control y automatización, ioi - cartagena99
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transformadadeLaplace
f(t) F (s)!dosperspectivasdel
mismofenómenovistadelaseñalentiempo
vistadelaseñalenfrecuencia
L[f(t)] = F (s) =
Z 1
0�f(t)e�stdt
convierteecuacionesdiferencialesenecuacionesalgebraicas
relaciónalgebraicaentrelaentradaylasalidadelsistema:Funcióndetransferencia
Modelado matemático. Transformada de Laplace. Función de transferencia
Control y Automatización, IOI
T. Laplace / F. Transferencia1
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u(t) = 1 t > 0
0 t < 0
T. Laplace / F. Transferencia
sn+1
2
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T. Laplace / F. Transferencia3
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f(t) F (s)!
Transformada de Laplace de una función
F (s) ! f(t)
Transformada inversa de Laplace de una función
expansión en fracciones parciales: raíces reales distintas raíces reales múltiples raíces complejas o imaginarias puras
L�1
T. Laplace / F. Transferencia4
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Respuesta del sistema a partir de la función de transferencia, G(s), mediante T.L inversa
Función de transferencia a partir de una ecuación diferencial
ansnC(s)+an�1sn�1C(s)+...+a0C(s)+[cond. iniciales c(t)] = bmsmR(s)+bm�1sm�1R(s) + b0 + [cond. iniciales r(t)]
0
0
C(s) = G(s) ·R(s)
C(s) ! c(t)L�1
G(s) = C(s)R(s) = bmsm+bm�1sm�1+...+b0
ansn+an�1sn�1+...+a0
Función de transferencia
descomponemos C(s) en fracciones simples, de las cuales conocemos su transformada inversa de Laplace, y así obtenemos c(t)T. Laplace / F. Transferencia 5
andnc(t)
dtn+ an�1
dn�1c(t)
dtn�1+ ...+ a0c(t) = bm
dmr(t)
dtm+ bm�1
dm�1r(t)
dtm�1+ ...+ b0r(t)
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Concepto de impedancia
Impedancia en circuitos eléctricos con R, L, C
solución mediante ecuación diferencial // solución mediante T.L, impedancia
Circuito RLC:
T. Laplace / F. Transferencia6
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Sistemas mecánicos de traslación
Modelado matemático7
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Diagramas de bloque
Cascada
Paralelo
Feedback
Modelado matemático8
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sistema de lazo cerrado (con retroalimentación)
función de transferencia de lazo abierto:
B(s)
E(s)= G(s)H(s)
función de transferencia de lazo cerrado:
C(s) = G(s)E(s)
E(s) = R(s)−B(s) = R(s)−H(s)C(s)
⇒ C(s)
R(s)=
G(s)
1 +G(s)H(s)
Modelado matemático
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