clasificación de zapatas aisladas por su posición
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TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 335
Figura 5.49Tipos de zapatas de hormigón armado según EHE y EH-91
Tipo
Rígida
Flexible
Características
EHE EH-91Observaciones
Poco utilizadas ya que seaproximan a un macizode cimentaciónNo resultan aconsejables
Son muy recomendables ylas más usadas
Rígidas en algunos casos.No son aconsejables las flexibles.
Vmax ≤ 2H
Vmax > 2H
Vmax ≤ 0,5H
Tipo II
0,5H < Vmax ≤ 2HTipo I
Vmax > 2HTipo III
Vmax Vmax
H H
Vmax: Vuelo en la dirección de mayor longitud
Figura 5.48Clasificación de zapatas aisladas por su posición
Vigas de arriostramientoy/o centradora
Central
De ángulo De borde
5.6 ZAPATAS AISLADAS
Definimos la zapata aislada como aquella quetransmite al terreno los esfuerzos que recibe de for-ma independiente. De acuerdo con la ubicacióndentro del edificio, una zapata aislada puede ser(figura 5.48):
• Interior: las dimensiones y forma de la plan-ta deben ser tales que las excentricidades exy ey de sus esfuerzos queden dentro del nú-cleo central.
• De borde, en medianería: la carga que setransmite es excéntrica. Se calcula admitien-do una distribución plana de tensiones cuan-do se dispone viga centradora. En el casode que se opte por la solución sin viga cen-tradora, el forjado deberá resistir una trac-ción H y el muro o soporte un momento M.Para su cálculo es necesario conocer el coe-ficiente de balasto K o bien utilizar un méto-do aproximado.
• De ángulo o doble medianería: tiene dobleexcentricidad. Si se opta por no usar el sis-tema de viga centradora se procede de mo-do análogo al caso anterior.
En cualquiera de las tres variantes menciona-das, las zapatas pueden o no estar arriostradasmediante vigas de atado, en función del grado sís-mico de la zona donde esté ubicado el edificio.
Por la forma en planta, las zapatas aisladaspueden ser:
• Circulares. (1)• Cuadradas. (3)• Rectangulares. (2)• Poligonales (su uso es muy excepcional).
De acuerdo con su rigidez se clasifican en:• Rígidas. (3)• Flexibles. (2)
Esta clasificación se adopta por la introducciónde la instrucción EHE en el punto 59.2 tal y comose recoge en la figura 5.49.
336 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
El sólido que constituye la zapata puede pre-sentar las siguientes formas:
• Prisma. (3)• Prisma escalonado. (1)• Prisma más prismatoide cuya base mayor es
igual a la del prisma. (1)• Prisma más prismatoide cuya base mayor es
menor a la del prisma. (1)• Cilindro.• Cilindro escalonado. (1)• Cilindro más tronco de cono cuya base ma-
yor es igual que la del cilindro. (1)• Paraboloide hiperbólico. (1)
Teniendo en cuenta los materiales básicosconstitutivos, las zapatas se clasifican en:
• De hormigón en masa (2), considerándosecomo tal “aquél hormigón cuya cuantía deacero es inferior a la mínima”.
• De hormigón armado (3).• De hormigón de fibras de acero. (1)• De hormigón autonivelante con fibras de
acero
Los tipos de zapatas señaladas con (1) se usande forma excepcional; las marcadas con (2), en ca-so de existir cargas excéntricas o esfuerzos de com-presión y momentos flectores; las señaladas con (3)son empleadas habitualmente. En zonas sísmicas,en las que se verifique la condición ac > 0,08 g,las zapatas se enlazarán mediante vigas de atadoo arriostramiento, capaces de resistir un esfuerzoaxial de valor ac/g veces la carga transmitida porla zapata más cargada de las dos que enlaza, se-gún la norma NCSE-94 sólo en los cimientos delperímetro. Cuando ac > 0,16g el atado debe afec-tar a todos los elementos y ser en dos direccionesNCSE-94, 4.2.2, “Atado de cimientos”.
5.6.1 Dimensiones de zapatas aisladas
Las acciones que recibe el elemento cimiento yque debe transmitir al terreno son:
• Debidas a la estructura: esfuerzo normal Ny/o momentos en una o dos direcciones(Mx y My).
• Esfuerzos cortantes en una o dos direccio-nes (Hx y Hy).
• Peso propio de la zapata.• Peso de las tierras situadas sobre la zapata.
En el proceso de cálculo de las dimensionesde un cimiento aparecen dos fases:
a) Cálculo de las dimensiones de la superficieen planta.
b) Cálculo y comprobación de la zapata avuelco, deslizamiento, flexión, esfuerzo cor-tante, punzonamiento y adherencia.
5.6.1.1 Dimensiones en planta
El cálculo de las dimensiones de la superficiede contacto zapata-terreno depende de la distribu-ción de presiones en dicha superficie. Como se havisto anteriormente, la distribución real de presio-nes y asientos es muy variable y depende de la ri-gidez de la zapata y del tipo de terreno. Esta va-riabilidad en la forma de distribución de presionesy asientos puede simplificarse en zapatas aisladas,sin excesivo error, utilizando para su cálculo y estu-dio un diagrama superficial plano de distribuciónde presiones. Tal aproximación es válida en cual-quier tipo de zapata pero se ajusta más a la reali-dad en las zapatas rígidas.
Considerando el caso de carga vertical N ymomento en una sola dirección M, se admite quela distribución de presiones bajo la zapata es pla-na y uniforme para carga vertical centrada.
La carga vertical N y el momento M equivalena una sola carga vertical N, aplicada en un puntoA con excentricidad ex = M/N (figura 5.50 en pá-gina siguiente). Al ser la carga excéntrica la distri-bución de presiones es plana y trapezoidal. Parael cálculo de la superficie y forma de la planta delcimiento, se consideran los tres casos recogidos enla figura 5.51 (página siguiente).
En la mayoría de los casos de cimientos me-diante zapatas aisladas, se considera la hipóte-sis de carga vertical centrada, dada la reducida
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 337
Figura 5.50Carga normal excéntrica equivalente a normal y momento
b
a
ex
B
X
A
D C
Y
Figura 5.51Casos posiblespara el cálculode superficie yplanta delcimiento
ex
N
influencia del momento flector. Únicamente secalculan teniendo en cuenta los momentos flecto-res las zapatas de medianería (de borde o deángulo), debido a la importancia que la excentri-cidad de la carga N adquiere en estos supues-tos, y aquellas zapatas en las que el momentopuede originar una excentricidad importante.
Hay que considerar los esfuerzos producidospor la estructura, el peso del cimiento y el pesode las tierras que descansan sobre él. Estos últi-mos solamente originan aumento de tensiones enel terreno, por lo que para tenerlos en cuenta sesuele restar de la resistencia admisible el valorde las tensiones por ellos originadas. Tomandocomo peso específico del hormigón 24 kN/m3 yuna densidad media de las tierras de 1,7 T/m3
(γ = 17 kN/m3) queda:
qcal = qadm - 17 (D - H) -- 24H== qadm - 17D - 7H [5.72]
Siendo:qcal: Resistencia de cálculo terreno (kN/m2)qadm: Resistencia admisible terreno (kN/m2)D: Profundidad superficie del cimiento (m)H: Altura de la zapata (m)
Este valor de qcal es el que se utiliza para di-mensionar la zapata y para obtener los esfuerzosque actúan sobre ella. Las formas habituales son:cuadrada, rectangular o trapezoidal. Las circulareso de otras formas geométricas se presentan en muycontadas ocasiones.
a. Caso 1: acción vertical N
Se considera una distribución de tensionesuniformes bajo la zapata, con un área de con-tacto Az de valor:
Siendo:N: Esfuerzo de compresión (kN)
qcal = qadm - 17D - 7H (kN/m2)
Az: Superficie en planta de la zapata (m2)
Para zapatas de sección cuadrada, el ladoes la raíz cuadrada de la superficie de contacto.Con este tipo se consigue mínimo vuelo máximo,canto mínimo, mínimo volumen de hormigón ymenor peso de acero, así como igualdad de ar-madura en las dos direcciones.
Para zapatas de base circular (que excep-cionalmente se pueden elegir) el diámetro es:
Este tipo de zapata tiene mayor vuelo quela cuadrada, lo cual supone otra desventajaañadida a la mayor complejidad de ejecución.
d = 1,13 Az
Az = Nqcal
Caso
1
2
3
Esfuerzos
Momentosflectores HorizontalesVerticales
N
N
N
N
Mx
0
Mx
Mx
My
0
0
My
Hx
0
0
0
Hy
0
0
0
Observaciones
Sólo excepcio-nalmente setienen en cuen-ta los esfuerzoshorizontales
338 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
b.1. Solución 1: criterio de la sección eficaz o zapata efectivaSe adopta como zapata efectiva la 112341
de la figura 5.53, en la que la carga se aplicaen el centro de gravedad del área ficticia, y cu-yas dimensiones son:
112 = A -– 2ex23 = BSuperficie Az = B x (A – 2ex)
Sobre esta superficie se considera una distribu-ción uniforme de la presión de contacto (tensióndel terreno) de valor σt:
σt: Tensión sobre el terreno, menor o igualque la resistencia de cálculo, sin contarel peso del cimiento ni el peso en su ca-so de las tierras.
qcal: Pueden tomarse dos valores:qadm - 17D - 7Hqadm - 7H (si no se tiene en cuenta el pe-so de las tierras que graviten sobre la za-pata o en los casos en los que toda latierra extraida es sustituida por hormigón)
[5.73]
Esta última ecuación, que corresponde auna parábola, se representa en el ábaco dela figura 5.54 que relaciona la carga soporta-da y la reacción del terreno con los datos dela zapata y la excentricidad ficticia (ex) de lacarga.
Haciendo B = λAN
qcal= λA A - 2ex( )
N qcal × λ
= A A - 2ex( )
N qcal
= A - 2ex( ) × B
B = N qcal
x 1A - 2ex
;
σt
= NB A - 2e
x( )
b. Caso 2: acción ver tical N y momentoflector Mx
Se considera una zapata rectangular de di-mensiones A y B con carga vertical N y mo-mento Mx, (figura 5.52). La hipótesis de cálculoes que la excentricidad, de valor Mx/N, no de-be ser mayor que un sexto del lado de la zapa-ta, ya que con excentricidades mayores unaparte de la zapata no transmitiría esfuerzos alterreno. Como concepto idealizado, la zapatatendería a levantarse, separándose del terreno.
A continuación se exponen dos métodos de re-solución de la zapata.
Figura 5.53Área efectiva de
una zapatarectangular concarga vertical y
momento Mx
B
A
ex
2
XA/2 - ex
A - 2ex
1 11
4 41 3
Y
Figura 5.52Esquema de una
zapatarectangular concarga vertical y
momentoflector Mx
ex=Mx/Nex
NMx
R Resultante de la aplicación de la resistencia del terreno contra la zapata
B
A
ex
R X
Y
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 339
Se conocen la carga N y la excentricidad ex. El valor de λ=B/A<1, se elige a priori y debe variarse si no se cumple lacondición ex< 1/6 A.
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00
ex=0,05 m
ex=0,10 m
ex=0,20 m
ex=0,30 m
ex=0,40 m
ex=0,50 m
ex=0,60 m
A (m)
N / λ q cal ( λ = B < 1)A
11
12
3,25 3,50 3,70 4,00
ex< 1 A6
Figura 5.54Ábaco de dimensionamiento de una zapata rectangular.
340 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
centro de gravedad de la superficie de apoyo noexceda de la presión admisible”; es decir:
[5.75]
[5.76]
A partir de aquí, se elaboran los ábacos de lafigura 5.55 en los que se obtiene el lado mayorde la zapata en función del cociente entre la car-ga y la tensión de la zapata y de la excentricidadex para una relación λ entre los lados A y B de lazapata. Para λ se toman valores comprendidos en-tre 0,5 y 1, aunque, cuando sea posible, es reco-mendable utilizar valores lo más cercanos posiblesa la unidad. La sección de hormigón se calculacon carga uniforme, con una presión igual a la ori-ginada en el punto (0, A/4)
[5.77]
c. Caso 3: acción vertical N, momento flectorMx y momento flector My
Considerando una zapata rectangular de di-mensiones A x B, debe verificarse que se cumple lacondición para que en toda la superficie se trans-mitan esfuerzos de compresión al terreno:
[5.78]
Siendo:Mx: Momento flector respecto al eje y.
(ex= Mx/N)My:Momento flector respecto al eje x.
(ey = My/N)
ex
A+
ey
B≤ 1
6
qcal = NA × B
1+ 3ex
A⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
N1,25 × λqcal
= A3
A + 6ex
Haciendo B = λ × AY verificándose 0,5 ≤ λ ≤ 1
N1,25qcal
= λA3
A + 6ex
1,25qcal = σmax = NAB
1+ 6ex
A⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
N1,25qcal
= A2BA + 6ex
Cuando N es excéntrico o existen momen-tos flectores, el peso del cimiento y de las tie-rras de relleno ejercen un efecto favorable decentrado de las cargas, aunque no llega a ad-quirir una influencia significativa desde el pun-to de vista del cálculo de la zapata.
b.1. Solución 2: método elásticoSi se admite la distribución plana de tensiones,
la presión de contacto en un punto de coordena-das (x,y) sería, aplicando la fórmula general de laflexión:
SiendoAz: Superficie del cimiento (Az = AxB)Iy: Momento de inercia respecto al eje y;
Iy = (A x B3)/12Mx: Momento flector respecto al eje y;
Mx = N·ex
Sustituyendo en la fórmula anterior:
Las tensiones en el punto de coordenadas dela zapata (A/2,0) y (-A/2,0) serían:
Para que la tensión sea igual o mayor que ce-ro en toda la superficie tendría que cumplirse:
[5.74]
La norma NBE-AE 88, Acciones en la Edifica-ción, admite que “cuando la actuación de cargassobre el cimiento produzca por su excentricidadpresiones no uniformes sobre el terreno, se admitiráen los bordes un aumento del 25% en la presiónadmisible del terreno, siempre que la presión en el
1 -6e
x
A≥ 0
ex
≤ 16
A
σmax = NA × B
1± 6ex
A⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
σ = NA × B
± N × ex
A3 × B× X ×12
σ = NA × B
1± 12ex
A× X
A⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
σ = NAz
± Mx
Iyx
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 341
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
01,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0
A (m)
N 1,25 λqcal ( λ= B <1) A
ex = 0
ex = 0,1 m
ex = 0,2 m
ex = 0,5 m
ex = 0,4 m
ex < 1 A6
ex = 0,6 m
ex = 0,7 m
Se conocen N, qcal, λ y ex. El valor elegido de λ deberá variarse si, tras el cálculo, no se cumple la condición ex < 1/6 A.
Figura 5.55Ábaco de dimensionamiento de una zapata rectangular en función de λ=B/A<1
342 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
De esta manera, N, esfuerzo de compresión,se aplica en el núcleo central de inercia de la za-pata. Para este caso también se contemplan dossoluciones.
c.1. Solución 1: criterio de la sección eficaz o zapata efectivaSe adopta como zapata efectiva la 112341,
cuyo centro de gravedad coincide con el punto deaplicación del esfuerzo de compresión, según la fi-gura 5.57.
Para este caso el valor del cociente entre lacarga soportada por la zapata y la resistencia decálculo adquiere la forma:
Haciendo, como en otros casos, B = λA:
[5.79]
Multiplicando ambos términos por A.
Condición para que el punto de aplicación delesfuerzo de compresión quede dentro del núcleocentral. Si se define como “excentricidad ficticia”un valor e, tal que:
Sustituyendo en [5.79], resulta:
Desarrollando la fórmula:
[5.80]
Siendo aconsejable que:
Se elaboran, como en casos anteriores, losábacos que relacionan los términos de la ecua-ción para diversos valores de λ, con varias cur-vas intermedias en función de la excentricidadficticia e, que se recogen en la figura 5.58.
0,5 < λ ≤ 1
1λ
Nqcal
− 4exey⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = y = A2 - 2A × e
O lo que es lo mismo : e ≤ 16
A
Nqcal
− 4exey = λA2 - 2A × λe
e = ex +ey
λλe = ey + λex
ex +ey
λ≤ A
6
Nqcal
= λA2 - 2A ey + λex( ) + 4exey
Verificándose que ex
A+
ey
B≤ 1
6ex
A+
ey
λA≤ 1
6
Nqcal
= A - 2ex( ) B - 2ey( )N
qcal= AB - 2 Aey + Bex( ) + 4exey
qcal = qadm
Figura 5.56Valores de la presión en el centro de gravedad para distintos valores de ex/A
1
ex/A
0
1/12
1/6
Columna 1: Presión en el centro de la zapata que justifica que, salvo cuando ex=0, sepueda aplicar como presión admisible de 1,25 de la presión admisibledel terreno.
Columna 2:Valores de la presión admisible de cálculo de la zapata de hormigón, su-puesta esta presión uniforme.
Columna 3:Valores de la presión admisible del cimiento en el borde, siempre que la presión en el centro de la zapata sea igual o menor que qadm (véase lapágina 334 de la norma NBE AE 88)
XColumna 2
A/4
qadm
25/24 qadm
15/16 qadm
Columna 3
A/2
qadm
1,25 qadm
1,25 qadm
Columna 1
0
qadm
5/6 qadm
5/8 qadm
Observaciones
qcal = qadm-1,7D - 7H(se ha tenido en cuen-ta el efecto profundi-dad de valor γt x D)
qcal = qadm- 7H (no se tiene en cuenta)
Y
XB
A
ex
21 11B/2 - ey
A/2 - ex
4 3
41
A - 2ex
B - 2eyeyFigura 5.57Área efectiva deuna zapata concarga vertical y
momentosMx y My
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 343
Figura 5.58Ábaco dedimensionamientode una zapatarectangular
Se conocen la carga N y las excentricidades ex y ey. El valor de λ=B/A<1 se elige a priori y debe va-riarse si no se cumple la condición ex + ey /λ<1/6 A
1
3
5
7
9
10
11
13
15
17
19
21
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
e = 0
e= 0,1 m
e= 0,2 m
e= 0,3 m
e= 0,4 m
1( N - 4exey)λ qcal
23
A (m)
e = ex + ey < 1 Ax 6λ = BA
< 1 e = ex +ey
λ≤ 1
6A
344 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
c.2. Solución 2: adoptando el método elásticoTal y como se ha indicado en apartados ante-
riores, la tensión en un punto de coordenadas (x,y)(véase la figura 5.59) está dada por la expresióngeneral de la flexión:
Verificándose que:
O bien, operando:
El valor de la tensión máxima corresponde alpunto de coordenadas (A/2, B/2), es decir, el vér-tice 2 representado en la figura 5.59. El valor dela tensión en ese punto es:
[5.81]σmax = NA × B
1± 6ex
A±
6ey
B⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
σmax =1,25qadm
σtxy
= NA × B
1 ±12e
x
A× x
A±
12ey
B× y
B
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
ex
A+
ey
B≤ 1
6
σ txy = NA
± Mx
Iyx ±
My
Ixy
Figura 5.59Zapata con carga vertical descentrada en ambas direcciones
B
A
ex
21
4 3
ey
y
x
De donde:
Verificándose que:
Haciendo, al igual que en los casos anteriores,B = λA, y variando los valores de λ entre 0,5 y 1queda:
A partir de estas expresiones, se cumple:
Y sustituyendo en la expresión anterior:
O lo que es lo mismo:
[5.82]
El valor del primer término de la ecuación ante-rior generalmente varía entre 1 y 20.
Se dibujan los ábacos de cálculo que relacio-nan los valores de A y los del primer término de laecuación para diferentes valores de ex reflejadosen las gráficas de la figura 5.60.
Ha de hacerse una observación final referidaal aumento del 25% de la presión admisible del te-rreno que permite la norma NBE AE-88. Esto equi-vale a decir que la qcal, definida en el punto c.1del apartado 5.6.1.1.: “Solución 1: criterio de lasección eficaz o zapata efectiva” (página 334),en el caso de adoptar el método elástico, se multi-plicará por 1,25.
Nλ ×1,25qcal
= A3
A + 6e
N1,25qcal
= λA3
A + 6e
e = ex +ey
λ≤ A
6
N1,25qcal
= λA3
A + 6ex +6ey
λ
6ex
A±
6ey
B≤ 1
N1,25qadm
= A × B
1± 6ex
A±
6ey
B6 6
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 345
25
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
N λ1,25qcal
( λ= B <1) e=ex+ey< A
A λ 6
A (m)
e = 0,4 m
e = 0,3 m
e = 0,1 me = 0 me = 0,2 m
Se conocen la carga N y las excentricidades ex y ey. El valor de λ=B/A<1 se elige a priori y debevariarse si no se cumple la condición ex + ey /λ<1/6 A
Figura 5.60Ábaco dedimensionamientode una zapatarectangular
346 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
Se tiene que verificar:
De donde se deduce:
El diámetro de la planta debe tener un valor mí-nimo de ocho veces la excentricidad y el punto deaplicación debe estar en el perímetro, o en el inte-rior de una circunferencia concéntrica con la queconforma el borde de la zapata y de diámetro A/4.
Admitiendo al igual que en el caso de zapatarectangular [5.75] que:
Tiene que verificarse:
Se presenta el ábaco de cálculo de la figura5.62, que relaciona N/qadm y el diámetro de lazapata para los valores de λ comprendidos entre0 y 1/8.
Para el cálculo de los esfuerzos de la zapatase supone que la presión de contacto es constantey que la resistencia de cálculo es igual a la tensiónexistente en el terreno en el punto de coordenadas(0, A/4), es decir:
[5.84]qcal = 4NπA2 1+ 4e
A⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Cumpliéndose que : e ≤ 18
A
σmax = 4NπA2 1+ 8e
A⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
≤1,25qcal
Nqcal
= 0,98A3
A + 8e
σmax =1,25qcal
e ≤ 18
A
1 - 16eA2
× A2
≥ 0
Zapata circularSi se considera una zapata circular (figura
5.61) de diámetro A, los esfuerzos a los que se vesometida son: compresión N aplicada en el puntoA y momento flector M = N x e. Las excentricida-des ex y ey respecto a los ejes OY y OX; equivalena una excentricidad “e” respecto a los ejes OX’ yOY’ de valor:
Admitiéndose una distribución de tensionesplanas, la tensión en un punto cualquiera de coor-denadas x’ e y’ es:
[5.83]
Siendo:Ix’: Momento de inercia respecto al eje OX’
Ix´=πA4/32Az: Área del círculo, superficie del cimiento
Az=πa2/4A: Diámetro
En cualquier punto del cimiento la tensión esde compresión siempre que sea positiva (σ > 0).La tensión menor corresponde al punto C, más ale-jado de la circunferencia y situado en y’. La ten-sión máxima corresponde al punto B.
σ t = 4NπA2
1± 16eA
× y'A
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
σ t = NAz
± N × e1 A
2
× y'
e = ex2 + ey
2
Figura 5.61Zapata circularsometida a N,
Mx y My
y y'
x'
x
A
C
O
A
B
e
ex
ey
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 347
Se conocen Nx y la excentricidad e. El valor de λ=B/A<1 se elige a priori y debe variarse si no se cumple lacondición e<1/8 A
Figura 5.62Ábaco dedimensionamientode una zapatacircular sometida auna carga N
28
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
30
32
34
1 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
N = 0,98 A3
qcal A+8e
e=0,0 m
e=0,2 m
e=0,3 m
e=0,4 m
e=0,5 me=0,6 me=0,7 me=0,8 me=0,9 me=1,0 me=1,1 me=1,2 m
e=0,1 m
A(m)
e = e2 + e2 < 1Ax y 8
348 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
Esfuerzo estabilizador de cálculo:
[5.87]
Siendo:N: Carga vertical transmitida por el soporte
a la zapataPT: Peso de las tierras de rellenoPH: Peso del hormigón de la zapata más el
del soporte cortoγ: Coeficiente de seguridad; normalmente
de valor 1,5
Se realizan las siguientes simplificaciones:• No se tienen en cuenta los efectos favora-
bles de los empujes pasivos de las tierras.• Cuando las zapatas están arriostradas me-
diante vigas de enlace, no es necesaria lacomprobación a vuelco.
• Esta comprobación tampoco es necesariacuando la zapata se ha dimensionado detal modo que la resultante de las fuerzasactuantes está dentro del núcleo central.Esto es lo más aconsejable y lo que sesuele hacer.
b. Comprobación al deslizamiento
En cimientos pueden existir dos tipos de desli-zamientos: los generados por un deslizamiento delterreno del cimiento, como es el caso de laderasdeslizantes, o un deslizamiento profundo del terre-no. Este último tipo escapa del objetivo del presen-te manual, que se va a centrar exclusivamente enla comprobación del deslizamiento de la zapataen relación a su superficie de contacto con el terre-no (figura 5.64 en página siguiente).
Se consideran dos casos:a) Terreno cohesivo (arcilla). En este tipo de
terreno debe verificarse
[5.88]
Siendo:Az x Cd: Fuerza estabilizadoraCd = C/γE: Cohesión de cálculo
Az
× Cd
≥ V × γ
Rd = N+ PH + PT( ) × A2
A
N1 N3 N2
N
HAz = A·B
V
A
Figura 5.63Estabilidad de
una zapata anteesfuerzos de
vuelco
5.6.1.2 Cálculos y comprobaciones a realizar en zapatas aisladas
Una vez que se ha procedido al cálculo de di-mensiones en planta de la zapata, se deben calcu-lar el canto y la armadura (si procede) y realizarlas siguientes comprobaciones:
• A vuelco y deslizamiento, de igual formapara todo tipo de zapata.
• Comprobación a flexión, esfuerzo cortante,punzonamiento y adherencia, que se realizade distinta forma para cada tipo de zapata.
a. Comprobación a esfuerzos de vuelco
Debe comprobarse que los esfuerzos de vuelcoSvd son iguales o menores que los estabilizadoresRvd (figura 5.63).
Rvd > Svd [5.85]
La cuantificación de los esfuerzos es:Esfuerzo de vuelco:
[5.86]Svd
= (Mx
+ Vv
× D) x γ
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 349
C: Cohesión del terreno (kN/m2)γE = 1,5: Coeficiente de seguridadAz : Superficie de la zapata (m2)V: Fuerza horizontal que provoca el
deslizamientoγ: Coeficiente de mayoración de V,
de valor 1,5
b) Terreno no cohesivo (arenas). Se debe verificar:
[5.89]
Siendo:
ΣN: Fuerza estabilizadora, de valor igual ala suma de todas las fuerzas verticalesactuantes en la superficie de contactozapata-terreno
tgϕd: Coeficiente de rozamientoϕd: 2/3 ϕϕ: Angulo de rozamiento interno del terre-
no no cohesivoΣV x γ:Fuerza deslizadora de cálculoΣV: Suma de todas las fuerzas horizontales que
contribuyen a hacer deslizar la zapata.γ: Coeficiente de mayoración de las fuer-
zas de deslizamiento (γ = 1,5)
En cualquier caso, es preferible no construir so-bre laderas deslizantes y, cuando se trata de movi-mientos de reptación muy lentos, es imprescindiblellevar a cabo un estudio detenido y especial del ci-miento.
Son síntomas de inestabilidad de las laderaslos siguientes:
– Aparición de grietas en el terreno con direc-ción sensiblemente perpendicular a la de máximapendiente.
– Existencia de elevaciones u ondulaciones delterreno.
– Inclinación de los árboles que suelen presen-tar concavidad hacia la parte alta de la ladera.
– Si existe ya algún tipo de edificación presen-tará fisuras y daños diversos, heterogéneos y nor-malmente graves.
N × tgϕd
≥ V × γ∑∑
Figura 5.64Deslizamiento lateral entre zapatas y terreno
Figura 5.65Deslizamiento profundo
V
N
Mx
D
PHA/2
1/2 PT 1/2 PT
A
350 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
– Los planos de deslizamiento (lisos) se origi-nan en terrenos limo-arcillosos plásticos, normal-mente después de periodos de lluvias intensas odeshielo.
– Se suelen observar también cambios de colo-ración en la vegetación.
Según las estadísticas francesas, la acción delagua causa el 73% de los deslizamientos.
5.6.2 Zapata prefabricada y soporte corto
La realización de la zapata “in situ”, suele pre-sentar pequeñas dificultades y riesgos de ejecuciónque podrían reducirse utilizando zapatas prefabri-cadas. Con este procedimiento se reducirían cos-tes y se mejoraría la calidad.
El principal inconveniente de la zapata prefabri-cada con el soporte corto es la manipulación, trans-porte y puesta en obra debido a su peso. Actual-mente se dispone de grúas móviles con capacidadde carga suficiente para resolver este problema.
La zapata con el soporte corto tiene un pesoque varía entre 1 y 10 toneladas. Excepcionalmen-te se sobrepasa este peso. Por otra parte, si se op-timizan las zapatas, en construciones normales supeso raras veces excede las 6 toneladas. Es acon-sejable la zapata de base circular compuesta porun cilindro y un tronco de cono.
Ejemplo:Zapata con carga centrada N = 1.000 kN
Presión de cálculo del terrenoqcal = 200 kN/m2
Profundidad de la superficie del cimiento = 3 m
Soporte circular. Diámetro del soporte = 0,45 mSuperficie de la zapata = 5 m2
Diámetro de la zapata = 2,55 mVolumen de hormigón ≈ 2,45 m3
Peso ≈ 6.000 kg
6 m3,6 m
1835 1875
Superficie primitivadel terreno
Balasto
Arcilla azul de Londres
Superficie de deslizamiento
Arcilla marrónde Londres
w=33wc=83wp=30
Depositos superficiales
Grietas (más abiertashacia el escape)
Masas deslizadas
Corte basal
Areniscas con agua artesiana
Arcilla creática
Creta
1,20 m
Albero
Arenas limosas
Margas azules
Carmona
Figura 5.66Deslizamiento de pie
Figura 5.67Deslizamientos regresivos (Carmona, Sevilla)
Figura 5.68Deslizamiento regresivo en Folkestone (Hutchinson, 1969
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 351
c.Comprobación a flexión según EH-91
c.1. Zapatas tipo I, III y de hormigón en masa(EH-91) o rígidas y flexibles (EHE)
La instrucción EHE, al referirse a la comproba-ción de las zapatas rígidas (Vmax ≤ 2H) sometidasa flexión recta, determina el método de cálculo se-gún el modelo de la teoría de las bielas (artículo59.4.1.1). Sin embargo en los comentarios a di-cho artículo se da la opción de que se puede cal-cular a partir del momento que producen las tensio-nes del terreno. En este punto se va a desarrollareste último sistema, mientras que el cálculo por elmétodo de las bielas se desarrollará en el anexo“Cimientos en la EHE” de esta publicación.
La comprobación a flexión comprende:1. Cálculo del momento flector, previa obten-
ción del vuelo de cálculo2. Determinación de las armaduras.3. Disposición de las armaduras.
El vuelo de cálculo para zapatas tipo I y ti-po III y de hormigón en masa es el mismo, tan-to si se trata de zapatas rectangulares comocuadradas o circulares. El vuelo de cálculo esel que corresponde a una sección de referen-cia, S1, que se define como “aquella que esplana y perpendicular a la base de la zapata,paralela a la cara del soporte o del muro en elcaso de zapatas rectangulares o cuadradas, yperpendicular a un radio del círculo del soporteen el caso de circulares”.
Esta sección está situada detrás de dicha ca-ra y a las distancias reflejadas en el cuadro dela figura 5.66 según el tipo de soporte o muro.
Para casos especiales en los que la formade la sección de zapata y pilar no coinciden,la situación de la cara del soporte se define enla figura 5.67.
En el caso de las zapatas de hormigón enmasa, el canto y el ancho vienen determinados
de forma tal que no se sobrepasen los valoresde las resistencias virtuales de cálculo del hor-migón a tracción.
Las tensiones de tracción por flexión queorigina en el hormigón el momento flector ma-yorado y las tensiones tangenciales medias ori-ginadas por el esfuerzo cortante mayorado de-berán ser inferiores a la resistencia virtual decálculo del hormigón a flexotracción y a esfuer-zo cortante.
Figura 5.65Zapata tipo con nomenclatura para cálculos diversos
Vcal
A
P
a
Vmax
0,15a
d>1,5V
P
p
a
b
B
A
352 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
En la EHE se suprime el factor 1,2 que figurabaen la EH-91 y el valor de fctk (resistencia característi-ca a tracción) se refiere siempre a la resistencia ca-racterística inferior a tracción fctk = 0,21 fck
2/3 enN/mm2 y la resistencia de cálculo a traccion es:
[5.91]
El canto mínimo en el borde de las zapatasen masa no debe ser inferior a 35 cm.
Para el cálculo a flexión se parte de la hipó-tesis de un estado de tensión y deformación pla-nas y del supuesto de integridad total de la sec-ción, es decir, el hormigón no está fisurado.
El momento flector y la determinación de lasarmaduras de tracción para zapatas de hormi-gón armado tipo I y III, se definen en la figura5.68 dependiendo de la forma de la zapata.
fctd = fctk
γ c= 0,14fck
2 3 (N/ mm2 )
Como resistencia de cálculo del hormigón atracción y esfuerzo cortante se toma el valor:
[5.90]
Siendo siempre fctk la resistencia característicainferior a tracción correspondiente al cuantil del 5%
A efectos de la comprobación a punzonamien-to se tomará el valor 2fctd.
No será necesario efectuar comprobación acortante o a punzonamiento en las zapatas apoya-das sobre al terreno cuyo vuelo medido desde lacara del soporte, en las dos direcciones principa-les, sea inferior a la mitad de su canto total.
f ctk = 0,21fck2 3 N / mm2( )
f ctk = 0,21fck2 3 N / mm2( )
f ctd = fctk
γ c (N/ mm2 )
γ c =1,5 (Artículo 15º EHE)
Tipo de soporte
Soportes o muros dehormigón
Muros de mamposteríao fábrica de ladrillo
Soportes metálicos so-bre placas de reparto.
Distancia de la secciónde referencia S1 a la
cara del soporteP
0,15 as
0,25 af
0, 5 am
as : Dimensión del soporte o muro de hormigón medida ortogonalmente a la sección que se considera. En el caso de so-portes circulares, diámetro del soporte.
af : Dimensión del muro de mampostería o fábrica de ladrillo medida ortogonalmente a la sección que se considera.am : Mitad de la distancia de la cara del soporte al borde de la placa de acero que le sirve de apoyo sobre la zapata.Vmax: Distancia de la cara del soporte al borde de la zapata.d: Canto útil de cálculo de la sección de referencia. Se toma igual al canto útil de la sección paralela a S1, situada en
la cara del soporte o muro, o en el borde de la placa de apoyo en el caso de soportes metálicos. Cumplirá la condi-ción d ≤1,5 V.
V : Vuelo de la zapata para soportes o muros de hormigón (véase la figura 5.49).H : Canto total de cálculo de la sección en zapatas de hormigón en masa, de la sección definida de un modo análogo
que para el canto útil d.
Vuelo de cálculoV
Vmax + 0,15 as
Vmax + 0,25 af
Vmax + 0,5 am
Sección de cálculo
Total de la zapata
Total de la zapata
Total de la zapata
ZapatasTipo I y III
d
d
d
Canto útild
Zapatas dehormigón en
masa
H
H
H
Figura 5.66Vuelo de
cálculo, planosde referencia y
canto útil dezapatas
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 353
Cuando el vuelo de la zapata es distinto enlas dos direcciones hay que calcular el momentopara cada una de ellas y determinar las armadu-ras correspondientes. Salvo que la armadura pa-ra el vuelo máximo sea la mínima en cuyo casola armadura sería igual en las dos direcciones.
En lo sucesivo, con objeto de simplificar lanomenclatura, se denominarán:
Vcal = V qcal = q
Cuando la distribución de tensiones en el te-rreno es triangular (y, en ocasiones, cuando estrapezoidal), puede ocurrir que el peso propio dela zapata y de las tierras que están sobre ella seasuperior a dichas tensiones, como se ilustra en lafigura 5.70. En estos casos sería necesario poneruna armadura superior capaz de soportar el mo-mento originado por las cargas reales sobre la
ménsula de la zapata. Este caso no es normal enzapatas de edificios aunque excepcionalmentepuede ocurrir en muros de contención.
Disposición de las armaduras:• La armadura de cálculo se extiende de un
lado a otro de la zapata, sin reducción al-guna de su sección.
• Cuando el vuelo de la zapata sea menor oigual que el canto (figura 5.71 en páginasiguiente), las barras se doblarán en patillacon una longitud que es función del anclaje,que se comienza a contar donde termina laparte recta de las barras.
• Cuando el vuelo de la zapata es mayor queel canto, la longitud de anclaje se cuenta apartir de una sección situada a una distan-cia igual al canto h de la cara del soporte.Si la longitud de este punto al borde de lazapata menos el recubrimiento, es menor
Tipo de zapata
Rectangularo
cuadrada
Circular
Sección del soporte
Rectangularo
cuadrado
Circularo
poligonal
Rectangularo
cuadrada
Circular
Ejes del soporte
Coincidentes con las direc-ciones principales de lazapata
No coincidentes con lasdirecciones principales dela zapata
Coincidentes o no coinci-dentes con las direccionesprincipales de la zapata
Coincidentes o no coinci-dentes con las direccionesprincipales de la zapata
Ejes no coincidentes
Caras del soporte
Las que corresponden a los lados del rectán-gulo o cuadrado, sección del soporte
Lado del cuadrado de igual área, cuyosejes coinciden con las direcciones de la za-pata
Lado del cuadrado equivalente, de igualárea, cuyos ejes coinciden con las direccio-nes principales de la zapata
Soporte circular, con el eje coincidente conel de la zapata,con el mismo perímetro queel soporte rectangular o cuadrado
U = 2(a + b)Uc = πaa: Diámetro del soporte circular
Tangente en el punto de intersección con elsoporte más próximo al centro de la zapatadel diámetro que pasa por los dos centros
Figura 5.67Situación de lacara del soporteen distintoscasos.
354 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
• En zapatas rectangulares, la armadura para-lela al lado mayor de la zapata se distribu-ye uniformemente en todo su ancho.Respecto a la armadura paralela al ladomenor, siendo n el número total de barras acolocar, el reparto se hace de la forma si-guiente (figura 5.73 en páginas siguientes):La separación de armadura, en la bandacentral igual a la mitad del resto.
que la de anclaje recto, se doblará la barraen patilla hasta alcanzar la longitud de an-claje (figura 5.72).
• En zapatas cuadradas, es normal que losvuelos de cálculo sean iguales en ambas di-recciones o, en todo caso, que la diferenciasea pequeña. Por ello se suele disponer lamisma armadura en las dos direcciones, pa-ralela a los lados de la base de la zapata.
Geometría de ZapatasTipo I y IIIArmadas
Caso 1Prisma
(fig.5.69.A)
Caso 2Prisma más prismatoide
(fig. 5.69.B)
Caso 3Cilindro
(fig. 5.69.C)
Caso 4Cilindro más tronco de
cono(fig. 5.69.D)
Caso 5Cilindro
Cilindro más tronco decono
(fig 5.69.E)
Md es el momento máximo. El momento flector que se debe resistir en cualquier sección no debe ser menor que la quintaparte de Md. siendo:β x A = asas: Diámetro del soporteA: Diámetro de la zapata
Momento flector de cálculo
Md (5)
0,8 x B x V2 x q
0,21A3 x q(1 - β2) (4/π - β)
0,21A3 x q(1 - β - β3)
Momento específicoμ
μ=Md/(B x d2 x fcd)
La obtención de la fórmula general que da el valor de μ, escomplicada, función de muchos parámetros y carente de in-terés. El valor de μ se obtiene para cada caso particular, ose procede al cálculo de w por otro método.
μ=Md/(B x d2 x fcd)
Análogo al caso 2
m=Md/(π/2 x d2 x fcd)
Cuantíamecánicade las ar-maduras
W
w=μ(1+μ)
w=μ(1+μ)
w=μ(1+μ)
Observaciones
fcd = Resistenciade cálculo delhormigón acompresión.
fcd = Resistenciade cálculo a
compresión delhormigón.
Figura 5.68Determinación
de lasarmaduras detracción según
la geometría dela zapata
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 355
Figura 5.69Tipos de zapatas a los que hace referencia el cuadro de lafigura 5.68
Figura 5.70Zapata con distribución triangular de tensiones y peso delas tierras superior a las tensiones del terreno
d H
A
B
C
D
E
Vcal
Vmax B
a
0,15a
A
Vcal
Vmax B
0,15a
V1
CTa
Vcal
a
0,15a
V
CTa
A
a
a b
v < h
Vmax
H d
Vmax > H
Vmax
H
H
Figura 5.71Zapata con canto mayor que el vuelo
Figura 5.72Zapata con vuelo mayor que el canto
356 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
Con una separación s de valor:
s = [5.95]
En las bandas laterales resultantes el númerode barras queda:
[5.96]
O bien:
[5.97]
Con una separación s de valor:
s = [5.98]
Doble distancia de las barras que en la bandacentral.
c.2. Zapatas tipo II (rígidas con Vmax ≤ 0,5H)
Las zapatas del tipo II se calculan como ménsu-la corta. La condición que debe cumplirse paraque una zapata sea calificada del tipo II es que severifique que H > 2Vmax (figura 5.75).
1n
A + B( )
n ×A – a+2H( )
A + B
n × A – BA + B
12n
a + B( )
Figura 5.74Zapatas rectangulares alargadas
B > a + 2HSi B < a + 2H se toma a + 2H en vez de B.
Figura 5.73Datos para armado de zapatas rectangulares
[5.92]
Siendo:A: Lado mayor de la zapataB: Lado menor de la zapata
En la banda central coaxial con el soporte deancho el mayor de los dos valores “B”, o “a+2H”(véase figura 5.73), se colocarán un número debarras resultante de la expresión siguiente:
[5.93]
O bien:
[5.94]
En el caso de que se cumpla que B>a+2H
Siendo:a: Lado de la sección del soporte paralelo al
lado mayor de la zapataH: Altura de la zapata
n ×2 a + 2H( )
A + B
n × 2BA + B
A – B( ) × 2s + sB = n
A × 2s – Bs = n
s = n2A – B
A
B
B ( ó a+2H)
S 2S
a
b
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 357
El cálculo de estas zapatas como ménsula cortase desarrolla de acuerdo con el artículo 61, de lainstrucción EH-91 o bien por el método de las bielasdefinido por la instrucción EHE en su artículo 24. Sinembargo existen otros métodos de cálculo como elque se pasa a desarrollar a continuación ya que,constructivamente hablando, la solución como mén-sula corta para el caso de zapatas del tipo II es iló-gica por su construcción compleja y costosa.
a) En el cálculo a flexión de zapatas de hormi-gón en masa no se establece limitación al-guna de la relación V/H y se dice ademásque se hará “en la hipótesis de un estadode tensión y deformación plana y en el su-puesto de integridad total de la sección, esdecir, en un hormigón sin fisurar”.
Se demuestra que siendo V < 0,5H, y paralas siguientes condiciones, según la instruc-ción EH-91 [5.91]:
La zapata Tipo II puede ser de hormigón enmasa siempre que se verifique que:
[5.99]
Estos resultados del valor de qcal quedan re-cogidos en la figura 5.76 y se han obteni-do para el valor máximo del vuelo de cálcu-lo (V=0,5H). Para el caso de vuelos meno-res estos límites aumentan.
Es decir, en el campo normal de la resisten-cia de cálculo del terreno, la zapata de hor-migón en masa puede sustituir a la zapatarígida de Vmax ≤ 0,5H (Tipo II según EH-91)Se demuestra también que para una re-sistencia de cálculo del terreno inferiora 2.190 kN/m2 la zapata óptima es la
qcal
≤ 0,12fck2 /3
1,2qcal
≤ fctd
= 0,14 fck2 /3 (N / mm2 )
γ f =1,6 y γ c =1,5
fctd =0,21× f ck
2 3
γ c= 0,14f ck
2 3 (N/ mm2 )
Figura 5.75Zapata tipo II
fck (N/mm2)
fctd (N/mm2)
qcal ≤ (N/mm2)
25
1,2
1,00
20
1,03
0,86
Para valores de qcal inferiores a los de la tabla, siempre es válida la zapatade hormigón en masa en vez de la tipo II
30
1,35
1,13
35
1,50
1,25
Figura 5.76Valores máximos de qcal para distintos tipos de hormigón
a
V
H
A
H > 2V
B
a
b
358 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
d/2 se cuenta a partir del punto medio dela placa de acero, entre cara de soporte yborde de placa. En ambos casos la anchura de la sección esla que se indica en la figura 5.79.
Y el canto útil:
En los casos normales de cimientos, Vrd esigual a Vd.
El esfuerzo cortante mayorado Vd2 en la sec-ción de referencia S2 resulta:
[5.102]
[5.103]
Para zapatas sin armadura de cortante se tomael siguiente valor de Vu2 (es el caso más común):
[5.104]
b2 = b + d
Siendo:b2 :Dimensión horizontal de la sección de refe-
rencia útil para el cálculo.b2 = b + d (mm)
d2: Canto útil de la sección de referencia devalor no superior a 1,5V (mm)
ξ = 1+ 200d
(d en mm)
Vu2 = 0,12ξ 100ρf ck( )1/3x b2 x d
(f ck en N / mm2 )
Vu2 ≥ Vd2
Vu2 = 2 ⋅ b2 ⋅ d2fcv
f cv = 0,5 fcd (kp/ cm2 )
Con γ f =1,6
Vd2 = 0,4 2 A - a - d( )B - B - b - d( )2⎡⎣⎢
⎤⎦⎥q
Vd2 = 12
A - a - d( )B - 14
B - b - d( )2⎡⎣⎢
⎤⎦⎥q × γ f
d2 ≤ 1, 5V1
A B = b2 = b+ d
zapata rígida con vuelo comprendido en-tre la mitad y el doble del canto (tipo I dela EH-91). Esta demostración se basa enlos “Comentarios al artículo 59.4.1.1 dela EHE y en el artículo 59.4.2.1.1.1, se-gún el cual “La determinación de la arma-dura puede también realizarse a partir delmomento que producen las tensiones delterreno y el peso propio de la zapata o delas tierras que gravitan sobre ella cuandosea necesario, en la sección S”.
La conclusión que puede extraerse de es-te tipo de consideraciones es que la za-pata Tipo II tiene un campo de aplica-ción prácticamente nulo.
b) Podría calcularse como macizo de hormi-gón y en este caso necesitaría las siguientescapacidades mecánicas de armaduras:
Paralela al lado A:[5.100]
Paralela al lado B:
[5.101]
Estas armaduras deben distribuirse uniforme-mente en distancias comprendidas entre0,1A y A y entre 0,1B y B respectivamente,segun la EH-91.
d. Comprobación a esfuerzo cortante
d.1. Zapata tipo I (EH-91) o zapata rígida devuelo: 0,5H ≤ Vmax ≤ 2H
En las zapatas del tipo I, la sección plana dereferencia S2, perpendicular a la base de la zapa-ta y paralela a la cara del soporte o muro, está si-tuada del siguiente modo:
• En soportes de hormigón y muros, a una dis-tancia de la cara del mismo igual a mediocanto útil (d/2) de la zapata.
• En soportes metálicos, la distancia anterior
AsB
× fyd
= 0, 25 × Nd
B - bB
AsA
× fyd
= 0, 25 × Nd
A - aA
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 359
≤ 0,02
Cuantía geométrica de la armadura longi-tudinal traccionada anclada a una distan-cia igual o mayor que “d” a partir de lasección de estudio.
fck: Resistencia característica a compresión delhormigón (N/mm2)
El valor de Vu2 corresponde al esfuerzo cortan-te de agotamiento de la sección por tracción en elalma de la pieza.
La otra comprobación que debe realizarse co-rresponde al no agotamiento de la pieza por com-presión oblicua del alma (Vu1):
[5.105]
Siendo:f1cd:Resistencia a compresión del hormigón.
f1cd = 0,60fcdk: Coeficiente de reducción por efecto del es-
fuerzo axil.
Donde:σ`cd:Tensión axil efectiva a la sección (tracción
positiva).
Nd:Esfuerzo axil de cálculo (tracción positiva),incluyendo el pretensado.
Ac: Área total de la sección de hormigón.α: Ángulo de las armaduras con el eje de la
pieza (generalmente 90º).θ: Ángulo entre las bielas de compresión del
hormigón y el eje de la pieza, que cumplela condición:0,5 ≤ cotgθ ≤ 2,5(Generalmente θ = 45º)
σ'cd = Nd
Ac
k = 53
1+ σ'cd
f cd
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
≤ 1,00
Vu1 = k × f1cdb2dcotg θ + cotg α
1+ cotg θ
ρ =A
s
b2 x d
d.2. Zapatas alargadas tipo I (EH-91)
Se define como “zapata alargada” aque-lla en la que se verifica que el vuelo V, medi-do a partir de la cara del soporte, es superiora vez y media el ancho de la zapata B, medi-do este último en dirección perpendicular alvuelo (figura 5.77).
En estas zapatas el esfuerzo cortante se cal-cula por el procedimiento general como ele-mento lineal siempre que se cumplan las condi-ciones geométricas para serlo:
• B < 5H• Distancia entre puntos de momento nulo > 2H
En caso contrario, la zapata se calcula comoun elemento superficial.
La sección de referencia en ambos casos es-tá situada a una distancia igual a un canto útilde la cara del soporte.
La armadura longitudinal se dispone parale-lamente al lado mayor. En la parte inferior se co-loca la obtenida por el cálculo (As) distribuidauniformemente. En la cara superior, el 30% de lacuantía mínima correspondiente a la sección, dis-tribuida uniformemente.
SiendoAc: Área de la sección total de hormigónρ: Valor de la cuantía mínima
As = ρAc
H
V>1,5B
A
d
d
V
B
Figura 5.77Zapataalargada tipo I
360 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
Aw90: Área de línea de armaduras transversa-les (cercos y/o estribos a 90º)
s: Separación de armaduras transversales(longitudinalmente)
fy90,d: Resistencia a cálculo de la armadura Awd: Altura útil de la zapataγf: Coeficiente de ponderación del esfuerzo
cortante. γf=1,60qcal: Resistencia de cálculo del terrenoA y B: Dimensiones de la zapataa: Dimensión del soporte paralela al lado A
de la zapata.(Resistencias de materiales y tensiones enN/mm2)(Elementos longitudinales en mm)
En el caso de que se coloquen cercos ver-ticales, la sección de armadura Aw es igual alnúmero de barras verticales en cada secciónde hormigón multiplicadas por el área de ca-da barra, colocadas a una distancia s a lolargo de la zapata. La cuantía mínima de ar-madura transversal es:
[5.109]
s: Separación longitudinal entre cercos oestribos
La separación entre cercos o estribos deberácumplir las tres condiciones siguientes:
s ≤ 0,80d (nunca mayor de 300 mm)
s ≤ 0,60d (nunca mayor de 300 mm)
s ≤ 0,30d (nunca mayor de 300 mm)
En dirección transversal, las barras verticalestendrán una separación máxima de 80 cm.
Si Vd > 23
Vu2
Si 15
Vu2 < Vd ≤ 23
Vu2
Si Vd ≤ 15
Vu2
Aw
≥ 0, 02 × B × s ×fcd
fyd
La armadura paralela al lado menor se con-vierte en armadura transversal, y será la necesa-ria para absorber los esfuerzos de flexión máslos de esfuerzo cortante, usándose para los re-sultados dados por el cálculo o en su caso lacuantía mínima.
La armadura de cortante contribuirá a la ab-sorción de este esfuerzo de tracción, debiendounificarse:
Siendo, según la Instrucción EHE:
[5.106]
Si el soporte está en el centro de la zapata:
[5.107]
Cuando el soporte no está en el centro:
Vd = (V - d)B · qcal · γf [5.108]
Vu2: Esfuerzo cortante de agotamientoVcu: Contribución del hormigón a la resisten-
cia a esfuerzo cortanteVsu: Contribución de la armadura transversal del
alma a la resistencia a esfuerzo cortante
ρ: Cuantía geométrica de la armadura longi-tudinal traccionada anclada a una distan-cia igual o mayor que d, a partir de lasección de estudio ρ = As/Ac
fck: Resistencia característica del hormigón
ξ = 1+ 200d
(d en mm)
Vd = 12
A - a( ) − d⎡⎣⎢
⎤⎦⎥x B x qcal ⋅ γ f
V cu = 0,10ξ 100ρf ck( )1/3b ⋅ d
Vsu = Aw90
sfy90 d 0,9d
Vu2
= Vcu
+ Vsu
Vu2
≥ Vd
Acero
ρ
B 400 S
2x10-3
B 500 S
1,8x10-3
Figura 5.78Cuantía mínima ρ de armadura
en losas, según EHE (tabla 42.3.5)
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 361
d.3. Zapatas tipo II (EH-91) o rígidas de Vmax ≤ 0,5H (EHE)
El esfuerzo cortante en las zapatas tipo II secalcula según el artículo 61 de la Instrucción EH-91. Como ya se indicó, su aplicación es nula.
d.4. Zapatas tipo III (EH-91) o flexibles (EHE).Comprobación a cortante
En este tipo de zapatas se debe comprobar laresistencia a esfuerzo cortante como si fuera un ele-mento lineal.
Como elemento lineal la sección de referenciaS2 para el cálculo a cortante se situará a una dis-tancia igual al canto útil contada a partir de la caradel soporte, muro o pedestal o punto medio entrela cara del soporte y el borde de la placa de ace-ro, cuando se trate de soportes metálicos sobre pla-cas de reparto de acero (figura 5.79). Esta secciónes plana y perpendicular a la base de la zapata yse tiene en cuenta la sección total del cimiento.
Para que no sean necesarias armaduras trans-versales deberá verificarse:
[5.110]
con los significados definidos anteriormente.(Las unidades de estas expresiones son
N/mm2 y mm).
d.5. Zapatas de hormigón en masa segúnEH-91 Y EHE
Para el cálculo del esfuerzo cortante en las za-patas de hormigón en masa, la sección de referen-cia S2 es análoga a la definida para las zapatasTipo III (figura 5.79). Esta sección de referenciaabarca, en este caso, el canto total de la zapata.
Vcu = fcv ⋅ B ⋅ dfcv = 0,5 fcd (Kp / cm2 )
Siendo:
Vd = 12
A - a( ) − d⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ × d × B × qc × γ f
V d ≤ Vcu = Vu2
Se toma como resistencia de cálculo del hormi-gón a esfuerzo cortante la misma que a tracción.
→ [5.91]
El resto de valores que adquiere la expresiónde fctd en función de las unidades de fck son:
[5.111]
[5.112]
[5.113]
Se demuestra que no es necesaria la compro-bación a cortante en aquellas zapatas en las quese verifique que el vuelo, medido desde la caradel soporte en las dos direcciones principales, seamenor que el canto total.
fctd
= 0, 65fck2 /3 (T / m2 )
fctd
= 0, 3fck2 /3 (kp / cm2 )
fctd
= 1, 4fck2 /3 (kN / m2 )
fctd
= 0,14 fck2 /3 (N / mm2 )
Figura 5.79Situación de lasección decomprobaciónS2 en laszapatas del tipo III
d
B
A
d
d
1/2 (A-a) - d
H
a
362 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
d.6. Zapatas de hormigón en masa
Las secciones de referencia para el cálculo son:• A cortante: distancia igual al canto contada
a partir de la cara del soporte, muro, pedes-tal o del punto medio entre el borde de lacolumna y el borde de la placa de acero,cuando se trata de soportes metálicos sobreplacas de reparto de acero.
• A punzonamiento: se define de forma que superímetro sea mínimo y no esté situada máscerca que la mitad del canto total de la za-pata contada de un modo igual que paracortante.
En ambos casos estas secciones serán planasy perpendiculares a la base de la zapata.
Resistencia de cálculo:• A cortante:
→[5.91]
(EHE, Art. 44.2)
• A punzonamiento:[5.114]
(EHE, Art.46)
Se demuestra que no es necesaria la com-probación a punzonamiento ni a cortante enaquellas zapatas en las que se verifique que elvuelo medido desde la cara del soporte en lasdos direcciones principales sea inferior a la mi-tad de su canto total.
e. Comprobación de la adherencia de las armaduras
e.1. Zapatas tipos I y II. (EH-91). Zapata Vmax > 0,5H (EHE)
En la EHE no se especifican estas compro-baciones por lo que el mecanismo se rige porlas determinaciones de la EH-91. De cualquierforma, en los comentarios del artículo 47.2 sedefine un mecanismo de verificación idéntico aldesarrollado por la EH-91 aunque se aplica a
fcpd = 0,28fck2/3 N / mm2( )
f ctd = 0,14fck2/3 N / mm2( )
la adherencia entre diferentes capas de hormi-gonado y no se aplica por parte de la Instruc-ción a la adherencia entre las barras de acero yel hormigón.
La adherencia entre las armaduras y el hor-migón circundante es suficiente siempre que severifique la condición de la instrucción EH-91:
[5.115]
Siendo:Vd1: Esfuerzo cortante mayorado, por unidad
de longitud, calculado en la misma sec-ción de referencia S1 que para flexión.
n: Barras por unidad de longitud.d: Canto útil de la sección.u: Perímetro de cada barra.τbd: Resistencia de cálculo para la adheren-
cia, para barras corrugadas, que tienelos siguientes valores:
En zapatas del tipo I:
[5.116]
En zapatas del tipo III:
(N/mm2) (5.117]
El valor de τbu, tensión de rotura de adhe-rencia, depende del diámetro de la barra, se-gún la figura 5.80
En ningún caso se deben emplear barras li-sas, tanto por razones de tipo constructivo comoporque están prohibidas por la instrucción EHE.
τbd = τbu
1,6fcd
22,5⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
3
τbd = τbu
1,6fcd
225⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
3 (kp/ cm2 )
τbd = 0,44 fcd23 (N/ mm2 )
τbd = 0,95 fcd23 (kp/ cm2 )
τb = Vd1
0, 9 × d × u × n≤ τbd
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 363
e.2. Zapatas tipo II (EH-91). Vmax ≤ 0,5H (EHE)
En este tipo de zapata, según la InstrucciónEH-91, no se comprueba la adherencia.
5.6.1.3 Armaduras mínimas en zapatas de tipos I y III (EH-91) o rígidas yflexibles con Vmax > 0,5H (EHE)
a. Armadura mínima longitudinal
La cuantía geométrica ρ, en cada dirección,tendrá los valores mínimos que se indican en fun-ción del límite elástico fy dados en la figura 5.81.
Siendo:ρ: ( As1 + As2 + As3 ) / Ac [5.118]
As1: Área de la armadura en tracción en la di-rección de estudio (cm2/m).
As2: Área de la armadura en compresión en ladirección en estudio (cm2/m).
As3: Área de la armadura en las caras lateralesen la dirección en estudio (cm2/m).
Ac: Área de la sección ortogonal a las arma-duras en cm2/m, siendo su valor Ac = 100cm × h (100 cm es el ancho consideradoy h, también en cm, es la altura total de lasección).
En zapatas, es normal que As2= 0 y As3= 0.El montaje de armaduras del tipo As3 se puede uti-lizar en zapatas muy cargadas, para zunchar yatar la patilla.
Constructivamente se recomienda:• Diámetro mínimo de armadura de 12 mm.
Si se utilizan barras o mallas electrosoldadasde alta adherencia, no existe ningún argumen-to técnico que prohiba el empleo de diáme-tros menores que 8 mm. Más bien al contra-rio, pueden existir razones técnicas que justifi-quen su utilización, ya que la exixtencia de unmayor número de armaduras más próximasentre sí disminuye el riesgo de fisuración y pro-porciona mayor seguridad en la adherenciaacero-hormigón.
Figura 5.80Valor de la tensión de rotura de adherencia según el diámetro de la barra
Ø
Ø< 8mm8 mm <Ø< 32 mm
Ø> 32 mm
τbu (kp/cm2)
115130 - 1,9Ø (Ø en mm)
69
τbu (N/mm2)
11,5130 - 1,9Ø (Ø en mm)
6,9
• Separación máxima de 15 cm entre las ba-rras y, en cualquier caso, dicha separaciónnunca debe exceder los 30 cm.
b. Armadura mínima transversal
Las zapatas tipo I o rígidas no necesitan arma-dura transversal. En las zapatas tipo III o flexiblestampoco es preciso, siempre que no sea necesariopor cálculo y que el hormigonado sea continuo.
Una zapata que se considere como una vigaancha llevará una armadura transversal que debeabsorber el momento flector en esa dirección másel esfuerzo cortante. La separación entre cercos oestribos deberá cumplir las tres condiciones de se-guridad:
• s ≤ 0,80d (no mayor que 300 mm)
• s ≤ 0,60d (no mayor que 300 mm)
• s ≤ 0,30d (no mayor que 200 mm)
Si V rd > 23
Vu1
Si 15
Vu1 < V rd ≤ 23
Vu1
Si V rd ≤ 15
Vu1
Figura 5.81Cuantía geométrica mínima, según EH-91 art. 58.8.2 y EHE
Tipo de acero
AE 215B 400 SB 500 S
fy > 4.100 kp/cm2
fy > 400 MPa
EHEρ x 103
–2,001,80
––
La distancia máxima entre armaduras es de 30 cm
EH-91ρ x 103
> 2> 1,8≥ 1,5
> 1,8 x (4.100/fy) (kp/cm2)> 1,8 x (400/fy) (N/mm2)
• Coeficiente de minoración del acero γs• Coeficiente de minoración del hormigón γc• Coeficiente de ponderación de las acciones γf
2. Mínimo coste. Para ello se determina la altu-ra óptima de la zapata, también denomina-do canto óptimo (hopt).a) Zapatas armadas. El valor de hopt corres-
ponde aproximadamente a la cuantía mí-nima de acero. los valores inferiores ahopt disminuyen el volumen de hormi-gón y aumentan el peso del acero enarmaduras.
b) Las zapatas de hormigón en masa sonaquellas que están armadas con una can-tidad de acero inferior a la cuantía míni-ma. Ésta es la necesaria para evitar la ro-turaa frágil del hormigón, cuando ése sefisura una vez que se ha superado su re-sistencia a tracción.
364 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
La cuantía mínima de cortante en cercos verti-cales deberá cumplir:
ΣAα x fyαd ≥ 0,02 fcd [5.119]
Siendo:α: Ángulo que forman las armaduras con el
eje horizontal.Aαω: Sección de las armaduras en un
mismo plano transversal
s : Separación longitudinal de las ar-maduras
Si se trata de cercos o estribos verticales:ω = 90º
Aω/s x fyd ≥ 0,02 fcd [5.120]
En las zapatas del tipo III o flexibles se coloca-rá armadura cuando el cálculo a punzonamientoindique que es necesaria.
El armado de la figura 5.82 se recomienda enzapatas solicitadas con cargas importantes. La ar-madura perimetral de tracción zuncha el perimetrode la base del tronco de cono o de pirámide delas bielas de compresión. Se trata de armadurasconstructivas.
5.6.1.4 Cálculo de dimensiones óptimas dezapatas aisladas. Condiciones
Tanto las zapatas de hormigón armado comolas de hormigón en masa deben cumplir las si-guientes condiciones:
1. El efecto Sd de las acciones exterioresdebe ser igual o menor que la respuestaRd de la zapata para el estado límite enestudio (Sd < Rd), con el mismo margende seguridad para las distintas solucio-nes. El margen de seguridad se introdu-ce en los cálculos con los coeficientesde seguridad, especificados en los artícu-los 12 y 15 de la EHE.
Aα = Aαω
s
Figura 5.82Armado de la zapata
Armaduraperimetral
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 365
El canto óptimo de estas zapatas es aquélen el que se verifica:
fctd = σctu [5.121]
Siendo:fctd: Resistencia de cálculo a tracción del hor-
migón de valor:
σctu:Tensión máxima de trabajo a traccióndel hormigón, obtenida por el métodoelástico.
3. Mínima superficie del cimiento, que hacemínimo el volumen de hormigón y el pesodel acero. Presupone el aprovechamientomáximo de la resistencia de cálculo delterreno.
4. La zapata cuadrada es la óptima para car-gas centradas o con pequeñas excentricida-des siempre que los soportes tengan seccióncuadrada. Si el soporte es rectangular, sedebe proyectar la zapata que tenga aproxi-madamente el mismo vuelo de cálculo enambas direcciones, siempre que la excentri-cidad de la carga quede dentro del núcleocentral de la zapata.
5. Las zapatas cumplirán el punto 59.8, “Di-mensiones y armaduras mínimas” de la EHErecogido en el cuadro de la figura 5.83.
a. Zapata de hormigón armado
Se parte para su desarrollo de las siguien-tes hipótesis de trabajo que se asemejan engran medida a la realidad del comportamientode la zapata:
1. La zapata debe ser rígida. La distribuciónplana de tensiones que se considera para el cál-culo es la que más se aproxima a la realidad. Seconsidera siempre Zapata Tipo I o rígida.
fctd = 0,14fck2/3 N / mm2( )
2. Se da por válido que la zapata ópti-ma es la que se arma con la cuantía mínimade acero. Aunque ésto no se correspondeexactamente con la realidad, se admite porla simplicidad del cálculo y por la escasa di-ferencia en costo que existe con la económi-camente óptima.
3. Para resistencias de cálculo del terre-no que generan cantos en la zapata corres-pondientes a Zapatas Tipo III o flexibles y concuantía mínima de armadura, se adopta elcanto mínimo correspondiente a una ZapataTipo I o rígida, siempre que aquella no cum-pla la condición de r igidez colocando lacuantía mínima de armadura, correspondienteal cálculo que daría el canto de la Zapata Ti-po III o flexible.
4. El cálculo a f lexión se real iza deacuerdo con lo que se especificó en “compro-bación a flexión”, de acuerdo con los siguien-tes parámetros:
γc = 1,5γs = 1,15γf = 1,6
Calculando para un metro de ancho de zapa-ta, el momento flector en el plano crítico es.
[5.122]Md = γ f × qcal × Vcal2
2
Figura 5.83Dimensiones y armaduras mínimas de zapatas según los artículos 58.8 deEH-91 y 59.8 de EHE
Zapatas
Hormigón en masaHormigón armado
Canto mínimo con el borde hb (cm)
3525
∗ Si la zapata no es prismática, es conveniente que la inclinación de supared lateral sea tal que facilite el correcto hormigonado, sin necesidadde encofrado superior. Esto supone un ángulo inferior a 30º, que dependede la consistencia del hormigón.
Observaciones
∗∗
fck(N/mm2)
20
25
30
35
40
50
fyk = 400 N/mm2
0,052
0,042
0,035
0,030
0,026
0,021
fyk = 500 N/mm2
0,058
0,047
0,039
0,033
0,029
0,024
fcd(N/mm2)
13,3
16,7
20,0
23,3
26,7
33,3
ωmín
[5.125]
Con cuantía mínima el hormigón está trabajan-do en la Zona 2 y se puede adoptar:
ω = μ ( 1 + μ)
De donde:
Desarrollando:
[5.126]
Cuando ω < 0,0671, se puede tomar ω = μ.Se comete un error menor de 4×10-3 = 0,004 porexceso.
Si se sustituye en [5.124]
[5.127]
Y sustituyendo ω
De donde:
[5.128]
Para fyk = 500 N/mm2
ρ = 1,5 x 10-3
[5.129]
ωmin = 0,9fcd
× 1γ s
f cd en N/ mm2( )ωmin = 0,78
fcd f cd en N/ mm2( )
d2
Vc2
=1,14qcal
dVc
=1,07 qcal qcal en N / mm2( )γ s =1,15
0, 7 =0, 8 × V
c
2 × qcal
d2
ω = 0,8 × Vc2 × qcal
d2 × f cd
μ = ω − 116
4ω( )2+. . . ≈ ω - ω2
μ =-1 + 1+ 4ω( )
12
2
ωmin = 0,7fcd
( N/ mm2 )
366 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
La expresión del momento flector reducido o re-lativo es:
[5.123]
Siendo:
Sustituyendo Md por su valor con γf=1,6, seobtiene la siguiente expresión:
[5.124]
Para fyd =400 N/mm2
Cuantía geométrica mínima de armaduras:
La cuantía mecánica mínima es:
ωmin
= 0, 8fcd
× 1γ
s
(N / mm2 )
ωmin = ρminf ydf cd
ωmin = 2 ×10-3 400fcd
× 1γ s
(N/ mm2 )
ρmin
= 2 × 10-3
μ = 0,8 × Vc2 × qcal
d2 × f cd
f cd = fck
γ c= f ck
1, 5
μ = Md
1 × d2 × f cd
Figura 5.84Valores de ωmín en función de fcd para distintos valores de fyk
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 367
[5.130]
Y unos valores del vuelo de cálculo (Vcal) y delcanto efectivo de la zapata (d)
[5.131]
El cociente d/H varía entre 0,8 y 0,95 cuan-do H varía de 25 a 100 cm, por lo que entrandocon estos valores en las fórmulas [5.128 y 5,129],queda:
Con fyk = 400 N/mm2:
[5.132]
Con fyk = 500 N/mm2:
[5.133]
(en todos los casos qcal en N/mm2)
Tomando el valor medio de los coeficientesque multiplican a las raices para determinar el va-lor medio de H, resulta:
[5.134]
(qcal en N / mm2 )
H =1,22 qcal × Vc
HVc
=1,27 qcal (d = 0,8h)
HVc
=1,13 qcal (d = 0,9h)
HVc
=1,07 qcal (d = 0,95h)
HVc
=1,34 qcal (d = 0,8h)
HVc
=1,19 qcal (d = 0,9h)
HVc
=1,13 qcal (d = 0,95h)
Vc = Vmax - 0,15 × aH = d+ 0,05dH
=1- 0,05H
d2
Vmax2
=1,026qcal (qcal en N / mm2 )
dVmax
=1,013 qcal (qcal en N / mm2 )(qcal en kN/m2)
(qcal en kp/cm2)
Si, como es normal, 0,15a oscila entre el 5%y el 10% del Vmáx, el intervalo de valores proba-bles de Vc será:
1,05 Vmáx ≤ Vc ≤ 1,10 Vmáx
H = 0,35 qcal × Vc
H = 0,0386 qcal × Vc
qcal < 0,143 N/ mm2
qcal < 143 kN/ m2
1,32 qcal = HVmax
< 0,5
qcal < 0,51,32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
qcal > 2,29 N/ mm2
qcal > 2.290 kN/ m2
1,32 qcal = HVmax
> 2
qcal > 21,32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
0,143 N / mm2 ≤ qcal ≤≤ 2.290 N/ mm2
143 kN / m2 ≤ qcal ≤≤ 2.290 kN/ m2
2Vmax ≥ H ≥ 0,5Vmax2Vcal ≥ H ≥ 0,5Vcal
0,51,32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
≤ qcal ≤ 21,32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
Figura 5.85Campo de valores de qcal que definen la altura dezapata con cuantía mínima
Tipo I (EH-91)
Rígida (EHE)con d = 0,9 H
fyk = 400 N/mm2
Tipo II (EH-91)
Rígida (EHE)
Tipo III (EH-91)
Flexible (EHE)
a) Zapata prismática
Se resuelve la zapata de la figura 5.86 conlos siguientes datos:
qcal: Presión de cálculo (N/mm2)fck: Resistencia característica a compresión
del hormigón (N/mm2)
Las hipótesis que se plantean para la resolu-ción de este caso son las siguientes:
1. σctd = fctd
2.
(Resistencia de cálculo del hormigón a tracción)
fctd
= 0,14 fck2 /3
368 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
Tomando el valor medio Vc = 1,075 Vmax , lasfórmulas anteriores se convierten en:
[5.135]
[5.136]
Comentarios:1. Para qcal ≤ 0,143 N/mm2, la zapata ópti-
ma será del Tipo III, proponiéndose adoptarcomo canto:
Siempre que el canto mínimo de cálculodé lugar a una zapata flexible.En el caso de que sea una zapata Tipo I,ésta será rígida con la mínima armaduracorrespondiente al canto obtenido median-te la fórmula [5.135].
2. Para valores tales que 0,143 < qcal ≤2,29 N/mm2, campo en el que se encuen-tran la mayoría de los terrenos de cimiento,la zapata óptima es de Tipo I o rígida.
3. Cuando se proyecta una zapata sobre ro-ca, hormigón, etc. (qcal > 2,29 N/mm2)es preferible utilizar la solución de cimien-to sobre macizo de hormigón, o bien ci-miento sobre zapata de hormigón en ma-sa, o zapata Tipo I con valor de H =2Vmax, con la armadura que se obtengadel cálculo.
b. Zapata rectangular de hormigón en masa.Altura óptima
En el cálculo a flexión de la zapata de hormi-gón en masa, las compresiones alcanzan solamen-te el comienzo de la rama de compresión del dia-grama tensión-deformación, por lo que es lícito em-plear como simplificación el diagrama rectilíneo decomportamiento elástico.
H =V
max
2
H = 0,42 qcal × Vmax
(qcal en Kp / cm2 )
H =1,32 qcal × Vmax
(qcal en N / mm2 )
Figura 5.86Zapata prismática de hormigón en masa
Htg α =
Vmax
Vmax
Bb
a
V
0,15 as
Vmax
H
A
α
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 369
Siendo:γc: Coeficiente minoración del hormigón.fctk: Resistencia característica a tracción
del hormigón fctk y fck en N/mm2.fctk = 0,21fck
(2/3) N/mm2.
fck: Resistencia característica a compresióndel hormigón.fctd =0,14 fck
(2/3) en N/mm2
fctd =1,4 fck(2/3) en kN/mm2
A, B: Dimensiones en planta de la zapata,A > B
a, b: Dimensiones en planta del soporte,a > b
V : Vuelo de cálculoλ: a/A
σctd = 4,8 × V2
H2× q (N/ mm2 )
σctd ≤ f ctd = 0,14 f ck
23 (f ck en N / mm2 )
a = λA
Vmax = A2
1- λ( )A = 2Vmax
1- λV = A 0,5 - 0,35λ( )Md = 1,6 × V2 × q × B
2
V = Vmax × 1- 0,7λ1- λ
w = B × H2
6
σctd = Md
w
V = Vmax
+ 0,15a
fctk
= 2,1 fck2 /3 f
ctk y f
ck en kN / m2
Los valores de 5,86/fck-1/3 en función de fck se
obtienen de la tabla de la figura 5.87.
Tomando los valores correspondientes a
Para valores de hormigones cuya fck varíaentre 20 y 50 N/mm2 (tal y como se recoge enla figura 5.87) tomando el valor medio de los coe-ficientes 5,86/fck
-1/3 se obtiene el que se puedeusar como valor general.
[5.137]
Y en función del vuelo máximo
[5.138]λ varía de 0,2 a 1,0, estando comprendidos
sus valores, normalmente entre 0,20 y 0,40 segúnla figura 5.88.
HVmax
=1,86 × 1- 0,7λ1- λ
× q12 (N/ mm2 )
HV
=1,86 × q12 (N/ mm2 )
HV
= 5,86 × q12 × f ck
-13
HV
max
× fck
13 = 5,86 × 1 - 0, 7 λ
1 - λ× q
12
4,8 × V2
H2× q ≤ 0,14f ck
23
HV
= 5,86 × q12 × f ck
-13
HVmax
= 5,86
fck
13
× 1- 0,7λ1- λ
× q12
(q y f ck en N / mm2 )
Figura 5.87Valores de5,86fck
-1/3 enfunción de fck
20
2,15
fck (N/mm2)
5,86 fck-13
35
1,79
30
1,88
25
2,00
40
1,71
50
1,59
370 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
El valor medio de (1- 0,7λ) /(1- λ) es 1,12, apartir de los datos de la figura 5.88. Aplicándoloa la expresión vista anteriormente, se tiene:
V = 1,12 x Vmax
Y sustituyendo en [5.138] se obtienen las ex-presiones:
[5.139]
[5.140]
Los valores más exactos, en función de q, λ yH/Vmax se pueden obtener del ábaco de la figura5.89, regido por la fórmula [5.138]:
b.1. Zapata de hormigón en masa (prisma másprismatoide)
Para el desarrollo del ejemplo (figura 5.90) separte de las siguientes hipótesis:
1. La zapata se considera dividida en cuatroelementos iguales dos a dos según lo repre-sentado en la figura 5.91.
2. La planta del soporte se considera semejan-te a la de la zapata. En forma matemáticaesto se expresa:
AB
= ab
HVmax
=1,86 × 1- 0,7λ1- λ
× q12 (N/ mm2 )
HV
max
= 20, 8 × q12 (T / m2 )
HV
max
= 65, 76 × q12 (kN / m2 )
HV
max
= 2, 08 × q12 (N / mm2 )
Figura 5.88Valores de
1 - 0, 7 λ1 - λ
0,30
1,129
0,25
1,1
0,20
1,075
0,15
1,053
0,12
1,041
λ
1 - 0, 7 λ1 - λ
0,50
1,3
0,40
1,2
0,35
1,162
0,75
1,9
1,00
∞
Figura 5.90Zapata de
hormigón enmasa
(prisma másprismatoide)
a
0,35
H
A
Figura 5.89Ábaco de
relación entre q(en kN/m2) y la
relación entreH/Vmax en
función de λ
H/Vmax
q (kN/m2)100 200 300 400 500 600 700
0,75
0,50
0,40
0,35
0,30
0,25
0,200,150,12
λ
[5.141]
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 371
Considerando:a = λ x Ab = λ x B
Se cumplen las expresiones que se recogen enla tabla de la figura 5.92.
El momento resistente mínimo debe ser talque multiplicado por la resistencia a tracciónde cálculo del hormigón sea igual o mayor queel momento flector de cálculo máximo.
fctd = 0,14fck2/3 N / mm2( )
Md
W= σct = A2
H2× q ×
× 0,41- λ( )2
⋅ 2+ λ( )λ
+ 0,36 1- λ2( )⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
≤ f ctd
W = λB × H2
6
Md =1,6 × 124
× A2 × B × 1- λ( )2×
× 2+ λ( ) × q+1,6 × 0,15λ × 14
A2 ×
× B × 1- λ2( ) × q
λ puede variar de 0,12 a 1,00
K1 = 2,67
1- λ( ) × 0,8 − 0,04λ − 0,04λ2( )λ
HA
≥ K1 × q12 × f ck
− 13 (q y f ck en N / mm2 )
A2
H2× q
1- λ( ) 0,8 − 0,04λ − 0,04λ2( )λ
≤
≤ 0,14fck
23
a a a
1a 2a
H
B
A
y
1/2 A (1-λ)
PLANTA ALZADO
b Bb
A
b
1/2 B (1-λ )y
Figura 5.91Hipótesis para el cálculo de la zapata compuesta por prisma más prismatoide
Planta
1
2
XG (trapecio)
16
B 1- λ( ) × 2 + λ1+ λ
16
A 1- λ( ) × 2 + λ1+ λ
Área del trapecio
14
A × B × 1- λ2( )
14
A × B × 1- λ2( )
Planta
1
2
Vuelo de cálculo en eltrapecio
xGB + 0,15b
xGA + 0,15a
Vuelo de cálculo de lazapata rectangular
Vmax = V = 0,5A (1- λ)
Vmax = V = 0,5B (1- λ)
Figura 5.92Expresiones de
parámetroscorrespondientes
a zapatascompuestas por
prisma másprismatoide
372 MANUAL DE EDIFICACIÓN: MECÁNICA DE LOS TERRENOS Y CIMIENTOS
Se prescinde de los valores 0,04λ y 0,04λ2
ya que su influencia es muy escasa en el valorde K, obteniéndose en todo caso valores mayo-res de este parámetro que originan valores ma-yores de H, por lo que su supresión queda dellado de la seguridad. Los valores están tabula-dos en la figura 5.93.
[5.142]
El valor medio es:
[5.143]H
Vmax= 3,72 × q
12 (N/ mm2 )
HVmax
= K × q12 × f ck
- 13
(q y f ck en N / mm2 )
K = 2 K1
1- λ= 4,78 1
λ 1- λ( )
HVmax
≥ 2 × K1
1- λq
12 × f ck
− 13
(q y f ck en N / mm2 )
H × 1− λ( )2 × Vmax
≥ K1 × q12 × f ck
− 13
A = 2 Vmax
1− λ
K1 = 2,39 1− λλ
K1 = 2,671− λ( ) − 0,8
λ
c. Comparación económica entre zapatasde hormigón en masa y armadas concuantía mínima
Las hipótesis que sirven de base para la com-paración que se van a realizar se enumeran a con-tinuación:
1. En ambos casos se consideran zapatascon forma prismática.
2. En ambos tipos de zapata, se considerael aporte de una capa de hormigón dealtura H1 en la zona de contacto del ci-miento con el terreno. En el caso de hor-migón armado el suplemento de hormi-gón es de más baja calidad y su finali-dad es de regularización y limpieza dela superficie del cimiento. En el caso dehormigón en masa se hace en previsiónde la peor calidad de la capa de hormi-gón que se contamina por el contacto ymezcla del terreno con la superficie deapoyo del cimiento. En ambos casos sele da el mismo valor a esta unidad deobra.
3. Se considera, para las dos soluciones, elmismo valor del movimiento de tierras; ex-cavación, carga y transporte y rellenocompactado.
4. Se suponen hormigones y armaduras dela misma calidad en ambos casos, utili-zándose además el mismo valor de qcal,es decir, se compararán precios por tone-lada soportada en terrenos de la mismacapacidad portante.
5. La planta de ambas zapatas es la misma.
6. El soporte es igual para ambas.
λ
K1
0,30
4,07
0,25
4,62
0,20
5,35
0,15
6,35
0,12
7,23
0,50
2,67
0,40
3,27
0,35
3,66
0,75
1,54
1
0
Figura 5.93Valores de K1
en función de λ
TIPOLOGÍA DE CIMIENTOS. CIMIENTOS SUPERFICIALES 373
- Zapata de hormigón armado.Cuantía mínima = 2 x 103 (acero B 400 S)- Altura de la zapata:
m3 de hormigón por m2.- Precio del hormigón HA-25: 66,00 euros/m3
- kg de acero m3 de hormigón:K = 31,4 x 1,15 = 36 kg (armadura mínima).
- Precio del acero: 0,66 euros/kg
Densidad del acero 7.850 kg/m3
Ac x 1 m3 de hormigón x As x 7.850 kg deacero x 2 (emparrillado)
CZA. Coste zapata de hormigón armado por m2.Hormigón:
Acero:
Suma:
CZM. Coste de zapata de hormigón en masaHM-25 por m2.- m3 de hormigón por m2 de zapata:
- Hormigón:
El coste de la zapata de hormigón en masa esun 16% superior al de la de hormigón armado.
CZACZM
= 137 ,28118,48
= 1,16
= 66,00 × 2,08 × qcal × Vmax =
= 137 ,28 × qcal × Vmax
H = 2,08 × qcal × Vmax
= 118,48 × qcal × Vmax
0,66 × 36 ×1,32 × qcal × Vmax =
= 31,36 × qcal × Vmax
66,00 ×1,32 × qcal × Vmax =
= 87,12 × qcal × Vmax
X = Ac
As× 7.850 × 2 = 2 −10−3 × 7.850 =
= 31,40 kg/ m3
ρ = Ac
As= 2 ×10-3
H =1,32 qcal × Vmax N/ mm2 (h y V max en m)
Coste de la tonelada soportada en función delVmax y de qmax
Sería:Zapata de hormigón en masa:
euros
Ejemplo:Vmax = 0,80 mqcal = 0,2 N/mm2
Zapata de hormigón en masa:CZHM = 2,45 euros/tonelada
Zapata de hormigón armado:
euros
CZHA = 2,12 euros/tonelada
CZHA = 11,85 × Vmax
qcal
CZHM = 1,37 × Vmax
qcal
137 ,28 × qcal × Vmax
100 × qcalV en m, qcal en N mm2( )
fck(N/mm2)
20
25
30
35
fck-1/3
(N/mm2)
0,362
0,342
0,322
0,306
0,20
13,35
4,913
4,566
4,299
4,085
4,466
0,30
11,64
4,284
3,981
3,748
3,562
3,894
0,25
12,32
K x fck-1/3
4,534
4,213
3,962
3,770
4,121
λ medio0,25
Valor medio
4,532
4,253
4,004
3,806
4,160
Figura 5.94Cuadro de cálculo del valor medio
λ
K
Valor medio
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