conjetura de collatz, ascenso al infinito
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CARLOS GIRALDO OSPINALic. Matemáticas, USC
MATEMÁTICA INSÓLITADERECHOS DE AUTOR REGISTRADOS Y RESERVADOS
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VIAJE DE FANTASÍA
Usted va de viaje en su flamante auto, su cerebro se trastorna y de pronto ingresa a una extraña autopista. A su derecha empieza una sucesión de torres numeradas en su parte alta con la serie 3, 9, 15, 21, 27, ...
En su recorrido hacia el infinito observará torres de uno, varios o muchos pisos, a una torre unipiso la podrá suceder un enorme rascacielos o a la inversa. Su fantasioso viaje no es otra cosa que la visión del famoso Algoritmo de Collatz o Problema 3n + 1.
Detiene su auto al frente de uno de los inmensos rascacielos, ingresa y asciende a la azotea. A la izquierda de la autopista aparecerán ciudades identificadas con numerales como 13, 53, 85, y a sus alrededores diminutas viviendas unipiso; ciudades y viviendas entre las cuales no existen vías de comunicación.
Piensa que los habitantes de cada ciudad o vivienda son personas alérgicas a establecer contacto con las demás urbes. Investiga y su presunción desaparece, todos se conectan por debajo de tierra. Las vías subterráneas representan la denominada Conjetura de Collatz: hacia la superficie conducen a toda torre y hacia abajo se encuentra el COMPLEJO GUBERNAMENTAL 1.
En cada vivienda o piso de una torre tan solo hay un personaje, dicho personaje se identifica con un número impar, si encuentra dos personajes con la misma identificación significa que está recorriendo un universo de expertos clonadores.
El SUPREMO JEFE 1, buen especialista en delegar funciones, tiene como Vicepresidente al 5. El Vicepresidente ejerce el mando directo sobre un conglomerado de torres y el Presidente lo ejerce sobre otro: ningún gobernado directo del Presidente lo es del Vicepresidente y a la inversa.
Termina su trastorno, pasa algún tiempo en sano juicio.
Su sueño transcurre en calma, el inconsciente entra en acción e intenta recorrer de nuevo la Autopista de Collatz: las torres unipiso del recorrido inicial han desaparecido. Despierta con la extrañeza del cambio con respecto a su visión del primer viaje. ¿Qué ha sucedido?
1
CARLOS GIRALDO OSPINALic. Matemáticas, USC
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LA CONJETURA DE LÖTHAR COLLATZ
Collatz, en 1937, formuló la conjetura que posee el récord de nombres: Problema 3n +1, Cartografía 3x + 1, Algoritmo de Hasse, Problema de Kakutani, Algoritmo de Syracuse, Conjetura de Thwaites y Problema de Ulam.
El algoritmo de Collatz dice:
1. Inicie con cualquier número par, divida sucesivamente por 2 hasta que obtenga un impar; triplique el resultado, sume 1 y divida por dos hasta obtener otro número impar. Repita el proceso. Siempre llegará a 1 para todo número de inicio (Conjetura).
2. Inicie con uno impar, realice las reglas del juego (triplicar y sumar 1, luego dividir por 2) e igual llegará a 1. (Conjetura).
Los resultados de la sucesión del algoritmo de Collatz se denominan números de granizo. Aquí los llamaremos granizos.
Tal como se muestra en el ejemplo anterior, en este documento prescindiremos de los números pares y, en lo sucesivo, solo registraremos los impares. La razón es que de esta forma estaremos en buenas condiciones para demostrar la conjetura.
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ALGORITMO Y CONJETURA DE LÖTHAR COLLATZ
CARLOS GIRALDO OSPINALic. Matemáticas, USC
MATEMÁTICA INSÓLITADERECHOS DE AUTOR REGISTRADOS Y RESERVADOS
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Otra de las razones por las cuales no emplearemos los números pares es que, en el fondo, el algoritmo de Collatz es más bien una forma algo «enrevesada» de construir el conjunto de los impares mediante un ordenamiento no estándar.
Lo «enrevesado» de la construcción del conjunto de los impares mediante el algoritmo de Collatz explica la dificultad por la cual, antes de este documento, no se logró la demostración de la Conjetura de Collatz.
ALGORITMO INVERSO DE COLLATZ
Inicie con cualquier número impar que no sea múltiplo de 3, multiplique sucesivamente por 2 hasta que el resultado disminuido en 1 sea múltiplo de 3, divida por 3 y aplique de nuevo el algoritmo. Conjetura: Exceptuando n = 1, siempre se finaliza en un múltiplo de 3.
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1
TORRES DE COLLATZ
Denominaremos Torres de Collatz a los granizos impares generados por números de la forma 6n + 3 (Cúspide de la Torre)
Para los efectos de este documento, en lo sucesivo, el concepto de torre no incluirá los granizos 1 ni 5.
Suponga que se encuentra en la cúspide de una torre de Collatz con la prohibición de descenso a cualquier piso inferior y, al mismo tiempo, le exigen seguir aplicando el Algoritmo inverso de Collatz. Se concluye que se encuentra frente a un «absurdo» matemático dado que ningún múltiplo de disminuido en 1 puede ser divisor de 3. Además, Ascendiendo o descendiendo, tendría que repetir los mismos números sin poder salir de la torre. Sin embargo, ¡el «absurdo» tiene solución!
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ABSURDO EN LA CÚSPIDE
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Dividiremos nuestro trabajo en dos partes: Construcción Collatz del conjunto de los impares y demostración de la conjetura.
CONSTRUCCIÓN COLLATZ
DEL CONJUNTO DE LOS IMPARES
Se denominará Torre de Collatz a una columna de números impares que en su parte más elevada, cúspide,
contenga un número de forma 6n + 3 y en la parte inferior uno de forma o
Los demás pisos se conforman con los granizos impares, excepto el 1 y el 5.
RECTA DE COLLATZ
AUTOPISTA DE COLLATZ
Se denominará Autopista de Collatz a la sucesión ordenada de torres de conformidad con el numeral correspondiente la cúspide.
Para conocer los números ubicados en los pisos inferiores se aplica el algoritmo de Collatz hasta llegar al primer piso.
En la página siguiente aparece la Autopista de Collatz desde la Torre 3 hasta la Torre 129 (22 torres), tramo en el que se encuentran los números impares menores que 100. Luego hemos separado la autopista en ciudades que se distinguen por tener todas sus torres con el mismo número en el piso inferior. Observará las ciudades 13, 53 y 85 con agregación de otras torres.
4
2715 213 9 51453933 6357
1 21353133 3413853521341 855461 1365
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5
15
53 3523
213
9 71117 13
2741 31 47 71 107 161 121 91
137 103155233175263395593
445
167251
377283425319479719107916192429911
1367205130775774333256123
53 35
25
11
19 29
33
17 13
39598967101
11
19 29
17 13
45 17 13
51
2977
1117 13
7
43654937
57
1117 13
6395143215323485 91137 103155233175263395593
445
167251
377283425319479719107916192429911
1367205130775774333256123
53 35 69
1311385
75
871311973771117 13
933553
9914971117 13
61
53 3523
81 1929
10579
119 269179101
1117 13
111
445
167251
377283425319479719107916192429911
1367205130775774333256123
53 35
117111713
123185 1392091575989 67
101 1929 11 17 13
12997 735583125
91137 103155233175263395593
445
167251
377283425319479719107916192429911
1367205130775774333256123
53 35
47 71
107 161121
1713
711
9
1317 45
1369
13
1929
3325
1711
13
37
4357
4965
7
1711
13
8967101
5939
2919
1711
13
7751
29
1711
3719713187
17117
1317117
13
14999
105
171129
13
101269179
19
11979
1711117
13
59157
139209
171129
13
1016789
19
123185
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ALGORITMO INVERSO DE COLLATZ
6
53 35
15 23
47 31
27 41
121 161
71 107
155 103
91 137
395 263
233 175
445 251
593167
319 425
377 283
16191079
479719
20511367
2429911
325433
3077577
5335
6123
155 103
91 137
395 263
233 175
445 251
593167
319 425
377 283
16191079
479719
20511367
2429911
325433
3077577
5335
6123
215143
6395
323485
53
9335
81
5335
6123
47 125
55 83
121 161
71 107
155 103
91 137
395 263
233 175
445 251
593167
319 425
377 283
16191079
479719
20511367
2429911
325433
3077577
5335
6123
73
12997
445 251
111167
319 425
377 283
16191079
479719
20511367
2429911
325433
3077577
5335
6123
53141
47 125
221 83
121 161
71 107
155 103
91 137
395 263
233 175
445 251
593167
319 425
377 283
16191079
479719
20511367
2429911
325433
3077577
5335
6123
147
539359
159239
809607
20511367911
325433
3077577
5335
6123
1425
401 30111385
1069
301 11385
1605
453 85
75 113 85
401 30111385
267
1205 11385
803
633 475713535
85
951
2141 8031205 113
1427
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La secuencia representa el Algoritmo inverso de Collatz aplicado sucesivamente a la serie de los impares (línea inferior); de ella se excluyen los números que ya se encuentren en torres precedentes, éstas no se completan hasta la cúspide, (6n+3), si el número de un piso se halla en torres ya construidas. Número en blanco significa que está contenido previamente en la recta numérica o en algún piso de alguna torre anterior. Ejemplos: el 9 y el 17 no se escribieron en la recta numérica por estar en la cuarta y sexta torre, respectivamente; el 11 en blanco se halla en la sexta torre por haber aparecido previamente en la recta numérica.
Observe que hemos avanzado hasta el 69 en la recta numérica y en las torres truncas ya aparecen 37 impares mayores que dicho número.
A continuación veremos las fórmulas que determinan los números correspondientes al primer piso para las torres de Collatz.
TORRES QUE NO CONTIENEN EL GRANIZO 5
7
47
121 161
71 107
155 103
91 137
395 263
233 175
445 251
593167
319 425
377 283
16191079
479719
20511367
2429911
325433
3077577
613959
355351
1523
2519
33
2115711
17 13
11
135
973 39
5743
4937
652335
4131
27192927 45 47
83125
129977355
69635967
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Si se aplica el Algoritmo de Collatz observaremos que hay dos clases de torres: un grupo de ellas no contiene el granizo 5 y el otro grupo lo contiene. En el primer caso diremos que la torre desciende directamente a 1 y en el otro el descenso a 1 se realiza a través de 5.
GRUPO DE DESCENSO DIRECTO A 1
GRUPO DE DESCENSO A TRAVÉS DE 5
8
3
121 2
n
u
Por cualquiera de estos números se puede ascender (algoritmo inverso de Collatz); ello implica, necesariamente, el descenso a 1 (Conjetura de Collatz) descenso directo.
1
55 46121 845 349 525 87 381 1 365
341 85 21u
3
125 12
n
u
213 13 65313 3 41385353 54 613
5
1
3
Por cualquiera de estos números se puede ascender (algoritmo inverso de Collatz); ello implica, necesariamente, el descenso a 1 (Conjetura de Collatz) a través de 5.
u
EFECTO COLLATZ
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El Teorema Tierra indica que las torres tendrán un piso para múltiplos de 3 generados por las fórmulas anteriores y que no se requiere verificación dada su demostración genérica. Si a los no múltiplos de 3 se les aplica el algoritmo inverso de Collatz entonces los resultados descenderán, necesariamente, a 1 por el Algoritmo de Collatz. (Ley de regresión de los algoritmos). Igual significa que tienen uno o dos niveles en el sótano: 1 para el grupo de descenso directo y 5, 1 para el otro.
9
TEOREMA TIERRA (Primer piso de las torres)
Todo número o
cumple la conjetura de Collatz.
Demostración
TEOREMA TIERRA
3 13 53 213 3
125 12
n
u
3
122
n
u5 21 85 341 1
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El «absurdo» anterior tiene su campo de validez tan solo en el marco de cada torre debido a que el Algoritmo de Collatz determina series finitas de granizos o, en términos de las torres, son series verticales «acotadas» En lenguaje más técnico diríamos que son series cerradas.
El «absurdo» propuesto podría denominarse PARADOJA DE COLLATZ dado que, sin violar la prohibición, siempre es posible el ascenso hacia el infinito. Recuerde que lo único que le prohiben es el descenso.
PUENTE
La Paradoja de Collatz se resuelve mediante la operación que denominaremos Puente
Veamos un ejemplo del Puente antes de proceder a su demostración general. Suponga que se encuentra en la cúspide 9; todo múltiplo par de 9 lo es de 3 y, por tanto, al restar 1 es imposible obtener un número impar divisible por 3. Nos exigen ascender sin alusión a la cúspide; en consecuencia, nuestro ascenso se debe realizar a partir de 7, sin descenso a dicho número.
Efectuemos 4 x 9 + 1 = 37, 4 x 261 + 1 = 1 045, 4 x 1 857 + 1 = 7 429 ... y, en cada caso, apliquemos el Algoritmo inverso de Collatz hasta alcanzar la cúspide de la correspondiente torre.
10
9
7
11
17
13
37
7
11
17
13
261
49
1857
1393
37
7
11
17
13
1045
49
ASCENSO AL INFINITO
Suponga que se encuentra en la cúspide de una torre de Collatz con la prohibición de descenso a cualquier piso inferior y, al mismo tiempo, le exigen seguir aplicando el Algoritmo inverso de Collatz. Se concluye que se encuentra frente a un «absurdo» matemático dado que ningún múltiplo de disminuido en 1 puede ser divisor de 3. Además, Ascendiendo o descendiendo, tendría que repetir los mismos números sin poder salir de la torre. Sin embargo, ¡el «absurdo» tiene solución!
9
7
13
11
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ABSURDO EN LA CÚSPIDE
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En lenguaje común el Algoritmo de Collatz se expresa así: Multiplique un impar por 3, agregue 1, el resultado es un par, divida este último valor por la mayor potencia de 2 contenida en él y obtendrá otro impar.
La conjetura afirma que la repetición sucesiva del algoritmo finaliza en el granizo 1 o, en otras palabras, llegará al ciclo 1, 1, 1, ...
MERITORIO Y JUSTO HOMENAJE
Wailly, el Webmáster permanente de este portal, es el revisor que evita la filtración de errores de diferentes clases antes de que los aportes del autor lleguen a Usted.
Wailly consulta en Internet los documentos que puedan servir de materia prima para la realización del trabajo propio de www.matematicainsolita.8m.com
La Conjetura de Collatz era desconocida para quien escribe y gracias al Webmáster este documento se hizo posible.
Trabajando con el algoritmo 3n + 1 partí de un hipotético 4a + 1, le apliqué transformaciones y llegué a otro hipotético
Inicié la aplicación del algoritmo al número 27; luego de muchas operaciones empecé a pensar que el conjeturado 1, si aparecía, exigiría demasiadas iteraciones.
Solicité a Wailly que continuara operando y luego de 4 iteraciones dijo: ¡Listo!. Miré y no observé el ansiado 1. Wailly respondió que no era necesario continuar debido a que el proceso se lo había aplicado al 911 y, por tanto, los números subsiguientes serían los mismos. Revisó las tablas y confirmó las palabras con los datos.
Afirmó, además, que para cualquier número de inicio era suficiente con llegar a un resultado conocido y por lógica del algoritmo el proceso conduciría a 1.
Como MERITORIO Y JUSTO HOMENAJE a la persona que ha hecho posible que Usted se beneficie de www.matematicainsolita.8m.com, la formulación y demostración del Puente se denominarán TEOREMA DE WAILLY.
11
xw
w2
13 01
xwwimparw 213 100
3
1210
xww
LEY MATEMÁTICA QUE RIGE A DOS GRANIZOS IMPARES SUCESIVOS
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TEOREMA DE WAILLY
Los pisos inferiores de cualquier pareja de torres con granizos diferentes de forma son iguales a los subsiguientes de
DEMOSTRACIÓN:
El TEOREMA DE WAILLY es generalización del Teorema Tierra e indica que existe una infinidad de números que convergen a w1, además de w0 que genera a w1 de acuerdo con o, desde la óptica del algoritmo inverso, existe una infinidad de ramificaciones para w1
w0
w1
3
121
nawu
ESQUEMA GENÉRICO DEL PUENTE 4w + 1
122 naona nn
PUENTE 4w + 1 y TEOREMA DE WAILLY
w0
w1
w2
w3
wf
6a+3
u
w3
w2
w1
wf
4w0 + 1 ... ...3
121
nawu
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ALGORITMO 3n + 1 EN LOS ENTEROS NEGATIVOS
13
REGLAS DEL PUENTE 4w + 1
w0 = 4m + 1 w0 = 4m + 3
2901
17
13
3
1217 12
n
u
9
7
11
17
13
45
17
13
181
17
13
725
17
13
Ejemplo:
DEMOSTRACIÓN DE LA CONJETURA DE COLLATZ
Las torres 3, 9, 15, 21,... , 129 descienden a 1 (Demostración exhaustiva)
Un impar cualquiera pertenece a la torre 129, a una anterior o a una posterior (de lo contrario el Algoritmo 3n + 1 sería inoperante)
Todo granizo de una torre genera infinidad de nuevas torres (Puente 4w + 1)
Las torres subsiguientes a la 129 se conectan a ésta, o a una anterior, mediante el Puente 4w + 1
Por tanto, todo impar desciende a 1 al serle aplicado el Algoritmo 3n + 1
COROLARIO: El Algoritmo 3n + 1 implica el descenso a 1 para todo par.
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El Algoritmo de Collatz actúa de igual forma al ser aplicado al conjunto de los enteros negativos y equivale al algoritmo en los naturales. La diferencia consiste en que no habrá un único valor al cual se descienda.
Ciclos. Se denomina ciclo a los granizos que determinan una serie cerrada al ser aplicado el algoritmo a cualquiera de sus elementos, en otras palabras, el algoritmo es una operación cerrada para el ciclo. En el caso de los naturales solo existe el ciclo {1} para el algoritmo 3n + 1. En el de los enteros negativos se conoce la existencia de tres ciclos para el mismo algoritmo; si existe otro habría que hallarlo o demostrar la imposibilidad de que exista.
En términos cotidianos el ciclo es definible como la manecilla de un reloj: siempre marcará los mismos números en el mismo orden.
CICLOS PARA EL ALGORITMO
Es forzoso concluir que el algoritmo genera una partición del conjunto de los impares en 3 conjuntos en virtud de que dichos ciclos carecen de elementos comunes.
ALGORITMO
14
3 1 1
15 11
913
5
197
21312317
275
4933
10973
179161163
2939
143
5119 75
6745
9117
2537
61
5541
5371
5785 12795
5979
111
4763
5 7191335
775
5
103 69
1 43 115 77
121 81
19 203271 181
5 7
65 87
325217 145 97
1 43 115 307 205 547 365 487
5 7 19 13 139 93 37
99
9117
61
5541
ALGORITMO 3n + 1
Puente: 4w + 1
ALGORITMO
Puente: 4w - 1
CARLOS GIRALDO OSPINALic. Matemáticas, USC
MATEMÁTICA INSÓLITADERECHOS DE AUTOR REGISTRADOS Y RESERVADOS
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Si existe Puente entonces se debe encontrar el valor de k (único) empleando cualquier pareja de granizos
impares en la ecuación
El Puente permite conjeturar el descenso de cualquier número a uno u otro ciclo. En el caso del Algoritmo es demostrable la inexistencia del Puente.
COMENTARIOS A TRAVÉS DEL ALGORITMO
Dado que existe Puente y un ciclo, es posible conjeturar el descenso de todo número a dicho ciclo (ciclos, de existir otros).
La demostración exigiría construir la serie de torres de cúspide 7, 21, 35, 49,... para verificar (demostración exhaustiva) el descenso de los granizos de las mismas al ciclo (ciclos) y luego, mediante el principio de interconexión (Puente), realizar la demostración general de la conjetura. En el caso de varios ciclos se acudiría para efectos demostrativos, agotada la parte exhaustiva, a un supuesto ciclo único (isomorfismo).
Es probable que usted desista de sus intentos de viajar de 7 a 1 a bordo del algoritmo . Dicho viaje será exitoso cuando llegue al primer w tal que La incertidumbre que le generen las torres de cúspide 7, 21, 35, 49, al aplicarles el algoritmo lo llevarán a sospechar que ninguna llegará al ciclo; en matemáticas no es suficiente con sospechar.
Si aplica el algoritmo a la torre 299593 llega a 1 al instante: multiplique por 7, agregue 1 y dedíquese a dividir por 2. En el caso de las torres 329 y 86 282 825 llegará al ciclo a través de 9 (multiplicando y sumando solo 2 veces).
Mediante funciones es fácil demostrar que existen infinidades de torres que alcanzan el ciclo;
sin embargo, se trata de demostrar que la totalidad de torres llegan al mismo (si lo alcanzan) para que la conjetura se transforme en teorema.
Existen números fuera de torres 7(2m+1) pero conectados a ellas mediante el puente 8w + 1; Ejemplo: 3, por ser , 3 se conecta a la torre 7 mediante 8(3) + 1 = 25. Algo similar sucede con 5 y 41, conectados a la torre 329. Las torres de cúspide diferente a 7(2m+1) no afectan el proceso demostrativo (de ser cierta la conjetura) debido a que el Teorema de Wailly garantiza que los granizos inferiores son los mismos para torres interconectadas: si una de ellas no desciende al ciclo tampoco lo hará la otra, el descenso de una implica el descenso de la otra.
Nota: Los modelos matemáticos que definiremos a continuación están referidos a granizos impares: por tanto, n, c serán impares en las fórmulas definitorias.
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MODELO GENERAL DE COLLATZ
Algoritmo: Puente: Ciclo:
Interrogantes: ¿La aplicación de cualquier algoritmo del Modelo General de Collatz implica el descenso a 1? ¿Cuáles implican el descenso a 1?
El modelo general, cuando m = 1, es de uso corriente en las matemáticas y de ahí deriva el hecho de no ponerse en discusión. Dicho modelo se puede estudiar de la misma forma que se hizo con el algoritmo 3n + 1.
Algoritmo: Puente: Ciclo:
Para el algoritmo las cúspides de las torres son la serie de los impares y el número de llegada es el 1. No olvide que las torres las formamos con los granizos impares. En este caso todo granizo es cúspide, analice el segundo piso (rosado).
5
3
11
3
1
7
1
3
1
9
5 11
3
1
13
7
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1
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9
5
3
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5
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1
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3
1
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3
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1
27
7
1
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15
1
31
1
33
17
9
5
3
1
ULTRA MODELO LÖTHAR COLLATZ
Algoritmo: Puente: Ciclos: ,
El algoritmo 7n + 5 tiene, al menos, los ciclos y
Interrogantes: ¿La aplicación de cualquier algoritmo del Ultra Modelo Löthar Collatz implica el descenso a los ciclos para todo número natural?
¿Qué algoritmos del Ultra Modelo Löthar Collatz implicarían el descenso a los ciclos para todo número natural?
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INDUCCIÓN ALGORÍTMICA AL TRABAJO INFRUCTUOSO
Al leer «COMENTARIOS A TRAVÉS DEL ALGORITMO 7n + 1» es muy probable que Usted haya enfrentado la tarea de saber si era posible alcanzar el ciclo 1aplicando dicho algoritmo a 7: quizá desistió del intento después de recorrer muchos granizos quitándole tiempo a sus horas de descanso.
Su trabajo se plasmó en sospecha e impotencia al no poder confirmar o desechar las dudas. Uno de sus proyectos para enfrentar el problema pudo ser la construcción de un programa de ordenador.
«A través de programas de ordenador se ha probado que la Conjetura de Collatz es cierta para todo » es una información que muestra la impotencia de quien haya empleado el programa que en nada
contribuye a solucionar la conjetura. Informaciones de ese tipo producen la sensación de matemáticos que actúan como escolares que resuelven cientos de operaciones por imposición de su maestro.
Muchos matemáticos aplican los algoritmos siguiendo siempre la corriente de los mismos; raras veces se detienen en el análisis del algoritmo inverso. Si usted estudia los trabajos con respecto a la Conjetura de Collatz se dará cuenta de lo afirmado.
Las explicaciones de dicha costumbre se dejan al lector.
El problema de saber si es posible alcanzar 1, aplicando el algoritmo 7n + 1 al número 7, se puede resolver sin acudir al algoritmo ni a un programa de ordenador: aplique el algoritmo inverso a 1. Requiere unas pocas operaciones, lógica aritmética elemental y no necesita calculadora; el puente 8n + 1 le servirá de auxiliar.
Respuesta afirmativa (1 asciende a 7) implica comenzar a conjeturar que todo número desciende a 1 aplicando el algoritmo 7n + 1. Si su respuesta es negativa (1 no asciende a 7) entonces ha demostrado que la conjetura no es válida para todo número.
OBSERVACIONES FUERA DE ÓRBITA
1. Muchos matemáticos talentosos piensan que para conocer las leyes que gobiernan la distribución de los primos en el conjunto de los naturales es necesario resolver la Hipótesis de Riemman e igual para demostrar la Conjetura de Goldbach y otras. El trabajo realizado en www.numerosprimos.8m.com muestra que dichas leyes se pueden determinar sin acudir a la demostración de la Hipótesis de Riemman.
Para ello basta con determinar la función (la fórmula de Gauss es una aproximante), con ella
demostrar que y emplear el sencillo procedimiento aritmético de hallar la cantidad de
números en el intervalo [a, b] mediante la función .
2. Para demostrar el Último Teorema de Fermat no es obligatorio el difícil y extenso andamiaje de las curvas elípticas empleadas por el Doctor Andrew Wiles (matemático inglés).
ALGORITMOS 3n + 1 y 7n + 1: GRAFOS IMPARES
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En ocasiones es más fácil nadar contra la corriente, al menos, en matemáticas.
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Los siguientes grafos parciales muestran el comportamiento de los granizos impares. En la parte superior aparece el correspondiente ciclo (cuadro anaranjado), debajo del mismo se observa el resultado de aplicarle el puente. Pasando por estos dos valores imagine un eje vertical.
Aplique el algoritmo a los números mostrados en el grafo y comprenderá los demás aspectos. Luego aplique el algoritmo inverso.
18
5
1
1 365
341
21
85 17 11 7 9
35¿
¿
23 15
13
3
213
53
113
227151
75
201
GRAFO 3n +1
La línea verde indica la aplicación del puente 4n + 1 (hacia abajo).
La azul representa la aplicación del algoritmo inverso 3n + 1(hacia la derecha o hacia la izquierda, según el caso)
9
1
?
167
?
? 37449
4681
73
585?¿
¿
?¿
¿ ?
3009
41
5
2 633
329
?
GRAFO 7n +1
La línea verde indica la aplicación del puente 8n + 1 (hacia abajo).
La azul representa la aplicación del algoritmo inverso 7n + 1 (hacia la derecha o hacia la izquierda, según el caso)
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Teorema: Ningún número de formas disminuido en
1 es múltiplo de 7. Similar para
Demostración
Corolarios: El menor múltiplo de 7 que desciende a 1 al aplicarle el algoritmo 7n +1 es 329. (Vea grafo 7n + 1)
No todo natural desciende a 1 al aplicarse el algoritmo 7n + 1.
3
6
5
6
5
3
5
3
6
mn 723009
1723 mn 472 23 mn
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