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1. Señales y Sistemas ICorrelación y espectro de señales deterministas Asunción Moreno Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) con la
colaboración de Antonio Bonafonte Junio 2009 v. 1.6
2. ÍNDICETEMA 4 Correlación y espectro de señales deterministas _________________ 3 4.1 Energía y
Potencia__________________________________________________3 4.1.1 Tipos de señales
______________________________________________________ 4 4.2 Señales de Energía finita.
____________________________________________9 4.2.1 Teorema de Parseval.
__________________________________________________ 9 4.2.2 Densidad Espectral de Energía
___________________________________________ 9 4.3 Señales de Potencia media
finita._____________________________________10 4.3.1 Señales periódicas. Teorema de Parseval __________________________________ 11 4.3.2 Señales periódicas. Densidad espectral de potencia
__________________________ 11 4.3.3 Señales no periódicas
_________________________________________________ 14 4.4 Correlación y densidad espectral de Energía
___________________________16 4.4.1 Distancia entre dos señales de energía
finita________________________________ 16 4.4.2 Función de correlación mutua o cruzada
__________________________________ 17 4.4.3 Función de autocorrelación.
____________________________________________ 19 4.4.4 Correlación y Densidad espectral de Energía a
través de sistemas lineales ________ 22 4.5 Correlación y Densidad espectral de potencia de señales de P.M.F.
________23 4.5.1 Correlación de señales de potencia media finita _____________________________ 23 4.5.2 Densidad espectral de potencia__________________________________________ 24 4.5.3 Relaciones de
Correlación y Densidad espectral de potencia en sistemas lineales e invariantes.
_________________________________________________________________ 25 4.5.4 Señales
periódicas____________________________________________________ 27 4.6 Problemas
_______________________________________________________34
3. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 3TEMA 4 Correlación y espectro de señales
deterministasUna herramienta útil en análisis de señales y sistemas es la correlación. La correlación
obtieneinformación sobre las señales en base a promediados temporales y su transformada de Fourier
permiteobtener funciones de Densidad Espectral de Energía o Potencia, dependiendo de las características delas señales y sistemas bajo estudio. Esta propiedad es particularmente interesante puesto que lainformación puede
obtenerse incluso si la señal carece de Transformada de Fourier. Las herramientasbasadas en correlación de
señales y su transformada de Fourier, son básicas en el análisis de procesos.En este capítulo se estudian aplicadas
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a señales deterministas. El objetivo es facilitar su comprensión ypara ello se desarrolla el significado de la
correlación como medida de parecido entre señales, seestablecen las propiedades de la correlación cuando las
señales bajo estudio están relacionadas porsistemas lineales e invariantes. En la colección de problemas se
muestra una serie de aplicacionesdonde la utilización de la autocorrelación es básica: medida de tiempo de retardo
con aplicación asistemas de radar, medida de sistemas lineales e invariantes a partir de señales contaminadas con
ruidoo interferencias, y utilización del filtro adaptado en sistemas de comunicaciones digitales.4.1 Energía y
PotenciaEn ocasiones, las herramientas a utilizar en la representación de señales vienen condicionadas poralguna
característica de las mismas. En particular, la Energía o Potencia de una señal permiteclasificar el conjunto de señales en señales de Energía finita y señales de Potencia media finita y lastécnicas desarrolladas en este capítulo
se aplicarán en función de esta característica.La energía o potencia de una señal cualquiera, se define de forma
similar a la definición en términoseléctricos. Supongamos una resistencia R con una tensión aplicada v(t), por la que
pasa una corrientei(t)=v(t)/R. La potencia instantánea disipada es | v (t ) | 2 P (t ) = (4.1) Ro equivalentemente P (t )
=| i (t ) | 2 R (4.2)La energía total y la potencia media se definen como las integrales ∞ E = ∫ P(t )dt (4.3) −∞ 1 T /2 P
= lim T →∞ T ∫−T / 2 P(t )dt (4.4)
4. respectivamente. De una forma equivalente haciendo R=1 se define para cualquier señal x(t):Energía de una
señal ∞ ∫ | x(t ) | dt 2 Ex = (4.5) −∞Potencia media T /2 Energía en T 1 ∫ | x(t ) | dt 2 Px = lim = lim (4.6) T →∞ T T
→∞ T −T / 24.1.1 Tipos de señalesAtendiendo a la energía o potencia de una señal, éstas se clasifican en:• Señales de energía finita (E.F.): 0 < Ex < ∞• Señales de potencia media finita (P.M.F.): 0< Px < ∞• Señales que no satisfacen
ninguna de las propiedades anteriores y no son ni de E.F. ni de P.M.F.Una señal de E.F. tiene potencia media nula
y una señal de P.M.F. tiene energía infinita. Las señalesde E.F. cumplen los criterios de convergencia de la
transformada de Fourier. Dentro de este grupoestán todas las señales de duración finita de interés en procesado de
señal (variación acotada), yalgunas de duración infinita. Dentro del grupo de señales de P.M.F. se encuentran las
señalesperiódicas (variación acotada) señales de duración infinita cuya transformada de Fourier se haobtenido por
medio de funciones de distribución (escalón, rampa, …) y las correspondientes aprocesos aleatorios.
___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.1La exponencial causal es una señal de duración infinita y E.F. x(t) t 0 5. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 5 x(t ) = e −αt u (t ) α >0 ∞ 1 (4.7) ∫ E x = e − 2αt dt
= 0 2α ___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.2El escalón es una señal de P.M.F. x(t) 1 t −T/2 0 T/2 x(t ) = u (t ) T /2 T /2 1 1 1T Px = lim T →∞ T ∫ −T / 2 u 2 (t
)dt = lim T →∞ T ∫ dt = lim T 2 = 0 T →∞ (4.8) 1 = 2
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.3Es posible construir señales que no son ni de E.F. ni de P.M.F. Un ejemplo es la señal: x(t ) = t −α / 2 u (t − 1) 0
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4.4Sea la señal periódica x(t) sinusoidal: x(t ) = A cos(2πf 0 t + θ ) (4.15)Sustituyendo x(t) en (4.14) , se obtiene la
potencia media
7. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 7 A2 T0 / 2 Px = T0 ∫ −T0 / 2 cos 2 (2πf 0 t + θ )dt
= A2 T0 / 2 A2 T0 / 2 = 2T0 ∫−T0 / 2 dt + 2T0 ∫ −T0 / 2 cos(4πf 0t + 2θ )dt = (4.16) A2 = 2
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.5Sea la señal periódica x(t) compuesta por un tren de pulsos rectangulares x(t) 1 t −T 0 −τ/2 0 τ/2 T 0 ∞ t − nT0
x(t ) = ∑ Π n = −∞ τ T0 > τ (4.17)Dado que T0 > τ, la señal Π(t/τ) coincide con un periodo de la señal x(t) y por lo tanto su potenciamedia es: 1 T0 / 2 t τ Px = T0 ∫ Π dτ = −T0 / 2 τ T0 (4.18)
___________________________________________________________________________________Las señales
formadas por funciones de distribución no están incluidas en ninguno de los tiposdefinidos en este apartado, ya que
su cuadrado no está definido, Consideraremos no obstante que unaseñal de la forma ∞ x(t ) = ∑ α δ (t − t n = −∞ n
n) (4.19)admite la clasificación anterior dependiendo del valor que tomen los coeficientes αn. Será tratadacomo una
señal de E.F. si
8. ∞ ∑|α n = −∞ n |2 < ∞ (4.20)y será tratada como una señal de P.M.F. si se verifica 1 0 < lim T →∞ T ∑|α n n |2 <
∞ (4.21) n :| t n |< T / 2Donde la suma se extiende a aquellos n tales que se corresponden a tn en el intervalo (-T/2,
T/2). ___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.6La señal x(t) formada por impulsos ∞ x(t ) = ∑e n = −∞ − a|n|T δ (t − nT ), α >0 (4.22)Será tratada como una
señal de E.F. ya que verifica la propiedad (4.20). En efecto, por ser unasecuencia par en n, la suma se puede
descomponer ∞ ∞ ∑e n = −∞ − 2α |n|T = 1+ 2 ∑e n =1 − 2αnT (4.23)y la suma de la progresión geométrica está
acotada ∞ e −2αT ∑1 e − 2αnT = 1 − e − 2αT (4.24)Sustituyendo (4.24) en (4.23) se obtiene el resultado ∞ 1 + e
−2αT ∑e n = −∞ − 2α | n |T = 1 − e − 2αT
(4.25)___________________________________________________________________________________
9. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 94.2 Señales de Energía finita.4.2.1 Teorema de
Parseval.Sean las señales de E.F. x(t) e y(t) con transformada de Fourier X(f) e Y(f) respectivamente. El teoremade Parseval para señales de E.F. establece: ∞ ∞ Ex = ∫ −∞ | x(t ) |2 dt = ∫−∞ | X ( f ) |2 df (4.26)Demostración: ∞ Ex = ∫
−∞ x(t )x * (t )dt = ∞ ∞ =∫ ∫ x * (t ) X ( f )e j 2πft df dt = −∞ −∞ ∞ ∞ =∫ X ( f )∫ x * (t )e j 2πft dtdf = (4.27) −∞ −∞ * ∞ ∞
= ∫−∞ X ( f ) ∫−∞ x(t )e − j 2πft dt df = ∞ = ∫−∞ | X ( f ) |2 dfPor tanto la energía de una señal puede
calcularse conociendo el módulo de su transformada deFourier.4.2.2 Densidad Espectral de EnergíaSe define la
Densidad Espectral de Energía según: G xx ( f ) =| X ( f ) |2 (4.28)E indica cómo está distribuida la energía a lo largo
del eje frecuencial. La densidad espectral deenergía tiene las siguientes propiedades:• Es una señal real por
provenir directamente del módulo de una señal.• Es no negativa como se deduce de su propia definición.• Si x(t) es
real, Gxx(f) es par, ya que X(f) es hermítica
___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.7
10. En este ejemplo se comprobará el carácter de densidad espectral de energía de la función Gxx(f).Supongamos
una señal de E.F. x(t) con Densidad Espectral de Energía Gxx(f) que se aplica a un filtropaso banda muy estrecho
centrado a la frecuencia fc . Δf 1 f − f c < H( f ) = 2 (4.29) 0 resto La señal de salida tiene una densidad
espectral de energía G yy ( f ) =| Y ( f ) |2 =| X ( f ) H ( f ) |2 = = Gxx ( f ) | H ( f ) |2y la energía total de la señal de
salida f c + Δf / 2 − f c + Δf / 2 Ey = ∫ f c − Δf / 2 G xx ( f )df + ∫ − f c − Δf / 2 G xx ( f )df (4.30) G (f) xx Gxx(fc) Δ f −fc
0 fcsi Δf es muy pequeño, Gxx(f)≈ Gxx(fc) en el intervalo de integración y si y(t) es real, Gxx(fc)= Gxx(-fc) laenergía
se puede aproximar por Ey≈ 2Gxx(fc) ΔfDe manera que las dimensiones de la densidad espectral de energía son
efectivamente joule/Hz___________________________________________________________________________________4.3
Señales de Potencia media finita.El tratamiento de las señales de potencia media finita va a hacerse de forma
diferenciada según setrate de señales periódicas o no. La motivación está justificada ya que las propiedades de las
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señalesperiódicas permiten establecer una forma específica para el teorema de Parseval y la densidadespectral de
potencia, por medio del D.S.F. de la señal. Por otra parte las señales de Potencia media
11. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 11finita no tienen, en contraposición a las señales
de E.F., una densidad espectral de potenciarelacionada explícitamente con la transformada de Fourier de la señal
original , incluso si la señaladmite transformada.4.3.1 Señales periódicas. Teorema de ParsevalLa expresión (4.26)
no aplica para señales periódicas puesto que la primera integral no converge y elcuadrado de δ(t) no está definido.
Sea una señal periódica de periodo T0 de la forma ∞ x(t ) = ∑ c ( m)e m = −∞ j 2πmt / T0 (4.31)donde c(m) son los
coeficientes de su desarrollo en serie. El teorema de Parseval establece ∞ 1 Px = T0 ∫ | x(t ) | 2 dt = ∑ | c ( m) | m = −∞ 2 (4.32)Demostración: 1 Px = T0 ∫ T0 | x(t ) |2 dt = ∞ 1 = T0 ∫ T0 x * (t ) ∑ c ( m)e m = −∞ j 2πmt / T0 dt = ∞
1 = ∑ c ( m) T ∫ m = −∞ 0 T0 x * (t )e j 2πmt / T0 dt = (4.33) ∞ = ∑ c ( m)c * ( m) = m = −∞ ∞ = ∑ | c ( m) | m = −∞ 2La
potencia de una señal periódica es igual a la suma de las amplitudes al cuadrado de lascomponentes armónicas de
la señal. Sólo se requiere información del módulo.4.3.2 Señales periódicas. Densidad espectral de potenciaLa
densidad espectral de potencia de una señal periódica x(t) definida en (4.31), está formada porimpulsos
12. ∞ S xx ( f ) = ∑ | c ( m) | m = −∞ 2 δ ( f − mf 0 ) (4.34)Donde f0=1/T0. Al integrar esta función sobre el eje
frecuencial, se obtiene la potencia de la señalcomo se puede comprobar mediante el teorema de Parseval
enunciado en (4.32). Nótese que ladensidad espectral de potencia no es |X(f)|2.
___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.8Hallar la potencia de la señal periódica x(t ) = A cos(2πf 0 t + θ ) + B cos(2πf1t + ϕ ) (4.35)Donde, para asegurar
que x(t) es periódica, el cociente f0/f1 es entero (4.36) x(t) t −3 0 3Aplicando la fórmula de Euler, se obtiene
directamente la expresión del D.S.F. A jθ j 2πf 0t A − jθ − j 2πf 0t B jϕ j 2πf1t B − jϕ − j 2πf1t x(t ) = e e + e e + e e +
e e (4.37) 2 2 2 2y la densidad espectral de potencia es, aplicando (4.34) A2 A2 B2 B2S xx ( f ) = δ ( f − f0 ) + δ ( f +
f0 ) + δ ( f − f1 ) + δ ( f + f1 ) (4.38) 4 4 4 4Y la potencia media total se obtiene integrando A2 B 2 Px = + (4.39) 2 2En
la sección 4.5 se demostrará que no es necesaria la condición (4.36) para que la potencia de x(t)sea (4.39).
13. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 13 S (f) xx f −8 −6 −4 −2 2 4 6 8Aplicando la señal
x(t) a un filtro paso banda ideal muy estrecho alrededor de la frecuencia f0, seobtiene a la salida una señal y(t) = A
cos(2πf0t + ϕ). La potencia de la señal de salida es A2/2 watt ycoincide con la que se obtendría integrando Sxx(f) alrededor de esta frecuencia, confirmándose así elcarácter de Densidad Espectral de Potencia (watt/Hz) que tiene
esta función.
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.9Hallar la función Densidad Espectral de Potencia y la potencia de la señal definida en el EJEMPLO4.5.Los
coeficientes de D.S.F. de la señal x(t) son: 1 t τ c ( m) = F Π = sinc(mτ / T0 ) (4.40) T0 τ f =
m / T0 T0y por tanto la Densidad Espectral de Potencia es: 2 ∞ τ S xx ( f ) = T 0 ∑ sinc m = −∞ 2
(mτ / T0 )δ ( f − m / T0 ) (4.41)La potencia media se obtiene integrando Sxx(f) ∞ 2 ∞ τ Px = ∫ T 0 ∑
sinc m = −∞ 2 (mτ / T0 )δ ( f − m / T0 )df = −∞ (4.42) 2 ∞ τ = T 0 ∑ sinc m = −∞ 2 (mτ / T0 )Aplicando la fórmula de Poisson al par de transformadas
14. t Δ ↔ τ sinc 2 ( f τ ) (4.43) τ Se obtiene fácilmente ∞ ∞ 1 mT0 T0 ∑ m = −∞ τ sinc 2 (mτ / T0 ) = ∑
Δ m = −∞ τ =1 (4.44)ya que al ser τ < T0 todas las muestras que intervienen en el último sumatorio son
nulas excepto lacorrespondiente a m = 0. Sustituyendo en la expresión (4.42) este resultado se obtiene la
potenciamedia τ Px = (4.45)
T0___________________________________________________________________________________4.3.3
Señales no periódicasPara hallar la potencia de una señal por medio de información en el dominio transformado,
esconveniente definir una función auxiliar compuesta por un tramo de duración T de la señal x(t) t xT (t ) = x(t
)Π (4.46) T Cuya transformada de Fourier es XT(f). La potencia media puede expresarse en función de xT(t) 1 T /2 1 T /2 1 ∞ Px = lim T →∞ T ∫ −T / 2 | x(t ) |2 dt = lim T →∞ T ∫−T / 2 | xT (t ) |2 dt = lim T →∞ T ∫ −∞ | xT (t ) |2
dt (4.47)Al ser xT(t) una señal de duración finita, podemos afirmar que es de E.F. y por lo tanto aplica elteorema de
Parseval para señales de E.F. ∞ ∞ ∫ −∞ | xT (t ) | 2 dt = ∫ −∞ | X T ( f ) | 2 df (4.48)Sustituyendo (4.48) en (4.47) e
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intercambiando el límite y la integral se obtiene una expresión para elcálculo de la potencia a partir de información
en el dominio transformado ∞ | X T ( f ) |2 Px = ∫ lim − ∞ T →∞ T df (4.49)La ecuación (4.49) muestra cómo obtener
la potencia total a partir de la integral de una función en eldominio de la frecuencia.
15. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 15La densidad espectral de potencia se define
como | X T ( f ) |2 S xx ( f ) = lim (4.50) T →∞ TEs una función real y positiva y si x(t) es real, es una función par.
Debe observarse que la densidadespectral de potencia no es |X(f)|2 aunque x(t) admita transformada de Fourier
___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.10La señal escalón es una señal de P.M.F. no periódica. Para hallar su densidad espectral de potenciaformamos la señal auxiliar enventanada xT(t) t t −T / 4 xT (t ) = u (t )Π = Π (4.51) T T /2 que tiene
como transformada de Fourier: T XT ( f ) = sinc ( fT / 2)e − j 2πfT / 4 (4.52) 2Sustituyendo XT(f) en (4.50) la
densidad espectral de potencia T sin 2 (πfT / 2) S xx ( f ) = lim sinc 2 ( fT / 2) = lim (4.53) T →∞ 4 T →∞ π 2 f 2T 2 |X
(f)| /T T T/4 f −2/T 0 2/TAl tender T a infinito, si f ≠ 0 el denominador crece indefinidamente y el numerador está
acotado, portanto tiende a cero. Si f=0 el resultado tiende a infinito, por lo tanto la densidad espectral de potenciadel
escalón es una delta en el origen de área K. Para calcular K, podemos utilizar el teorema deParseval para señales
de E.F. puesto que la señal enventanada es de E.F.
16. 2 ∞ sin 2 (πfT / 2) 1 ∞ t −T / 4 K= ∫ −∞ π 2 f 2T df = T ∫ −∞ Π T /2 dt = (4.54) 1 T /2 1 = T ∫ 0 dt =
2Finalmente, la expresión de la densidad espectral de potencia del escalón 1 S xx ( f ) = δ(f ) (4.55) 2y la potencia media: ∞ 1 Px = ∫ −∞ S xx ( f )df = 2 (4.56)Nótese que S xx ( f ) ≠| F [u (t )] |2 .
___________________________________________________________________________________4.4
Correlación y densidad espectral de Energía4.4.1 Distancia entre dos señales de energía finitaEn un espacio
vectorial dotado de un producto escalar, se define la norma de un vector || x ||= ( x, x) (4.57)y distancia entre
vectores d ( x, y ) =|| x − y || (4.58)En el conjunto de señales se define el producto escalar entre las señales de
energía finita x(t) e y(t)como ∞ ( x, y ) = ∫−∞ x(t ) y * (t )dt (4.59)y la distancia entre señales: ∞ d 2 ( x, y ) = ∫−∞ | x(t )
− y (t ) | 2 dt (4.60)En general, estamos interesados en buscar la distancia entre dos señales cuando una de ellas
sedesplaza τ, es decir, buscamos su parecido para todos sus valores relativos.
17. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 17 ∞ ∫d 2 ( x(t + τ ), y (t )) = −∞ | x(t + τ ) − y (t ) | 2 dt = (4.61) ∞ ∞ ∞ ∞ =∫ | x(t ) | 2 dt + ∫ | y (t ) | 2 dt − ∫ x(t + τ ) y * (t )dt − ∫ x * (t + τ ) y (t )dt −∞ −∞ −∞ −∞Definiendo: ∞
R xy (τ ) = ∫ −∞ x(t + τ ) y * (t )dt (4.62)La distancia resultante se puede expresar según d 2 (( x(t + τ ), y (t )) = E x +
E y − R xy (τ ) − R xy (τ ) = * (4.63) = E x + E y − 2 Re R xy (τ ) [ ]Si las señales x(t), y(t) son reales d 2 (( x(t + τ ), y
(t )) = E x + E y − 2 R xy (τ ) (4.64)La función Rxy(τ) es un indicador de la medida de parecido entre señales. Dado
que en la medida dedistancia los valores de Energía son independientes del desplazamiento τ, la distancia entre las
señalesserá menor para aquellos valores de desplazamiento relativo entre ellas τ, en que Rxy(τ) sea mayor4.4.2
Función de correlación mutua o cruzadaSe define la función de correlación mutua o cruzada entre dos señales de
E.F. ∞ ∞ R xy (τ ) = ∫ −∞ x(t + τ ) y * (t )dt = ∫−∞ x(t ) y * (t − τ )dt (4.65)Puede demostrarse fácilmente que la
correlación cruzada entre dos señales de E.F. se puede expresarmediante la ecuación de convolución: R xy (τ ) = x(τ ) y * (−τ ) (4.66)Propiedades:• Es una función acotada por el producto de las energías de las señales 2 Rxy (τ )
≤ Ex Ey (4.67) La demostración de esta propiedad se realiza aplicando la desigualdad de Schwarz:
18. 2 2 ∞ R xy (τ ) = ∫ −∞ x(t + τ ) y (t )dt ≤ ∞ ∞ ∫ ∫ 2 2 ≤ x(t + τ ) dt y (t ) dt = (4.68) −∞ −∞ = Ex E y El valor máximo
se alcanza cuando las señales son proporcionales: x(t + τ ) = k y (t ) (4.69)• R xy (τ ) = R * (−τ ) yx (4.70) Esta
propiedad puede demostrarse a partir de la igualdad * ∞ ∞ ∫−∞ x(t + τ ) y * (t )dt = ∫ −∞ x * (t + τ ) y (t )dt
Si x(t) e y(t) son reales, Rxy(τ) = Ryx(− ) τ• Transformada de Fourier de la correlación cruzada [ ] F R xy ( τ ) = X ( f
)Y ( f ) = G xy ( f ) (4.71) A la función Gxy(f) se le denomina Densidad espectral de energía mutua o cruzada. No
tiene sentido físico excepto si x(t) ≡ y(t).
___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.11Sean las señales x1 (t ) = 2 cos πtΠ (t ), x 2 (t ) = Π (t − 2), x 3 (t ) = 3 / 2 Δ (t ) (4.72)Es inmediato comprobar
que todas estas señales tienen la misma energía Exi=1. La correlación cruzadaentre cualquiera de ellas y la señal
y(t) = Π(t), también de energía unitaria, está acotada al valor 1,como puede comprobarse a partir de la propiedad 1.
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Por la misma propiedad, el valor máximo sealcanza en la correlación cruzada entre x2(t) y Π(t) y además toma este
valor en τ = 2. x (t) Rx y(τ) 1 1 1.5 1 t τ −2 2 −2 2
19. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 19 x (t) 2 Rx y(τ) 2 1.5 1 t τ −2 2 −2 2 x (t) 3 Rx
y(τ) 3 1.5 1 t τ −2 2 −2 2
___________________________________________________________________________________4.4.3
Función de autocorrelación.Se define la función de autocorrelación Rxx(τ) de una señal x(t) de E.F. con
transformada de FourierX(f) ∞ Rxx (τ ) = ∫ −∞ x(t + τ ) x* (t )dt (4.73)Que puede expresarse alternativamente R xx (τ )
= x(τ ) x * (−τ ) (4.74)Densidad espectral de energíaLa transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una señal es la densidad espectral deenergía y sí tiene sentido físico F [Rxx (τ )] = G xx ( f ) (4.75)Esta propiedad
se verifica tomando tomando transformada de Fourier en ambos miembros de laecuación (4.74) F [R xx (τ )] = X ( f )
X * ( f ) = 2 (4.76) = X( f )Que es la definición de la densidad espectral de energía (4.28)
20. Propiedades:• La energía de una señal es el valor de su autocorrelación en el origen R xx (0) = E x (4.77) Se
demuestra evaluando (4.73) en τ = 0.• El máximo de la autocorrelación está en el origen. R xx (τ ) ≤ R xx (0) (4.78)
Se demuestra sustituyendo y(t )= x(t) en (4.67) y aplicando (4.77)• La autocorrelación es una función Hermítica. R
xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.79) Se demuestra sustituyendo y(t) = x(t) en (4.70).• Si x(t) es real, su autocorrelación es real y
par R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.80)• La transformada de Fourier de la autocorrelación es no negativa. F [R xx (τ )] ≥ 0 f
(4.81) Como se comprueba en (4.76)• Energía de la suma de dos señales Sea la señal z(t) formada por la suma de otras dos señales: z (t ) = x(t ) + y (t ) (4.82) La función de autocorrelación de z(t) viene dada por: R zz(τ)=R xx(τ)+R
yy(τ)+R xy(τ)+R yx(τ) (4.83) La energía de z(t) es el valor de su autocorrelación en el origen: Ez=Ex+Ey+ R xy(0)+ R
yx(0) (4.84) Para que la energía de z(t) sea la suma de las energías de x(t) e y(t), se debe cumplir: R xy(0)+ R
yx(0)=2 R e[R xy(0)]=0 (4.85) Las señales que cumplen esta propiedad se denominan incoherentes.
21. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 21 Si además se verifica que la correlación en el
origen vale cero, las señales se denominan ortogonales. R xy(0) = R yx(0) = 0 (4.86) Finalmente si la correlación
cruzada es nula, las señales se llaman incorreladas R xy(τ) = R yx(τ) = 0 (4.87)La Figura 1 muestra a la izquierda
varias señales y a la derecha su correspondiente función deautocorrelación. Las señales son pulsos de duración 2.5
seg: rectangular, sinc y chirp (seno defrecuencia creciente) y todas de energía unitaria. Las funciones de autocorrelación muestran simetríapar, el valor en el origen es Rxx(0) = Ex = 1 y su duración es el doble que la
duración de la señal. 1 0.1 0.5 0 0 -0.1 -0.5 -5 0 5 -5 0 5 1 0.1 0.5 0 0 -0.1 -0.5 -5 0 5 -5 0 5 1 0.1 0.5 0 0 -0.1 -0.5 -5
0 5 -5 0 5 a) b)Figura 1. a) Señales de duración finita: pulso rectangular, pulso sinc y pulso chirp. Las señales tienen
la misma duración y energía. b) autocorrelación de las mismas.
22. 4.4.4 Correlación y Densidad espectral de Energía a través de sistemas linealesSea y(t) la señal de salida de un
sistema lineal e invariante con respuesta impulsional h(t), cuando a suentrada se aplica x(t). ∞ y (t ) = x(t ) * h(t ) = ∫
−∞ x (t − t )h(t )dt (4.88)Se verifican las siguientes relaciones: Rxy (τ ) = Rxx (τ ) h (−τ ) (4.89) R yx (τ ) = Rxx (τ )
h(τ ) (4.90) R yy (τ ) = Rxx (τ ) h(τ ) h (−τ ) (4.91)La demostración de la propiedad (4.89) puede realizarse
expresando y*(t) por medio de la ecuación deconvolución en (4.65) ∞ ∞ R xy (τ ) = ∫ −∞ x (t + τ ) ∫ −∞ x * (t − t )h * (t )dt dt (4.92)Intercambiando el orden de integración ∞ ∞ R xy (τ ) = ∫ −∞ h * (t ) ∫ −∞ x(t + τ )x *
(t − t )dt dt = ∞ = ∫ −∞ R xx (τ + t )h * (t )dt = (4.93) = R xx (τ ) h * (−τ )Las demás propiedades se demuestran
fácilmente de forma similar. Tomando transformada de Fourierse verifican las siguientes propiedades para las
densidades espectrales Gxy ( f ) = Gxx ( f ) H ( f ) (4.94) G yx ( f ) = G xx ( f ) H ( f ) (4.95) 2 G yy ( f ) = Gxx ( f ) H
( f ) (4.96)
___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.12La correlación cruzada entre la señal y(t) = x(t-td) y la señal x(t)
23. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 23 R yx (τ ) = Rxx (τ ) δ (τ − t d ) = Rxx (τ − t d
)ya que podemos suponer que y(t) es la salida de un retardador cuando a la entrada se aplica x(t). Porlas propiedades de la autocorrelación, se deduce que la correlación cruzada entre la entrada y la salidade un retardador
tiene un máximo de valor Ex en τ = td.
___________________________________________________________________________________4.5
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Correlación y Densidad espectral de potencia de señales de P.M.F.4.5.1 Correlación de señales de potencia media
finitaLa correlación cruzada de señales de Potencia media finita se define mediante la expresión: 1 T /2 Rxy (τ ) =
lim T →∞ T ∫−T / 2 x(t + τ ) y * (t )dt (4.97)y la función de autocorrelación: 1 T /2 Rxx (τ ) = lim T →∞ T ∫−T / 2 x(t + τ )
x * (t )dt (4.98)Propiedades:Es inmediato comprobar, de forma similar a la del apartado 4.4.2 que las propiedades
de la correlacióncruzada de dos señales de P.M.F. son análogas a las de señales de E.F. R xy (τ ) ≤ Px Py (4.99) R
xy (τ ) = R * (−τ ) yx (4.100)Con la salvedad de que la ecuación (4.66) no se verifica para señales de P.M.F. La
función deautocorrelación de una señal de P.M.F. verifica:• El máximo de la autocorrelación está en el origen. Rxx (τ
) ≤ Rxx (0) (4.101)• La autocorrelación es una función Hermítica. R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.102) 24. • Si x(t) es real, su autocorrelación es real y par R xx (τ ) = R xx (−τ ) (4.103)• La potencia de una señal es el
valor de su autocorrelación en el origen R xx (0) = Px (4.104)4.5.2 Densidad espectral de potenciaEn el apartado
4.3.3 se definió la densidad espectral de potencia de una señal x(t) como: 1 S xx ( f ) = lim G xT xT ( f ) (4.105) T
→∞ Tsiendo xT(t) =x(t)Π(t/T). El teorema de Wiener Kintchine establece que la transformada de Fourier dela
autocorrelación es la Densidad espectral de potencia: F [Rxx (τ )] = S xx ( f ) (4.106)Para comprobarlo, basta
calcular la correlación de la señal enventanada xT(t) y comprobar que 1 R xx (τ ) = lim R x x (τ ) (4.107) T →∞ T T
Ty tomando transformada de Fourier en ambos miembros de la ecuación y aplicando que xT(t) es unaseñal de E.F.
1 F [R xx (τ )] = F lim R xT xT (τ ) T →∞ T 1 = lim G xT xT ( f ) (4.108) T →∞ T = S xx ( f )
___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.13Una señal de P.M.F. es el escalón. Su función de autocorrelación
25. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 25 1 T /2 Ruu (τ ) = lim ∫ T → ∞ T −T / 2 u (t + τ )u
(t )dt = 1 T /2 = lim T →∞ T 0 ∫ u (t + τ )dt = 1 T /2 lim = T →∞ T −τ / 2 ∫ dt τ < 0 (4.109) 1 T lim T →∞ T 0 ∫
dt τ > 0 1 T Tlim T ( 2 + τ ) τ < 0 = →∞ 1T lim τ >0 T →∞ T 2y tomando el límite para los dos casos, se
obtiene que la función de autocorrelación es una constantede valor ½ Ruu(τ) =½ (4.110)La densidad espectral de
potencia es su transformada de Fourier: Suu(f) = ½ δ(f) (4.111)Como se obtuvo en el EJEMPLO 4.10
___________________________________________________________________________________4.5.3
Relaciones de Correlación y Densidad espectral de potencia en sistemas lineales e invariantes.Sea un sistema L.I.
caracterizado por h(t). La salida y(t) cuando a su entrada se aplica x(t) puedeexpresarse por la ecuación de convolución. ∞ ∫ y (t ) = x (t ) * h(t ) = x(t − t )h(t )dt −∞ (4.112)Las relaciones entre las correlaciones de la entrada y
la salida son idénticas a las establecidas paraseñales de E.F. Rxy (τ ) = Rxx (τ ) h (−τ ) (4.113) R yx (τ ) = Rxx (τ
) h(τ ) (4.114) R yy (τ ) = Rxx (τ ) h(τ ) h (−τ ) (4.115)
26. Tomando transformada de Fourier se verifican las siguientes propiedades: S xy ( f ) = S xx ( f ) H ( f ) (4.116)
S yx ( f ) = S xx ( f ) H ( f ) (4.117) 2 S yy ( f ) = S xx ( f ) H ( f ) (4.118)A continuación se demuestra la segunda de
las relaciones indicadas. El resto de demostraciones esanálogo. Expresando y(t+τ) por medio de la ecuación de
convolución (4.112) se obtiene T /2 ∞ R yx (τ ) = lim T →∞ ∫ −T / 2 ∫ −∞ x (t + τ − t )h(t )dt x * (t )dt
(4.119)Intercambiando el orden de integración ∞ T /2 R yx (τ ) = ∫ −∞ h(t ) lim T →∞ ∫ −T / 2 x(t + τ − t )x * (t
)dt dt = ∞ = ∫ −∞ R xx (τ − t )h(t )dt = = R xx (τ ) h(τ ) (4.120) ___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.14Medida de tiempo de retardo en señales contaminadas con ruidoLa correlación cruzada se utiliza en
aplicaciones de detección de pulsos habitualmente contaminadoscon ruido. Suponga un sistema de radar que
transmite la señal x(t). Esta choca contra un blanco y serefleja, de forma que en el receptor, localizado en la misma
posición que el emisor, se recibe la señal y(t) = x(t-td) + n(t)donde td es el tiempo que tarda la señal en ir al blanco y
volver y n(t) es ruido que se ha sumado a laseñal. El receptor del radar realiza la correlación cruzada entre y(t) y
una copia idéntica de la señaloriginal. Se tiene 1 T /2 R yx (τ ) = lim ∫ y (t + τ ) x * (t )dt = T →∞ T −T / 2 1 T /2 = lim T
→∞ T −T / 2 ∫[ x(t − t d + τ ) + n(t + τ )]x * (t )dt = = Rxx (τ − t d ) + Rnx (τ )
27. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 27Si la señal y el ruido están incorrelados, (su parecido es nulo), lo cual es habitual ya que estángenerados de forma totalmente independiente, Rnx(τ) ≈ 0 , por lo
que la correlación cruzada Ryx(τ)presentará un máximo en τ=td . La detección de la posición del máximo de Ryx(τ)
permite hallar td,que es lo que tarda la señal radar en ir y volver del blanco y dado que la señal de radar se propaga
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a lavelocidad de la luz, la distancia al blanco será: d= td/2cLa figura 2 ilustra este comportamiento. Se ha elegido
como señal a transmitir x(t) una señal chirpcomo la mostrada en la Figura 1. La Figura 2 a) presenta y(t), la señal
recibida contaminada con ruido.La figura 2 b) presenta la correlación cruzada entre y(t) y la señal transmitida x(t). La
posición delpico determina el retardo td buscado. 0.2 10 5 0 0 -0.2 -5 0 5 10 0 5 10 a) b) Figura 2. a) Pulso Chirp
contaminado con ruido, b) Correlación cruzada entre el pulso chirp contaminado con ruido y el pulso limpio.
___________________________________________________________________________________4.5.4
Señales periódicasCorrelación de dos fasoresEs interesante estudiar la correlación cruzada de dos fasores porque
será básico en el estudio deseñales periódicas. Sean las señales x(t) e y(t) definidas a continuación: x(t ) = a1e j 2πf1t y (t ) = a 2 e j 2πf 2t (4.121)Demostraremos que la correlación cruzada tiene la expresión 0 f1 ≠ f 2 R xy (τ )
= * j 2πf1t (4.122) a1 a 2 e f1 = f 2La correlación cruzada entre estos dos fasores se calcula aplicando la
definición:
28. 1 T /2 ∫ a1e j 2πf1 (t +τ ) a2 e − j 2πf 2t dt = * R xy (τ ) = lim T →∞ T −T / 2 1 T /2 ∫ a1a2 e j 2πf1τ e − j 2π ( f1 − f
2 )t dt = * = lim (4.123) T →∞ T −T / 2 1 T /2 = a1a 2 e j 2πf1τ lim ∫ e − j 2π ( f1 − f 2 )t dt * T →∞ T −T /
2Resolviendo el límite de la ecuación 1 T /2 1 sin(π ( f1 − f 2 )T ) lim T →∞ T ∫−T / 2 e − j 2π ( f1 − f 2 )t dt = lim T
→∞ T π ( f1 − f 2 ) = = lim sinc(( f1 − f 2 )T ) = (4.124) T →∞ 0 f1 ≠ f 2 = 1 f1 = f 2Donde para hallar el límite se
ha aplicado el hecho de que si las frecuencias son distintas, elnumerador permanece acotado mientras el
denominador crece indefinidamente y por tanto el resultadoes cero. Si las frecuencias son iguales, la exponencial en la integral toma el valor 1, la integral toma elvalor T y por tanto el resultado al tomar el límite es 1.Finalmente,
sustituyendo (4.124) en (4.123) se obtiene (4.122). Este resultado indica que lacorrelación cruzada (o medida de
parecido) entre dos fasores de distinta frecuencia es nula.Autocorrelación de una señal periódicaUna señal x(t)
periódica de periodo T0 verifica la igualdad: x(t+T0) = x(t)Aplicando esta propiedad en la definición de la
autocorrelación de una señal se obtienen dosresultados:La autocorrelación de una señal periódica también es
periódica y del mismo periodo de la señal: 1 T /2 R xx (τ ) = lim T →∞ T −T / 2 ∫ x(t + τ ) x (t )dt = 1 T /2 = lim T
→∞ T −T / 2 ∫ x(t + τ + T0 ) x (t )dt = (4.125) = R xx (τ + T0 )La autocorrelación de una señal periódica puede
calcularse mediante la expresión:
29. Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 29 1 R xx (τ ) = T0 ∫ x(t + τ ) x (t )dt (4.126)En efecto, al ser el integrando periódico de periodo T0, se verifica que: t0 +T0 T0 ∫t0 x(t + τ ) x (t )dt = ∫0 x(t
+ τ ) x (t )dt = (4.127) = ∫ x(t + τ ) x (t )dtsiendo t0 una constante arbitrariaSi elegimos el intervalo T
múltiplo de T0, T=MT0 y aplicamos la anterior propiedad, el valor de laintegral en cada intervalo de T0 seg. es el
mismo y por tanto se obtiene: 1 T /2 R xx (τ ) = lim T →∞ T ∫ −T / 2 x(t + τ ) x (t )dt = 1 MT0 / 2 = lim M →∞ MT0 ∫
− MT0 / 2 x(t + τ ) x (t )dt = (4.128) M T0 / 2 ∫ = lim x(t + τ ) x (t )dt = M →∞ MT0 −T0 / 2 1 = T0 ∫ x(t + τ ) x
(t )dt
___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.15Hallar la función de autocorrelación de la señal mostrada en la Figura 4.14 a) ∞ x(t ) = ∑ (t − nT )Π(t − nT ) n =
−∞ 0 0 T0 = 1 seg.Dado que la autocorrelación de x(t) es periódica, calcularemos la autocorrelación en un periodo.Elegimos en primer lugar el intervalo –1/2 < τ < 0. La señal x(t+τ) se muestra en la Figura 4.14 b)para un
desplazamiento τ = -0.25. Aplicando (4.128) se obtiene la autocorrelación τ − 0.5 0.5 Rxx (τ ) = ∫ − 0.5 t (t + τ + 1)dt
+ ∫ −τ − 0.5 t (t + τ )dt = -0.5
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la expresión (4.128), obtenemos el D.S.F. de la autocorrelación: ∞ ∞ 1 Rxx (τ ) = T0 ∫ < T0 > ∑ m = −∞ c(m)e j 2πm
(t +τ ) / T0 ∑ c ( n )e n = −∞ * − j 2πnt / T0 = ∞ ∞ 1 = ∑ m = −∞ c * (m)e j 2πmτ / T0 ∑ c ( n) T ∫ e n = −∞ 0 j 2π ( m −
n )t / T0 < T0 > = (4.129) ∞ = ∑ c ( m)c ( m )e m = −∞ * j 2πmτ / T0 = ∞ ∑ c ( m) 2 = e j 2πmτ / T0 m = −∞Ya que la
correlación de los fasores a las frecuencias m/T0 y n/T0 es cero salvo cuando n = m.La expresión (4.129) confirma
que la autocorrelación de una señal periódica es también periódica delmismo periodo, y que los coeficientes de su
D.S.F. pierden la información de fase.Tomando transformada de Fourier, se obtiene la Densidad Espectral de
Potencia: ∞ ∑ c (m) 2 S xx ( f ) = δ ( f − m / T0 ) (4.34) m = −∞
___________________________________________________________________________________EJEMPLO 4.16Hallar la autocorrelación de una sinusoide. x(t ) = cos(2πf 0t + θ ) (4.130)Aplicando la fórmula de Euler, se
obtiene de forma inmediata el D.S.F. 1 jθ j 2πf 0 t 1 − jθ − j 2πf 0 t x(t ) = e e + e e (4.131) 2 2Identificando los
coeficientes del D.S.F. se obtiene:
32. 1 jθ 1 1 − jθ 1 c(1) =| e |= c(−1) =| e |= (4.132) 2 2 2 2y la función de autocorrelación es: 1 j 2πf 0t 1 − j 2πf 0t R
xx (τ ) = e + e = 4 4 (4.133) 1 = cos(2πf 0 t ) 2Tomando transformada de Fourier, se obtiene la densidad espectral
de Potencia 1 1 S xx ( f ) = δ ( f − f0 ) + δ ( f + f0 ) (4.134) 4 4
___________________________________________________________________________________EJEMPLO
4.16Se desea hallar el D.S.F. de la autocorrelación y la densidad espectral de potencia de la señal x(t)definida en el
EJEMPLO 4.14. Para resolver este ejercicio, podemos buscar el D.S.F. de la señal x(t) yaplicar (4.126), o bien hallar directamente el D.S.F. de la autocorrelación cuyo periodo está definidoen el EJEMPLO 4.14. Optaremos por el
primero de estos dos métodos. Para hallar el D.S.F. de laseñal x(t), elegimos como función básica xb (t ) = tΠ (t )Del
par de transformadas 1 d πfcos(πf ) − sin(πf ) tΠ (t ) ↔ sin c( f ) = − j 2π df − jπ 2 f 2Obtenemos los coeficientes
c(m) del D.S.F. 0 m=0 X b (m / T0 ) (−1) m c ( m) = = m≠0 T0 − j 2πm Por lo tanto el D.S.F. de la
autocorrelación es: 2 1 j 2πmτ R xx (τ ) = ∑ m≠0 e 2πm = ∞ 1 = ∑ 2π m =1 2 m2 cos(2πmτ )
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