comprobaciÓn experimental del efecto piel en conductores
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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
COMPROBACION EXPERIMENTAL
DEL EFECTO PIEL EN
CONDUCTORES
por
ESTEBAN ESCOBAR LONDONO
DANIEL EDUARDO SALAZAR CORREA
Una tesis presentada en cumplimiento parcial para el
grado de Licenciado en Fısica
en la
Facultad de Ciencias y Educacion
Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica
15 de agosto de 2018
Declaracion de Autorıa
NOSOTROS, ESTEBAN ESCOBAR LONDONO Y DANIEL EDUARDO SALAZAR
CORREA, declaramos que esta tesis titulada, ’COMPROBACION EXPERIMENTAL
DEL EFECTO PIEL EN CONDUCTORES’ y el trabajo presentado en ella son nuestros.
Lo confirmamos:
Este trabajo se realizo total o principalmente mientras nos encontrabamos en la
candidatura para un tıtulo de licenciatura en esta Universidad.
Si alguna parte de esta tesis ha sido presentada previamente para un tıtulo o
cualquier otra titulacion en esta Universidad o cualquier otra institucion, esto ha
sido claramente establecido.
Cuando hemos consultado el trabajo publicado de otros, esto siempre se atribuye
claramente.
Donde hemos citado del trabajo de otros, se da siempre la fuente. Con la excepcion
de tales citas, esta tesis es completamente nuestro propio trabajo.
Reconocimos todas las principales fuentes de ayuda.
Cuando la tesis se basa en el trabajo hecho por nosotros mismos junto con otros,
hemos dejado en claro exactamente lo que otros hicieron y lo que nosotros contri-
buimos.
Firma:
Fecha:
i
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
Resumen
Facultad de Ciencias y Educacion
Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica
Licenciado en Fısica
por ESTEBAN ESCOBAR LONDONO
DANIEL EDUARDO SALAZAR CORREA
En este documento estudiaremos de manera experimental la manifestacion del efecto piel
en diferentes conductores, basandose en el montaje experimental de las cuatro puntas
para medir la resistividad de los materiales. A partir de la resistividad determinaremos
el valor de la conductividad de estos y mediante las ecuaciones planteadas teoricamen-
te determinar el valor de la profundidad pelicular y de la corriente en funcion de la
frecuencia para ası evidenciar el efecto piel.
Agradecimientos
. . . A nuestros padres quienes a lo largo de toda nuestra vida nos han apoyado y motivado
en toda nuestra formacion academica, por sus consejos, sus valores, por la motivacion
constante que nos han permitido ser personas de bien, por los ejemplos de perseverancia
y constancia que los caracterizan y que nos han infundado siempre, pero mas que nada,
por su amor.
A nuestro director de tesis, Lic. Luis Augusto Mendez Mejıa por su esfuerzo y dedicacion,
por su vision crıtica de muchos aspectos cotidianos de la vida, por su rectitud en su
profesion como docente, por sus consejos, quien con sus conocimientos, su experiencia,
su paciencia y su motivacion ha logrado formarnos como personas y hombres de ciencia.
Tambien nos gustarıa agradecer a nuestros profesores a quienes les debemos gran parte
de nuestros conocimientos, gracias por su paciencia y ensenanza durante esta formacion
academica, en especial al Lic. Edwin Munevar Espitia por su tiempo compartido, por su
apoyo, por sus consejos y por impulsar el desarrollo de nuestra formacion profesional.
Gracias Ingenieros Eduardo Rodrıguez Mora, Andres Ruben Baron Aldana y Nelson
Enrique Fuentes Amaya por creer en nosotros, por habernos brindado la oportunidad
de desarrollar nuestra tesis profesional en los laboratorios de la universidad Distrital
Francisco Jose de Caldas, por el apoyo que nos fue otorgado en especial por el inge-
niero Eduardo Rodrıguez Mora, quien gracias a su tiempo, paciencia y conocimientos
brindados logramos culminar este trabajo de grado.
A la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas, la cual abre sus puertas a jovenes
como nosotros, preparandonos para un futuro competitivo y formandonos como profe-
sionales con sentido de seriedad, responsabilidad y rigor academico.
Son muchas las personas que han formado parte de nuestra vida profesional a las que nos
encantarıa agradecerles por su apoyo incondicional, por sus consejos, por su companıa
y por todo lo que nos han brindado para la culminacion de nuestra carrera.
A todos muchas gracias.
Esteban Escobar Londono
Daniel Eduardo Salazar Correa
iii
Indice general
Declaracion de Autorıa I
Resumen II
Agradecimientos III
Lista de Figuras VI
Lista de Tablas VII
Constantes Fısicas VIII
Sımbolos IX
1. Introduccion 1
1.1. Referentes Historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Marco Teorico 3
2.1. Variacion de la densidad de corriente con la frecuencia . . . . . . . . . . . 3
2.1.1. Componentes real e imaginaria del numero de onda . . . . . . . . 6
2.1.2. Profundidad Pelicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3. Ecuacion diferencial de la densidad de corriente . . . . . . . . . . . 11
3. Procedimiento Experimental 17
3.1. Montaje y materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Analisis y Resultados 20
4.1. Corriente directa (DC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.1. Resistividad y conductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.2. Tubos de Cobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.3. Tubos de Aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.4. Varillas de Aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2. Corriente alterna (AC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.1. Profundidad pelicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. Conclusiones 29
iv
Contenido v
A. Ecuaciones de Maxwell para un medio material 30
B. Fluorescencia de rayos X 33
C. Tablas y graficas 36
C.1. Tablas y graficas DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
C.2. Tablas y graficas AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
D. Materiales utilizados 65
Bibliografıa 68
Indice de figuras
2.1. Alambre conductor cilındrico orientado en la direccion z. . . . . . . . . . . 11
2.2. Corriente circulando por un conductor cilındrico. . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1. Ilustracion del circuito utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1. Grafica de voltaje en funcion de la corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2. Grafica de corriente en funcion de la frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . 23
B.1. Calibracion de CASSY Lab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
B.2. Pico de energıa para el cobre (Cu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
B.3. Picos de energıa para el aluminio (Al). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
D.1. Tubos de aluminio de diferente radio y longitud. . . . . . . . . . . . . . . 65
D.2. Tubos de cobre de diferente radio y longitud. . . . . . . . . . . . . . . . . 66
D.3. Varillas de aluminio de diferente radio y longitud. . . . . . . . . . . . . . . 66
D.4. Montaje para corriente directa utilizando la fuente Bench Power Supply,el amplificador de senal Universal Measuring Amplifier y dos multımetrospara la medicion de corriente y voltaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
D.5. Montaje para corriente alterna utilizando el generador de funciones y dosmultımetros para la medicion de corriente y voltaje teniendo en cuenta lafrecuencia de la senal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
vi
Indice de cuadros
4.1. Tabla de datos tubo aluminio grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2. Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de los tubos de cobre . 22
4.3. Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de los tubos de aluminio 22
4.4. Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de las varillas de alu-minio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5. Tabla de datos tubo de aluminio grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio grande. . . . . . . . . 25
4.7. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio mediano. . . . . . . . . 25
4.8. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio pequeno. . . . . . . . . 26
4.9. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre grande. . . . . . . . . . . 26
4.10. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre mediano. . . . . . . . . . 27
4.11. Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre pequeno. . . . . . . . . . 27
4.12. Profundidad pelicular (δ) para la varilla de aluminio delgada. . . . . . . . 28
4.13. Profundidad pelicular (δ) para la varilla de aluminio gruesa. . . . . . . . . 28
vii
Constantes Fısicas
Permitividad Electrica ε = ε0 = 8, 8541878176× 10−12(Fm
)Permeabilidad Magnetica µ = µ0 = 4π × 10−7
(NA2
)Tiempo de Relajacion τ = 10−4 (s)
viii
Sımbolos
~D Densidad de flujo electrico(Cm2
)~H Vector de intensidad magnetica
(Am
)~J Densidad de corriente
(Am2
)σ Conductividad Ω−1 ∗m−1
K Numero de onda m−1
δ Profundidad pelicular m
ρl Densidad de carga libre(Cm3
)ω frecuencia angular rads−1
f Frecuencia s−1
~P Polarizacion Electrica C×m2
~M Magnetizacion(Am
)
ix
Capıtulo 1
Introduccion
Existen gran cantidad de fenomenos, efectos y aplicaciones basados en la corriente electri-
ca y campos electromagneticos, pero se debe considerar que los fenomenos o efectos
varıan segun el tipo de campo o corriente utilizada, es decir, si los campos electro-
magneticos son campos oscilantes o no, y si la corriente electrica es directa o alterna.
Para nuestro caso especial, nos centraremos en los efectos que producen los campos
electromagneticos oscilantes y la corriente alterna sobre los conductores.
1.1. Referentes Historicos
Cuando hablamos de los efectos y fenomenos que podrıa ocasionar la corriente alterna
en un conductor, nos remitimos alrededor de la epoca de 1850. Gustav Kirchhoff fue
uno de los primeros en hablar acerca del fenomeno que ocurrirıa al trabajar con la
corriente alterna, al mencionar que deberıa haber una distribucion no uniforme de la
corriente a traves de la seccion transversal de un conductor. Por otro lado, Maxwell, en su
Tratado Sobre la Electricidad y Magnetismo, menciona que al incrementar la frecuencia
de la corriente alterna, la corriente tiende a fluir cada vez mas cerca a la superficie del
conductor, es decir, que la region central del conductor no lleva ninguna corriente.
Luego de que Kirchhoff y Maxwell abordaran este fenomeno, Horace Lamb realizo el
tratamiento matematico para observar los efectos de la corriente alterna. Lamb, en
su artıculo de 1883 On Electrical Motions in a Spherical Conductor pretende estudiar
como es el movimiento de la corriente en un conductor esferico producido por la accion
electrica o magnetica fuera del mismo. En dicho artıculo, Lamb realiza varios calculos
sobre diferentes efectos electromagneticos, en especial para una esfera metalica inmersa
en campo oscilante. Durante este experimento, Lamb observo como la perturbacion
1
2
dentro de la esfera consistıa en una serie de ondas que decaen rapidamente, lo cual le
indicaba que la corriente se encuentra mayormente confinada a una pequena seccion en
la superficie del conductor. Luego de los resultados obtenidos por Lamb, Heaviside logro
generalizar los resultados para cualquier conductor de cualquier geometrıa. Luego de
los resultados postulados por Lamb y Heaviside se establecio lo que se conoce como el
Efecto Piel.
Capıtulo 2
Marco Teorico
Debido a que nuestro trabajo se enfoca en el estudio de la corriente alterna a traves de un
material conductor, es necesario recurrir al estudio de las ondas electromagneticas en los
medios materiales. Queremos encontrar relaciones directas entre la densidad de corriente
y la resistencia con la frecuencia, ademas de encontrar el termino que permita calcular
la profundidad pelicular. Para lograr lo anterior recurrimos entonces a las ecuaciones de
Maxwell para un medio material.
2.1. Variacion de la densidad de corriente con la frecuencia
Las ecuaciones de Maxwell para un medio material en el SI son (la demostracion de
como obtener estas ecuaciones se presenta en el apendice A):
~∇ · ~D = ρ (2.1)
~∇× ~E = −∂~B
∂t(2.2)
~∇ · ~B = 0 (2.3)
~∇× ~H = ~J +∂ ~D
∂t(2.4)
donde ~D es la densidad de flujo electrico, ~H es el vector de intensidad magnetica y ~J la
densidad de corriente.
3
4
A continuacion se muestran las relaciones entre el campo electrico ~E y la densidad de
flujo electrico ~D y la densidad de corriente ~J ; entre el campo magnetico ~B y la intensidad
magnetica ~H, considerando que el medio sea homogeneo y lineal.
~D = ε ~E (2.5)
~J = σ ~E (2.6)
~B = µ ~H (2.7)
ε, µ y σ son la permitividad, la permeabilidad y la conductividad del medio, respectiva-
mente. Ademas las relaciones (2.5), (2.6) y (2.7) son lineales. Sin embargo, la relacion
(2.6) solo es valida en equilibrio, en la gran mayorıa de los conductores el tiempo de
relajacion τ es del orden de 10−4s.
Ahora reescribiremos la ecuacion (2.4) en terminos de ~B y de ~E utilizando las relaciones
(2.5) y (2.7):
~∇×
(~B
µ
)= ~J +
∂(ε ~E)
∂t(2.8)
Ademas, si utilizamos la relacion (2.6) podemos escribir ~E en funcion de ~J :
~∇× ~B = µ~J +µε
σ
∂ ~J
∂t(2.9)
Aplicando el rotacional a la ecuacion (2.6) tenemos
~∇× ~J = σ(~∇× ~E) (2.10)
Reemplazando la ecuacion (2.2) en (2.10) y aplicando el rotacional nuevamente
~∇× (~∇× ~J) = −σ~∇×
(∂( ~B)
∂t
)(2.11)
al ser (~∇) y (∂/∂t) operadores lineales
5
~∇× (~∇× ~J) = −σ
(∂(~∇× ~B)
∂t
)(2.12)
Si desarrollamos el rotacional de un rotacional y reemplazamos la ecuacion (2.9) en
(2.12) tendremos:
~∇(~∇ · ~J)−∇2 ~J = −σ ∂∂t
(µ~J +
µε
σ
∂ ~J
∂t
)(2.13)
Para corrientes continuas y conductividad uniforme se tiene que ~∇ · ~J = 0, esto se debe
a que el tiempo τ en el que se disipa la densidad de carga ρ es muy corto. Teniendo en
cuenta que ~J es funcion de la posicion y el tiempo.
∇2 ~J(r, t) = µε∂2 ~J(r, t)
∂t2+ σµ
∂ ~J(r, t)
∂t(2.14)
De esta manera hemos obtenido una ecuacion de onda para la densidad de corriente en
el conductor. Esta ecuacion de onda admite como solucion una onda plana, es decir, una
solucion de la forma:
~J(r, t) = ~J0ei(Kr−ωt) (2.15)
Reemplazando esta solucion en la ecuacion (2.14), separando las variables temporales y
espaciales de la ecuacion anterior y efectuando las respectivas derivadas temporales:
∇2( ~J0ei(Kr))e−iωt = µε
∂2e−iωt
∂t2~J0e
iKr + σµ∂e−iωt
∂t~J0e
iKr (2.16)
∂e−iωt
∂t= −iωe−iωt (2.17)
∂2e−iωt
∂t2= −ω2e−iωt (2.18)
Por lo tanto, reemplazando estos resultados en la ecuacion (2.16)
∇2( ~J0ei(Kr))e−iωt = µε(−ω2e−iωt) ~J0e
iKr + σµ(−iωe−iωt) ~J0eiKr (2.19)
6
De la ecuacion (2.19) es posible simplificar la parte temporal e−iωt y llamando ~J(r) =
~J0eiKr , resulta:
∇2 ~J(r) = −(µεω2 + iσµω) ~J(r) (2.20)
En donde tenemos que
K 2 = µεω2 + iµσω (2.21)
es decir, el numero de onda es un numero complejo definido como:
K = α+ iβ (2.22)
La ecuacion (2.20) puede escribirse como:
∇2 ~J(r) + K 2 ~J(r) = 0 (2.23)
2.1.1. Componentes real e imaginaria del numero de onda
Ahora determinaremos las componentes real e imaginaria del numero de onda K , para
ello, elevaremos al cuadrado la ecuacion (2.22)
K 2 = (α+ iβ)2 = α2 − β2 + i2αβ (2.24)
Igualando las ecuaciones (2.21) y (2.24)
α2 − β2 + i2αβ = µεω2 + iµσω (2.25)
Ası, podemos obtener la parte real y la parte imaginaria del numero de onda elevado al
cuadrado:
<(K 2 ) = α2 − β2 = µεω2 (2.26)
=(K 2 ) = 2αβ = µσω (2.27)
7
De la ecuacion (2.27) se obtiene
β =µσω
2α(2.28)
Si reemplazamos la ecuacion (2.28) en la ecuacion (2.26), podemos determinar α
α4 − α2µεω2 −(µσω
2
)2= 0 (2.29)
La ecuacion (2.29) es una ecuacion cuadratica para α2, tomando solamente la parte
positiva de la raız para que la solucion de α2 sea positiva y realizando un poco de
algebra se obtiene
α2 =µεω2
2+µεω2
2
√1 +
( σεω
)2=µεω2
2
(1 +
√1 +
( σεω
)2)(2.30)
Ahora, para determinar α sacamos raız cuadrada a la ecuacion (2.30)
α =
√µεω2
2
(1 +
√1 +
( σεω
)2)1/2
(2.31)
Ahora determinaremos β2, para ello reemplazamos la ecuacion (2.30) en (2.26)
β2 =µεω2
2+µεω2
2
√1 +
( σεω
)2− µεω2 (2.32)
Realizando el algebra necesaria y sacando la raız cuadrada se obtiene
β =
√µεω2
2
(√1 +
( σεω
)2− 1
)1/2
(2.33)
2.1.2. Profundidad Pelicular
Ahora, al reemplazar la ecuacion (2.22) en la ecuacion (2.15), es posible observar de
forma mas acertada el comportamiento de la densidad de corriente.
~J(r, t) = ~J0e−βrei(αr−ωt) (2.34)
8
Esta ultima ecuacion nos muestra que la densidad de corriente decae con r debido al
termino e−βr, es decir, se esta presentando una atenuacion de la onda. La distancia
caracterıstica con la cual decae la onda se conoce como profundidad pelicular y esta es
la distancia tıpica que una onda electromagnetica penetra en un conductor. Dado que β
posee unidades de m−1, la profundidad pelicular sera entonces:
δ =1
β(2.35)
Cuando se trabaja con diferentes materiales conductores se debe tener en cuenta si estos
materiales son lo que se denomina “buenos” o “malos” conductores, lo cual conlleva a que
se den diferentes valores y expresiones para la profundidad pelicular. Para comprender
mejor lo que es un “buen” y “mal” conductor partiremos de la ecuacion de continuidad
para las cargas libres (ρl) dentro de un conductor:
∂ρl∂t
= −~∇ · ~Jl (2.36)
Utilizando las relaciones (2.5) y (2.6)
~∇ · ~Jl = σ~∇ · ~E =σ
ε~∇ · ~D (2.37)
Reemplazando la ecuacion (2.1) obtenemos:
σ
ε~∇ · ~D =
σ
ερl (2.38)
Por lo tanto la ecuacion de continuidad resulta ser:
∂ρl∂t
= −σερl (2.39)
Integrando para hallar ρl
∫∂ρlρl
= −σε
∫∂t (2.40)
ρl(t) = Ce−σεt (2.41)
9
Ahora, teniendo en cuenta la condicion inicial para t = 0, es posible determinar la
constante C.
ρl(0) = C (2.42)
Ası que:
ρl(t) = ρl(0)e−σεt (2.43)
Ası, hemos determinado la densidad de cargas libres en funcion del tiempo. De la ecua-
cion anterior se puede observar que la densidad de cargas libres decae en una escala
de tiempo de τ = εσ , este tiempo se conoce como el tiempo de relajacion y nos indica
cuan rapido se reordenan las cargas libres dentro del conductor. Ahora bien, en un buen
conductor el tiempo de relajacion es bastante pequeno, es decir el caso en el que σ →∞,
cualquier exceso de cargas libres dentro del conductor se reordenara rapidamente y el
conductor regresara a su estado de equilibrio, en otras palabras, permite que las car-
gas libres fluyan rapidamente a traves del mismo. Por otro lado, cuando el tiempo de
relajacion es bastante grande, es decir cuando el valor de σ es muy pequeno hablamos
de malos conductores. Que el tiempo de relajacion sea muy pequeno nos indica que las
cargas libres se mantienen durante un largo periodo de tiempo en el conductor, no fluyen
con rapidez.
Teniendo en cuenta lo anterior, la expresion para determinar la profundidad pelicular
δ varıa segun el tipo de conductor. Para encontrar las nuevas expresiones, realizaremos
una aproximacion de δ teniendo en cuenta las condiciones que debe tener σ para cada
tipo de conductor.
Para malos conductores, se tiene la condicion de que σ es muy pequeno, por tanto, si
tenemos en cuenta la ecuacion (2.33) el termino σεω → 0 o σ << εω. En primer lugar
nos enfocaremos en el termino√
1 + (σ/εω)2 y realizaremos una expansion de esta raız.
Este termino es de la forma:
(1 + x)1/2 (2.44)
Si se tiene que x << 1, es posible aproximar la ecuacion (2.44) solamente al termino de
primer orden
(1 + x)1/2 ≈ 1 +x
2(2.45)
10
Ahora, si cambiamos x por el termino que se encuentra en la raız (σ/εω)2 y tenemos
en cuenta que este valor es muy pequeno y mucho menor que uno, podemos realizar la
misma aproximacion
(1 +
( σεω
)2)1/2
≈ 1 +1
2
( σεω
)2(2.46)
Al obtener esta aproximacion, podemos reemplazarla en la ecuacion (2.33)
β ≈√µεω2
2
(1 +
1
2(σ
εω)2 − 1
)1/2
(2.47)
β ≈√µσ2
4ε(2.48)
Por lo tanto la profundidad pelicular cuando se trabaja con malos conductores sera:
δ =1
β=
√4ε
µσ2(2.49)
Ahora para buenos conductores tenemos que el valor de la conductividad del material es
muy alta σ →∞, por lo que ahora el termino σεω →∞ o σ >> εω. Teniendo en cuenta
que el termino al cuadrado dentro de la raız√
1 + (σ/εω)2 es muchısimo mayor que 1,
se puede aproximar a:
(1 +
( σεω
)2)1/2
≈(( σ
εω
)2)1/2
≈ σ
εω(2.50)
Entonces, la ecuacion (2.33) se puede escribir como:
β =
√µεω2
2
( σεω− 1)1/2
(2.51)
Al ser el termino σ/εω >> 1 se puede hacer la misma aproximacion anterior, pues al
tender al infinito sumarle o restarle un 1 no afectara su valor. Ası:
β =
√µωσ
2(2.52)
Por lo tanto la profundidad pelicular para buenos conductores viene dada por:
11
δ =1
β=
√2
µωσ(2.53)
Comparando ahora las ecuaciones (2.49) y (2.53) podemos observar que la profundidad
pelicular para malos conductores no depende de la frecuencia, mientras que para los
buenos conductores si existe una dependencia de esta. Ademas de esto, es posible notar
como la profundidad pelicular para malos conductores es mucho mayor que para los
buenos conductores, pues en malos conductores δ depende inversamente de σ2 y al ser
un mal conductor el valor de la conductividad es muy pequeno, por lo que δ toma un
valor grande. Por el contrario, para buenos conductores δ depende inversamente de la
conductividad y para el caso de buenos conductores σ tiende a infinito, por lo que el
valor de δ sera muy pequeno.
2.1.3. Ecuacion diferencial de la densidad de corriente
Ya que hemos encontrado las expresiones para la profundidad pelicular en buenos y
malos conductores, volvemos a centrarnos en la ecuacion de la densidad de corriente y
procederemos a resolver la ecuacion diferencial (2.23)
Considerando que el conductor es un alambre cilındrico, donde queremos determinar la
densidad de corriente en el radio r del alambre de seccion transversal circular y radio a
entonces:
Figura 2.1: Alambre conductor cilındrico orientado en la direccion z.
Teniendo en cuenta la simetrıa cilındrica del problema, tendremos las siguientes condi-
ciones de frontera:
Bn1 = Bn2 (2.54)
Bt1µr1
=Bt2µr2
(2.55)
12
En2 =Jn2σ2
= 0 (2.56)
En donde los subındices n hacen referencia a la componente normal a la superficie del
conductor, en estos casos las componentes normales del campo magnetico ~B, del campo
electrico ~E y la densidad de corriente ~J . El subındice t hace referencia a las componentes
tangenciales en este caso del campo magnetico ~B y la densidad de corriente ~J . Y los
subındices 1 y 2 hacen referencia al aire y al material conductor, respectivamente.
Si nos centramos en la condicion de frontera (2.56) podemos observar que se debe a la
existencia de un medio fuera del conductor, ya sea el aire o el vacıo, y por dicho medio
no circula corriente ya que este es un medio no conductor. Ademas es posible obtener
otra interpretacion de la condicion (2.56) y es que la densidad de corriente del conductor
normal a la superficie, es decir perpendicular a esta, no puede existir debido a que la
densidad de corriente y la corriente como tal son paralelas al conductor, para ilustrar
mejor esto recurriremos a la siguiente imagen:
Figura 2.2: Corriente circulando por un conductor cilındrico.
Si operamos el Laplaciano en coordenadas cilındricas y tenemos una unica dependencia
del radio, es decir, no hay dependencia azimutal ni dependencia de z (no depende del
largo del conductor), podemos escribir el Laplaciano de la ecuacion (2.23) como:
∇2 ~J(r) =1
r
d
dr
(rd
dr~J(r)
)(2.57)
Operando las derivadas y abriendo el parentesis tenemos:
∇2 ~J(r) =1
r
dr
dr
d ~J(r)
dr+
1
rrd
dr
(d ~J(r)
dr
)=
1
r
d ~J(r)
dr+d2 ~J(r)
dr2(2.58)
Reemplazando el Laplaciano en la ecuacion (2.23), reescribiremos la ecuacion anterior
como:
13
d2 ~J(r)
dr2+
1
r
d ~J(r)
dr+ K 2 ~J(r) = 0 (2.59)
La solucion para la ecuacion diferencial (2.59) son las funciones de Bessel modificadas de
orden cero. Teniendo en cuenta que la constante K es un numero complejo, la solucion
para esta ecuacion se puede escribir como:
~J(r) = c1J0(Kr) + c2H0(Kr) (2.60)
En donde J0(Kr) son las funciones de Bessel modificadas de orden cero y H0(Kr) son
las funciones de Bessel modificadas de segunda clase de orden cero, con la condicion
de que r > 0. Llamaremos a Kr = x para mostrar la forma de las funciones de Bessel
modificadas que utilizaremos.
I0(x) = 1 +1
22x2 +
1
2242x4 +
1
224262x6 + . . . (2.61)
H0(x) = (ln (2)− γ)I0(x)− I0(x) ln (x) +1
4x2 + . . . (2.62)
En donde γ es la constante de Euler cuyo valor es aproximadamente 0, 577215 . . .
Ahora, si observamos la solucion de la ecuacion (2.59) y observamos la forma de cada
una de las funciones de Bessel, es posible observar como la constante c2 en la ecuacion
(2.60) se hace cero. Esto sucede al evaluar el lımite de las funciones de Bessel cuando nos
acercamos a cero (r → 0), nos acercamos al origen, la funcion H0(x) diverge a infinito
debido al termino de ln (x) que esta posee, ademas que el logaritmo natural de cero
no existe, mientras que el lımite de la funcion J0(x) converge a cero. Por esto se hace
necesario considerar a la constante (c2 = 0) para unicamente basarnos en las soluciones
que converjan, pues el valor de la densidad de corriente no puede tender a infinito en el
origen, ya que el efecto piel nos lo indica, en el origen o evaluando a (r = 0) o (r → 0)
esta densidad de corriente debe ser mınima o tender a cero.
Ası, la ecuacion (2.60) sera
~J(r) = c1J0(Kr) (2.63)
Se debe determinar la constante c1, para esto usamos el hecho de que a traves del cilindro
homogeneo de radio a y longitud L a circula una corriente alterna dada por:
14
I(t) = I0eiωt (2.64)
Donde I0 es constante. Ası, el periodo de la corriente alterna es:
T =2π
ω(2.65)
En la ecuacion (2.64) la parte real, I0, es la corriente total, ası que por definicion la
corriente total viene dada por:
I0 =
∫~J · d~S (2.66)
Como hablamos de un conductor cilındrico en el cual nos interesa observar el compor-
tamiento con diferentes radios dentro de la circunferencia, d~S viene determinado por:
d~S = 2πrdr (2.67)
Esto debido a que el area de un cırculo, en pocas palabras, es la suma de las infinitas
circunferencias que se encuentran en el mismo, por lo tanto (2.66) sera:
I0 = 2π
∫ a
0r ~J(r)dr (2.68)
Reemplazando (2.63) en (2.68)
I0 = c12π
∫ a
0rJ0(Kr)dr (2.69)
La integral de la ecuacion (2.69) es una integral definida que tiene por solucion:
∫xI0(αx)dx =
x
αI ′0(αx) + c (2.70)
Por lo tanto, la solucion a la integral de la ecuacion (2.69) es:
∫ a
0rJ0(Kr)dr =
a
KJ ′0(Ka) (2.71)
Ası, la ecuacion (2.69) resulta ser
15
I0 = 2πc1a
KJ ′0(Ka) (2.72)
Despejando la constante c1 de la ecuacion anterior y reemplazando el valor de la cons-
tante en la ecuacion (2.63)
~J(r) =I0K
2πa
J0(Kr)
J ′0(Ka)(2.73)
Y reemplazando la ecuacion (2.73) en (2.15)
~J(r, t) =
(I0K
2πa
J0(Kr)
J ′0(Ka)
)e−iωt (2.74)
Sabemos que toda la corriente fluye a traves del cilindro de radio r dentro del alambre,
por lo tanto utilizando (2.74) determinaremos la corriente en general:
~J(r, t) =I0Ke
−iωt
2πaJ ′0(Ka)
∫ r
02πrJ0(Kr)dr (2.75)
De la ecuacion (2.71) sabemos que la solucion a la integral en la ecuacion anterior es:
~J(r, t) =I0Ke
−iωt
2πaJ ′0(Ka)
2πr
KJ ′′0 (Kr) (2.76)
~J(r, t) = I0e−iωt r
a
J ′′0 (Kr)
J ′0(Ka)(2.77)
Teniendo en cuenta que I0 es constante, nos centraremos en la parte espacial de la
densidad de corriente:
~J(r) = I0r
a
J ′′0 (Kr)
J ′0(Ka)(2.78)
Aquı el termino rJ ′′0 (Kr) representa la corriente en el cilindro de radio r, y aJ ′0(Ka)
representa la corriente total en el alambre.
De la relacion (2.21), cuando la frecuencia ω es grande, la magnitud de K es grande
y la solucion mostrada en (2.61) cambia cuando x es muy grande, esto se llama el
comportamiento asintotico, por lo tanto la solucion de la funcion de Bessel I0 es diferente
a la mostrada en (2.61), para valores muy grandes de x, I0 es:
16
I0 = cex√x
(1 +
1
8
1
x+
32
2 ∗ 821
x2+
3252
3!831
x3325272
4!841
x4+ . . .
)(2.79)
De la ecuacion (2.78)
rJ ′′0 (Kr) ≈ r eKr
√Kr
(2.80)
aJ ′0(Ka) ≈ a eKa
√Ka
(2.81)
Por lo tanto, la ecuacion (2.78) se puede escribir como:
~J(r) =
(I0r
a
eKr√Kr
√Ka
eKa
)(2.82)
Simplificando tenemos
~J(r) = I0
√r
a(e−K(a−r)) (2.83)
Reemplazando (2.21) en (2.83)
~J(r, ω) = I0
√r
a(e−(√µεω2+iµσω)(a−r)) (2.84)
La ecuacion (2.84) es valida para 0 < r < a y esta ecuacion nos indica que al acercarnos
a la superficie del cilindro conductor la densidad de corriente aumenta por lo tanto la
expresion√
ra(e−(
√µεω2+iµσω(a−r)) puede hacerse tan pequeno como se quiera, tomando
la frecuencia ω suficientemente grande, lo cual significa que para frecuencias grandes
la mayor parte de la corriente esta fluyendo cerca de la superficie exterior del cilindro,
apareciendo aquı el efecto piel.
Capıtulo 3
Procedimiento Experimental
3.1. Montaje y materiales
Para realizar la parte experimental se utilizaron varios dispositivos de medicion y 8
tubos diferentes. Estos 8 tubos se dividıan en 3 tubos de cobre, 3 tubos de aluminio y 2
varillas (tubos macizos) de aluminio con diferentes radios y longitudes. A continuacion,
se describiran los tubos y los aparatos de medicion utilizados:
1. Tubos de cobre: El primer tubo de cobre, al que denominaremos “tubo grande”
tenıa un radio exterior (Rext) de 0,04127 m, un radio interior (Rint) de 0,03787 m
y una longitud (L) de 0,46 m.
El segundo tubo de cobre, al que denominaremos ”tubo mediano”tenıa un radio
exterior (Rext) de 0,03495 m, un radio interior (Rint) de 0,03177 m y una longitud
(L) de 0,47 m.
El tercer tubo de cobre, al que denominaremos ”tubo pequeno”tenıa un radio
exterior (Rext) de 0,02858 m, un radio interior (Rint) de 0,02578 m y una longitud
(L) de 0,489 m.
2. Tubos de aluminio: El primer tubo de aluminio, al que denominaremos ”tubo
grande”tenıa un radio exterior (Rext) de 0,03175 m, un radio interior (Rint) de
0,02911 m y una longitud (L) de 0,499 m.
El segundo tubo de aluminio, al que denominaremos ”tubo mediano”tenıa un radio
exterior (Rext) de 0,02540 m, un radio interior (Rint) de 0,02210 m y una longitud
(L) de 0,45 m.
El tercer tubo de aluminio, al que denominaremos ”tubo pequeno”tenıa un radio
exterior (Rext) de 0,02222 m, un radio interior (Rint) de 0,01978 m y una longitud
(L) de 0,452 m.
17
18
3. Varillas de aluminio: La primera varilla de aluminio, la cual denominaremos como
”varilla gruesa”tenıa un radio (R) de 0,020115 m y una longitud (L) de 0,195 m.
La segunda varilla de aluminio, la cual denominaremos como ”varilla delgada”tenıa
un radio (R) de 0,01252 m y una longitud (L) de 0,478 m.
4. Generador de funciones: Se utilizo un generador de funciones de Leybold, el cual
nos permitıa variar la frecuencia de la corriente alterna. Con este generador se
lograban maximo 3 Amperios como lımite de corriente que soporta el aparato y se
alcanzaba una frecuencia de maximo 100 kHz.
5. Universal measuring amplifier: El amplificador de medicion se usa para amplificar
senales de medicion que no se pueden medir directamente, ya sea debido a la alta
resistencia de la fuente de senal o a la baja amplitud. Si las senales de medicion son
muy pequenas (en el rango de microvoltios), se trabaja en el modo “Low Drift”.
En este modo, la senal puede amplificarse en varios ordenes de magnitud, teniendo
particularmente en cuenta una posicion cero estable de la senal (“Low Drift”). En
este modo de funcionamiento, las senales superpuestas por ruido de frecuencia mas
alta u otras senales interferentes pueden suavizarse mediante un filtro de paso bajo
con constante de tiempo ajustable (0 ... 3 s). Junto a los voltajes, las intensidades
de corriente y las cargas electricas tambien se pueden medir facilmente.
6. Bench Power Supply, Adjustable, Fixed, 3 Output, 0 V, 32 V, 0 A, 2.5 A: Ambas
salidas de la fuente se pueden conectar en paralelo o en serie mediante un inte-
rruptor en el panel frontal. La unidad de la mano izquierda esta operando como
la unidad de control maestra. Los valores de salida se indican en los medidores de
la unidad maestra (lado izquierdo). Las unidades estan equipadas con una tercera
salida que suministra un voltaje fijo de 3 a 6 voltios y un maximo de corriente de
2A. Esta salida se encuentra en el lado derecho con tomas de seguridad. La tension
se puede ajustar con un destornillador cerca de la salida.
Con estos aparatos se realizaron diferentes mediciones sobre los tubos, por ellos se hacıa
circular corriente directa (DC) y corriente alterna (AC), ubicando los tubos en el si-
guiente circuito:
Este circuito consiste en una fuente de energıa DC (fuente de triple poder), un am-
plificador de voltaje, un voltımetro el cual se conecta en paralelo a la resistencia y un
amperımetro que se encuentra en serie con la fuente y la resistencia, para nuestro caso
cada uno de los tubos conductores corresponde a la resistencia del circuito. Para las
mediciones de AC se utilizo un generador de audio en lugar de la fuente de triple poder
y el amplificador.
19
Figura 3.1: Ilustracion del circuito utilizado.
Todo esto se realizo con el objetivo de determinar la resistencia de cada tubo a partir de
la ley de Ohm, para a su vez determinar la resistividad de los tubos y por ende de cada
material, y a partir de este valor encontrar la conductividad. Todo esto para ası poder
calcular los valores de la profundidad pelicular y poder evidenciar el efecto piel en cada
conductor utilizado.
Capıtulo 4
Analisis y Resultados
4.1. Corriente directa (DC)
Inicialmente se obtuvieron las condiciones iniciales de cada tubo, estas involucran la
resistividad y conductividad de cada uno para poder obtener los resultados que permiten
obtener las condiciones iniciales, se realizo el montaje descrito anteriormente.
Se realizaron dos medidas, una con los valores de voltaje y corriente positivos y otras
con los valores negativos, con lo cual solo bastaba con cambiar la polaridad de los cables
en la fuente.
A continuacion se muestra una de las tablas de datos obtenidas en las mediciones con
su respectiva grafica, esta tabla y grafica corresponden al tubo de aluminio grande
realizando la medicion por la seccion interior del tubo.
Voltaje (V) Corriente (A) Voltaje (-V) Corriente (-A)
0.05 0.13 -0.05 -0.15
0.1 0.29 -0.1 -0.31
0.15 0.47 -0.15 -0.48
0.2 0.61 -0.2 -0.62
0.25 0.76 -0.25 -0.77
0.3 0.93 -0.3 -0.93
0.35 1.09 -0.35 -1.08
0.4 1.25 -0.4 -1.22
0.45 1.39 -0.45 -1.36
0.5 1.54 -0.5 -1.53
0.55 1.73 -0.55 -1.67
0.6 1.89 -0.6 -1.81
Cuadro 4.1: Tabla de datos tubo aluminio grande.
20
21
De la tabla anterior se realizo la respectiva grafica:
Figura 4.1: Grafica de voltaje en funcion de la corriente.
Se observa que la tendencia de la grafica es lineal, lo que nos permite estudiar de manera
mas sencilla los datos ya que la regresion lineal de la grafica se ajusta a la ley de Ohm,
esto nos permite obtener las condiciones iniciales del tubo, en este caso el valor de la
resistencia, con el cual se obtuvieron la resistividad y conductividad del material del que
estaba compuesto, especıficamente de aluminio.
El ajuste a la curva de la FIGURA 4.1 donde las mediciones se realizaron para un voltaje
(V-) tiene la siguiente forma:
V (I) = 0,332064(Ω) ∗ I + 0,005127(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.332064 y coincide con el valor de la resistencia, la cual
se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
El ajuste a la curva de la FIGURA 4.1 donde las mediciones se realizaron para un voltaje
(V+) tiene la siguiente forma:
V (I) = 0,315276(Ω) ∗ I + 0,005127(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.315276 y coincide con el valor de la resistencia, la cual
se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
22
4.1.1. Resistividad y conductividad
4.1.2. Tubos de Cobre
Resistencia Ω Radio Ext (m) Radio Int (m) Longitud (m) Resistividad (Ω ∗m) Conductividad (S/m)
Pequeno 0,00001905 0,02858 0,02578 0,489 1,86283*10−8 5,3682*107
Mediano 0,00002286 0,03495 0,03177 0,47 3,24199*10−8 3,0845*107
Grande 0,00001351 0,04127 0,03787 0,46 2,48269*10−8 4,0279*107
Cuadro 4.2: Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de los tubos de cobre
4.1.3. Tubos de Aluminio
Resistencia Ω Radio Ext (m) Radio Int (m) Longitud (m) Resistividad (Ω ∗m) Conductividad (S/m)
Pequeno 0,00003943 0,02222 0,01978 0,452 2,80852*10−8 3,5606*107
Mediano 0,0000287 0,0254 0,0221 0,45 3,1407*10−8 3,1840*107
Grande 0,00002825 0,03175 0,02911 0,499 2,85761*10−8 3,4994*107
Cuadro 4.3: Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de los tubos de alu-minio
4.1.4. Varillas de Aluminio
Resistencia (Ω) Radio (m) Longitud (m) Resistividad (Ω ∗m) Conductividad (S/m)
Delgado 0,00002286 0,012605 0,478 2,38717*10−8 4,1891*107
Grueso 0,00001779 0,020115 0,195 1,15966*10−7 8,6232*106
Cuadro 4.4: Tabla de dimensiones, resistividad y conductividad de las varillas dealuminio
4.2. Corriente alterna (AC)
Durante las mediciones se recolectaron datos de corriente, frecuencia y voltaje para cada
uno de los tubos y varillas utilizados, esto con el fin de observar el comportamiento y la
dependencia de la corriente y el voltaje en funcion de la frecuencia. A continuacion, se
muestran los resultados y las graficas obtenidas de la corriente en funcion de la frecuencia,
puesto que estas son las que mas nos interesan para analizar. La tabla de datos y grafica
que se mostraran a continuacion corresponden al tubo de aluminio grande realizando las
mediciones por la seccion exterior del tubo.
23
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13.2 2.81 0.041
18.02 2.53 0.062
23.05 2.24 0.076
28.28 1.94 0.091
33.04 1.64 0.098
38.21 1.29 0.1
43.14 0.92 0.092
48.05 0.59 0.081
53.18 0.3 0.064
58.1 0.14 0.048
63.17 0.06 0.032
68.06 0.03 0.022
73.14 0.02 0.015
78.15 0.01 0.01
Cuadro 4.5: Tabla de datos tubo de aluminio grande.
Figura 4.2: Grafica de corriente en funcion de la frecuencia.
Como se puede observar en las graficas de los 3 tubos de cobre, la corriente electrica
muestra una exponencial decreciente. Esto nos indica que la corriente electrica ira dis-
minuyendo exponencialmente a medida que la frecuencia aumente, lo que nos dice esto
es que la resistencia de cada tubo se ve afectada cuando la frecuencia aumente. lo cual
concuerda con los resultados teoricos y ecuaciones obtenidas en el marco teorico. Esto
se explica debido a que a medida que la frecuencia aumenta, la densidad de corriente
dentro del conductor se situa en una pequena porcion del mismo cercana a la superficie
24
lo cual disminuye el area transversal por donde esta circula, logrando ası un aumento en
la resistencia del conductor.
De la misma manera sucede con los tubos y varillas de aluminio, se observa una dismi-
nucion de forma exponencial de la corriente en funcion de la frecuencia, con lo cual se
logra evidenciar de cierta manera el efecto piel.
4.2.1. Profundidad pelicular
Ahora bien, ya que hemos encontrado los valores de la conductividad y la frecuencia
utilizada en nuestras mediciones, es posible determinar el valor de la profundidad pe-
licular para cada uno de los conductores utilizados. Para ello utilizaremos la ecuacion
(2.53), es decir, la ecuacion para la profundidad pelicular (δ) en buenos conductores,
pero cambiando la frecuencia angular (ω) en terminos de la frecuencia (f) utilizada en
las mediciones.
δ ≈√
2
2πfµσ(4.1)
δ ≈√
1
πfµσ(4.2)
Utilizando esta ecuacion hemos determinado los valores de la profundidad pelicular para
cada uno de los tubos utilizados.
De los datos obtenidos es posible evidenciar que los valores de la profundidad pelicular
son mayores a los valores del grosor de los tubos. Ademas, teniendo en cuenta una tabla
de valores de profundidad pelicular mostrada en la referencia [12], libro de Sadiku, en el
capıtulo 10 tabla 10.2, pagina 427, nos muestra la profundidad pelicular para el cobre,
teniendo en cuenta valores concretos de frecuencia como por ejemplo a 500Hz se tiene un
δ de 2.99 mm, aun ası en esta tabla no se muestran los valores para frecuencias entre 1
kHz a 100 kHz que fueron los utilizados en nuestro experimento. Ahora, si nos enfocamos
en la referencia [14], en este artıculo se observa que se obtiene un valor para δ de 2.06E-
03 m utilizando una frecuencia de 1 kHz y si comparamos nuestros datos obtenidos se
puede apreciar que hay una diferencia en una potencia de 10 aunque se logra aproximar
bastante el resultado. Estas diferencias entre la referencia [12] y nuestros datos es debido
a que en el libro de Sadiku la tabla se hace con valores teoricos y pre-definidos, y en
comparacion a la referencia [14] la diferencia radica en el uso de aparatos y metodos de
medicion diferentes a los utilizados en nuestro experimento.
25
Frecuencia (kHz) Conductividad (S/m) Profundidad (m) Profundidad (mm)
13,2 3,4994E+07 2,3417E-02 23,42
18,02 3,4994E+07 2,0042E-02 20,04
23,05 3,4994E+07 1,7721E-02 17,72
28,28 3,4994E+07 1,5999E-02 16,00
33,04 3,4994E+07 1,4801E-02 14,80
38,21 3,4994E+07 1,3764E-02 13,76
43,14 3,4994E+07 1,2953E-02 12,95
48,05 3,4994E+07 1,2274E-02 12,27
53,18 3,4994E+07 1,1667E-02 11,67
58,1 3,4994E+07 1,1162E-02 11,16
63,17 3,4994E+07 1,0705E-02 10,70
68,06 3,4994E+07 1,0313E-02 10,31
73,14 3,4994E+07 9,9482E-03 9,95
78,15 3,4994E+07 9,6241E-03 9,62
Cuadro 4.6: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio grande.
Frecuencia (kHz) Conductividad (S/m) Profundidad (m) Profundidad (mm)
13,1 3,1840E+07 2,4643E-02 24,64
18,04 3,1840E+07 2,1000E-02 21,00
23,06 3,1840E+07 1,8574E-02 18,57
28,06 3,1840E+07 1,6838E-02 16,84
33,04 3,1840E+07 1,5517E-02 15,52
38 3,1840E+07 1,4469E-02 14,47
43,08 3,1840E+07 1,3589E-02 13,59
48,04 3,1840E+07 1,2869E-02 12,87
53 3,1840E+07 1,2252E-02 12,25
58,07 3,1840E+07 1,1705E-02 11,70
63,14 3,1840E+07 1,1225E-02 11,22
68,04 3,1840E+07 1,0813E-02 10,81
73,1 3,1840E+07 1,0432E-02 10,43
78,16 3,1840E+07 1,0089E-02 10,09
83,16 3,1840E+07 9,7808E-03 9,78
88,01 3,1840E+07 9,5075E-03 9,51
Cuadro 4.7: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio mediano.
26
Frecuencia (kHz) Conductividad (S/m) Profundidad (m) Profundidad (mm)
13,2 3,5606E+07 2,3215E-02 23,22
18,03 3,5606E+07 1,9864E-02 19,86
23,06 3,5606E+07 1,7564E-02 17,56
28,05 3,5606E+07 1,5925E-02 15,93
33,01 3,5606E+07 1,4680E-02 14,68
38,17 3,5606E+07 1,3652E-02 13,65
43,14 3,5606E+07 1,2842E-02 12,84
48,02 3,5606E+07 1,2172E-02 12,17
53,18 3,5606E+07 1,1566E-02 11,57
58,25 3,5606E+07 1,1051E-02 11,05
63,1 3,5606E+07 1,0618E-02 10,62
68 3,5606E+07 1,0228E-02 10,23
73,02 3,5606E+07 9,8705E-03 9,87
78,09 3,5606E+07 9,5447E-03 9,54
83,16 3,1840E+07 9,7808E-03 9,78
88,01 3,1840E+07 9,5075E-03 9,51
Cuadro 4.8: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de aluminio pequeno.
Frecuencia (kHz) Conductividad (S/m) Profundidad (m) Profundidad (mm)
13,45 4,0279E+07 2,1623E-02 21,62
18,3 4,0279E+07 1,8538E-02 18,54
23,33 4,0279E+07 1,6418E-02 16,42
28,1 4,0279E+07 1,4960E-02 14,96
33,3 4,0279E+07 1,3742E-02 13,74
38,05 4,0279E+07 1,2856E-02 12,86
43,19 4,0279E+07 1,2067E-02 12,07
48,11 4,0279E+07 1,1433E-02 11,43
53,04 4,0279E+07 1,0889E-02 10,89
58,12 4,0279E+07 1,0402E-02 10,40
63,26 4,0279E+07 9,9705E-03 9,97
68,11 4,0279E+07 9,6089E-03 9,61
73,19 4,0279E+07 9,2695E-03 9,27
78,03 4,0279E+07 8,9774E-03 8,98
83,03 4,0279E+07 8,7029E-03 8,70
88,35 4,0279E+07 8,4368E-03 8,44
93,37 4,0279E+07 8,2069E-03 8,21
Cuadro 4.9: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre grande.
27
Frecuencia (kHz) Conductividad (S/m) Profundidad (m) Profundidad (mm)
10,80 3,0845E+07 2,7575E-02 27,57
15,12 3,0845E+07 2,3305E-02 23,31
20,12 3,0845E+07 2,0203E-02 20,20
25,31 3,0845E+07 1,8013E-02 18,01
30,24 3,0845E+07 1,6479E-02 16,48
35,15 3,0845E+07 1,5285E-02 15,28
40,27 3,0845E+07 1,4280E-02 14,28
45,10 3,0845E+07 1,3494E-02 13,49
50,21 3,0845E+07 1,2789E-02 12,79
55,26 3,0845E+07 1,2190E-02 12,19
60,28 3,0845E+07 1,1672E-02 11,67
65,08 3,0845E+07 1,1233E-02 11,23
70,32 3,0845E+07 1,0807E-02 10,81
75,14 3,0845E+07 1,0454E-02 10,45
80,14 3,0845E+07 1,0123E-02 10,12
85,13 3,0845E+07 9,8217E-03 9,82
Cuadro 4.10: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre mediano.
Frecuencia (kHz) Conductividad (S/m) Profundidad (m) Profundidad (mm)
12,01 5,3682E+07 1,9821E-02 19,82
17,27 5,3682E+07 1,6530E-02 16,53
22,24 5,3682E+07 1,4566E-02 14,57
27,19 5,3682E+07 1,3174E-02 13,17
32,12 5,3682E+07 1,2120E-02 12,12
37,24 5,3682E+07 1,1256E-02 11,26
42,33 5,3682E+07 1,0558E-02 10,56
47,21 5,3682E+07 9,9975E-03 10,00
52,28 5,3682E+07 9,5003E-03 9,50
57,07 5,3682E+07 9,0929E-03 9,09
62,11 5,3682E+07 8,7162E-03 8,72
67,18 5,3682E+07 8,3808E-03 8,38
72,14 5,3682E+07 8,0876E-03 8,09
77,19 5,3682E+07 7,8186E-03 7,82
82,35 5,3682E+07 7,5696E-03 7,57
87,1 5,3682E+07 7,3603E-03 7,36
Cuadro 4.11: Profundidad pelicular (δ) para el tubo de cobre pequeno.
28
Frecuencia (kHz) Conductividad (S/m) Profundidad (m) Profundidad (mm)
13,16 4,1891E+07 2,1436E-02 21,44
18,02 4,1891E+07 1,8318E-02 18,32
23,05 4,1891E+07 1,6197E-02 16,20
28,06 4,1891E+07 1,4680E-02 14,68
33,05 4,1891E+07 1,3526E-02 13,53
38 4,1891E+07 1,2615E-02 12,61
43,14 4,1891E+07 1,1839E-02 11,84
48,03 4,1891E+07 1,1220E-02 11,22
53,06 4,1891E+07 1,0675E-02 10,68
58 4,1891E+07 1,0211E-02 10,21
63 4,1891E+07 9,7970E-03 9,80
68,06 4,1891E+07 9,4258E-03 9,43
73 4,1891E+07 9,1012E-03 9,10
78,07 4,1891E+07 8,8008E-03 8,80
Cuadro 4.12: Profundidad pelicular (δ) para la varilla de aluminio delgada.
Frecuencia (kHz) Conductividad (S/m) Profundidad (m) Profundidad (mm)
13,13 8,6232E+06 4,7299E-02 47,30
18,02 8,6232E+06 4,0375E-02 40,37
23,08 8,6232E+06 3,5675E-02 35,68
28,14 8,6232E+06 3,2309E-02 32,31
33,17 8,6232E+06 2,9759E-02 29,76
38,2 8,6232E+06 2,7730E-02 27,73
43,15 8,6232E+06 2,6091E-02 26,09
48,12 8,6232E+06 2,4707E-02 24,71
53,07 8,6232E+06 2,3527E-02 23,53
58,04 8,6232E+06 2,2497E-02 22,50
63,2 8,6232E+06 2,1559E-02 21,56
68,06 8,6232E+06 2,0775E-02 20,77
73 8,6232E+06 2,0060E-02 20,06
78,11 8,6232E+06 1,9392E-02 19,39
Cuadro 4.13: Profundidad pelicular (δ) para la varilla de aluminio gruesa.
Capıtulo 5
Conclusiones
A partir de los resultados obtenidos y las graficas presentadas, es posible evidenciar
que se genera una disminucion en la corriente electrica que circula por el tubo, lo cual
nos indica que existe una disminucion en la densidad de corriente y por ende un au-
mento en la resistencia del material, debido a la disminucion de la seccion transversal
por la que circula la corriente. Lo cual concuerda con la teorıa mostrada, aun ası, si
observamos los valores obtenidos en el calculo de la profundidad pelicular y comparando
con la bibliografıa descrita en la seccion 4.2.1 los valores de profundidad no concuerdan
completamente, aunque se aproximan, esto se debe a que los aparatos de medicion utili-
zados en las practicas planteadas en la bibliografıa poseen una mayor precision y estan
disenados para trabajar este tipo de experimentos en los cuales se presentan voltajes y
resistencias muy pequenas. Debido a que el generador de funciones solo lograba llegar a
una frecuencia maxima de 100 kHz, no fue posible evidenciar de forma precisa y clara
el efecto piel a frecuencias altas, ya que trabajamos con frecuencias bajas y esto no nos
permitio evidenciar claramente dicho fenomeno.
29
Apendice A
Ecuaciones de Maxwell para un
medio material
Teniendo en cuenta que trabajamos en medios materiales, las ecuaciones de Maxwell
varıan. A continuacion se muestra como obtener las respectivas ecuaciones de Maxwell
para un medio material.
Ley de Gauss en la presencia de materiales dielectricos
Teniendo en cuenta que el efecto de la polarizacion es producir acumulaciones de carga
ligada, sabemos que la densidad de carga ligada puede definirse como:
ρb = −~∇ · ~P (A.1)
la ecuacion (A.1) es la densidad de carga volumetrica dentro del dielectrico.
El campo debido a la polarizacion del medio es solo el campo de esta carga ligada. Por
lo tanto aparece una carga libre que puede consistir en electrones en un conductor o
iones incrustados en el material dielectrico, en pocas palabras, es cualquier carga que no
es un resultado de la polarizacion.
Dentro del dielectrico, la densidad de carga puede escribirse:
ρ = ρb + ρf (A.2)
Tenemos ademas la relacion:
εo~∇ · ~E = ρ (A.3)
30
31
Reemplazando la ecuacion (A.2) en (A.3)
εo~∇ · ~E = ρb + ρf (A.4)
Cambiando el termino de ρb
εo~∇ · ~E = −~∇ · ~P + ρf (A.5)
Reescribimos la ecuacion (A.5) teniendo en cuenta que ∇ es un operador lineal
~∇ · (εo ~E + ~P ) = ρf (A.6)
El lado izquierdo en la ecuacion anterior se conoce como el desplazamiento electrico y
se define como:
(εo ~E + ~P ) = ~D (A.7)
Por lo tanto se obtiene la ley de Gauss en un medio material.
~∇ · ~D = ρf (A.8)
La ley de Ampere en materiales magnetizados
Cuando un campo magnetico afecta en un medio material magnetico, se produce un
fenomeno conocido como magnetizacion ( ~M), es decir, un momento dipolar magnetico.
El efecto de la magnetizacion es establecer las corrientes ligadas dentro del material y
en la superficie. Esta corriente ligada ( ~Jb) se define como:
~Jb = ∇× ~M (A.9)
Ademas de la densidad de corriente ligada, otra contribucion a la densidad de corriente
dentro de un medio material viene dada por la razon de cambio de la polarizacion
respecto al tiempo. Esta densidad de corriente debida a la polarizacion se puede expresar
como:
~JP =∂ ~P
∂t(A.10)
32
Ası, la densidad de corriente no incluye solamente la densidad de corriente libre ( ~Jf ),
sino que ademas se incluyen la densidad de corriente ligada ( ~Jb) y la de polarizacion
( ~JP ). Ası, la densidad de corriente se puede escribir como la suma de las tres densidades
mencionadas.
~J = ~Jf + ~Jb + ~JP (A.11)
Partiendo ahora de la ley de Ampere-Maxwell
~∇×B = µ0 ~J + µ0ε0∂ ~E
∂t(A.12)
Reemplazando la densidad de corriente ( ~J)
1
µ0~∇×B = ~Jf + ~Jb + ~JP + ε0
∂ ~E
∂t(A.13)
Reemplazando ahora las ecuaciones (A.9) y (A.10) en (A.13) tenemos
~∇×~B
µ0− ~∇× ~M = ~Jf +
∂ ~P
∂t+∂(ε0 ~E)
∂t(A.14)
Al ser ~∇ y ∂/∂t operadores lineales, resulta
~∇×
(~B
µ0− ~M
)= ~Jf +
∂(ε0 ~E + ~P )
∂t(A.15)
El termino dentro del parentesis del lado izquierdo de la ecuacion (A.15) se conoce como
el vector de la intensidad de campo magnetico y se define como:
~H =~B
µ0− ~M (A.16)
Ası, obtenemos la ecuacion de Ampere-Maxwell para un medio material.
~∇× ~H = ~Jf +∂ ~D
∂t(A.17)
La ley de Faraday y ~∇ · ~B = 0 no son afectadas cuando se trata un medio material,
debido a que estas no dependen de ρ o ~J directamente.
Apendice B
Fluorescencia de rayos X
La ionizacion consiste en el desprendimiento de uno o mas electrones del atomo como
consecuencia de exponer el material a rayos X o rayos gamma, solo si la energıa de la
radiacion a la cual se expone el material es lo suficiente como para exceder el potencial
de ionizacion. Los rayos X como los gamma son lo suficientemente energeticos como para
desprender los electrones fuertemente ligados a los orbitales de cada atomo, debido a
este desprendimiento, la estructura del atomo queda inestable, por lo cual los electrones
de orbitales mas elevados caen a los orbitales mas bajos, ocupando los espacios que
dejaron los electrones desprendidos, durante la transicion de este decaimiento se genera
energıa mediante la emision de un foton. El valor de energıa de ese foton es igual a la
diferencia de energıa de cada uno de los orbitales involucrados durante esta transicion,
debido a esto el material emite una radiacion que es caracterıstica a cada uno de los
atomos componentes del material.
Para lograr identificar exactamente la composicion de los tubos utilizados, es decir si
eran alguna aleacion o no, realizamos el estudio de la fluorescencia de rayos X en ellos
utilizando CASSY Lab y el aparato de rayos X. Se cortaron muestras de los tubos y se
ubicaron el aparato de rayos X para ası ser bombardeados por la radiacion emitida por
un tubo de molibdeno.
En primer lugar se realizo la calibracion del software con muestras de metales conocidos,
obteniendo las graficas respectivas para cada uno. Los metales utilizados para esta cali-
bracion fueron: hierro (Fe) mostrado en la grafica de color azul, Niquel (Ni) mostrado de
color verde, cobre (Cu) mostrado de color rojo y Zinc (Zn) mostrado de color morado.
Cada uno de los picos en la grafica B.1 hacen referencia a la energıa emitida por cada
material.
33
34
Figura B.1: Calibracion de CASSY Lab.
Al realizar la medicion sobre los tubos de cobre se observo que estos son 100 % de cobre,
es decir, no se encontro ningun otro metal en su composicion tal y como nos muestra la
siguiente grafica:
Figura B.2: Pico de energıa para el cobre (Cu).
Con los tubos de aluminio se encontro un inconveniente con el CASSY Lab, pues este no
lograba realizar una lectura de la energıa liberada por el material, ya que estos valores
salen del rango de medida del aparato, por lo cual no se pudo evidenciar completamente
los componentes del aluminio ni cuanto porcentaje de aluminio existe en las muestras.
Esto se puede apreciar debido a que en la grafica B.3 no aparece un pico en el valor del
35
aluminio y ademas los picos que se encuentran en la grafica corresponden al hierro (Fe)
y al zinc (Zn) pero a niveles muy bajos, comparados con los obtenidos en la grafica B.1.
Figura B.3: Picos de energıa para el aluminio (Al).
Gracias a estas mediciones es posible comparar los resultados de resistividad y con-
ductividad obtenidos experimentalmente con los valores que podemos encontrar en la
literatura.
Apendice C
Tablas y graficas
A continuacion se muestran las tablas de datos y las graficas obtenidas durante las
mediciones.
C.1. Tablas y graficas DC
Tubos de aluminio
Tubo grande realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.26 -0.05 -0.26
0.1 0.5 -0.1 -0.45
0.15 0.68 -0.15 -0.65
0.2 0.92 -0.2 -0.86
0.25 1.12 -0.25 -1.05
0.3 1.33 -0.3 -1.27
0.35 1.54 -0.35 -1.45
0.4 1.72 -0.4 -1.68
0.45 1.93 -0.45 -1.87
0.5 2.15 -0.5 -2.12
0.55 2.38 -0.55 -2.3
0.6 2.59 -0.6 -2.49
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
36
37
V (I) = 0,243975(Ω) ∗ I + 0,00944891(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.243975 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el Ohm (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,238643(Ω) ∗ I + 0,0154638(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.238643 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
Tubo mediano realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.17 -0.05 -0.2
0.1 0.33 -0.1 -0.38
0.15 0.48 -0.15 -0.54
0.2 0.65 -0.2 -0.69
0.25 0.8 -0.25 -0.84
0.3 0.95 -0.3 -1.02
0.35 1.12 -0.35 -1.18
0.4 1.29 -0.4 -1.36
0.45 1.46 -0.45 -1.52
0.5 1.6 -0.5 -1.67
0.55 1.75 -0.55 -1.85
0.6 1.93 -0.6 -2.02
38
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,303977(Ω) ∗ I + 0,0111479(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.303977 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,31304(Ω) ∗ I − 0,00186645(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.31304 y coincide con el valor de la resistencia, de la cual
se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
39
Tubo mediano realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.21 -0.05 -0.22
0.1 0.42 -0.1 -0.38
0.15 0.6 -0.15 -0.58
0.2 0.78 -0.2 -0.78
0.25 0.96 -0.25 -0.98
0.3 1.14 -0.3 -1.14
0.35 1.34 -0.35 -1.35
0.4 1.53 -0.4 -1.56
0.45 1.71 -0.45 -1.71
0.5 1.88 -0.5 -1.91
0.55 2.08 -0.55 -2.13
0.6 2.27 -0.6 -2.3
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,262077(Ω) ∗ I + 0,00347002(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.262077 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,26916(Ω) ∗ I − 0,00965571(V )
40
Cuyo valor de la pendiente es 0.26916 y coincide con el valor de la resistencia, de la cual
se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.16 -0.05 -0.14
0.1 0.27 -0.1 -0.27
0.15 0.4 -0.15 -0.39
0.2 0.52 -0.2 -0.53
0.25 0.66 -0.25 -0.66
0.3 0.79 -0.3 -0.8
0.35 0.91 -0.35 -0.92
0.4 1.05 -0.4 -1.05
0.45 1.17 -0.45 -1.17
0.5 1.3 -0.5 -1.31
0.55 1.43 -0.55 -1.45
0.6 1.56 -0.6 -1.57
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,383523(Ω) ∗ I + 0,00291243(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.383523 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
41
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,389787(Ω) ∗ I − 0,00696863(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.389787 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.00005 0.1 -0.00005 -0.13
0.0001 0.23 -0.0001 -0.24
0.00015 0.34 -0.00015 -0.37
0.0002 0.49 -0.0002 -0.51
0.00025 0.61 -0.00025 -0.64
0.0003 0.73 -0.0003 -0.77
0.00035 0.85 -0.00035 -0.88
0.0004 0.98 -0.0004 -1
0.00045 1.1 -0.00045 -1.13
0.0005 1.2 -0.0005 -1.26
0.00055 1.33 -0.00055 -1.38
0.0006 1.47 -0.0006 -1.5
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,000405236(Ω) ∗ I + 6,55191 ∗ 10−6(V )
42
Cuyo valor de la pendiente es 0.000405236 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,000398754(Ω) ∗ I + 9,81593 ∗ 10−7(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.000398754 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
Tubos de cobre
Tubo grande realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.35 -0.05 -0.73
0.1 0.76 -0.1 -1.15
0.15 1.1 -0.15 -1.5
0.2 1.49 -0.2 -1.91
0.25 1.82 -0.25 -2.22
0.3 2.22 -0.3 -2.63
0.35 2.6 -0.35 -3
0.4 2.98 -0.4 -3.33
0.45 3.32 -0.45 -3.74
0.5 3.71 -0.5 -4.15
0.55 4.08 -0.55 -4.48
0.6 4.44 -0.6 -4.85
43
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,133992(Ω) ∗ I + 0,0511282(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.133992 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,134698(Ω) ∗ I + 0,000939248(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.134698 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
Tubo grande realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.1 -0.05 -0.11
0.1 0.19 -0.1 -0.2
0.15 0.28 -0.15 -0.3
0.2 0.38 -0.2 -0.39
0.25 0.48 -0.25 -0.48
0.3 0.58 -0.3 -0.57
0.35 0.68 -0.35 -0.66
0.4 0.77 -0.4 -0.75
0.45 0.86 -0.45 -0.83
0.5 0.94 -0.5 -0.93
0.55 1.04 -0.55 -1.03
0.6 1.12 -0.6 -1.11
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,550299(Ω) ∗ I + 0,0125169(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.550299 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
44
V (I) = 0,532022(Ω) ∗ I − 0,00396672(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.532022 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
Tubo mediano realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.26 -0.05 -0.24
0.1 0.53 -0.1 -0.49
0.15 0.72 -0.15 -0.7
0.2 0.95 -0.2 -0.93
0.25 1.21 -0.25 -1.15
0.3 1.41 -0.3 -1.39
0.35 1.63 -0.35 -1.61
0.4 1.88 -0.4 -1.86
0.45 2.13 -0.45 -2.1
0.5 2.38 -0.5 -2.36
0.55 2.58 -0.55 -2.58
0.6 2.83 -0.6 -2.84
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,212611(Ω) ∗ I − 0,00165448(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.212611 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
45
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,215035(Ω) ∗ I − 0,00669092(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.215035 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
Tubo mediano realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.26 -0.05 -0.2
0.1 0.48 -0.1 -0.41
0.15 0.65 -0.15 -0.57
0.2 0.86 -0.2 -0.78
0.25 1.08 -0.25 -0.99
0.3 1.24 -0.3 -1.22
0.35 1.5 -0.35 -1.41
0.4 1.7 -0.4 -1.64
0.45 1.91 -0.45 -1.84
0.5 2.12 -0.5 -2.02
0.55 2.31 -0.55 -2.25
0.6 2.51 -0.6 -2.46
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
46
V (I) = 0,242214(Ω) ∗ I − 0,00628692(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.242214 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,24274(Ω) ∗ I − 0,011195(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.24274 y coincide con el valor de la resistencia, de la cual
se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.19 -0.05 -0.21
0.1 0.37 -0.1 -0.44
0.15 0.56 -0.15 -0.62
0.2 0.76 -0.2 -0.84
0.25 0.96 -0.25 -1.04
0.3 1.14 -0.3 -1.23
0.35 1.35 -0.35 -1.44
0.4 1.54 -0.4 -1.64
0.45 1.73 -0.45 -1.83
0.5 1.91 -0.5 -2.05
0.55 2.12 -0.55 -2.23
0.6 2.32 -0.6 -2.42
47
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,249113(Ω) ∗ I − 0,00694362(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.249113 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,257954(Ω) ∗ I + 000036329(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.257954 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
48
Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.38 -0.05 -0.37
0.1 0.65 -0.1 -0.64
0.15 0.95 -0.15 -0.96
0.2 1.21 -0.2 -1.23
0.25 1.44 -0.25 -1.47
0.3 1.7 -0.3 -1.74
0.35 1.99 -0.35 -1.99
0.4 2.28 -0.4 -2.22
0.45 2.57 -0.45 -2.48
0.5 2.78 -0.5 -2.75
0.55 3.07 -0.55 -2.97
0.6 3.34 -0.6 -3.21
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,194367(Ω) ∗ I − 0,0318249(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.194367 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,186215(Ω) ∗ I − 0,0219815(V )
49
Cuyo valor de la pendiente es 0.186215 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
Varillas de aluminio
Varilla gruesa.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.29 -0.05 -0.29
0.1 0.57 -0.1 -0.62
0.15 0.79 -0.15 -0.89
0.2 1.11 -0.2 -1.14
0.25 1.4 -0.25 -1.44
0.3 1.65 -0.3 -1.72
0.35 1.96 -0.35 -1.92
0.4 2.21 -0.4 -2.33
0.45 2.51 -0.45 -2.59
0.5 2.75 -0.5 -2.87
0.55 3.07 -0.55 -3.15
0.6 3.35 -0.6 -3.4
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,176447(Ω) ∗ I + 0,00377957(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.176447 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
50
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,179533(Ω) ∗ I − 0,00094299(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.179533 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el 0hmio (Ω)
Varilla delgada.
Voltaje + (V) Corriente +(A) Voltaje - (V) Corriente - (A)
0.05 0.27 -0.05 -0.26
0.1 0.49 -0.1 -0.49
0.15 0.75 -0.15 -0.72
0.2 0.95 -0.2 -0.92
0.25 1.2 -0.25 -1.15
0.3 1.42 -0.3 -1.39
0.35 1.64 -0.35 -1.6
0.4 1.86 -0.4 -1.83
0.45 2.12 -0.45 -2.05
0.5 2.29 -0.5 -2.27
0.55 2.52 -0.55 -2.49
0.6 2.71 -0.6 -2.73
51
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V-) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,223698(Ω) ∗ I + 0,00868252(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.223698 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
La ecuacion donde las mediciones se realizaron para un voltaje (V+) tiene la siguiente
forma:
V (I) = 0,223486(Ω) ∗ I − 0,0143266(V )
Cuyo valor de la pendiente es 0.223486 y coincide con el valor de la resistencia, de la
cual se obtiene de la ley de Ohm; su respectiva unidad es el ohmio (Ω)
C.2. Tablas y graficas AC
Tubos de aluminio
Tubo grande realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13.2 2.7 0.064
18.27 2.41 0.088
23.06 2.11 0.108
28.31 1.82 0.13
33.05 1.55 0.148
38 1.24 0.159
43.14 0.88 0.159
48.05 0.54 0.149
53.17 0.25 0.129
58.05 0.11 0.11
63.2 0.05 0.091
68 0.03 0.081
73.3 0.01 0.059
52
Tubo mediano realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13.1 2.76 0.076
18.04 2.52 0.104
23.06 2.28 0.132
28.06 2.06 0.147
33.04 1.82 0.168
38 1.55 0.18
43.08 1.26 0.184
48.04 0.93 0.177
53 0.61 0.163
58.07 0.33 0.143
63.14 0.17 0.123
68.04 0.09 0.102
73.1 0.05 0.081
78.16 0.03 0.061
83.16 0.02 0.045
88.01 0.01 0.033
53
Tubo mediano realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13.2 2.67 0.034
18.03 2.38 0.044
23.04 2.11 0.053
28.05 1.84 0.063
33.02 1.56 0.071
38 1.28 0.078
43.11 0.97 0.079
48.26 0.64 0.075
53.14 0.36 0.064
58.06 0.17 0.051
63.12 0.08 0.038
68.02 0.04 0.028
73.09 0.02 0.019
78.13 0.01 0.014
54
Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13.2 2.65 0.079
18.03 2.37 0.107
23.06 2.09 0.135
28.05 1.79 0.162
33.01 1.52 0.188
38.17 1.23 0.212
43.14 0.92 0.227
48.02 0.61 0.232
53.18 0.32 0.227
58.25 0.14 0.213
63.1 0.07 0.198
68 0.04 0.176
73.02 0.02 0.154
78.09 0.01 0.132
55
Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13.19 2.6 0.068
18.03 2.32 0.092
23.05 2.04 0.116
28.08 1.76 0.14
33.03 1.48 0.163
38 1.2 0.183
43.1 0.9 0.196
48.04 0.59 0.198
53.13 0.31 0.191
58.23 0.14 0.177
63.1 0.06 0.155
68.18 0.03 0.136
73.22 0.02 0.115
78.12 0.01 0.093
56
Tubos de cobre
Tubo grande realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13,45 2,64 0,037
18,3 2,39 0,05
23,33 2,14 0,063
28,1 1,9 0,073
33,3 1,65 0,085
38,05 1,42 0,096
43,19 1,15 0,105
48,11 0,86 0,11
53,04 0,57 0,113
58,12 0,32 0,113
63,26 0,16 0,111
68,11 0,08 0,109
73,19 0,05 0,106
78,03 0,03 0,104
83,03 0,02 0,101
88,35 0,01 0,097
93,37 0,01 0,094
57
Tubo grande realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13,92 2,79 0,11
18,24 2,52 0,1443
23,21 2,22 0,181
23,21 2,19 0,188
28,39 1,88 0,227
33,5 1,53 0,256
38,15 1,24 0,278
43 0,87 0,28
48,31 0,47 0,268
53,17 0,21 0,249
58,18 0,09 0,228
63,21 0,04 0,204
68 0,02 0,181
73,04 0,01 0,156
78,08 0,01 0,13
83,64 0 0,104
93,37 0,01 0,094
58
Tubo mediano realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
10,80 2,85 0,072
15,12 2,59 0,100
20,12 2,31 0,132
25,31 2,03 0,165
30,24 1,77 0,194
35,15 1,49 0,218
40,27 1,13 0,224
45,10 0,76 0,238
50,21 0,41 0,221
55,26 0,19 0,199
60,28 0,09 0,177
65,08 0,04 0,154
70,32 0,02 0,129
75,14 0,01 0,106
80,14 0,01 0,084
85,13 0 0,064
59
Tubo mediano realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13,71 2,77 0,063
18,00 2,51 0,080
23,19 2,23 0,099
28,15 1,97 0,116
33,05 1,70 0,131
38,18 1,39 0,139
43,05 1,03 0,131
48,09 0,66 0,116
53,19 0,34 0,095
58,25 0,15 0,075
63,06 0,08 0,056
68,05 0,04 0,039
73,09 0,02 0,026
78,10 0,01 0,018
83,25 0,01 0,013
88,10 0,00 0,009
60
Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion exterior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
12,01 2,84 0,105
17,27 2,54 0,155
22,24 2,27 0,197
27,19 2,01 0,239
32,12 1,74 0,276
37,24 1,41 0,300
42,33 1,02 0,301
47,21 0,65 0,290
52,28 0,34 0,270
57,07 0,16 0,249
62,11 0,08 0,225
67,18 0,04 0,200
72,14 0,02 0,175
77,19 0,01 0,149
82,35 0,01 0,124
87,1 0 0,101
61
Tubo pequeno realizando las medidas por la seccion interior del tubo.
Frecuencia (kHz) Corriente (A) Voltaje (V)
13,44 2,83 0,111
18,22 2,56 0,150
23,18 2,28 0,186
28,35 2,00 0,232
33,29 1,70 0,276
38,16 1,37 0,293
43,26 0,98 0,285
48,13 0,61 0,271
53,21 0,30 0,251
58,23 0,14 0,228
63,31 0,07 0,204
68,07 0,04 0,179
73,12 0,02 0,153
78,07 0,01 0,129
83,10 0,01 0,105
88,01 0,00 0,083
62
Varillas de aluminio
Varilla gruesa
Frecuencia (kHz) Corriente (A)
13,13 2,76
18,02 2,47
23,08 2,16
28,14 1,87
33,17 1,59
38,2 1,31
43,15 1
48,12 0,68
53,07 0,38
58,04 0,18
63,2 0,08
68,06 0,04
73 0,02
78,11 0,01
63
Varilla delgada
Frecuencia (kHz) Corriente (A)
13,16 2,87
18,02 2,58
23,05 2,28
28,06 1,99
33,05 1,7
38 1,39
43,14 1,03
48,03 0,71
53,06 0,4
58 0,19
63 0,09
68,06 0,04
73 0,03
78,07 0,01
64
Apendice D
Materiales utilizados
A continuacion se muestran los tubos y varillas utilizados, ademas de las fuentes de
poder usadas.
Figura D.1: Tubos de aluminio de diferente radio y longitud.
65
66
Figura D.2: Tubos de cobre de diferente radio y longitud.
Figura D.3: Varillas de aluminio de diferente radio y longitud.
67
Figura D.4: Montaje para corriente directa utilizando la fuente Bench Power Supply, elamplificador de senal Universal Measuring Amplifier y dos multımetros para la medicion
de corriente y voltaje.
Figura D.5: Montaje para corriente alterna utilizando el generador de funciones y dosmultımetros para la medicion de corriente y voltaje teniendo en cuenta la frecuencia de
la senal.
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