vibrante 7. El teorema de pitágoras

8. La tabla de multiplicar

9. La relación de la música y las matemáticas

10. Nace la idea de la “armonía de las esferas”, sostenían la relación que existe entre el diámetro de la orbita de los astros es proporcionar a las longitudes que existe en las cuerdas musicales.

¿Que es el teorema de pitágoras?

Es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así:

a2 + b2 = c2

¿Que es un Triangulo

Rectángulo ?

Triángulo Rectángulo Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto

y dos agudos

Triángulo Rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

Triángulo Rectángulo Los lados de un triángulo rectángulo que forman

el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

Hipo

tenu

sa

Hipotenusa La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo

recto, y es lado mayor del triángulo

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

La Formula

La formula La expresión matemática que representa este

Teorema es: hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2

c2 = a2 + b2

La formula Un ángulo recto se puede definir como el ángulo

formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.

La formula Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b =

4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque

a2 + b2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 =

c2

Como la usar la formula

Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo rectángulo:

te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá:

c2 = (3)2 + (4)2 elevando al cuadrado, eso da: c2 = 9 +16 = 25 para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada: que c = 5.

Como usarla cuando te falta uno de los catetos:

Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras.

así por ejemplo, en el triángulo: hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras,

la b2 está sumando, la paso restando: c2- b2 = a2 luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así: a2 = c2 - b2 y ya está despejada. sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12) a2 = (15)2 - (12)2 elevamos al cuadrado y queda: a2 = 225 - 144 = 81 finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a:

Demostraciones

Demostración mediante el cálculo de áreas

La primera demostración se basa en el hecho de que dos cuadrados cuyos lados tienen la misma longitud deben tener la misma área. 

Demostración mediante el cálculo de áreas

También se usa el cálculo del área de una figura mediante la suma de las áreas de las partes en que se divide dicha figura.

     El triángulo ABC es rectángulo.      El 

C = 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.

Demostración mediante el cálculo de áreas

Se construyen dos cuadrados de lado a + b y se divide esta longitud en segmentos de longitudes a y b, como se muestra en las figuras.

Puesto que los dos cuadrados tienen lados de longitud a + b, los dos tienen la misma área.

Demostración mediante el cálculo de áreas

El área del cuadrado que se dividió en cuadrados y rectángulos es: A = a 2 + 2ab + b 2

 Como las áreas son iguales, se tiene 2ab + c2 = a2 + 2ab + b2. Restando 2 ab de ambos miembros de la igualdad se llega a: c 2 = a 2 + b 2

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Demostración usando longitudes de segmentos

Si en lugar de las áreas se consideran longitudes de segmentos, el teorema de Pitágoras se puede enunciar así: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo es igual que la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Demostración usando longitudes de segmentos

La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide el triángulo en dos triángulos semejantes entre sí, y también semejantes al triángulo original.

     En el triángulo rectángulo ABC se tiene:      El 

C = 90°, c es la hipotenusa, a y b son los catetos, es la altura sobre la hipotenusa.

Demostración usando longitudes de segmentos

Para facilitar el siguiente paso, se dibujan los triángulos semejantes como aparecen en la figura anterior.

Demostración usando longitudes de segmentos

Aplicando la propiedad fundamental a las proporciones anteriores, se obtiene:

Sumando las dos igualdades, miembro a miembro, se tiene que:

  Factorizando c en el segundo miembro, resulta:

Demostración geométrica mediante superposición de figuras

1. Se traza un triángulo rectángulo ABC en el que C sea igual a 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.

2. Ahora se trazan los cuadrados cuyos lados tienen longitudes a, b y c de manera respectiva.

3. Se tratará de probar, mediante superposición, que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Demostración geométrica mediante superposición de figuras

Para lo cual se requiere: 4. Localizar el punto medio M del cuadrado de longitud b,

lo que se logra trazando las diagonales de dicho cuadrado.

5. Por el punto M, se trazan rectas paralelas a los lados del cuadrado construido sobre la hipotenusa 

6. Se recorta el cuadrado cuyo lado es a y las partes del cuadrado cuyo lado es b.

7. Se colocan las figuras recortadas sobre el cuadrado cuyo lado es c, como se indica en la figura.

8. Si se cubre exactamente el cuadrado, se cumple que: c2 = a2 + b2

Antes de comenzar a Prácticar:

Repasar entrando a esta página virtual: http://virtual.areandina.edu.co/uva/images/swf/te

orema.swf

Ejercicios de PrácticaEscoge la mejor contestación

¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies de longitud y una

hipotenusa de 13 pies de longitud?Puedes considerar los dos catetos como la base y la altura del triángulo. La longitud de un cateto es 5 pies. Para encontrar la longitud del otro cateto, usa el Teoremade Pitágoras.

A) b=12

B) b=6

C) b=10

D) b=13

13 pies 5 pies

Próxima Pregunta

¡¡¡¡Muy Bien!!!!b=12

Ejercicio resuelto: a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. 5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye. 25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado. b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados. b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada

lado.Próxima Pregunta

Incorrecto!! Tu contestación no es la correcta. La contestación

correcta es la letra: A) b=12

Ejercicio resuelto: a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. 5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye. 25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado. b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados. b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada

lado.Proxima Pregunta

Incorrecto Tu contestación no es la correcta. La contestación

correcta es la letra: A) b=12

Ejercicio resuelto: a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. 5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye. 25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado. b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados. b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada

lado.Próxima Pregunta

Incorrecto Tu contestación no es la correcta. La contestación

correcta es la letra: A) b=12

Ejercicio resuelto: a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. 5^2 + b^2 = 13^2 Sustituye. 25 + b^2 = 169 Eleva los términos al cuadrado. b^2 = 144 Resta 25 de ambos lados. b = 12 Saca la raíz cuadrada positiva de cada

lado.Próxima Pregunta

Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la

diagonal de la cancha?

100 m

70 mc

La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con catetos de longitudes 70 m y 100 m. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar su longitud.

A) c=120

B) c=125

C) c=122

D) c=140Próxima Pregunta

No es CorrectaTe equivocaste La diagonal tiene una longitud aproximada de 122

metros.

Solucion: a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. 70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores

conocidos. 4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al

cuadrado. 14,900 = c^2 Suma. 122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada

lado.

Próxima Pregunta

No es CorrectaTe equivocaste La diagonal tiene una longitud aproximada de 122

metros.

Solucion: a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. 70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores

conocidos. 4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al

cuadrado. 14,900 = c^2 Suma. 122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada

lado.

Próxima Pregunta

No es CorrectaTe equivocaste La diagonal tiene una longitud aproximada de 122

metros.

Solucion: a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. 70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores

conocidos. 4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al

cuadrado. 14,900 = c^2 Suma. 122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada

lado.

Próxima Pregunta

¡Perfecto! Escojistes la contestacion correcta!

La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros.

Solucion: a^2 + b^2 = c^2 La fórmula de Pitágoras. 70^2 + 100^2 = c^2 Sustituye los valores conocidos. 4,900 + 10,000 = c^2 Eleva los términos al cuadrado. 14,900 = c^2 Suma. 122 = c Saca la raíz cuadrada positiva de cada lado.

Próxima Pregunta

A) a=10

B) a=9

C) a=15

D) Ninguna de las anteriores

Halla la longitud que falta:a= ? b=12 c=15

Próxima Pregunta

Excelente! La contestacion correcta es la letra

B) a=9

Ejercicio Resuelto:

Próxima Pregunta

¡Te equivocaste, Tú puedes mejorar!

La contestación correcta es la letra:B) a=9

Ejercicio Resuelto:

Próxima Pregunta

¡Te equivocaste, Tú puedes mejorar!

La contestación correcta es la letra:B) a=9

Ejercicio Resuelto:

Próxima Pregunta

¡Te equivocaste, Tú puedes mejorar!

La contestación correcta es la letra:B) a=9

Ejercicio Resuelto:

Próxima Pregunta

Halla la hipotenusa de:

4

3

c

A)c=6

B)c=10

C)c=5

D)c=8 Próxima Pregunta

Lo estas haciendo bien!

La respuesta correcta es la letra:C) c=5

EJERCICIO RESUELTO:

Próxima Pregunta

Esa NO es la Contestacion Correcta

La respuesta correcta es la letra:C) c=5

EJERCICIO RESUELTO:

Próxima Pregunta

Esa NO es la Contestacion Correcta

La respuesta correcta es la letra:C) c=5

EJERCICIO RESUELTO:

Próxima Pregunta

Esa NO es la Contestacion Correcta

La respuesta correcta es la letra:C) c=5

EJERCICIO RESUELTO:

Próxima Pregunta

¿Aun tienes dudas? Entrar al próximo link en donde podras repasar

nuevamente lo antes estudiado y podras hacer un test de prueba.

http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/pythagoras_eg2/index.html

Videos para Reforzar el aprendizaje

EvaluaciónEscoge la mejor contestación

A) CatetoB) AlturaC) SegmentoD) Hipotenusa

El lado más largo de unTriángulo rectángulo se llama:

Próxima Pregunta

¡¡¡¡Excelente!!!! La letra correcta es la letra:

D) Hipotenusa

Próxima Pregunta

No es Correcta La letra correcta es la letra:

D) Hipotenusa

Próxima Pregunta

¡PUEDES MEJORAR!

A) C)

B) D)

¿Cual de las siguientes Figuras es Un Triángulo Rectángulo?

Próxima Pregunta

Correcto La letra A era la contestación correcta!. En el

siguiente diagrama veras los nombres de los diferentes tipos de triángulos

Próxima Pregunta

Incorrecta La letra A era la contestación correcta!. En el

siguiente diagrama veras los nombres de los diferentes tipos de triángulos

Próxima Pregunta

¿Cual es la fórmula que se utilizaPara el teorema de Pitágoras?

Próxima Pregunta

A)

B)

C)

D)

Incorrecto La contestacioncorrectaes:

B)

Próxima Pregunta

¡Muy Bien! La contestacioncorrectaes:

B)

Próxima Pregunta

Para el siguiente triángulo rectángulo, calcula el lado desconocido c.

Próxima Pregunta

c=?b=3

a=4a) c=10

b) c=5

c) c=7

d) c=15

Correcto!Perfecto! La letra correcta es la letra: b)c=5

Ejercicio Resuelto:

𝑎2+𝑏2=𝑐242+32=𝑐2

16√ 25=𝑐𝑐=5

b=3

a=4

c=5

Próxima Pregunta

Incorrecto

𝑎2+𝑏2=𝑐242+32=𝑐2

16√ 25=𝑐𝑐=5

b=3

a=4

c=5

Perfecto! La letra correcta es la letra: b)c=5

Ejercicio Resuelto:

A)b=12B)b=4C)b=8D)b=6

Para el siguiente triángulo rectángulo, calcula el lado desconocido b.

c=10m

a=8m

b=?

¡Exelente!La respuesta correcta es la letra D

¡Incorrecto!La respuesta correcta es la letra D.

Verifica en que te equivocaste con el siguiente ejercicio

resuelto

¡Felicitaciones! Has terminadola evaluación, Espero que hallas

aprendido sobre el Teorema de Pitágoras

Bibliografía

Bibliografía http://

www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html

http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/pitagoras/teorema.htm

http://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/teorema_pitagoras.pdf

http://www.geoka.net/triangulos/teoerma_pitagoras.html

http://www.phy6.org/stargaze/Mpyth.htm http://

www.conevyt.org.mx/cursos/para_asesor/tics/softwareedu/pitagoras.htm

Bibliografía http://

virtual.areandina.edu.co/uva/images/swf/teorema.swf

http://www.slideshare.net/perezs/modulo-teorema-de-pitagorasmodificado-presentation

http://www.vitutor.com/geo/eso/asActividades.html

http://www.slideshare.net/oderflaoguh/teorema-de-pitagoras-ejemplos