comprobacion de hipotesis sobre dos promedios mario briones l. mv, msc 2005
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COMPROBACION DE HIPOTESIS SOBRE DOS
PROMEDIOS
Mario Briones L.MV, MSc
2005
Caso I: Supuestos - Población con distribución normal- Desviación estándar conocida- Bilateral
Comprobación de hipótesis acerca de laMedia de la muestra de una población
Cada vez que se comparan dos promedios, se obtieneuna diferencia entre las infinitas diferencias posibles
entre ambos grupos o poblaciones, con muestrasdel mismo tamaño.
Comprobación de hipótesis acerca de laMedia de la muestra de una población
POBLACION A POBLACION B
por ejemplo,si se quiere comparar el peso de dospoblaciones de peces, sólo podemos
tener acceso a dosmuestras, una de cada población.
Cada una de estas muestras,como ya sabemos, tiene error. Por lo
tanto, cada vez quese repitiese la comparación, habría
distintos promedios y distintas diferencias entre cada una
de las dos poblaciones.
Es importante aquí comprender que si en realidad no hay diferencia entre ambos promedios poblacionales (caso en que la hipótesis nula es verdadera), entonces la sumatoria de todas las diferencias obtenidas en cada una de las sucesivas comparaciones, SERÍA CERO.
Si no existe diferencia entre 1 y 2, muestreos sucesivos darán similar cantidad de valores positivos y negativos a
la expresión x1 -x2, lo que significa que 1-2=0
DISTRIBUCION DE LA DIFERENCIA
2x1-x2=2
1/n1 +22/n2
x1-x2x1-x2=1 -2=0
Esta es la unidad dedistribución de estacurva: la varianzade las diferencias.
(x1-x2) - (1-2)Z=---------------------------------------- 2
1/n1 + 22/n2
X1 X2
X2-X1
X1 X2
X2-X1
Puede verse que si la hipótesis nula (ausencia de diferencia
entre los promedios) es verdadera, la media real de la diferencia es cero, ya que se cancelan todas las diferenciasal estarse estimando con ambas muestras, el mismo valor
X1X2
X2-X1
Puede verse que si la hipótesis nula (ausencia de diferencia
entre los promedios) es verdadera, la media real de la diferencia es cero, ya que se cancelan todas las diferenciasal estarse estimando con ambas muestras, el mismo valor
H0: 2 - 1= 0 HA: 2 - 1 0
H0: 2 - 1 0 HA: 2 - 1< 0
H0: 2 - 1 0 HA: 2 - 1> 0
Todas estas son posibles hipótesis nulas y alternativasal comparase dos promedios, uni o bilaterales.
Caso I: Supuestos -Muestreo a partir de poblaciones con
distribución normal- Desviación estándar conocida- Bilateral
Comprobación de hipótesis acerca de dosmedias
Un grupo de investigadores desea saber si los datos que han reunido proporcionan
evidencia suficiente que indique unadiferencia en las concentraciones medias de
ácido úrico en suero entre individuos normales e individuos con síndrome de Down.
Se dirá que los datos proporcionan dicha evidencia si puede rechazarse la hipótesis
nula de que las medias son iguales.
1. Datos: Mediciones de ácido úrico en el suero de 12 individuoscon síndrome de Down y 15 individuos normales. Lospromedios son
Individuos con síndrome de Down, X1= 4.5 mg/100 ml
Individuos normales, X2= 3.4 mg/100 ml
2. Supuestos: Los datos constituyen dos muestras aleatoriasindependientes, cada una extraída de una poblacióncon distribución normal y con varianza igual a 1mg/100ml.
3. Hipótesis:
H0: 2 - 1= 0 HA: 2 - 1 0
4. Estadística de prueba:
(X1 - X2) - (1 - 2) z= 2
1 22
+ n1 n2
5. Distribución de la estadística de prueba:
Normal unitaria, cuando la hipótesis nula es verdadera
6. Regla de decisión:
Sea = 0.05. Los valores críticos de z son 1.96
Se rechaza H0 a menos que
-1.96 < z calculada < 1.96
7. Estadística de prueba calculada:
(4.5 - 3.4) - z= = = 2.82 + 12 15
8. Decisión estadística:
Se rechaza H0 ya que 2.82 > 1.96
9. Conclusión:
En base a los datos disponibles, hay una indicaciónde que las medias no son iguales para la concentraciónde ácido úrico entre individuos normales e individuoscon síndrome de Down.
Caso I: Supuestos -Muestreo a partir de poblaciones con
distribución normal- Desviación estándar desconocida- Bilateral
Comprobación de hipótesis acerca de dosmedias
Alternativas
varianza desconocida e igual en ambas poblaciones
varianza desconocida y distinta en ambas poblaciones
(n1-1)s21 + (n2-1)s2
2
s2P=
n1 +n2 -2
Se dispone de valores de perímetro torácico en caballoschilenos adultos, machos y hembras. Se quiere comprobar que el sexo del animal influye sobre el perímetro del tórax.
Para esto se debe rechazar la Hipótesis nula de que el sexo de los caballos no tiene importancia o
no influye sobre el perímetro.
1. Datos:
machosn1= 38X1= 171.83 cms1= 4 cm
hembrasn2=39X2= 173.6 cms2= 6.15 cm
2. Supuestos:
Los datos constituyen muestras aleatorias INDEPENDIENTES,se desconoce la varianza pero se supone que es igual en
ambas poblaciones.
(Independientes significa que no existe relación entre losindividuos de una y otra población. Por ej. No son hermanos)
3. Hipótesis:
H0: 2 - 1= 0 HA: 2 - 1 0
4. Estadística de prueba:
(X1 - X2) - (1 - 2) t= s2
P s2P
+ n1 n2
5. Distribución de la estadística de prueba
Cuando la hipótesis nula es verdadera, la estadísticade prueba sigue la distribución t de Student con
n1 + n2 - 2 grados de libertad
6. Regla de decisión
Sea = 0.05, los valores críticos de t son 1.99
Se rechaza H0 a menos que -1.99<tcalculada<1.99
7. Estadística de prueba calculada:
A) varianza promedio s2P
(n1-1)s21 + (n2-1)s2
2
s2P=
n1 +n2 -2
(38-1)42 + (39-1)6.152 592 + 1437.3s2
P= = = 27.1 38 + 39 -2 75
B) Estadística calculada
(171.83 - 173.6) - 0 -1.77 t= = = -1.26 27.1 27.1 1.4 + 38 39
8. Decisión estadística:
No puede rechazarse H0, ya que -1.99 < 1.26 < 1.99
9. Conclusión:
Con los datos disponibles no se puede concluir que el perímetro torácico de los caballos chilenos, machosy hembras, sea diferente.
Intervalo de confianza para la media real de la diferencia en la población
ExxExx )(<)(<)( 212121
2
22
1
21
2/ nnzE
Cuando se conoce la varianza de la población
Ej: concentración de ácido úrico en individuos con y sin sídrome de Down
Individuos con síndrome de Down, X1= 4. 5 mg/100 mlIndividuos normales, X2= 3.4 mg/100 ml
Diferencia observada 4.5 – 3.4= 1.1
Límite inferior= 1.1–0.759= 0.341Límite superor= 1.1+0. 759 = 1.859
Con un 95% de confianza la diferencia real entre los promedios de las concentraciones de ácido úrico de las personas con y sin síndrome de Down, se encuentra entre 0.341 y 1. 859 mg/100 ml (observe que este intervalo no incluye al cero).
957.0511
121
1.96 E
Intervalo de confianza para la media real de la diferencia en la población
ExxExx )(<)(<)( 212121
2
2
1
2
/ ns
ns
tE PPGlP
Cuando no se conoce la varianza de la población
Ej: perímetro toráxico en caballos machos y hembras
Perímetro de machos= 171.83 cmPerímetro de hembras= 173.6 cm
Diferencia observada= 171.83 – 173.6 = –1.77
Límite inferior= –1.77–2.36 =–4.13Límite superior= –1.77+2.36=0.59
Con un 95% de confianza la media real de ladiferencia puede ser cero
36.239
1.2738
1.2799.1 E
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