clase08 temas 3.3 y 3.4

Concreto Armado I • Contenido:

• Tema 3: Miembros sometidos a corte y torsión

• 3.1 Resistencia a las fuerzas cortantes

• 3.2 Diseño del acero de refuerzo por corte

• 3.3 Resistencia a torsión

• 3.4 Diseño del acero de refuerzo por torsión

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RESISTENCIA A TORSIÓN

• INTRODUCCIÓN.

• Los elementos de concreto armado pueden estar sometidos a pares de torsión, casi siempre acompañados por momentos flectores, por cortantes y algunas veces por fuerzas axiales.

• Hace algunos años se consideraba la torsión como un efecto secundario que no se tenía en cuenta en forma explícita en el diseño. Ahora en muchos casos es necesario considerar los efectos de la torsión en el diseño, debido a que los factores de seguridad globales de los métodos actuales son menores y a que se ha incrementado el uso de elementos en los cuales la torsión es un aspecto principal del comportamiento.

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Figura 15.1. Tesis de Hormigón armado. Marcelo Romo Proaño

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Figura 15.2. Tesis de Hormigón armado. Marcelo Romo Proaño

RESISTENCIA A TORSIÓN

• TORSIÓN PRIMARIA Y TORSIÓN SECUNDARIA.

• La torsión primaria, algunas veces llamada torsión de equilibrio o torsión estáticamente determinada, se presenta cuando la carga externa no tiene otra alternativa que ser resistida por torsión. En estos casos, la torsión necesaria para mantener el equilibrio estático puede determinarse en forma única.

• Un ejemplo es la losa en voladizo de la figura 15.3. Las cargas aplicadas en la superficie de la losa producen unos momentos de torsión que actúan a lo largo de la longitud de la viga de soporte. Éstos se equilibran mediante el momento torsor resistente T que se genera en las columnas. Sin estos momentos de torsión, la estructura colapsaría.

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Figura 15.3. Torsión primaria. Tomado de Arthur H. Nilson

• La torsión secundaria también llamada torsión por compatibilidad o torsión estáticamente indeterminada, se genera a partir de los requisitos de continuidad, es decir, de la compatibilidad de deformaciones entre partes adyacentes de una estructura. En este caso, los momentos de torsión no pueden determinarse únicamente con base en el equilibrio estático.

• Si no se considera la continuidad en el diseño se presentará probablemente un gran agrietamiento, pero por lo general no se producirá colapso. Generalmente existe la posibilidad de una redistribución interna de fuerzas y de un equilibrio alterno de fuerzas. Un ejemplo de torsión secundaria se presenta en la viga de borde que sostiene una losa monolítica de concreto como aparece en la figura 15.4b.

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Figura 15.4. Torsión secundaria. Tomado de Arthur H. Nilson

• Si la viga de borde es rígida a la torsión y está reforzada adecuadamente, y si las columnas pueden suministrar el momento torsor resistente T que se necesita, entonces los momentos en la losa serán aproximadamente los de un apoyo exterior rígido, como se ilustra en la figura 15.4c.

• En cambio, si la viga tiene una rigidez baja a la torsión y está reforzada en forma inapropiada para efectos de torsión, se presentará agrietamiento, que reducirá aún más la rigidez de torsión, y los momentos en la losa se aproximarán a los de un borde articulado, como se ilustra en la figura 15.4d.

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• TORSIÓN EN ELEMENTOS DE CONCRETO SIMPLE

• En la figura 15.5 se muestra una porción de un elemento prismático sometido a momentos torsores T iguales y opuestos en sus extremos.

• Si el material es elástico, la teoría de torsión de St. Venant indica que los esfuerzos cortantes por torsión se distribuyen sobre la sección transversal, como se muestra en la figura 15.5b. Los mayores esfuerzos cortantes se presentan en la mitad de las caras más anchas.

• Si el material se deforma inelásticamente, tal como se espera para el concreto, la distribución de esfuerzos se

aproxima a la indicada por líneas punteadas.

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Figura 15.5. Esfuerzos causados por la torsión. Tomado de Arthur H. Nilson

• Los esfuerzos de corte resultantes, indicados con τ en la figura, actúan siempre en pares sobre las caras o planos mutuamente perpendiculares de elementos diferenciales.

• Como se sabe, este estado es equivalente a un estado de esfuerzos de tensión, en la figura σ= τ y compresión, σ= - τ , actuando en las caras de un elemento rotado a un ángulo de 45° con respecto a la dirección del cortante.

• Las tensiones inclinadas son similares a las inducidas por fuerzas de corte transversal, pero en el caso de torsión, puesto que las tensiones tienen signos opuestos en las dos caras opuestas, ver Fig. 15.5a, los esfuerzos de tensión diagonal resultan perpendiculares entre sí, en una cara a 45° y en la opuesta a 135°, es decir son hélices que se cruzan a lo largo de la barra, como muestra la Fig.15.6(a).

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Figura 15.6. Trayectorias de las tensiones principales para torsión pura. Tomado de CARLOS RICARDO LLOPIZ

• TORSOR CRÍTICO O DE AGRIETAMIENTO EN SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO.

• Cuando los esfuerzos de tensión diagonal exceden la resistencia a la tensión del concreto, se forma una grieta en algún sitio accidentalmente más débil y ésta se propaga inmediatamente a través de la viga. El valor del momento torsor que corresponde a la formación de esta grieta diagonal se conoce como el torque de agrietamiento Tcr .

• Tal como lo sugiere la distribución de tensiones de Fig. 15.5b, para los efectos del diseño una buena aproximación es la de idealizar que en una sección maciza la torsión sólo es resistida por una sección o tubo de pared delgada, ignorando la parte central.

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• Cinco razones fundamentales soportan esta idealización:

• (i) Las tensiones en la parte central son muy pequeñas.

• (ii) Los brazos de palanca de las resultantes de las tensiones en el centro son también menores.

• (iii) Por las dos razones anteriores, la contribución al momento torsor de la parte central es doblemente menor que en las partes externas.

• (iv) En la parte externa la tendencia a entrar en campo no lineal del material hace que en ese tubo idealizado de pared delgada la tensión tienda a ser uniforme, y se acrecientan entonces las diferencias con las tensiones internas cada vez más relativamente menores.

• (v) Los resultados experimentales avalan la modelación propuesta.

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• En definitiva entonces, en la viga de sección maciza se puede considerar que los esfuerzos de corte por torsión son constantes a través de un espesor finito t alrededor de la periferia del elemento, permitiendo representar a la viga como un tubo equivalente como muestra la Fig.15.7.

• Dentro de las paredes del tubo la torsión es resistida por el flujo de corte q (fuerza por unidad de longitud), cuya trayectoria, como lo muestra la Fig.15.8, se representa por una línea en la mitad del espesor idealizado t. En la analogía dicho flujo, q= t.τ , se considera constante en el perímetro (la tensión y el espesor son constantes).

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Figura 15.7. Tubo de pared delgada equivalente bajo torsión. Tomado de Arthur H. Nilson

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Figura 15.8. Tomado de CARLOS RICARDO LLOPIZ

• Considerando el equilibrio del momento torsor externo T y las tensiones internas:

• 𝑻 = 𝟐 ∙ 𝒒 ∙ 𝑨𝟎 𝒚 𝒒 = 𝑻

𝟐∙𝑨𝟎

• Para un espesor de pared de tubo t, el esfuerzo unitario que actúa dentro de las paredes del tubo es:

• 𝝉 = 𝒒

𝒕=

𝑻

𝟐∙𝑨𝟎∙𝒕

• de donde:

• T = torsor aplicado

• t = espesor de la pared del tubo

• q = flujo de cortante debido a la torsión, considerada uniforme, que actúa en el espesor de la pared

• A0 = área encerrada por la trayectoria del flujo de cortante constante

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Figura 15.9. Tomado de Perdomo y Yépez

A0 = área encerrada por la trayectoria del flujo de cortante constante ACP = área de la sección gruesa de concreto pCP = perímetro de la sección gruesa de concreto

• El esfuerzo principal a tensión es σ = τ. De esta manera, el concreto se agrieta sólo cuando τ = σ = f’t , la resistencia a la tensión del concreto. Considerando que el concreto está sometido a tensión y compresión biaxial, f’t puede representarse conservadoramente mediante 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′

𝒄 , para concretos de densidad

normal.

• 𝝉 = 𝝉𝒄𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′𝒄 • Despejando T , se obtiene el valor del momento torsor

de agrietamiento

• 𝑻 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′𝒄 ∙ 𝟐 ∙ 𝑨𝟎 ∙ 𝒕 (15.1)

• Con 𝑨𝟎 =𝟐

𝟑𝑨𝒄𝒑 𝒚 𝒕 =

𝟑

𝟒∙𝑨𝒄𝒑

𝑷𝒄𝒑

• 𝑻 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′𝒄∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 (15.2)

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• TORSIÓN EN ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO.

• Para resistir torsión se utiliza una combinación de estribos poco separados y barras longitudinales. Esto implica que, de ser aplicable, se deben adicionar refuerzos de acero a los necesarios para corte y flexión (esfuerzos con los que normalmente coexiste la torsión).

• Cuando los elementos se refuerzan en forma adecuada, como en la figura 15.10a, las fisuras en el concreto aparecen para un momento torsor igual o un poco mayor que el de un elemento no reforzado, según la ecuación (15.2).

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Figura 15.10. Viga de concreto armado bajo torsión. (a) Refuerzo de torsión, (b) grietas de torsión. Tomado de Arthur H. Nilson

• Las grietas forman un patrón en espiral, como aparece en la figura 15.10b. Después del agrietamiento, la resistencia a la torsión del concreto disminuye hasta casi la mitad de la resistencia del elemento no fisurado y el resto de la torsión la resiste ahora el refuerzo.

• Esta redistribución en la resistencia interna se refleja claramente en la curva de momento torsor versus ángulo de torsión (ver la figura 15.11), que al nivel del momento torsor de agrietamiento genera rotación continua para momento torsor constante, hasta que las fuerzas se redistribuyen del concreto hacia el acero. Cuando la sección se aproxima a la resistencia última, el concreto de recubrimiento del acero se fisura y empieza a desprenderse, contribuyendo cada vez menos a la capacidad de torsión del elemento.

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Figura 15.11. Tomado de Guillermo Santana

TORSOR RESISTENTE O NOMINAL DE SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO ARMADO

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• En la figura 16.1, la resistencia de torsión correspondiente a un elemento con una sección transversal rectangular puede representarse como la suma de las contribuciones de los cortantes en cada una de las cuatro paredes del tubo hueco equivalente. La contribución a la resistencia de torsión del cortante que actúa en la pared vertical derecha del tubo es, por ejemplo, igual a:

• 𝑻𝟒 = 𝑽𝟒∙𝒙𝟎

𝟐 (16.1)

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• Siguiendo un procedimiento similar al utilizado para analizar el modelo de armadura de corte con ángulo variable, el equilibrio de una sección de pared vertical, con un borde paralelo a una grieta de torsión con ángulo θ, puede evaluarse utilizando la figura 16.2a, suponiendo que los estribos que atraviesan la grieta están en fluencia, el cortante en la pared considerada es:

• 𝑽𝟒 = 𝑨𝒕 ∙ 𝒇𝒚𝒗 ∙ 𝒏 (16.2)

• Donde: At = área de una rama del estribo cerrado.

• fyv = resistencia de la fluencia del refuerzo transversal.

• n = número de estribos interceptados en la grieta de torsión.

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• Puesto que la proyección horizontal de la grieta es:

𝒚𝟎 ∙ 𝐜𝐨𝐭 𝜽 y 𝒏 = 𝒚𝟎∙𝐜𝐨𝐭 𝜽

𝒔 , donde θ es el ángulo de

inclinación del puntal y s es el espaciamiento de los estribos (ver figura 16.2a) ,

• 𝑽𝟒 = 𝑨𝒕∙𝒇𝒚𝒗∙𝒚𝟎

𝒔∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽 (16.3)

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• Combinando las ecuaciones 16.1 y 16.3 se obtiene:

• 𝑻𝟒 = 𝑨𝒕∙𝒇𝒚𝒗∙𝒚𝟎∙𝒙𝟎

𝟐𝒔∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽

• Puede demostrarse que se obtienen expresiones idénticas para cada una de las paredes horizontales y verticales. Así, sumando la contribución de todos los lados, la capacidad nominal de la sección es:

• 𝑻𝒏 = 𝑻𝒊 =𝟒𝒊=𝟏

𝟐∙𝑨𝒕∙𝒇𝒚𝒗∙𝒚𝟎∙𝒙𝟎 𝒔

∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽

• Observando que 𝒚𝟎 ∙ 𝒙𝟎 = 𝑨𝒐𝒉 , y reordenando ligeramente, se obtiene:

• 𝑻𝒏 = 𝟐∙𝑨𝒐𝒉∙𝑨𝒕∙𝒇𝒚𝒗

𝒔∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽 (16.4)

CONTRIBUCIÓN DEL REFUERZO LONGITUDINAL EN LA RESISTENCIA A TORSIÓN

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• Los puntuales diagonales a compresión que se forman paralelamente a las grietas de torsión son necesarios, para el equilibrio de la sección transversal. Como se muestra en las figuras 16.2b y 16.2c, la componente horizontal de la compresión en los puntuales en las paredes verticales debe equilibrarse con una fuerza de tensión axial ∆𝑵𝟒.

• Con base en la distribución uniforme supuesta del flujo de corte alrededor del perímetro del elemento, los esfuerzos diagonales en los puntales deben ser uniformemente distribuidos, obteniéndose una línea de acción de la fuerza resultante que coincide con la altura media de la pared.

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• Con referencia a la figura 16.2c, la contribución total de la pared vertical derecha al cambio de fuerza axial del elemento debida a la presencia de la torsión es:

• ∆𝑵𝟒= 𝑽𝟒 ∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽 = 𝑨𝒕∙𝒇𝒚𝒗∙𝒚𝟎

𝒔∙ 𝒄𝒐𝒕𝟐𝜽

• De nuevo, totalizando para todos los lados, el incremento axial para el elemento es:

• ∆𝑵 = ∆𝑵𝒊=𝟒𝒊=𝟏

𝑨𝒕∙𝒇𝒚𝒗 𝒔

∙ 𝟐 ∙ 𝒙𝟎 + 𝒚𝟎 ∙ 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽

• ∆𝑵 = 𝑨𝒕∙𝒇𝒚𝒗∙𝒑𝒉

𝒔∙ 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽

• Donde ph es el perímetro de la línea central de los

estribos cerrados.

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• Debe proporcionarse refuerzo longitudinal para soportar esta fuerza axial adicional ∆𝑵 . Si se diseña el acero para que fluya, entonces:

• 𝑨𝒍 ∙ 𝒇𝒚𝒍 =𝑨𝒕∙𝒇𝒚𝒗∙𝒑𝒉

𝒔∙ 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽

• de donde: 𝑨𝒍 =𝑨𝒕

𝒔∙ 𝒑𝒉 ∙

𝒇𝒚𝒗 𝒇𝒚𝒍

𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽 (16.5)

• Donde Al = es el área del refuerzo longitudinal para resistir la torsión.

• fyl = resistencia a la fluencia del refuerzo longitudinal

por torsión.

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• Se ha encontrado experimentalmente que después del agrietamiento el área efectiva encerrada por la línea del flujo de corte es algo menor que el valor de Aoh utilizado en el desarrollo anterior. Se recomienda tomar un valor reducido igual 𝑨𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨𝒐𝒉, donde Aoh es el área encerrada por la línea central del refuerzo transversal.

• Se ha encontrado además de la evidencia experimental que el espesor del tubo equivalente para cargas cercanas a la última puede aproximarse convenientemente por 𝒕 = 𝑨𝒐𝒉 𝒑𝒉 , donde ph es el

perímetro de Aoh.

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• Tema 3: Miembros sometidos a corte y torsión

• 3.1 Resistencia a las fuerzas cortantes

• 3.2 Diseño del acero de refuerzo por corte

• 3.3 Resistencia a torsión

• 3.4 Diseño del acero de refuerzo por torsión

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ESPECIFICACIONES NORMATIVAS PARA DISEÑO DE SECCIONES SOMETIDAS A TORSION (Covenin 1753-2006)

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• Los efectos de torsión podrán omitirse cuando el momento torsor mayorado sobre 𝜙, (Tu / 𝜙) o resistencia nominal a torsión, sea menor o igual a la cuarta parte de resistencia torsional crítica, Tcr, definida por las siguientes fórmulas:

• 𝑻𝒄𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′𝒄∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 (15.2)

• Umbral de torsión: 𝑻𝒖𝒎𝒃𝒓𝒂𝒍 = 𝑻𝒄𝒓

𝟒= 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′

𝒄∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑

• Si 𝑻𝒖 ≤ 𝜙 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′𝒄∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 (16.6) se pueden

despreciar los efectos de la torsión.

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• o cuando se consideran fuerzas axiales, de compresión o tracción:

• 𝑻𝒖 ≤ 𝜙 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′𝒄∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 𝟏 +

𝑵𝒖

𝟏,𝟎𝟔∙ 𝒇′𝒄∙𝑨𝒈 (16.7)

• Cuando se apliquen las fórmulas 16.6 y 16.7 a las secciones huecas se usará Ag en lugar de Acp.

• En vigas confinadas por losas que hayan sido vaciadas en forma monolítica, se podrá considerar la contribución de la losa a la rigidez torsional en el cálculo de Acp.

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