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CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
- taxa de calor transferido, q
Cilindro longo
Esfera
Parede plana
Unisinos - Profa. Jacqueline Copetti
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Unisinos - Profa. Jacqueline Copetti
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR
(DIFUSÃO DE CALOR)
Aplicações:
- Fluxo de calor nas proximidades de um canto onde 2 ou 3 paredes se
encontram
- Calor conduzido através das paredes de um cilindro curto de parede espessa
- Calor perdido por um tubo enterrado
1) Coordenadas cartesianas
Unidimensionalt
Tcq
x
q
A
1 )t,x(pg
x
x
TkAq
)x(x
t
Tcq
x
TkA
xA
1 )t,x(pg
)x(
t
Tcq
x
Tk
x
)t,x(pg
-
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Tridimensional e k constante
t
T1
k
q
z
T
y
T
x
T )t,z,y,x(g2
2
2
2
2
2
Equação de Fourier-Biot
1) Coordenadas cilíndricas
tridimensional e k constante
t
T1
k
qT
r
1
z
T
r
Tr
rr
1 )t,z,,r(g2
2
22
2
Componentes: r – radial z – axial - circunferencial
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3) Coordenadas esféricas
Componentes: r – radial - circunferencial - angular
t
T1
k
qT
senr
1Tsen
senr
1
r
Tr
rr
1 )t,,,r(g2
2
222
2
2
Condições de contorno e iniciais
A solução da equação da equação diferencial passa por um processo de
integração que envolve constantes.
A solução só vai ser única quando forem especificadas as condições
existentes nas fronteiras do sistema com o meio. As expressões matemáticas
destas condições são chamadas de condições de contorno.
Duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada direção do sistema
de coordenadas, na qual a transferência de calor é significativa.
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Condição inicial: Expressão matemática da distribuição inicial da temperatura no meio.
A temperatura em qualquer ponto em um determinado momento depende da condição
no início do processo de condução de calor (t=0).
Uma só condição inicial deve ser especificada (primeira ordem em relação ao tempo).
Tipos de condição de contorno:
- 1ª espécie: Temperatura especificadax = 0 T(0,t) = T1
x = L T(L,t) = T2
- 2ª espécie: Fluxo de calor conhecido
x∂
)t,0(T∂k=q
_o
"
L"_ q=
x∂
)t,L(T∂k
x = 0
x = L
-
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Casos especiais:
- fronteira isolada x∂)t,0(T∂
k=0=q_
o" 0=
x∂
)t,0(T∂x = 0
x = L T(L,t)=T
- simetria térmica
• Imposta pelas condições térmicas nas superfícies
• Distribuição de temperatura em uma metade da
placa é a mesma na outra metade (em relação ao
plano central x=L/2).
• Não há fluxo de calor no plano central (superfície
isolada).
0=x∂
)t,2/L(T∂x = L/2
- 3ª espécie: Troca de calor por convecção na superfície
Condição mais comum encontrada na prática.
Baseada no balanço de energia na superfície.
Condução de calor na
superfície em uma direção
escolhida
Convecção na superfície na
mesma direção=
))t,0(TT(h=x∂
)t,0(T∂k _1∞1
_
)T)t,L(T(h=x∂
)t,L(T∂k 2∞
_2
_
x = 0
x = L
-
A TC através de um meio sob condições de
regime permanente e temperaturas de
superfície conhecidas, pode ser avaliada de
uma forma mais simples pela introdução do
conceito de resistências térmicas.q
02dx
T2d
112 TL
x)TT()x(T
Distribuição de temperatura na parede plana
unidimensional, sem geração e k constante
2ª Integração : T(x)=C1x+C2 x=L T(L)=T2
Taxa de calor
q=-kA dT/dx q=-kA C1 q=-kA (T2-T1)/L
1ª Integração : dT/dx=C1 x=0 T(0)=T1
)TT(L
kAq 21
Equação
diferencialCondições de contorno
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Analogia entre problemas com circuitos elétricos
)TT(L
kAq 21
e
21
R
)VV(I
Fluxo da I
Fluxo de q
parede
21
R
)TT(q
(ºC/W)
kA
LRparede
(W)
Processos na superfície
1 Convecção:
)TT(hAq s
qhA
1Rconv
2 Radiação:
)TT(Aq 4_4s viz)TT(Ahq _sr viz
)TT)(TT(εσh22
svizsr viz
Ah
1R
rrad
(W/m2K)
(K/W)
(K/W)
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-
Resolvendo a taxa de calor q por circuito de resistências térmicas
q
Rconve
)TT(
Rcond
)TT(
Rconvi
)TT(q
e,_
22_
11_
i,
Taxa de calor
condução
através da
parede
Taxa de calor
convecção:
fluido interno -
superfície 1
Taxa de calor
convecção:
superfície 2 –
fluido externo
= =
e,convconduci,conv
21
T
21
RRR
)TT(
R
)TT(q
∞_
∞_
∞
)heA/1()kA/(L)hiA/(1
)TT(
R
)TT(q
21
T
21
∞_
∞_
∞
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Exemplo:Resistência dissipador-ambiente
Resistência case – dissipador
Resistência junção – case
Resistência junção - placa
Resistências em paralelo:
radiação e convecção
qconv
qrad
radconveq R
1
R
1
R
1
21
21eq
RR
RRR
genericamente
-
total
1
R
)TT(q ∞
_
condução
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Resumindo
Similar ao “escoamento” de eletricidade através de uma rede de vários
componentes, cada um tendo diferente resistência elétrica, calor também pode fluir
através de diferentes caminhos em série e/ou em paralelo tendo diferentes
resistências térmicas.
Deve-se encontrar a resistência equivalente desta rede térmica, assim como uma
elétrica, que permitirá avaliar a diferença de temperatura total.
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Resistências em série:
Resistências em paralelo:
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Exemplo 1:Considere um chassis de alumínio em que se precisa encontrar a temperatura do
lado quente, onde tem uma taxa de calor de 6 W sendo transferido e a
temperatura do lado externo (fria) é mantida a 24 ºC.
A condutividade térmica do chassis é de 156 W/mK e a espessura é de 1,27 cm.
Desenvolver uma rede de resistências térmicas, representativa e encontrar a
resistência equivalente.
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- Nenhuma variação de temperatura é
considerada na direção vertical.
- Somente foi calculada a temperatura no
ponto maior temperatura. Nenhuma outra
informação de temperatura é obtida deste
cálculo.
- Se existem componentes críticos
internos, é necessário analisar de outra
maneira para que se verifique que não
ultrapassou a faixa de temperatura de
funcionamento.
R: Tq = 43ºC
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A solução deste problema usando análise de elementos finitos
poderia resultar em:
Embora o resultado final do valor da temperatura possa ser o
mesmo, a distribuição de temperatura ao longo das faces não é
uniforme.
Isto porque na análise por resistências térmicas se assume que o
fluxo de calor é uniforme ao longo da direção da resistência
térmica, o que significa um problema UNIDIMENSIONAL.
Esta suposição não é verdadeira, por exemplo, para os cantos
deste problema.
Temperatura em pontos intermediários:
Para calcular a distribuição da temperatura interna, é preciso ter
em mente que a relação é válida não só para toda a
rede, mas para cada elemento.
Portanto, as temperaturas nos pontos interiores podem ser
calculadas. Do exemplo anterior: T1= 40,6 ºC e T2=26,83ºC
No entanto, em vez da resistência total da rede, deve-se usar a
resistência adequada associada com o local de interesse. Além
disso, deve-se ter em mente que a taxa q é constante durante
todo o sistema, assim como os fluxos na direção dos pontos
quentes para os frios.
totalR
Tq
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Sistemas compostos
No modelamento térmico o fluxo de calor é transferido através de
várias camadas de materiais diferentes.
Todo o calor é transferido por condução e devem-se selecionar
materiais que permitam conduzir o calor de forma eficiente
(spreaders). Na seleção destes materiais atenção deve ser dada à
compatibilidade dos coeficientes de expansão térmica (CET).
Materiais vizinhos com CETs incompatíveis podem causar falhas
no sistema.
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Exemplo 2:
Calcular o fluxo de calor a partir de um circuito integrado (IC) e através da placa de circuito
impresso (PCB) para um dissipador de calor.
O circuito integrado (IC) gera 2 W de calor. O núcleo metálico é mantido a 29,4ºC. A área
da seção transversal dos spreaders, adesivos e isolamento é de 6,45 cm². Os dados de
espessura e condutividade térmica das diferentes camadas de materiais são:
Resistências e (cm) k (W/mK)Fitas adesivas superiores 0,02032 0,7788Fita adesiva inferior 0,00762 0,7788“Espalhadores” de prata (spreaders) 0,127 484,57
Isolante elétrico 0,0127 0,346PCB de cobre 0,08128 380,74
50 vias dfuro=0,063e=0,00711
Area_via=A_seção anular0,00126 cm²
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Supondo que o calor gerado é uniformemente distribuído sobre 6,45 cm² de área.
Qual a variação total de temperatura?
Qual a temperatura no IC?
Qual o efeito de colocar mais uma fita (e=0,02032 cm) logo abaixo do PCB na variação
total de temperatura e na temperatura do IC?
Qual o elemento com maior resistência?
Obs: Na situação real, o calor flui longe de sua origem e se dissipa (“espalha”) de um modo
“cônico”. Em outras palavras, ele cobre progressivamente uma área maior. O ângulo de cone
formado depende da condutividade térmica do material do substrato
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Resistência térmica de contato
Quando é necessário agrupar diferentes componentes em uma configuração, é
necessário unir duas superfícies e o calor deve fluir através da interface de união.
Devido a irregularidades das superfícies, a área de contato real é muito menor do
que a área de contato aparente.
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- A área de fluxo de calor tem um impacto direto sobre a diferença de temperatura;
quanto maior for a área, mais baixa é a temperatura.
- Uma área de contato menor na interface leva a aumentos de temperatura maiores
que o esperado.
- As lacunas de ar agem como isolantes eficazes, devido à baixa condutividade
térmica do ar.
A interface apresenta uma barreira térmica que necessita ser considerada no projeto
e análise térmica.
A transferência de calor através da interface é a soma da TC dos pontos de contato
sólido e das lacunas nas áreas sem contato.
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Tabela - Resistência de contato para a) interfaces metálicas sob condições de vácuo
e b) interface de alumínio (rugosidade da superfície de 10m, 105 N/m²) com
diferentes fluidos na interface
Soluções:
- Aplicar pressão no contato.
- Aplicar materiais de interface com boa condutividade térmica, enchimentos
intersticiais como graxas, elastômeros, pasta térmica, folhas metálicas
(estanho, prata, cobre, níquel ou alumínio)
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Tabela – Resistência térmica de interfaces sólido/sólido representativas
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- Entre os fatores que afetam a resistência da interface é a presença de
camadas de óxido e/ou tratamentos de superfície, tais como acabamento de
superfície ou um revestimento.
Por exemplo, o eletro-polimento de uma superfície metálica, torna a
superfície mais lisa removendo camadas de óxido e leva a uma melhor
condutividade térmica na superfície.
Revestimento de superfícies permite “espalhar” melhor o calor (área
maior), que conduz para menores valores de resistência de interface.
-
a) O chip dissipa 104 W/m² em condições normais, nesta condição ele irá operar
abaixo da temperatura máxima permitida de 85ºC?
b) Se o h aumentar para 1000 W/m²K, considerando a T=85ºC, qual o fluxo de
calor dissipado?
c) Se na superfície do chip for bloqueado o escoamento do ar e o resfriamento
for somente na parte inferior do alumínio, qual a temperatura do chip para
q”=10.000 W/m²?
Um chip de silício é fixado a uma
placa de alumínio de 8 mm de
espessura.
O contato entre o chip e a placa é
feito por uma junta de epóxi de 0,02
mm de espessura.
O chip e a placa tem cada um 10 mm
de lado e suas superfícies estão são
resfriadas por ar que se encontra a
25ºC e h=100 W/m²K.
Exemplo 2
Chip de silício
Junta de epóxi(0,02 mm)
Substrato de alumínio
isolamento
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Perda de calor em cilindros longos (tubulações) e cascas
esféricas
2. Paredes cilíndricas com temperaturas conhecidas em r=ri e r=re:
Distribuição de temperatura para
T=T1 em r=r1 (interno) e T=T2 em
r=r2 (externo)
2221
21 T)r/rln()r/rln(
TT)r(T
)r/rln(
)TT(kL2q
12
21r
kL2
)r/rln(R 12parede
- Taxa de calor:
- Resistênciatérmica de parede cilíndrica:
q
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-
3. Paredes esféricas (cascas esféricas) com temperaturas
conhecidas: T=T1 em r=r1 (interno) e T=T2 em r=r2 (externo)
q
)TT()r/r(1
)r/r(1T)r(T 21
21
11
Distribuição de temperatura para
T=T1 em r=r1 (interno) e T=T2 em
r=r2 (externo)
- Taxa de calor:
- Resistência térmica de parede esférica:
)r/1()r/1(
)TT(k4q
21
21r
krr4
rrR
21
1_
2parede
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-
Exemplo 3
Um tanque esférico de 3 m de diâmetro interno e de 2 cm de espessura de aço
inoxidável é usado para armazenar água gelada (com gelo) a 0ºC. O tanque está
situado em uma sala cuja temperatura do ar é 22 ºC.
As paredes da sala estão também a 22ºC. A superfície externa do tanque é preta
e a transferência de calor entre essa superfície externa e os arredores é por
convecção natural e radiação.
Os coeficientes de transferência de calor interno e externo são 80 e 10 W/m²K,
respectivamente.
Determine a taxa de transferência de calor para a água gelada no tanque.
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-
TUA=q
∑R
1=UA
T
)]h/1()k/L()k
L()
h
1)[(
A
1(
1U
2221
1
1+++
=
Também é conveniente expressar a transferência de calor através de
um meio de pela lei de resfriamento de Newton:
onde U é o coeficiente global de transferência de calor (W/m²K)
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