como identificar superficies cuadraticas
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Superficies Cuádricas
Sesión de Ejercicios 3
Superficies Cuadràticas
Definición:Una superficie cuadrática ( o cuàdrica ) es la gráfica de una
ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:
donde A, B, C, …, J son constantes.
1. Elipsoide.
Tiene por ecuación
Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos
coordenados es una elipse
2. Hiperboloide de una hoja.
Tiene por ecuación
Las trazas del hiperboloide son hiperbolas en planos paralelos al plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses.
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Superficies Cuádricas
El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa ( en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.
3. Hiperboloide de dos hojas.
Tiene por ecuación
Las trazas de esta superficies son :Para planos paralelos a XZ son hiperbolas al igual que para planos
paralelos al YZ.
Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas .
4. Paraboloides
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Superficies Cuádricas
Tiene por ecuación
Las trazas del paraboloide son:Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos al XZ o al YZ son parábolas.
Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no
está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.
5. Paraboloide hiperbólico.
Tiene por ecuación
Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el signos contrarios.
Trazas:
6. Conos
La superficie cuádrica que tiene por ecuación
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Superficies Cuádricas
Se denomina Cono.
Las trazas del cono son:
7. Cilindro circular recto:
Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo:
Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z
En el plano: En el Espacio:
4
X
Y
Z
a
x
Y
x
y
z
Superficies Cuádricas
8. Cilindro circular recto con eje en el eje y :
Considere la ecuación:
En el plano: En el Espacio
8. Cilindro parabólico:
Considere la ecuación , que corresponde a una parábola en el plano xy, al variar z se obtiene la superficie
En el plano En el espacio
5
x
z
a
x
y
z
Superficies Cuádricas
9. Cilindro elíptico con eje en el eje z:
Considere la ecuación de la elipse en el plano yz , al
recorrer el eje x se obtiene la superficie En el espacio En el plano
10. Cilindro hiperbólico con eje en el eje z:
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Superficies Cuádricas
Considere la ecuación que corresponde a una hipérbola centrada en el ( 0,0) en el plano xy, al recorrer z se obtiene la superficie
En el espacio En el plano
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la superficie y hacer un gràfico aproximado.
1. ( hiperboloide de una hoja con centro en ( 1,1,-1))2. ( esfera )
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Superficies Cuádricas
3. (cono elíptico de 2 hojas)4. (cono circular)5. (paraboloide elìptico)6. (paraboloide hiperbólico)7. ( hiperboloide de una hoja)8. (paraboloide circular recto)9. ( paraboloide )
10.
( hiperboloide de dos hojas)12. 15. 13. 16.
14. 17. ( cilindros )
II.
1. Trace la región limitada por
2. Obtener la curva de intersección de las superficies y hacer su gràfica
3. Graficar :a) La parte del hiperboloide que se encuentra
abajo del rectángulo
b) La parte del paraboloide elíptico que se encuentra a la derecha del plano xz
c) La parte de la esfera que se encuentra
arriba del cono
d) La parte del cilindro que se encuentra entre los planos y=-1 y y=3
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Superficies Cuádricas
e) La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro
f) La parte del plano z=x+3 que se encuentra dentro del
cilindro
g) La parte del plano x+2y+z=4 que se encuentra dentro del cilindro
h) La parte de la superficie que se encuentra arriba del triàngulo de vértices (0,0), (1,1) , y (0,1)
i) La parte del paraboloide hiperbólico que se encuentra
entre los cilindros
III. Graficar los sòlidos indicados, marcando los cortes con los ejes cordenados.
a) Sòlido limitado , el plano z= y+3 y el plano xy
b) Sòlido limitado por y los planos y=0 y x+y=2
c) El sòlido limitado por z=0
d) El sòlido limitado por
e) El sòlido limitado por el plano x+y+z=1 y los planos coordenados en el primer octante.
f) El sòlido limitado por y z=-1
g) El sòlido limitado por
h) El sòlido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)
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