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créditos

Autores:Autores:-Franco Cantarutti-Franco Cantarutti-Mauro Frías-Mauro Frías-Tomas Ramírez-Tomas RamírezDocente encargado:Docente encargado:-Orlando Torres-Orlando Torres

Osorno, chile 13 / mayo / 2005

Módulo de auto aprendizaje:

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CréditosCréditosAcerca de los autores.Franco Cantarutti

(tercero medio A)Mauro Frías

(tercero medio B)Tomás Ramírez (tercero medio B)Plan diferenciado:

MatemáticoAlumnos del colegio San

mateo de OsornoPrimero a nivel nacional

en colegios subvencionados.

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Edición y producción:Departamento matemático Ω .Inc.Actualmente compuesto por:Dirección general:Franco Cantarutti.Corrección de estilo:Mauro Frías.Dirección grafica:Tomás RamírezDiseño y diagramación:Todo el equipoParticipación externa:Orlando Torres (Docente)

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Prologo

El módulo de autoaprendizaje para 1medio que tienes en tus manos, esta orientado para que adquieras un aprendizaje en potencias, raíces y logaritmos desde una perspectiva matemática, propiciándote una base para la comprensión de fenómenos matemáticos, destacando el trabajo individual, la constancia de trabajo, la idealización de un método de trabajo y una discusión que te permitirá obtener conclusiones validas en el ámbito de esta ciencia.

Esta obra se destaca por ofrecer una interesante red de actividades que realizaras tu. El objetivo es que logres realizar un estudio comprensivo e interactivo, basado en tu propia experiencia, que te impulse a comprometerte con las metas u objetivos a lo largo de este trabajo.

El trabajo aquí entregado esta estructurado según los siguientes temas.

Capitulo 1 potencias.

Capitulo 2 raíces.

Capitulo 3 logaritmos.

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contenidoscontenidos1. Potencias1.1 potencias1.2 propiedades de las potencias1.3 ecuaciones exponenciales2. Radicación2.1 raíces2.2 propiedades de las raíces2.3 racionalización2.4 ecuaciones irracionales3. Logaritmos3.1 logaritmos3.2 propiedades

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Representación grafica de la obraRepresentación grafica de la obra

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Hola yo soy Ahome y al igual que tu, estoy empezando en esto de las raíces, potencias

y logaritmos.Te pido un ratito de tu tiempo para que

conozcas a mis amigos a quienes les pedí que me ayudaran en este modulo para que

podamos aprender.

Bueno estos son mis amigos que nos ayudaran durante este

modulo.

Yo soy Inuyasha, genio en potencias, yo les

ayudare con los difíciles exponentes

Yo soy Miroku, el mejor en Raíces yo con mi sabiduría y tus ganas de aprender lograre enseñarles el mundo de las

raíces.

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Yo soy el ultimo de los amigos de ahome, soy el mas sabio de los 3 y les voy a enseñar sobre los difíciles

logaritmos.

Ahora que te presente a mis amigos podemos ir donde Inuyasha a ver que son las potencias

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El inventor del ajedrez, le presento su novedosa creación al rey de Dirham, en la india, este quedo tan fascinado por el juego que le ofreció cualquier cosa que el deseara como recompensa. Ante este ofrecimiento el ingenioso inventor le propuso al rey que le diera simplemente, un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y así sucesivamente duplicando la cantidad del casillero anterior hasta llegar al ultimo. El rey se extraño por la modesta petición del súbdito y mando a que se cumpliera su petición. Horas mas tarde llego el encargado de los graneros afligido diciendo que no se podía cumplir con la petición del inventor... - ¿Adivinas que paso?El encargado le explico a el rey, y le dijo que no había suficiente trigo en los graneros del reino, ni siquiera en los de todo el mundo! El rey quedo atónito y no lo pudo creer,

¿Y como es posible esto?

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Bueno ahome, esto es muy sencillo, En el primer casillero el numero de granos es igual a uno, en el

segundo cuadro es dos, en el tercero cuatro, en el cuarto ocho, y así hasta el 64, este es un procedimiento muy

lento si.

¿Y que haríamos para simplificar este procedimiento?

•Para sacar el valor tendríamos que hacer lo siguiente: el primer cuadrado 1x1 en el siguiente 2x1 luego 2x2 , de hay 2x2x2 y así sucesivamente. •Con potencias el primer numero quedaría como 20 , el segundo como 21, el tercero como 22 y el cuarto como 23 Por que en potencias la base que en este caso es 2 se multiplica tantas veces como el numero de exponente tenga.

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¿Ósea que tendríamos que sumar 20+21+22+23..........hasta 263? Si ahome como veras es un numero muy grande, solo como

ejemplo el 263 es igual a 2x2x2x2….x2 63 veces y ese numero me dio 9.223.372.036.854.775.808, lo que no es el total ya que nos falta sumar todos los números anteriores y

como veras no es un numero para nada pequeño.

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Definición de potencia

Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”de esta forma: na Al “n” se le llama exponente de la potencia

Al “a” se le llama base de la potencia

Las potencias sirven para expresar la multiplicación de un dato que se repite una cierta cantidad de veces

“a” es el número en cuestión,”n” es la cantidad de veces que se multiplica por si mismo.

Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)

Bueno, ¿entendieron lo que es realmente una potencia?

Yo si, pero parece que mi amigo no mucho

Bueno, lo explicare mas detenidamente. Tomen atención.

Aplicando la definición tenemos:

(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

Calculemos el valor de -34

Observamos que la base de la potencia es 3 ( y no -3) expresándola en forma de producto nos queda:

-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81

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Ahora veamos si entendisteCalculemos el valor de (-2)3

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4

4

2

2

Soluciones:

-16

16

Como conclusión se puede decir que cuando un término que es antecedido por un signo negativo se eleva a un exponente impar el término siempre será el mismo que al inicio, en cambio elevado a un número par se logrará el signo contrario al inicial.

Ahora resuelve tú

Potencias con exponente 1Potencias con exponente 1

Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3Ejercita:1) 71=2) 221=3) 41=4) 61=

Soluciones:1)72)223)44)6

En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma si el exponente es 1.

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Potencias con exponente -1Potencias con exponente -1

es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:

a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2

Ejercita:

___3

25)4

___8)3

___3,2)2

___4

2)1

1

1

1

1

Soluciones:

1) 2

2) 10/23

3) 1/8

4) 3/10

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Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir:

an • am = an+m

al revés cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir:

an+m = an • am

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Multiplicación de potencias de igual base

Ejercicio resueltoEjercicio resuelto

Expresemos en forma de potencias: aquí tenemos el producto del término (-1/2) cinco veces (el término se repite 5 veces).En este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos los términos, dejando solo un término.

5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

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Resuelve estos ejercicios para ver Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta como vas manejando esta

propiedadpropiedad

___)4

___55)3

___)2

___)1

242

4

632

53

yxyx aa

bbb

aa

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Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1)a8

2)b11

3) 55

4)a3x+2y

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Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

División de potencias de igual base• En este caso, mantenemos la base y restamos

los exponentes, es decir:an : am = an-m

al revés cuando tenemos una base con una resta en el exponente la podemos descomponer, es decir:

an-m = an : am

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Ejercicio resueltoEjercicio resuelto

42626 : xxxx

)()()(

)( 232

3

bababa

ba

En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadpropiedad

_____:)4

_____5

2:

5

2)3

____)2

____)1

11

54

45

56

6

16

xx mm

xx

xx

m

m

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Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1)m10

2)x2

3) 2/54)m2

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

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Potencia con exponente 0Potencia con exponente 0

Es igual a 1:

a0=1, 00= no existe

Ejemplos:

50=1

-40=-1

Ejercita:

1) 30=___ 3)-20=___

2) (1/2)0=___ 4) 10=___

Soluciones:

1)1 3)-1

2)1 4)1

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Potencia con exponente negativoPotencia con exponente negativo

Es la misma propiedad que con exponente a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el exponente, no queda en 1, sino que en n.

a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9

Ejercitemos:

1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___

2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___

Soluciones:

1)-1/4 3)9

2)1/4 4)16

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Potencia de una potencia

Aquí debemos elevar la base a la multiplicación de los exponentes.

(am)n = an • m

En el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicándose se pueden distribuir.

an • m = (am)n

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Ejercicio resueltoEjercicio resuelto

1. Desarrollemos (a2 :a6)2

Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades ya conocidas deberíamos poder llegar a un término.

8841212

4

26

222

6

2 11

a

aaa

a

a

a

a

a

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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadesta propiedad

___)4

___9)3

___23)2

___)1

4

325,0

2

1246

3522324

2

6

42

a

zyx

cbacba

x

ba

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Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) (a4b8)/x12

2) 72a2b19c9

3) 3x3y2z4) a3/16

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

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Potencia de un producto

Elevamos el producto de las bases al exponente común.

an • bn = (ab)n

Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis elevado a un numero, los componentes del paréntesis se pueden separar.

(ab)n = an • bn

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Ejercicio resueltoEjercicio resuelto

605353 444

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Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadesta propiedad

___278)4

___)3

___2)2

___8)1

1414

22

33

pp ba

qba

ax

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Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) (2ax)3

2) [2q(a+b)]2

3) (ab)4p-1

4) 63

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

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Potencias de 10Potencias de 10

100 = 1 104 = 10000101 = 10 105 = 100000102 = 100 106 = 1000000103 = 1000 107 = 10000000

•Se muestra cuando tenemos 10 elevado a un número cualquiera:

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Notación científicaNotación científica

• Se utiliza para expresar grandes cantidades en números mas pequeños.

• Para poder expresar un numero como notación científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el producto entre este y una potencia de 10.

• Ej.: - La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s- El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6

metros

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Ejercitemos juntos, para aprender Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedadesta propiedad

Primero se tiene que dejar lo mas reducido el número que multiplica al 10, no puede ser decimal, ni menos pasarse de 10 unidades, se cuentan los 0, por cada cero será un digito más.

Si es decimal, o sea un número minúsculo, el exponente es negativo y si el número es muy grande, es positivo el exponente.

8

4

108000.000.800

1030003,0

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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadesta propiedad

1) 0,0000000065 3)0,00000000000121

2) 123.000.000 4) 567.000.000.000

Soluciones:

1) 6,5 • 10-9 3) 1,21 •10-12

2) 1,23 • 108 4)5,67 • 1011

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Potencia con exponente fraccionarioPotencia con exponente fraccionario

• Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice corresponde a el denominador de la fracción.

nn aa 1

• Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formaría

n mn

m

aa

3

53 5 aa

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____161728)4

_____216125)3

_____8164)2

_____25)1

4

1

3

1

3

1

3

1

4

2

2

1

2

1

Soluciones:

1)5

2)17

3)-1

4)10

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

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Ecuaciones exponencialesEcuaciones exponenciales

• Aquí se trabaja con los exponentes como los elementos de la ecuación

• Lo mas difícil de estas ecuaciones es igualar las bases

• Una ves igualada las bases se aplica la siguiente propiedades y se igualamos exponentes:

mnaa mn

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• Ejemplos:a)32x-5=3x-3

2x-5=x-3x=2b)4x+3=82x+9

b)(22)x+3=(23)2x+9

x+3=2x+9

-4x=21x= -4/21

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En el ejemplo b, se igualo para poder hacer la ecuación, cuando ya se igualo esta, se trabaja deforma normal como

una ecuación de primer grado.

13)2

819)1)4(2

52

x

x

1

1

128)4

3244256)3

x

xx

Soluciones:

1) x=7/2 3)x=-1

2) x=4 4) x=0/1= no solución en los reales

Resuelve estos ejercicios para ver tu Resuelve estos ejercicios para ver tu aprendizaje, ya queda poco, para terminar aprendizaje, ya queda poco, para terminar

potenciaspotencias

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___)4

11(

___)4

3(

___)1,1(

___10

___)2(

___3

___2

3

6

3

1

3

2

2

Reforzamientos varios:

___5

2

2

5

5

2

___5

311

___2

1

5

43

___)02,0()02,0(

___2221

___)12()12(

___2222

321

012

3021

22

321

11

3210

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Problema de profundización:Problema de profundización:

Alfredo recibe una carta pidiéndole que participe en una “cadena”, enviándole copia de la misma carta a 3 otras personas, cada una de las cuales debe enviarle un cheque por $1000 a vuelta del correo. Él, a su vez, debe enviar $1000 al remitente de la carta que recibió. Si cada persona que recibe una carta de esta “cadena” procede como indicado, todos harán beneficios. ¿dónde esta la trampa?Descúbrelo a través de tus conocimientos adquiridos.

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RaícesRaíces

Índice de la raíz Operante

Cantidad subradical o radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:

n a

nn aa1

En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican (eliminan) con las raíces y viceversa

¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulo de raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora como es esto?

Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos los cuales son:

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Propiedades de las raícesPropiedades de las raíces

Raíz de una potencia con exponente igual al índice.• Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el

radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma:

11

)( aaaa n

n

nnn n

Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las raíces, veamos la primera:

Al elevar a n la raíz n-esima de a estamos simplificando el proceso anterior por lo cual el

numero quedaría el numero

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• Veamos unos ejemplos:

5

2

5

2

5

2

5

2

7777

5555

15

5

5

5

1

13

33 3

12

22

xxxx p

pp p

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Aplicando la propiedad, vemos que el índice y el exponente del radicando se deja en forma de potencia, por lo tanto igual numerador y denominador dan como resultado 1, así se dice que se simplifico o elimino la raíz y se convierte en una simple base elevado a 1 lo que da como resultado la misma base, como vemos en los ejemplos.

Ahora te toca a ti trabajar:

5 5

3 3

4 4

2

48 .4

23 .3

59 .2

6 .1

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Raíz de un producto:

nnn baba

nnn baba

Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen,

como se muestra a continuación.

Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos raíces de igual índice

que puede agrupar en una sola raíz

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6216278278

10100254254

306521612521612527000

632811681161296

3333

3333

4444

Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dos productos de raíces y resolviéndolas por separado, luego se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente:

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4 64 74 3

333

2555 .4

842 .3

623 .2

123 .1

ppp

xxx

aa

Trabaja tu:

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Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 62) 6a3) 4x4) 5p4

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

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• De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.

n

n

n

b

a

b

a

nn

n

b

a

b

a

* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se muestra a continuación:

* Pasemos a Raíz de un cuociente:

** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a raíz de un producto

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24111

444111:444

132

262:26

5255

1255:125

62

182:18

33

a

aaa

a

aaa

Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor:

Pero parta poder resolver algunos ejercicios no solo debemos dividir, sino también aplicar propiedades de las potencias como es la resta de exponentes

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• Vamos te toca ahora

______6

600

______16

4096

______8

216

______60

240

4

3

3

Si tienes alguna duda no vaciles en repasar la materia.!!!!

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Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 22) 33) 24) 10Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya

tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

Seguir

mnn m aa

*

Seguir

Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al final una sola raíz con índice igual al producto de los índices. Como se puede ver:

¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?

Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando, ¿o no?:

1111

3531441531441531441

222

333

12433 4

422

aaa

abbaa b xxx

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____729 .4

____81 .3

____1 .2

____64 .1

4

5 4 3

4

Seguir

Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los siguiente:

Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 22) 13) 34) 13Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya

tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

Seguir

Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice como el exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en particular, ejemplo:

pn pn aa 1

yn yxn x aa: :

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Pasemos a amplificación y simplificación del índice de una raíz:

Resolvamos estos ejercicios:

66 232•3 213•2 3•13

5:10 5:510 5

432434343

5252525

* • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas fácilmente, así queda como resultado 5

• En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores, ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se puede resolver como cualquier otro problema.

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• Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificación y simplificación de raíces.

_____

_____4

_____5

_____7

3 4

15 5

2 3

6 2

p

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Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

3

3

3

.4

4 .3

55 .2

7 .1

pp

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Factor de una raíz como factor:

* En palabras simples es pasar un número que multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así se pueden aplicar otras operaciones como la suma de raíces de igual índice.

Se da de la siguiente forma:n nn abba

** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

212212288 2

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Vamos resolvamos:

33 33

2

2

2525250

982727

525220

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* Se puede ver dos posibilidades:• simplificar una raíz, dejándola mas simple• O realizar una raíz, juntando términos, pero de esta forma queda una raíz muy compleja.

Racionalización de denominadores:• La idea es dejar los denominadores sin expresiones con raíces para poder trabajar mas fácilmente.• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.

2

23

2

23

22

23

22

23

2

3

2

23

4

23

22

23

2

3

3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

3 23

3 2

3

En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

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• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.

• Se presentan los siguiente casos de expresiones:

3

25

25

25

2525

251

25

122

3

25

25

25

2525

251

25

122

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Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:

2233

2233

babababa

babababa

5

2632

263

263

23

2

23

2 3 23 2

3 23 2

3 23 2

3333

Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.

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• Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan dos términos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una suma por diferencia simple:

4

102325

100410810816

102325

1024104

10223253

1024

3253

1024

3253

102325

3253

325

325

325325

3253

325

322

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Luego de resolver el trinomio, se resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así se elimina términos con raíces en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4.

Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:

_____9

13)

_____52

3)2

_____2

2)1

3

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solucionessoluciones

9

81 .3

52- .2

2 .1

3

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

2 1 2 7

2 2

x

/ - 2

2x - 1 = 5 / ()

2x - 1 5

2x - 1 = 25 / +1

2x = 26 / : 2

x = 13

2

8 = x

3 : / 24 =3x

3 - / 27 = 3 +3x

() / 33+3x

6 - / 9 3+3x + 6

() / 3 336

33

3

23

x

son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical, para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de la raíz, para eliminarla:

Ejemplos:

Ecuaciones irracionales:

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Practiquemos un pocoPractiquemos un poco

53.2 x

31.1 xx

5)3(.3 xxx

234.4 2 xx

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Soluciones:Soluciones:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,

espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

2

3 x.4

13

25 x.3

28 x.2

2 x5 .1 21

x

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Cotrol: veamos si aprendiste

3

1

3

1

0,027 + 64

3

1

2

1

8 + 4

277 + 642 3

6 36 23 4 + 8 + 8

487a b

a 24n n nncb 5

3

9

16x

y

3

5

16

18a

c

n nb43na

64 15 6 a

n n n2 2

3

01+3x - 5

3298x 2 x

21-x-3+3

2

3

2

2x

x

35

3

25

2

27

142-1

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La definición de logaritmo es la siguiente:El logaritmo en base a de un número n, es otro número b, tal que

cumple esta ecuación: ab = n. Dicho matemáticamente loga n = b ==> ab = n.

No continúes mientras no te grabes esta definición en tu cabeza de tal manera que no se te olvide nunca.

Si lo comprendes puedes continuar. Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n1 sea b1 (loga n1 = b1). Entonces ab1 = n1.Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n2 sea b2 (loga n2 = b2). Entonces ab2 = n2.Supongamos que nos piden que calculemos el logarítmo del producto n1.n2, y digamos que es b. Si tenemos en cuenta las igualdades anteriores nos queda: loga n1.n2 = loga ab1.ab2 = b ab = ab1.ab2 = ab1+b2

Para que esta igualdad se cumpla b = b1 + b2, por lo tanto el logarítmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

De igual manera se demostraría que el logarítmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del numerador y denominador, y con un poco más de trabajo que el logarítmo de una exponenciación es igual al exponente por el logarítmo de la base.

Ya podemos responder a la pregunta de para qué sirven los logaritmos: Hace no muchos años, no había ordenadores, ni calculadoras, y por lo tanto multiplicar y dividir (y muchisimo mas la exponenciación) cuando los números implicados eran grandes, era una tarea árdua (y casi seguro que se cometían errores). Con los logarítmos las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y la exponenciación en multiplicaciones, con lo que se facilitaban mucho las operaciones. Una vez obtenido el resultado se calculaba el antilogarítmo para obtener el numero real.

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Vamos a hacer algunos ejerciciosVamos a hacer algunos ejercicios

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Ejercicios para resolver:Ejercicios para resolver:

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Gratificaciones:Gratificaciones:

• Haz pasado todo el modulo, espero que te haya servido de mucho, ya que a mi si, consúltalo cada vez que quieras repazar algún concepto o algún dato especifico.

• A continuación están los links y la bibliografía mas exhaustiva para tu comodidad, para poder profundizar mas aun los temas propuestos en este programa.

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Bibliografía:Bibliografía:

• Libros:- algebra arrayán. potencias páginas 295 a 307 Raíces páginas 307 a 329 logaritmos páginas 329 a 353- Mare nostrum primero medio Potencias páginas 26 a 35- Mare nostrum tercero medio Potencias y raíces páginas 14 a 41- Mare nostrum cuarto medio potencias, exponenciales, funciones páginas 10 a 38- Libro san mateo tercero medio matemático 2005 potencias páginas 15 a 24 Raíces páginas 24 a 31

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• Recurso “software e Internet”- Encarta 2004 “software” definiciones.-www.areamatematica.clApuntes y talleres.-http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.htmlConsultas habladas a:Sra. Paola Cantarutti (ingeniera electrónica)Sr. Álvaro Orellana (ingeniero civil electrónico)

Gracias a:Docente a cargo del proyecto, Orlando torre.Web master de la pagina del colegio, JC Palma.

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