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Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.
Departamento de matemáticas.
Números Reales.
Lo primero que hemos hecho en este primer curso de bachillerato, es repasar lo
visto en cursos anteriores, para resolver cualquier duda que pudiésemos tener,
y asentar bien la base, para seguir avanzando. Lo primero que debemos llevar
bien asentado, es la clasificación de los números reales, las propiedades de las
potencias, los números irracionales, y las operaciones con números reales e
irracionales. A lo largo de este repaso, iremos viendo cómo se escribe en
matemáticas un intervalo de la recta real, así como otras distintas formas vistas
durante cursos pasados.
Recordemos, como se obtenía la fracción generatriz, de un número decimal
exacto, y de un número decimal periódico, tanto puro, como mixto:
Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.
Departamento de matemáticas.
Para que repases esto, practica con estos ejercicios:
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Departamento de matemáticas.
Conviene recordar también las potencias. Recordemos que una potencia no es
más que una forma abreviada de expresar el producto de un número repetidas
veces por sí mismo. Al número que se multiplica por sí mismo, le llamamos:
base, y al número de veces que se repite: exponente.
Y las potencias, tenían unas propiedades, que son:
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Como hemos recordado al principio, el conjunto de los números, empieza por
el más pequeño de ellos, los naturales, aumenta al de los enteros, al que le
siguen los racionales, es decir, las fracciones:
{
}
Los números racionales, engloban a los naturales, los enteros, y los decimales
exactos y periódicos:
Una fracción es una división sin hacer, y dos fracciones son
equivalentes, si al hacer la división, obtenemos el mismo resultado. Para
comprobar si dos fracciones son equivalentes, sin tener que realizar la
división, basta con comprobar si el producto cruzado da el mismo resultado.
Para operar con ellos, sólo hay que tener cuidado al sumarlas o
restarlas, pues hay que pasarlas a fracciones equivalentes con el mismo
denominador, y sumar o restar los numeradores. Para multiplicarlas, se hace
en línea y se dividen multiplicando en cruz.
Para terminar y construir todos los números reales, nos faltan los
irracionales, es decir, los números que no pueden ser expresados en forma de
fracción. Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se
repiten de forma periódica. Existen infinitos números irracionales, algunos de
los cuales son:
√ √ √ √
√ .
Números conocidos desde la antigüedad:
√
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Con esto, formamos los números Reales, los cuales están formados por
los racionales e irracionales, y se representan por .
Recordemos las propiedades de las operaciones de los números reales:
En cuanto a la relación de orden, (el dichoso menor/mayor, que aparecerá en
las inecuaciones) recordemos que:
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Las dos últimas propiedades, las del producto, nos recuerdan que en una
desigualdad, si multiplicamos o dividimos por un número negativo, hay que
cambiar el signo de la desigualdad.
Por último, antes de pasar a las potencias de exponente fraccionario (los
radicales) vamos a recordar los intervalos. Un intervalo es un conjunto de
números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una
semirrecta de la recta real:
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Radicales:
Todo número radical, se puede expresar en forma de potencia de exponente
fraccionario, de la siguiente forma:
√
Con esta forma de expresar los números radicales, a la hora de tener que
multiplicar o dividir números radicales, será más sencillo, pues bastará con
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pasarlos a forma de potencia, y aplicar las conocidas propiedades de las
potencias.
Recordemos que dos radicales son equivalentes cuando, al expresarlos en
forma de potencia con exponente fraccionario, sus bases son iguales y las
fracciones de sus exponentes son equivalentes.
Con esto, pasemos a recordar cómo se opera con los números radicales:
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Para terminar, repasemos la racionalización, es decir, transformar fracciones
que tienen radicales en el denominador, en otra fracción equivalente que no
los tenga.
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