conceptos generales sobre la factorización

CONCEPTOS GENERALES SOBRE LA FACTORIZACIN:Qu es factorizar o factorear un polinomio?Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicacin" (o "producto", como tambin se le llama a la multiplicacin). Partimos de una expresin formada por sumas y/o restas de trminos por ejemplo), y llegamos a una expresin equivalente, pero que es una multiplicacin ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo). Por qu se llama "factorizar" o factorear?Porque a los elementos que estn multiplicando en una multiplicacin se les llama "factores". Por ejemplo, en la multiplicacin 2 x 3 = 6, el 2 y el 3 son los "factores". En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.Para qu sirve factorizar un polinomio?Por ejemplo, tener factorizada la frmula de una funcin polinmica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "races". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la funcin, o para encontrar los mximos y/o mnimos. Tambin la factorizacin de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos lmites, resolver ecuaciones polinmicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonomtricas, etc. Es decir que nos ensean a factorizar porque en otros temas de Matemtica necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.Cmo puedo saber si factoric correctamente?Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma expresin de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar estamos obteniendo una expresin equivalente a la original, pero con distinta forma (de multiplicacin). Si luego multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De esta forma estamos haciendo una "verificacin". FACTOREO CON GAUSS EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de 1)

Divisores del trmino independiente (6): k = 1, 1,2, 2,3, 3,6, 6Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, 1,2, 2Posibles races del polinomio: k/aEntonces pueden ser races: 1, 1,2, 2,3, 3,6, 6,1/2, 1/2, 3/2, 3/2El polinomio podra ser divisible por alguno de estos binomios: (x - 1),(x + 1), (x - 2),(x + 2), (x + 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2), (x - 1/2),(x + 3/2) (x - 3/2). Es decir (x-a), siendo "a" una de esas posibles races.Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto d 0:

Cociente: Resto: 0Por ahora, la factorizacin queda: En el polinomio de segundo grado que qued puedo volver a buscar races con Gauss, o aplicar el Sptimo Caso (usar la cuadrtica). Voy a seguir con Gauss:

Posibles races: 1,-1,3,-3,2,-2, 1/2,-1/2, 3/2,-3/2Cuando pruebo dividir por (x - 3), encuentro que el resto d 0:

Cociente: (2x - 1) Resto: 0Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorizacin queda as:(x + 2).(x - 3).(2x - 1)Segn Gauss, es posible encontrar races de un polinomio entre los divisores del trmino independiente, y en los cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Parafactorizar, hay que dividir al polinomio por (x - raz), divisin que tiene como resto 0. Luego, comoen el Sexto Caso, se factoriza usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE.

Fuente: http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factoreo.htm 1/