cuadro latino y grecolatino
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ESTADÍSTICA II
DISEÑO CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO
El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignación de los
tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.
CARACTERÍSTICAS•Las unidades experimentales se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. •En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos.•Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.
Diseño Cuadrado Latino
• El numero de filas= al número de columnas= al número de tratamientos.
• Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al
azar y el diseño de bloques.
• La desviación estándar de la diferencia de promedios y la desviación estándar del promedio, están en función del
cuadrado medio del error experimental.
Formación del Cuadrado Latino
Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estándar (en la primera fila y en la
primera columna se tiene la misma distribución).
De cada cuadro se obtienen 144 formas diferentes, en total se tienen 576 cuadros diferentes.
La siguiente tabla permite relacionar el número de cuadros en función del tamaño.
n = tamaño del cuadro.
ASIGNACIÓN DE TRATAMIENTOS
os tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los
576 posibles.
MODELO ESTADÍSTICO Y
X 1 2 3 4
1 A B C D
2 B C D A
3 C D A B
4 D A B C
Tanto la hipótesis nula como la alternativa, siguen siendo las mismas, a saber:
H0 : m1 = m2 =..........= ma
H1 : mi = mj para al menos un par ij
En este diseño, tenemos ahora, o queremos estudiar, cuatro fuentes de variación, la debida al Factor X, la debida al Factor Y, la causada por el Bloque(o Factor)
Latino y la del error, por lo que nuestro modelo se puede expresar como:
Yij = La i-esima observación
m = Un parámetro General para todas las observaciones, llamado Media Globalti = El efecto del factor X
bj = El efecto del BloqueY
lk = El efecto del bloque Latino
eij = El error experimentalContinuando con la metodología utilizada hasta aquí,
reescribamos estas fuentes de variación, en términos de sumas de cuadrados:
Sstotales = SSX + SSY + SSLatino + SSerror
EJEMPLO
Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador que
prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formula que se utiliza para preparar la
dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también probar 5 niveles): Un experimentador, desea probar en un arreglo cuadrado por bloques, que efecto tienen el factor lote de materia prima y el operador
que prepara Dinamita, en la respuesta Explosividad de la misma. También desea bloquear el arreglo con la Formula que se utiliza para preparar la dinamita, para esto considera a el bloque Formula como su Factor o Bloque Latino. El arreglo queda como sigue (desea también
probar 5 niveles):
Operador
Lote 1 2 3 4 5 Totales Promedio
1 24 20 19 24 24 111 22.2
2 17 24 30 27 36 134 26.8
3 18 38 26 27 21 130 26
4 26 31 26 23 22 128 25.6
5 22 30 20 29 31 132 26.4
Totales 107 143 121 130 134 635 Gran total
Promedio 21.4 28.6 24.2 26 26.8
A E D C B
B
C
D
E
C
C
C
D
D
E D
E
B A E
A
B A
A B
Tenemos pues, que la suma de cuadrados totales es:
SST = SSLote + SSOperador + SSFomula + SSerror
Entonces:SSTotales = ijkj
b
i
a
k Nc y
y2
11
2
1
...
Lote 1 2 3 4 5 ∑ Promedio1 24 20 19 24 24 111 22.22 17 24 30 27 36 134 26.83 18 38 26 27 21 130 264 26 31 26 23 22 128 25.65 22 30 20 29 31 132 26.4∑ 107 143 121 130 134 635
21.4 28.6 24.2 26 26.8
Operador
Promedio
SSTotales =
SSTotales = 242 +202 +192 +242 +242 + 172 +.............+ 292 +312 -
2
63525
SSTotales = 676
ijkj
b
i
a
k Nc y
y2
11
2
1
. . .
SSLote=2
1
2ibY
i
a YN
.. ... 𝑺𝑺𝒍𝒐𝒕𝒆 = 1112+1342+1302+1282+13225 − 635225
Bien, para calcular la suma de cuadrados del factor latino, utilizaremos el mismo mecanismo, solo que, como este factor
latino se mueve de una manera diferente, necesitamos primero calcular los totales por nivel.
Val Val2
A 143 20449B 101 10201C 112 12544D 149 22201E 130 16900
La suma de cuadrados del error, lo calculamos por diferencia:
Sserror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFórmula = 676.0 - 68.0 - 150.0 - 330.0 = 128
Ahora que ya se han calculado las sumas de cuadrados para cada una de las fuentes de variación, se puede calcular la tabla ANOVA:
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Grados de Medios Fo
Lote 68 4 17 1.59Operador 150 4 37.5 3.52Formula 330 4 82.5 7.73
Error 128 12 10.67
Totales 676 24 147.67
Utilizando un nivel de confianza del 95%, consultemos la F de las tablas de la distribución Fisher:
Fa,g1,g2 -= F0.05, 4, 12 = 3.26, y esta es la misma para comparar
contra la F calculada de las tres fuentes de variación, ya que estas tienen los mismos grados de libertad.
Para el lote:Como la Fo (1.59) < F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces
se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta.
Para el Operador:Como la Fo (3.52) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces
se Rechaza Ho, el operador que prepara la dinamita, si influye en la explosividad de la misma.
Para la Formula:Como la Fo (7.73) > F0.05, 4, 12 = 3.26, entonces
se Rechaza Ho, la formula que se utiliza para preparar la dinamita, contribuye a la explosividad de la misma.
Diseño Cuadrado Grecolatino
En los arreglos por bloques, se pueden analizar 4 factores, introduciendo un cuarto factor o bloque en un diseño
cuadrado latino, siguiendo las mismas reglas utilizadas para introducir un tercer
factor en un diseño cuadrado de dos factores. A este cuarto factor o bloque se le denomina componente griego, ya que se utilizan letras griegas para identificar
sus niveles, a la adición de un diseño cuadrado latino y un cuarto factor, se le
llama Diseño Cuadrado Greco-Latino.
Es un diseño con cuatro factores a k niveles Se asume que no hay interacciones Requiere k2 observaciones El diseño factorial completo requiere k4 Cada nivel de un factor aparece una vez con
cada nivel de los otros factores Superposición de dos cuadrados latinos
Superposición de dos cuadrados latinos
Cada letra griega aparece una vez en cada fila, en cada columna y una con cada letra latina
El modelo es
donde αi es el efecto fila, βj efecto columna, γk efecto De la letra latina y δl efecto de letra griega La notación yij (kl) indica que k y l dependen de ij.
Tabla ANOVA
EjemploContinuemos con el ejemplo de la formulación de
dinamita. El experimentador desea considerar La línea de ensamble en su diseño, ya que sospecha que estas
son fuente de variación. Para hacer esto, decide utilizar un arreglo Cuadrado Greco-Latino, el cual se muestra a continuación (Por razones prácticas, se
utilizaran los mismos datos que en el ejemplo anterior) Operador
Lote 1 2 3 4 5 Totales Promedio
1 24 20 19 24 24 111 22.2
2 17 24 30 27 36 134 26.8
3 18 38 26 27 21 130 26
4 26 31 26 23 22 128 25.6
5 22 30 20 29 31 132 26.4
Totales 107 143 121 130 134 635 Gran total
Promedio 21.4 28.6 24.2 26 26.8
A EDCB
B
C
D
E
C
C
C
D
D
ED
E
BAE
A
BA
A B
Ya que son los mismos datos del ejemplo anterior, los cálculos y resultados para las sumas de cuadrados para los componentes Lote, Operador, Fórmula y
Suma Total son los mismos también:
n=25635
16805SSTotales = 676
SSTotales = ijkj
b
i
a
k Nc y
y2
11
2
1
...
68SSLote=
2
1
2ibY
i
a YN
.. ...
= 150SSOperador=2
1
2.. ...kaY
k
b YN
Val Val2
A 143 20449B 101 10201C 112 12544D 149 22201E 130 16900
82295
SSFórmula=
2
1
2. . ...j
c
Yk
c YN
2
1
2. . ...j
c
Yk
c YN
SSFórmula= (82295/5) – (635²/25) = 330
Para calcular la suma de cuadrados del componente Griego, tendremos que obtener las
sumas naturales totales por nivel:
Nivel Griego Total
a Y..1. =
b Y..2. =
g Y..3. =
d Y..4. =
e Y..5. =
Nivel Griego total total²
a 135 18225
b 119 14161
g 122 14884
d 121 14641
e 138 19044
Total= 635 80,955
SSLinea=330
2
1
2.. . ....kb
Yk
b YN
SSLinea = (80955/5) - = 62
2
63525
( )
La suma de cuadrados del error, se calcula nuevamente por diferencia:
SSerror = SSTotales - SSLote -SSOperador -SSFormula - SSLinea
SSerror = 676 - 68 - 150 - 330 - 62 = 66
Una vez calculados todos los componentes de la variación por separado, se puede elaborar la
tabla anova: Fuente de variacion
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Grados de Medios
Fo
Lote 68 4 17 2,06Operador 150 4 37,5 4,55Formula 330 4 82,5 10,00
Linea 62 4 15,5 1,88Error 66 8 8,25
Totales 676 24 160,75
n-1
(n-3)(n-1)
Se divide la suma de
cuadrados y los gl
Error/ grados medios
Como este es también un arreglo cuadrado (todos los factores tienen la misma cantidad de niveles), solo es necesario consultar un F de Fisher para
compararse después con las calculadas por factor y evaluar nuestra hipótesis (que es la misma
analizada en el ejemplo anterior), a un 95% de nivel de confianza
Fo,g1,g2 -= F0.05, 4, 8 = 3.84,
Entonces tenemos:
Para el lote:
Como la Fo(2.06) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, el lote de material no es fuente de variación para la respuesta.
Este es el valor de la tabla de la
distribución F. V1 = 4 y V2 = 8
Para el Operador
Como la Fo(4.55) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Rechaza Ho, el operador es fuente de variación para la respuesta.
Para la Formula
Como la Fo(10.0) > F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Rechaza Ho, el tipo de formula es fuente de variación para la respuesta.
Para La Línea de ensamble:
Como la Fo(1.88) < F0.05, 4, 8 = 3.84, entonces se Acepta Ho, la línea de ensamble no es fuente de variación para la respuesta.
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