cuadrado de oposicion

CUADRADO DE OPOSICION

CUANTIFICADORES

• UNIVERSALES:• Afirmativos:• Toda(o). Todas(os). • Negativos:• Ningún, ninguna.

• PARTICULARES:

• Algún, alguna.

• Algunas (os).

Ejemplos de proposiciones categóricas

• sAp: Todas la mujeres son filósofas. (universal afirmativa)

• sEp: Ningún filósofo es boxeador. (universal negativa)

• sIp: Algunos mamíferos son bellos. (particular afirmativa)

• sOp: Algunas rolas no son buenas. (particular negativa)

Ejercicio 1

• Reformular con cuantificadores:• 2. Cualquier persona que pague puede pasar.• 4. Vinieron pocos invitados.• 6. Nada me parece bello.• 7. La mayor parte de la gente se abstuvo de

votar.

EL CUADRADO

sAp sEp

sIp sOp

PROPOSICIONES CATEGORICAS

• sAp Todos los S son P

• sEp Ningún S es P

• sIp Algunos S son P

• sOp Algunos S no son P

QUE SE PUEDE ENSEÑAR• Destreza en dobles negativos• Negación interna y externa. Elementos de metodología de la ciencia.• Relación con varias lógicas.• Más allá del cuadrado: cubo de oposición.

INFERENCIAS

• INMEDIATAS:

• OBVERSIÓN.

• CONVERSIÓN SIMPLE.

• SUBALTERNACIÓN.

• MEDIATAS:

• CONVERSIÓN POR ACCIDENTE.

• CONTRAPOSICIÓN.

LA OBVERSION

• sAp = sE~p

• sEp = sA~p

• sIp = sO~p

• sOp = sI~p

• REGLA

• (1) pasar a la letra (sub)contraria

• (2) negar la letra del predicado

CONVERSIÓN SIMPLE

• CON sEp:

• sEp = pEs.

• Ej.: ningún terrícola es marciano = ningún marciano es terrícola.

• CON sIp:

• sIp = pIs.

• Ej.: algunos cantantes son mexicanos = algunos mexicanos son cantantes.

EQUIVALENCIAS

• sAp = sE~p = ~pEs = ~pA~s

• sEp = sA~p = pEs = pA~s

• sIp = sO~p = pIs = pO~s

• sOp = sI~p = ~pIs = ~pO~s

CUADRADO CON EQUIVALENCIAS

sAp sE~p sEp sA~p

~pA~s ~pEs pEs pA~s

sIp sO~p sOp sI~p

pIs pO~s ~pO~s ~pIs

NEGACION DE LA CONTRADICTORIA

• ~(sAp) = sOp

• ~(sEp) = sIp

• ~(sIp) = sEp

• ~(sOp) =sAp

• No todos* = Algunos no• No es cierto que

ninguno = Algunos• No es cierto que

algunos = Ninguno• No es cierto que

algunos no = Todos

DOBLES NEGATIVOS 1

• ~(sA~p) (no todos los hombres son infieles) = sO~p (algunos hombres no son infieles) = sIp (algunos hombres son fieles).

• ~(sE~p) (no es cierto que ningún hijo es ingrato) = sI~p (algunos hijos son ingratos) = sOp.

DOBLES NEGATIVOS 2

• ~(sI~p) (no es cierto que algunos gobernantes no roban) = sE~p (*ningún gobernante no roba) = sAp (todos los gobernantes roban).

• ~(sO~p) (No es cierto que algunos torturadores no son inclementes) = sA~p (todos los torturadores son inclementes) = sEp (ningún torturador es clemente).

NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 1

• ~(sAp) ≠ sA~p. No todos ≠ todos no• ~(sEp) ≠ sE~p. No ning. ≠ ning. no• ~(sIp) ≠ sI~p. No alg. ≠ alg. no• ~(sOp)≠sO~p. No alg. no ≠ alg. No

• No todos = algunos no.• No ninguno = algunos.• No algunos = ninguno.• No algunos no = Todos.

NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 2

• No todos los que se adelanten serán registrados = algunos que se adelanten no serán registrados.

• O sea, ~(sAp) = sOp.

• Todos los que se adelanten no serán registrados = Ninguno que se adelante será registrado.

• O sea, sA~p = sEp.*

NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 3

• No es cierto que ningún soldado sea inteligente = algunos soldados son inteligentes.

• O sea, ~(sEp) = sIp.

• *Ningún soldado es no inteligente = todos los soldados son inteligentes.

• O sea, sE~p = sAp.

NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 4

• No es cierto que algunos astronautas sean alcohólicos = ningún astronauta es alcohólico.

• O sea, ~(sIp) = sEp.

• Algunos astronautas son no alcohólicos = Algunos astronautas no son alcohólicos.

• O sea, sI~p = sOp.*

NEGACION INTERNA Y NEGACION EXTERNA 5

• No es cierto que algunos líderes no son valientes = todos los líderes son valientes.

• O sea, ~(sOp) = sAp.

• *Algunos líderes no son no valientes = algunos líderes son valientes.

• O sea, sO~p = sIp.*

RESUMIENDO• AL NEGAR EXTERNAMENTE,

SE OBTIENE LA CONTRADICTORIA

• AL NEGAR INTERNAMENTE, SE OBTIENE LA (SUB)CONTRARIA

• A no es no B = A es B• No(A es B)≠A no es B• A no es B =A es no B*

Ejercicio 2

• Usa los cuantificadores para escribir la contradictoria y la contraria de:

• 4. No es cierto que nadie quiere sufrir.• 6. No es cierto que alguien robó el banco.• 7. Algunos prestamistas son desinteresados.• 10. No hay mal que por bien no venga.

Ejercicio 3

• Di si son: contradictorias, (sub)contrarias, equivalentes, inversas, compatibles, y dónde hay implicación.

• 1. No todos los tenores son cantantes excepcionales / El tenor Plácido Domingo es un cantante excepcional.

• 4. Todos los perros son canes / Todos los canes son perros.

• 5. Algunos pacifistas son militares / Ningún militar es pacifista.

Ejercicio 3 (cont.)

• 10. Ninguna persona es totalmente virtuosa / Algunas personas no son totalmente virtuosas.

Ejercicio 4:• 3. Todas las ballenas son mamíferos / Ningún pez es

mamífero.• 7. Todos los torturadores son inmorales / No es

cierto que algunos torturadores son inmorales.• 8. Níngún felino tiene plumas /El gato que adoptaré

no tiene plumas.

Ejercicio 5: relaciones en el cuadrado de oposición

• Si las siguientes oraciones son verdaderas, ¿qué se sigue de cada una de ellas?

• 1. Toda la música me gusta. (a) ninguna música me gusta, (b) alguna música me gusta, (c) cualquier música me gusta.

• 4. Algunos poetas no son buenos. (a) algunos poetas son buenos, (b) ningún poeta es bueno, (c) no se siguen ni (a) ni (b), y (d) No todos los poetas son buenos.

Ejercicio 5 (cont.)

• Si las siguientes oraciones son falsas, ¿qué se sigue de cada una de ellas?

• 6. Todos los ríos son caudalosos. (a) ningún río es caudaloso, (b) algunos ríos son caudalosos, (c) algunos ríos no son caudalosos.

• 8. Algunas personas son clonadas. (a) Ninguna persona es clonada, (b) Todas las personas son clonadas, (c) Algunas personas no son clonadas.

Ejercicio 6: relaciones veritativas en el cuadrado de oposición

• 2. Si ningún condenado a muerte es feliz es V, ¿qué valores V ó F ó i tienen?:

• (a) todos los condenados a muerte son felices, (b) algunos condenados a muerte son felices.

• 3. Si algunos hombres son valientes es V, ¿qué valores V ó F ó i tienen?:

• (a) algunos hombres no son valientes, (b) ningún hombre es valiente.

Ejercicio 6 (cont.)

• 6. Si algunos funcionarios no son corruptos es F, ¿qué valores V ó F ó i tienen?: (a) todos los funcionarios son corruptos, (b) algunos funcionarios son corruptos.

• Si todas las mujeres son miedosas es F, ¿qué valores V ó F ó i tienen?: (a) ninguna mujer es miedosa, (b) algunas mujeres no son miedosas.

METODOLOGIA DE LA CIENCIA CONFIRMACIONES

• Para probar que todos los A son B, hay que probar que cada miembro de A es B.

• Para probar que ningún A es B, hay que probar que cada miembro de A no es B.

• Para probar que algún A es B, basta encontrar un caso de A que sea B.

• Para probar qe algún A no es B, basta probar que un caso de A no es B.

METODOLOGIA DE LA CIENCIAREFUTACIONES

• Para refutar que todos los A son B, basta encontrar un caso de A que no sea B.

• Para refutar que ningún A es B, basta encontrar un caso de A que sea B.

• Para refutar que algunos A son B, hay que probar que ningún A es B.

• Para refutar que algunos A no son B, hay que probar que todos los A son B.

PRUEBAS Y REFUTACIONES

• Para probar las universales, hay que ir caso por caso.

• Para probar las particulares, basta un caso.• Para refutar las universales, basta un caso.• Para refutar las particulares, hay que ir caso

por caso.

RESUMIENDO• Es más fácil probar las

particulares.• Es más fácil refutar las

universales.

• Es más difícil refutar las particulares.

• Es más difícil probar las universales.

RELACION CON VARIAS LOGICAS

• Aristotélica. T , A• Cuantificacional. (X), E• Modal. □ , ◊• Deóntica. O , P• Temporal. S , V• Probabilística. C , P• Epistémica. K , B

CUADRADOS ISOMORFICOSArist. Cuan

tif. Mod. Deónt Temp Prob. Epist.

sAp (x) □p Op Sp Cp aKp

sEp (x)~ □~p O~p S~p C~p aK~p

sIp Ex ◊p Pp Vp Pp aBp

sOp Ex~ ◊~p P~p V~p P~p aB~p

REGLA DE EQUIVALENCIA DE OPERADORES

• Sustitúyase el operador por su par.

• Niéguese a la izquierda.

• Niéguese a la derecha.

• Aplique doble negación, cuando sea el caso.

EQUIVALENCIAS ISOMORFICAS DE OPERADORES

T=~A~

(x)=~E~

□=~◊~

O=~P~

S=~V~

C=~P~

K=~B~

A=~T~

E=~(x)~

◊=~□~

P=~O~

V=~S~

P=~C~

B=~K~

~A=T~

~(x)=E~

~□=◊~

~O=P~

~S=V~

~P=C~

~K=B~

~T=A~

~E=(x)~

~◊=□~

~P=O~

~V=S~

~C=P~

~B=K~

UNIVERSAL NEGATIVA E ISOMORFICOS

• T~ , todos no , ninguno, nadie, nada

• □~ , necesario que no, imposible

• O~ , obligatorio que no, prohibido

• Pero: K~, saber que no ≠ ignorar, pues ignorar es no saber: ~K.

SOBRE EL CUADRADO DEONTICO

• “LO QUE NO ESTÁ PROHIBIDO ESTÁ PERMITIDO”

Prohibido = Obligatorio que no = O~

No prohibido = ~O~ = P = ¡permitido!

REDUCCION A UN OPERADOR POR CUADRADO

• Sea O cualquier operador isomórfico.

O O~

~O~ ~O

DEL CUADRADO AL CUBO DE OPOSICION

CUADRADO COMPLEMENTARIO ~sA~p ~sE~p

~sI~p ~sO~p

EQUIVALENCIAS

• ~sA~p = ~sEp = pE~s = pAs

• ~sE~p = ~sAp = ~pE~s = ~pAs

• ~sI~p = ~sOp = ~pI~s = ~pOs

• ~sO~p = ~sIp = pI~s = pOs

EL CUBO DE OPOSICION

~sA~p ~sE~p

sAp sEp

~sI~p ~sO~p

sIp sOp